Les formules appartenantes à ces divers sys

DES FIGURES DE GEOMETRIE. s5 ternes corrélatifs, considérés comme un seul et même système transformé de diverses manières, ne pouvant jamais différer entre elles que par les signes de corrélation des valeurs qui entrent dans ces formules, il suit qu'en changeant ces signes successivement et de toutes les manières possibles , dans les formules de l'un quelconque d'entre ces systèmes pris pour terme de comparaison , on trouvera successivement celles qui appartiennent à chacun des autres , et qu'ainsi on pourra faire l'énumération de tous ces systèmes , ou classer tous ceux qui sont sus* ceptibles d'être ramenés aux mêmes systèmes primitifs.

40. Telle est , ce me semble, la véritable théorie des quantités dites improprement, en Analyse, porsitives et négatives ; je dis improprement, car il n'existe véritablement ni quantités positives , ni quantités négatives par elles-mêmes , mais seulement des quantités absolues, aptes à être ajoutées à d'autres, ou à en être retranchées lorsqu'elles sont plus petites , car il n'y a rien au-dessous de o. Lors donc qu'on dit d'une quantité qu'elle devient négative , on ne peut entendre autre chose, sinon que le système auquel elle appartient change, et que le signe de corrélation de la valeur de cette quantité dans le système transformé , est — ...

41. Ainsi, cette expression de valeur devenue négative, suppose , au moins tacitement, la comparaison de deux systèmes auxquels il n'est pas pos-

24 DELACORR li L A T I O N

sible d'appliquer les mêmes raisonnemens sans quelques modifications; et de> plus , que le résultat de ces modifications dans les formules est une mutation du signe qui affectoit la valeur de la quantité en question , devenue inverse et non pas négative. Ce qui est devenu négatif dans les formules, ce n'est pas cette quantité elle-même , mais seulement sa valeur de corrélation ; c'est le signe de corrélation qui est devenu — . Au reste , on est bien maître d'appeler quantité ce que j'appelle valeur, et par conséquent quantité négative ce que j'appelle valeur négative; mais alors il faut donc prendre soin de distinguer exactement dans chaque cas les quantités absolues des quantités prises collectivement avec leurs signes ; car c'est faute de cette distinction , qui échappe facilement , qu'il a toujours régné dans cette théorie une sorte d'obscurité.

42. En envisageant la question sous un point de Vue plus général , on peut, à la vérité , convenir de distinguer par les signes + et — les quantités prises en sens contraires les unes des autres ; mais alors il faut expliquer ce qu'on entend par cette expression de quantités prises en sens contraires , et montrer qu'on a le droit d'opérer sur les signes par lesquels on est convenu de les distinguer , de la même manière qu'on le fait lorsqu'on n'emploie ces mêmes signes qu'à indiquer des additions et soustractions exécutables : c'est-là le point de la difficulté , et je crois qu'on ne sauroit la résoudre qu'en attribuant à ces quantités dites en sens contraire , la signifîca-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 2J tion de celles que j'ai appelées les unes directes, les autres inverses ; c'est-à-dire, sans rapporter, au moins tacitement , le système examiné à un autre système fondamental pris pour terme de comparaison. Dans ce système primitif, on ne considère que les valeurs absolues des quantités, et l'on regarde les signes + et — qui les lient, comme indiquant seulement des additions et soustractions exécutables d'après leurs notions premières. Alors, si, ayant une formule trouvée pour ce système primitif, on veut l'étendre à un autre système pour lequel elle n'étoit pas faite , mais qui est corrélatif avec le premier ; au lieu de chercher de nouveau la formule qui convient à ce dernier cas , on profite de la première , en y apportant seulement les modifications nécessaires; et ces modifications se réduisent, ainsi que je l'ai montré ci-dessus , à changer les signes des valeurs des quantités que j'ai nommées inverses , et dont j'ai donné une notion précise.

43. Les quantités donc que l'on désigne dansl'analyse, en les disant prises dans des sens contraires , ne sont autre chose que celles que j'ai désignées sous les noms de quantités directes et de quantités inverses ; c'est-à-dire, de quantités comparées à celles d'un même système pris pour terme de comparaison , et telles que chacune de ces quantités soit considérée comme la différence de deux autres , prises , ainsi que les premières , dans le système transformé qu'on examine. On la nomme directe lorsque ces quantités, dont elle est la différence, sont elles-mêmes en

ordre direct, c'est-à-dire, lorsque la plus grande, dans le système transformé , est aussi la plus grande au système primitif ; on la nomme inverse lorsque les quantités dont elle est la différence sont en ordre inverse, c'est-à-dire, lorsque la plus grande du système transformé répond à la plus petite du système primitif, et réciproquement.

