DES

I . Il existe entre les diverses parties de toute figure géométrique deux sortes de rapports , savoir : les rapports de grandeur, et les rapports de position. Les premiers sont ceux qui ont lieu entre les valeurs absolues des quantités j les autres sont ceux qui expriment leurs situations respectives , en indiquant si tel point est placé au-dessus ou au-dessous de telle droite , à droite ou à gauche de tel plan , audedans ou au-dehors de telle circonférence ou de telle surface courbe , etc. Or, ce sont ces derniers , rapports que j’ai particulièrement ici en vue.

2. Le mode que je me propose de suivre consiste à rapporter chaque figure dont on recherche les propriétés , à une autre figure dont les propriétés sont connues , et qu’on prend pour terme de comparaison ; puis à l’aide de caractéristiques particulières , et de l’arrangement systématique des lettres employées pour désigner les points qui déterminent les diverses parties de ces figures , on exprime les modifications qui les distinguent : c’est ce que j’appelle établir la corrélation des figures.

5. Quand les figures dont on recherche les propriétés sont compliquées , on les décompose en plusieurs autres figures plus simples , et l’on rapporte chacune de celles-ci à une figure connue prise pour terme de comparaison.

■ 4. ÀVant d’entrer en matière , j’établirai Une distinction très-importante pour ce que j’ai à dire dans la suite : cette distinction porte sur les mots valeur et quantité.

Par l’expression de valeur -, j’entends en général toute espèce de fonction algébrique. Ainsi , a est une valeur absolue, + a une valeur positive, — a une valeur négative, V a une valeur imaginaire. Je réserve , au contraire , le nom de quantité pour désigner la chose même dont on recherche les propriétés ou sa valeur absolue, c’est-à-dire, abstraction faite du signe. Ainsi, en adoptant cette définition , il n’y a ni quantités positives , ni quantités négatives, ni quantités imaginaires. Toute quantité est un objet réel que l’esprit peut saisir, ou du moins sa représentation dans le calcul d’une manière absolue ; au lieu que les valeurs peuvent n’être que des formes algébriques , des quanti tés prises collectivement avec leurs signes : or , ces signes indiquent des opérations qui souvent ne sont point exécutables. Par exemple, — a indique qu’il faut retrancher a de o , ce qui est absurde , puisqu’il n’y a rien au-dessous de o. Ces formes algébriques peuvent à la vérité être employées dans le calcul ; mais ce çal-

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 5 cul n’offre de résultats intelligibles qu’autant que ces formes sont ramenées à des combinaisons qui peignent des objets réels , c’est-à-dire, à des formules ou fonctions dans lesquelles les opérations indiquées peuvent être réellement exécutées. On peut bien , dans un calcul, indiquer la soustraction d’une quantité à retrancher d’une autre quantité plus petite, mais on ne peut pas l’effectuer : cependant ce résultat , quoique absurde , étant exprimé algébriquement , peut , par des transformations , conduire à des résultats d’un autre genre , et qui n’indiquent plus que des opérations exécutables sur des quantités effectives. C’est alors seulement que ce résultat est véritablement significatif, et qu’on peut l’appliquer utilement à l’objet qu’on s’est proposé.

5. Lorsque les propriétés d’un système quelconque de quantités sont exprimées par des équations ou formifles ramenées à cet état primordial dont on vient de parler, c’est-à-dire, tel, que toutes les opérations qui s’y trouvent indiquées par les signes peuvent être réellement effectuées, je l’exprime en disant que ces formules sont immédiatement applicables au système proposé , et je les nomm e formules explicites à l’égard de ce système. J’appelle, au contraire , formules implicites à l’égard de ce même système, celles qui ne lui sont pas immédiatement applicables , c’est-à-dire, qui ne sont pas ramenées à cet état tel, que toutes les opérations qui s’y trouvent indiquées puissent être réellement effectuées.

6. Ainsi , le but qu’on doit remplir lorsqu’on a des formules implicites, pour en tirer les rapports réels des quantités , est de les ramener à des formules explicites par des transformations convenables et -l’élimination des valeurs qui n’y représentent pas de véritables quantités.

7. Concevons maintenant un système variable de quantités quelconques , tirées ou non de la Géométrie , et considérons ce système dans deux états différens : l’un que je prends pour terme de comparaison , et que je nomme système primitif ; l’autre que je rapporte au premier, et que je nomme système transformé.

