On peut évidemment regarder chacun des

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 169 sommets des angles solides du polyèdre , comme une face infiniment petite ; et de plus lui attribuer une direction quelconque. Donclaproposition énoncée fait voir que pour ce cas , la somme des produits de toutes les faces du polyèdre , multipliées chacune par le cosinus de l’angle qu’plie forme avec cette face infiniment petite , est égale à zéro $ et comme les angles formés par un plan quelconque avec deux autres plans parallèles sont visiblement égaux entre eux , nous pouvons établir ce principe général :

La somme des faces d’un polyèdre quelconque , multipliées chacune par les cosinus de l’angle qu’elle forme avec une surface plane quelconque donnée dans l’espace , est égale à zéro.

228. Soient a y b y c y d y etc. les faces d’un polyèdre j c’est-à-dire , les surfaces des polygones qui for-

ment ces faces : représentons par ab y ac , hc, etc. les angles formés par ces faces prises deux à deux ; on aura donc , par le principe établi ( 325),

a=b . cos ab + c . cos a c + etc.

b = a. cos a b + c . cos b c + etc.

etc. etc.

Multipliant la première de ces équations par a, la seconde par b , la troisième par c , etc. puis ajoutant ensemble toutes ces équations , on aura

a* + b* + c* + etc. = 2 ab.cosa b+ sac.cosa c-f-etc. c’est-à-dire, qu’en général,

;Fr

Sfl* ‘

Dans tout polyèdre , la somme des quarrés desfaces qui le terminent est égale au double de la somme des produits de toutes ces faces multipliées deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent.

229. Si, au lieu d’ajouter toutes les équations trouvées ci-dessus, on retranche l’une d’entre elles , la première , par exemple , de la somme de toutes les autres, on en conclura que le quarré de l'une quelconque des faces qui terminent un polyèdre est égal à la somme des quarrés de toutes les autres faces , moins le double de la somme des produits de toutes ces autres faces multipliées deux à deux , et par le cosinus de l'angle qu'elles comprennent.

200. Supposons , par exemple, que le polyèdre se réduise à une pyramide triangulaire, et que les trois faces qui partent du sommet soient perpendiculaires entre elles , les cosinus des angles que formeront ces trois faces entre elles seront tous zéro. Donc le quarré de la base de cette pyramide sera égal à la somme des quarrés des trois autres faces j c’est-à-dire que,

Dans toute pyramide triangulaire dont trois faces sont perpendiculaires entre elles , le quarré de la quatrième face est égal à la somme des quarrés des trois premières.

23 1 . Imaginons dans l’espace trois autres plans parallèles aux trois faces qui partent du sommet de

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 171 la pyramide proposée , chacune à chacune. Ces trois plans seront par conséquent aussi perpendiculaires > entre eux , et les trois projections de la base sur ces nouveaux plans , seront évidemment égales , respectivement aux trois autres faces, chacune à celle de ces faces , qui lui est parallèle. Donc , puisque le quarré de cette base est égal à la somme des quarrés des trois autres , il sera aussi égal à la somme des quarrés de ses trois projections.

De plus, il est évident que des surfaces égales tracées dans un même plan , ont des projections aussi égales en surface sur tout autre plan donné. Donc , si l’on substitue à la place de la base de la pyramide en question , un polygone de forme quelconque qui lui soit égal en surface , les projections de ce polygone seront respectivement égales aux projections correspondantes du triangle, qui est la base de la pyramide. Donc ce triangle pouvant être de grandeur quelconque , on peut en conclure ce principe connu :

Le quarré de l’aire d’un polygone quelconque est égal à la somme des quarrés de ses trois projections sur trois plans perpendiculaires entre eux.

23a. Il est à remarquer que dans la pyramide triangulaire que nous avons considérée, chacune des trois faces qui sont supposées perpendiculaires entre elles , est la projection même de la base sur le plan qui contient cette face , et que de plus cette base est à son tour la somme des trois triangles qui forment sur elle les projections des trois autres faces

172 DE LA COBRÉLATIOX de la pyramide j c’est-à-dire, que cette base est la somme des trois,projections de projection : et comme d’après ce qui vient d’être dit , le même raisonnement est applicable à tout autre polygone, on peut en conclure , qu’en général ,

La surface d’un polygone quelconque est égale à la somme des trois projections de projection , formées en projetant d’abord le polygone proposé sur trois plans perpendiculaires entre eux , et projetant ensuite de nouveau chacune de ces projections sur le plan du polygone proposé.

253. Au lieu du quarré de l’aire d’un polygone, on peut prendre le produit des surfaces de deux polygones égaux chacun à ce premier polygone $ et si l’on suppose qu’ensuite l’un de ces deux polygones devienne double , triple, quadruple, etc. l’autre demeurant le même , le produit de ces deux polygones deviendra également double , triple , quadruple. De même , chacune des projections du polygone supposé variable , deviendra aussi double , triple , quadruple j et par conséquent le produit des projections des deux polygones sur chaque plan, deviendra aussi double, triple, quadruple, etc. c’està-dire , qu’en général ,

Le produit des surfaces de deux polygones tracés dans un même plan est égal à la somme des trois produits formés , en multipliant les projections de deux polygones faites sur chacun de trois plans quelconques perpendiculaires entre eux.