SoitABC (fig. 18) un triangle : par un

126 DE LA CORRÉLATION point quelconque D du plan de ce triangle, menons les droites ADû, BD ô, CD c, aux angles, et qu’elles soient prolongées jusqu’à la rencontre des côtés opposés. Menons ensuite les droites a cm, ban , cbp t jusqu’à la rencontre des côtés AC,

A B , B C , ou leurs prolongemens. Cela posé, nous avons ( 167 )

Ac.Ba.Cô = Aô.Bc.Ca.

Mais d’un autre côté , nous avons aussi (176)

B c . An = Ae. Bn,

A b . C m= C b . Am,

Ca.Bp = C p "i B a.

Multipliant ces quatre équations toutes ensemble , on aura

Aw.Bn.C^ = An. B p . C ni

179. Soit, en général ( fig . 19), un triangle ABC, sur les côtés duquel, ou sur leurs prolongemens, soient pris à volonté les points a ,b , c ; formons le triangle a Ire. Je l’appellerai triangle inscrit au triangle ABC, que je nommerai triangle circonscrit; prolongeons tous les côtés de ces triangles, jusqu’à ce que chacun d’eux rencontre le côté de l’autre triangle qui lui e^t opposé. Cela posé, le triangle

circonscrit A B C , coupé par le côté a b du triangle inscrit, forme le quadrilatère A B a b , qui donne

A«.Ba.C& = A6.Bn.Ca A c . B a . C m— A m . B c . C a

Ab B c . Cp = A c . Bp . C b.

Multipliant ces trois équations toutes ensemble , et . réduisant , on a

B a . An .Cm.Cp—Ca 2 A ni B n Bp A . B ra . C p . Cm = C A* . B p . An . Am

A c 2 . C m .B n . Bp = Bc 2 . C p . Am. An.

Supposons que les droites A <z , B A , Ce, se croisent en un même point D ( Jig . 1 8 ) , on aura (1 76)

Ba:Ca:;Bp:Cp ou Ca.Bp = Ba.Cp, et par conséquent

Ca J . Bp 2 = Ba J . Cp 3 .

Multipliant par cette équation la première des trois trouvées ci-dessus, on aura, comme on l’a déjà trouvé (178) ,

Am.Bn.Cp — An* Bp . Cm.

180. Résumons cette théorie par une proposition générale sous forme technique.

A, B, C, D, rangés à volonté sur un plan , donnent ,

i°.AB . D ÂB œXÂC BD==CD.ÀÂC BD.BÂB CD a°. AB . AC . DAB CD.DÂC BD==BD.CD. AAB CD.AÂC BD 3 °. A^ÂB CD.BÂD BC . CACBD=AÂCBD.BÂBCD.CÂD BC

4°.AAD BC.DAD AB CD AC BD=AAD AB CD AC BD.DAD BC 6°. AD ÂB CD : BC ÂB CD :: AD ÂC BD : BC ÂC BD

G®. A AC AD BC AB CD . B AB AC BD AD BC . C BC AB CD AC BD =AABÂC BD AD BC . BBC Xb CD ÂC BD * CACÂD BC ÂB CD

181. En effet , d’après les notions données (73 et suiv .) , nous avons ( fig . 16)

F =#1 AB CD , G#=ACBD, H=4ADBC,

K4=AD AB CD AC BD, et par conséquent

L4=BCABCD AC BD,

FD = D ÂB CD,

CG — C ÂCBD,

ÂG = A ÂC BD,

FB = B ÂB CD,

GD = D ÂC BD,

ÂF = A ÂB CD,

ÂH = A ÂD BC,

BH = B ÂD BC,

CH = C ÂD BC,

DH = D ÂD BC,