44. Une fois le changement des signes opéré dans la formule examinée, elle devient immédiatement applicable au système transformé , de la même manière qu'elle rétoit avant le changement, au système primitif; et ce système transformé peut luimême à son tour servir de terme de comparaison pour d'autres , en faisant à la formule qui lui a été appropriée les nouvelles modifications que pourroient exiger les mutations qui doivent avoir lieu, à mesure que le second système éprouvera d'autres transformations.

45. Ainsi , cette théorie dérive essentiellement d'un principe fondamental qui ne s'applique pas seulement à la question ici traitée , mais à toutes les parties des mathématiques et de la dialectique en général; et qui consiste à rapporter toujours l'objet qu'on veut considérer à un autre objet connu que l'on prend pour terme de comparaison ; car en observant la marche de l'esprit dans la recherche des vérités, on voit facilement qu'elle se réduit toujours à décomposer les questions qui sont trop compliquées , eu égard à l'étendue de nos facultés intellec-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 27 tuelles , pour les ramener à des questions plus simples.

46. Tout l'artifice de la numération , par exemple, consiste à trouver le moyen d'arranger un petit nombre de chiffres dans un ordre méthodique tel, qu'avec ces seuls chiffres , on puisse représenter tous les nombres possibles , afin de pouvoir opérer partiellement sur eux, et décomposer ainsi la difficulté en convertissant les opérations qu'on peut avoir à exécuter sur des nombres considérables, en une série d'opérations partielles à faire sur de petits nombres , c'est-à-dire , sur des nombres assez petits pour qu'on puisse se faire de chacun d'eux une idée nette, ou les combiner immédiatement par l'attention et la mémoire.

47. De même, chacune des opérations de l'arithmétique, telles que l'addition, la soustraction , la multiplication , etc. n'est autre chose que le procédé par lequel on parvient à opérer successivement sur les unités, lesdixaines, les centaines, des nombres proposés , lorsqu'ils sont trop considérables pour que l'esprit puisse appercevoir directement le résultat entier de leur combinaison.

4o. Il en est de même de l'algèbre. Son but est d'indiquer la série des opérations qui sont à faire , et que l'arithmétique doit exécuter, pour obtenir un résultat cherché. On ne connoît pas toujours explicitement la valeur d'une quantité, quoiqu'on sache qu'elle dépend, et suivant quelle loi elle dé-

pend , d'une ou plusieurs des autres quantités données. Pour la trouver , on est obligé de faire plusieurs opérations successives ; or c'est cette série d'opérations , dont il faut connoître la nature, qu'il faut indiquer par des signes convenus ; et c'est dans cette recherche et cette indication que consiste l'algèbre.

4g. En géométrie, une figure composée de diverses lignes droites et courbes , tracées dans différens plans , n'offre d'abord à l'esprit qu'une image confuse et des rapports vagues entre ses parties. Mais en la décomposant en figures plus simples , en comparant successivement deux à deux, trois à trois, les signes et les angles qui la composent, on parvient à découvrir tous les rapports partiels. On lie ensuite ces rapports ; et de ces combinaisons successives , résulte la découverte des diverses proprié-? tés de la figure.

00. Dans l'analyse infinitésimale, on prend un système fixe de quantités pour servir de terme de comparaison : on conçoit que ce système change par degrés insensibles ; on regarde chacune des quantités qui le composent, comme la limite de sa correspondante dans le système variable, et l'on nomme infiniment petite la différence de chaque variable à sa limite. On cherche ensuite des équations entre les variables, leurs limites et leurs différences désignées sous le nom d'infiniment petites : on élimine ces dernières, à l'aide d'une simplification accidentelle

propre à ce calcul, et qui résulte de ce que ces quantités, dites infiniment petites, peuvent être supposées s'évanouir toutes à la fois. Il reste les équations cherchées entre les variables et leurs limites , c'est-à-dire , entre le système dont on recherche les propriétés et le système primitif pris pour terme de comparaison.