8. Cela posé, la différence de deux quelconques des quantités du système transformé , est dite en sens direct , ou simplement directe , lorsqu’eu comparant ces deux quantités à leurs correspondantes dans le système primitif, il arrive que celle des deux qui est la plus grande dans l’un des systèmes , correspond à celle qui est aussi la plus grande dans l’autre; et la plus petite du premier à la plus petite du second.

Au contraire , la différence de ces deux quantités est dite en sens inverse , ou simplement inverse , lorsque la plus grande dans l’un des systèmes correspond à celle qui est la plus petite dans l’autre ; et réciproquement, la plus petiteATla plus grande.

g. Les deux quantités dont la différence est en sens direct, sont dites elles-mêmes en ordre direct ;

BES FIGURES DE GEOMETRIE. 5 et celles dont la différence est en sens inverse , sont dites elles-mêmes en ordre inverse.

1 o. Mais on ne doit pas perdre de vue que, d'après les notions données ci-dessus , il ne s’agit jamais dans ces définitions que de véritables quantités , et non de ce que j’ai appelé valeurs. Ainsi, les différences dont on parle ne peuvent être prises qu’en retranchant celle de ces quantités qui est intrinsèquement la plus petite, et abstraction faite du signe dont la valeur peut se trouver affectée , de celle qui est intrinsèquement la plus grande ; et par conséquent les différences en question sont toujours ellesmêmes de véritables quantités.

il. Soit pris pour exemple un triangle ABC (fig- *”), sur la base BC duquel soit abaissye de l’angle opposé A une perpendiculaire AD, que je suppose tomber entre les points B et C. Considérons la base B C avec ses deux segmens BD, CD , et concevons que le point C se meuve vers le point B, jusqu’à ce qu’il ait passé le point D; La base BC est donc variable, ainsi que le segment CD , tandis que l’autre segment B D est constant.

Cela posé, prenons pour terme de comparaison la figure primitive, composée du triangle AB.C et de la perpendiculaire AD; et pour système transformé, cette même figure, après que le point C se sera rapproché du point D, sans cependant être arrivé jusqu’à lui. Il est évident qu’alors , tant dans

le S3 r stême primitif que dans le système transformé, on aura toujours BC]>BD; donc leur différence C D sera toujours de celles que j’ai nommées directes ou en sens direct ; et ces quantités elles-mêmes , B C , B D , sont de celles que j’ai nommées quantités en ordre direct.

Prenons ensuite pour système transformé la même figure considérée lorsque le point C a passé au-delà du point D; le système primitif restant le même, il est clair qu’alors on aura BD>BC : donc leur différence C D sera devenue de celles que j’ai appelées inverses ou en sens inverse ; et les quantités B C , BD, sont de celles que j’ai nommées quantités en ordre inverse.

3 2. Lorsqu’on dit de deux quantités, qu’elles sont en ordre direct ou en ordre inverse ; ou bien d’une quantité quelconque, qu’elle est en sens direct ou en sens inverse , c’est par-là même rapporter, au moins implicitement, le système auquel appartiennent ces quantités, à un autre système pris pour terme de comparaison ou pour système primitif, sans qu’il soit nécessaire de l’énoncer expressément,

1 3. J’appellerai en général systèmes corrélatifs tous ceux qu’on peut rapporter à un même système primitif ; c’est-à-dire, tous ceux qu’on peut considérer comme les différens états d’un même systèmevariable qui se transforme par degrés insensibles.

DES- FIGURES DE GÉOMÉTltlE. J Pour que deux systèmes soient conclu tifs y M n’est pas nécessaire qu’ils soient liés entre eux,, c’est-à-dire, qu’ils soient réellement' les diverses transformations d’un même système primitif ; il' suffit qu’ils puissent être considérés comme tels , c’est-à-dire , être ramenés l’un à l’autre-, au moyen d’une mutation que l’on imagineroit s’opérer par degrés insensibles. Lçs quantités qui se correspondent dans les deux systèmes corrélatifs , seront pareillement nommées quantités corrélatives .

