PROBLÈME VI

224. Trouver les rapports qui existent entre les * faces d’un polyèdre et les angles que ces faces forment entre elles.

Solution. La propriété qui sert de base à la théorie des polygones est également applicable aux polyèdres ; c’est-à-dire, que dans tout polyèdre , chacune des faces est égale à la somme de toutes les autres , multipliées chacune par le cosinus de l’angle qu’elle forme avec la première^

On sait que la projection d’une surface plane sur une base avec laquelle elle forme un angle quelconque , est égale à cette surface multipliée par le cosinus de l’angle d’inclinaison. Si donc, dans un polyèdre quelconque , on prend l’une des faces pour base ; que de tous les angles de ce polyèdre on mènesur cette base des perpendiculaires , et que ces perpendiculaires tombent toutes sur l’aire de cette même base , il est clair qu’elle sera égale à la somme des projections de toutes les autres faces. Donc chacune de ces projections étant égale à la face correspondante multipliée par le cosinus d’inclinaison

j 68 DE LA CORRÉLATION

la face prise pour base sera égale à la somme de toutes les autres , multipliées chacune par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec cette base,

225 . Concevons maintenant que ce système primitif change par degrés insensibles , de manière que parmi les perpendiculaires abaissées des angles sur la face prise pour base , il s’en trouve qui tombent eij dehors de l’aire. Comme le changement peut s’opérer sans qu’aucune de ces faces ni des an-

• gles passe par o ou par oo , il est clair que le principe est général. Dans ce cas, les cosinus des angles obtus ont seulement des valeurs de corrélation négatives ; mais il n’y a pour cela , comme nous l’avons déjà observé pour les polygones , aucun changement à faire dans l’énoncé de la proposition. Nous pouvons donc établir ce principe général :

Dans tout polyèdre , chacune des faces est égale à la somme de toutes les autres , multipliées chacune par le cosinus de l’angle qu’elle forme avec la première .

226. Pour ne pas se tromper dans l’application de cette proposition , en prenant les supplémens des angles au lieu des angles même , on doit se rappeler ce que nous avons dit à ce sujet , en parlant des polygones j c’est-à-dire, que les angles dont il s’agit sont toujours ceux qui sont formés par les côtés intérieurs des faces du polyèdre.