5l. Enfin la question que nous traitons ici des quantités directes et inverses , a beaucoup d'analogie avec ce que nous venons de dire de l'analyse infinitésimale. On prend également un système fixe pour servir de terme de comparaison ; on regarde chacune des quantités qui composent celui-ci comme la limite de sa correspondante dans le système variable, ou le terme auquel on la rapporte constamment pendant la mutation ; on prend la différence de deux quelconques des quantités du système proposé , et l'on compare cette différence avec celle de leurs limites respectives , en ne considérant toujours que les valeurs absolues des unes et des autres. Tant que ces variables sont en ordre direct avec leurs limites, c'est-à-dire, tant que la plus grande de ces deux variables correspond à la plus grande des deux limites , la différence de ces variables est dite en sens direct; mais si ces variables passent à l'ordre inverse, c'est-à-dire, si celle qui correspond à la plus grande limite devient moindre que celle qui correspond à la plus petite, elle est dite en sens inverse. Alors pour trouver les propriétés du système proposé, on commence par chercher celles du sys-

3o DE LA CORRÉLATION

terne fixe pris pour terme de comparaison ; et lorsqu'on a trouvé les formules qui les expriment, on les approprie au système corrélatif proposé , en y substituant aux quantités qui composent ce système fixe , les valeurs de corrélation du système proposé ; opération qui s'exécute en deux parties : i°. en substituant les valeurs absolues des quantités qui composent celui-ci, aux valeurs absolues de leurs corrélatives dans le système primitif ; 2°. en cherchant le signe de corrélation de chacune de ces valeurs du système proposé, et changeant dans les formules du système primitif celui de chacune des valeurs qui appartiennent à des quantités devenues inverses en passant d'un système à l'autre.

52. Soient prises dans le système primitif deux quantités M, N; supposons M >N, et soit M — N=P.

Concevons maintenant que le système varie , que M devienne m ; N , n ; et P , p ; en ne considérant toujours que les valeurs absolues de ces quantités.

Supposons de plus que , pour ce changement , M et N aient commencé , la première allant en diminuant, la seconde en augmentant , à se rapprocher l'une de l'autre par degrés insensibles, jusqu'à devenir égales , et par conséquent leur différence M — N ou P égale à zéro ; qu'ensuite ces deux quantités continuant , la première à diminuer et la seconde à augmenter , celle-ci , devenue n , se trouve plus grande que m , valeur que l'autre est supposée avoir prise en même temps ; leur différence/?, qui étoit P dans le système primitif, sera devenue in-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 3l

verse ; et l'on aura par conséquent p = n — m , au lieu de P = M — N , qui a lieu dans le système primitif,,

Donc , lorsqu'une quantité devient inverse par ce mode, il faut nécessairement que les deux quantités dont elle est la différence aient passé par le rapport d'égalité, et que cette quantité elle-même ait passé par o.

Mais la quantité p peut aussi devenir inverse par un mode autre que celui qu'on vient d'indiquer 5 c'est en passant par 00 au lieu de passer par o. Alors les deux quantités dont elle est la différence peuvent être également regardées comme ayant passé parle rapport d'égalité , mais en devenant l'une et l'autre infinies.

En effet, je dis que si p est devenue inverse, la

quantité — l'est aussi devenue.

P Il est clair d'abord qu'au moment où p est devenue o, — est devenue 00 j il faut donc prouver que P

quand M est devenue m, et N, n, — est devenue

inverse, aussi bien que p.

Or, puisqu'on a

p = n — m, on a aussi

in m

ou — = • ■ j

p m' + »a — amn m + n* — smn

donc l'équation primitive à laquelle celle-ci répond doit être telle entre P, M, N, qu'en y remettant pour ces quantités leurs correspondantes, et changeant le signe de/?, qui est inverse, elle s'accorde avec celle qui précède. Donc cette équation primitive est

Donc — est la différence de deux quantités qui se

P trouvent en ordre inverse ; donc elle est elle-même

comme nous l'avons dit , une quantité inverse.

53. Ainsi , une quantité peut devenir inverse de deux manières : ou en passant par o, ou en passant par oo. Cependant on ne sauroit en conclure que, réciproquement, toute variable qui passe par o ou par oo devient pour cela nécessairement inverse : car , en supposant que/7 soit inverse ; je dis que/7% par exemple, ne le sera pas pour cela, quoiqu'elle ait évidemment passé par o ou par oo en même temps que /?. Car , si/?2 étoit inverse , elle changeroit de signe dans le résultat , aussi bien que p. Or , cela ne se peut, puisque — p X — p fait toujours p*. Donc cette quantité/72 n'a pas changé de signe; donc elle n'est pas devenue inverse.

54. Mais puisqu' aucune quantité ne peut devenir inverse sans avoir préalablement passé par o ou par oo , on peut en conclure que jusqu'alors le système variable sera demeuré en corrélation directe

avec

avec le système primitif ; et que par conséquent les formules trouvées pour celui-ci lui seront applicables sans aucun changement de signes. Donc toute formule trouvée pour un système quelconque de quantités, est immédiatement applicable à un autre système quelconque corrélatif, lorsqu'elle ne contient aucune quantité qui passe par o ou par oo , pour arriver du système primitif au système transformé.