CD = ^-AB

Donc la véritable valeur de l'inconnue C D est ~ A B, et le véritable système sur lequel on doit établir le raisonnement pour la trouver , est celui des droites

AB, Â~C, ÏTC, BD, CD, combinées de manière que le point C soit placé entre B et D. Et en effet , si l'on recommence le calcul dans cette dernière hypothèse , on trouvera pour C D la valeur positive + rr A B.

34. Si l'équation avoit plusieurs racines, les unes positives , les autres négatives , les premières appartiendroient explicitement au système de quantités sur lequel les raisonnemens âuroient été faits ; mais les racines négatives ne lui appartiendroient qu'implicitement ; elles seroient explicites seulement pour d'autres systèmes indirectement corrélatifs avec le premier, et qu'on trouveroit en cherchant, pour chacune de ces racines , quel est, parmi tous les systèmes corrélatifs possibles, celui auquel satisferoit cette racine , après en avoir changé le signe.

35. Supposons , par exemple , que cette équation se rapporte à une courbe dont l'ordonnée soit représentée par y, et que, pour une certaine valeur déterminée de l'abscisse, il y ait parmi celles dey une valeur négative.

Il suit de ce que nous venons de dire , que cette racine négative ne peut s'appliquer immédiatement

2o DELA CORUELATION

au système sur lequel le raisonnement a été établi et l'équation trouvée, mais à un autre auquel devra satisfaire immédiatement la même équation, si l'on y substitue préalablement — y à la place dey.

Mais je dis que ce nouveau système est précisément la branche ou portion de courbe, qui est de l'autre côté de l'axe , par rapport au système primitif ; c'est-à-dire , par rapport à la portion de courbe sur les points de laquelle le raisonnement a été établi et l'équation trouvée.

En effet, il est d'abord évident que cette autre portion de courbe forme un système corrélatif avec la première : mais je dis que cette corrélation ne peut être qu'indirecte , eu égard à la série des raisonnemens qui ont été faits pour trouver l'équation ; car si cette corrélation étoit directe, la formule du premier système seroit applicable, sans aucun changement de signes , au second ( 1 5 ) , ce qui est impossible, puisque ces raisonnemens ont été établis dans l'hypothèse que l'ordonnée étoit du premier côté de l'axe : or, cela ne peut avoir lieu sans que y soit positive. L'autre branche de la courbe forme donc un système indirectement corrélatif avec le premier. Mais comme toutes les quantités qui composent ces deux systèmes sont les mêmes , à l'exception de l'ordonnée qu'on ne connoît pas encore ; il suit que c'est cette ordonnée seule qui devient inverse , et que par conséquent c'est ce norveau système auquel satisfait l'équation trouvée, lorsqu'on y substitue — y à la place de y.

00. Il se présente une autre question importante à faire sur la comparaison de deux systèmes corrélatifs , ayant chacun sa formule propre ou explicite : c'est d'en trouver une troisième qui les renferme l'une et l'autre, ou qui soit immédiatement applicable aux deux systèmes. C'est ce qu'on pourra faire en rapportant ces deux formules à leur origine commune, c'est-à-dire, en éliminant de ces formules particulières les quantités respectivement inverses qui les rendent disparates , et remettant à leurs places les quantités directes dont elles sont les différences.

En effet , puisque la quantité inverse p ( 18 ) n'a été introduite dans le système que par la substitution de faite de n — p à la place de m , il est clair qu'on reviendra au premier ordre de choses , c'est-à- dire , à la formule qui ne contenoit pas de quantités inverses , et qui par conséquent étoit immédiatement applicable aux deux systèmes, jusqu'alors directement corrélatifs entre eux , en remettant n — m à la place dep ,• et si l'on fait la même chose pour toutes les autres quantités respectivement inverses entre les deux systèmes , la formule deviendra immédiatement applicable à l'autre , sans aucun changement de signes, et sera par conséquent la formule générale cherchée.

07. Par exemple, dans le triangle ABCD cité plus haut , on a pour le système primitif, c'est-àdire , lorsque D tombe entre B et C,

TE2 — ÂC2 = rT02 — 2B~C. C"Ë>;

et dans le système transformé, c'est-à-dire, lorsque

C tombe entre B et D ,

AB3-AC2=BC24-2BCCD. Ces deux formules ne se ressemblent point, parce que, dans le dernier cas, C D est inverse , attendu qu'on y a C D — B D — BC, tandis que , dans le

premier, on a au contraire CD- BC — BD.

Mais si l'on veut trouver une formule immédiatement applicable aux denx systèmes, il n'y a qu a éliminer la quantité inverse C D , en substituant sa valeur en quantités directes , laquelle est B D — B C , ce qui donnera

A B ; — A C^sBC . BD-BC, équation qui a lieu, soit que le point C tombe entre B et D , soit que le point D tombe entre B et C.

58. Au reste, c'est une recherche curieuse et importante que cette généralisation des formules, ou l'art de rendre immédiatement applicables à tous les systèmes corrélatifs possibles, celles qui sont trouvées pour un seul pris comme terme de comparaison : on peut employer pour cela divers moyens ; mais le but commun de tous, est toujours d'éliminer ou faire disparoître , soit par des substitutions , soit par des transformations quelconques , toutes les quantités qui se trouvent respectivement inverses entre ces divers systèmes.