La seconde de ces propriétés donne
Br : rg :: r g : Cr.
Donc les deux triangles rectangles Brgj grC, ont
]eurs côtés adjacens à l'angle droit proportionnels; donc l'angle rgB ougBV = gCB; donc les angles mBV , gBV , sont l'un et l'autre égaux kBCgoxx B C m; donc on a
mBV=gBV;
autre analogie de propriétés entre les deux courbes,
en ce que les droites mB, gB, menées des points correspondans m, g, font le même angle avec la tangente au sommet B , et par conséquent aussi avec
l'axe commun B C perpendiculaire à cette tangente.
20J. Les deux angles m BV, raBS, font ensemble un angle droit : donc m B S est complément de m B V ou de m C B qui lui est égal , comme on vient de le voir ; donc dans l'hyperbole équilatère , aussi bien que dans le cercle, les deux droites menées d'un point quelconque de la courbe aux extréïnités de l'axe, font, avec ce même axe, deux angles qui sont complémens l'un de l'autre.
Mais dans le cercle , la somme de ces deux angles g'BC, g'CB, formés aux extrémités de l'axe dans le triangle mBC, fait le quart de la circonférence ; au lieu que , dans l'hyperbole , c'est la différence m B C — m C B des deux angles formés aux extrémités de l'axe dans le triangle correspondant mBCy qui forme le quart de la circonférence.
On peut donc de cette manière regarder l'hyperbole comme un système en simple corrélation indirecte avec le cercle, et dans lequel l'angle BCtfî devient inverse, puisque dans le cercle on a
B C g = ongle droit — g-BC,
et que dans l'hyperbole , au contraire , on a
BC/7î=77zBC — angle droit.
254. D'un nouveau point tz pris sur l'hyperbole, menons aux sommets B , C , les droites »B, «C; nous aurons , par les même raisons que ci-dessus ,
72 BC — 7zCB = angle droits
donc 7zBC — nCB = mBC — mCB, ou en transposant,
rcBC— mBC = /zCB— raCB;
donc
C'est-à-dire , que dans l'hyperbole équilatère ainsi que dans le cercle, les angles qui , ayant leurs sommets aux deux extrémités de l'axe, sont appuyés sur le même arc de la courbe (mn) sont égaux entre eux.
Si l'on mène g h perpendiculaire à D F , e\:mp perpendiculaire au même axe, il est clair que les deux trapèzes ghBA, B A mp , seront semblables. Donc on aura
g h :BA :: BA: mp ou rA:BA::BA:SA;
c'est-à-dire, que l'axe commun BA est moyenne proportionnelle entre les deux abscisses correspondantes du cercle et dç l'hyperbole.
ï8S DE LA CORRÉLATION, Ctd
255. Enfin , la propriété qu'a le cercle , d'avoir tous ses rayons égaux, trouve aussi dans l'hyperbole équilatère une propriété qui, quoique différente, lui correspond. En effet, puisque les trapèzes g hB A, B A mp , sont semblables , en tirant dans le premier la diagonale A g , et dans le second la diagonale correspondante p B, on voit que , dans le premier trapèze, la diagonale A g et le côté A B étant égaux ; la diagonale p B et le côté pm doivent aussi être égaux entre eux ; c'est-à-dire , que dans l'hyperbole équilatère, tout point/? du second axe est également éloigné du sommet de la courbe et du point de cette courbe qui lui répond perpendiculairement.
2Ôo. On voit comment il seroit possible de pousser plus loin ce rapprochement. On peut également établir la corrélation de l'ellipse avec l'hyperbole non équilatère en leur donnant des axes communs , comme on l'a fait pour les courbes qu'on vient de considérer. La théorie des corrélations complexes donne lieu à des recherches très-étendues , puisque c'est par eux que sont visiblement caractérisées les différentes courbes d'un même ordre. Je n'ai eu ici pour objet que de proposer , sur la comparaison des figures en général , quelques vues qui peuvent mériter l'attention des Géomètres.
/Vtf/n Ar /.
rhéance '^A
->ok
CE
a 3 9003 oTIlGTl
, .-.. ... v «surgis 2