1 5. Si deux systèmes corrélatifs de quantités sont! tels , qu’on puisse leur appliquer exactement un même raisonnement , ou une série de raisonnement absolument semblables j je dirai, eu égard à cette même série de raisonnemens , qu’ils sont entre eux en corrélation directe ou directement corrélatifs. Mais si ces raisonnemens cessent d’être littéralement les mêmes , je dirai que ces systèmes n’ont entre eux qu’une corrélation indirecte , ou qu’ils sont entre eux indirectement corrélatifs.

16 » D’où il suit évidemment que si deux systèmes proposés sont en corrélation directe, eu égard, à une série quelconque de raisonnemens , e.tque le résultat de ces raisonnemens soit pour, l’un de cessystèmes une certaine formule qyi lui soit immédiatement applicable y cette même formule sera aussi immédiatement applicable à l’autre système ; c’està-dire, que pour appliquer immédiatement à celui— ci la formule trouvée pour le premier , il n’y aura

d’autre changement à faire que d’y substituer, à la place des valeurs absolues qui y entrent, les valeurs correspondantes de l’autre système , sans aucun changement dans les signes de la formule.

17. Par exemple , dans le système primitif A B CD, déjà considéré (Jig. i M ), je puis faire ce raisonnement :

Le triangle rectangle A BD donne

Xb 3 = BD 3 + XÔ 3 ,

et le triangle A C D donne

Xc 3 =CD J +ÂD 1 .

Otant cette seconde équation de la première, il reste Xb 3 — XC 3 = BD 3 — CD 3 .

De plus , on a

BD — liC — CD.

Substituant cette valeur de B D dans l’équation précédente , on aura

XB 3 — XC 3 =ÏC 3 — a BC . CD.

Il est clair que ce raisonnement est applicable, littéralenlent et dans son entier , au système transformé , tant que le point D est placé entre B et C : donc la formule précédente est immédiatement applicable à tous les cas , tant que C D est en sens direct.

Lorsque C aura passé le point D , la première partie du raisonnement aura encore lieu, mais non la seconde, puisqu’on n’aura plus comme prccédexn-

DES FIGURES DE GEOMETRIE, ïnent C1) = BC — BD, mais au contraire.

CD = BD — B C ; c’est-à-dire , que C D sera devenue inverse. Aussi l’équation finale sera-t-elle pour ce cas

ÂB 3 -ÏC a =BG J + 2BC.CD, laquelle diffère de celle trouvée pour le premier cas par le signe qui affecte le second terme du second membre, ce signe étant — pour le premier cas , et + pour le second.

1 8 . V oyons donc ce qui a Heu en général , d’abord tant qu’il n’entre dans les formules que des quantités directes, et ensuite ce qui arrive lorsqu’on vient à y introduire une ou plusieurs quantités inverses.

Soient M , N , deux quelconques des quantités du système primitif; m, n, les quantités correspondantes du second système. Cela posé, d’après la définition , tant que ces deux systèmes demeureront directement corrélatifs, m , n, joueront, dans les formules de ce second système , le même rôle exactement que leurs corresporidantes M, N, dans le

premier.

Déplus, en supposant M>N, par exemple, si l’on a pareillement m >■ n , ces dernières quantités seront en ordre direct , et leur différence m — n en sens direct ; c’est-à-dire, que si l’on nomme P la différence des deux premières M, N, etp la différence des deux dernières m, n, cette quantité p sera une quantité directe.

Or , puisque M > N et m >» n , nous aurons

P = M — N et p =rn — n, ou M = N + P et m= n + p.

Substituons dans les formules dont nous venons de parler ces valeurs respectives de M et m. Il est clair que ces formules , qui étaient semblables avant la transformation , le seront encore après , puisqu’à la place des quantités correspondantes M , m , qui y jouoient le même rôle , on aura substitué des valeurs N + P , n H- p , qui sont encore de mêmes formes.

Donc, tant qu’on n’introduira dans le calcul que des quantités directes , les formules correspondantes dans le système primitif et dans le système transe formé, resteront semblables entre elles, parce qu’en effet les nouveaux raisonnemens qu’on aura ajoutés aux premiers, c’est-à-dire, à ceux qui avoientfait trouver les formules , auront encore été exactement les mêmes de part et d’autre.

19. Voyons maintenant ce qui arrivera si l’on introduit dans le calcul une quantité inverse.

Supposons donc qu’ayant toujours M>N, on ait au contraire m<C.n ; c’est-à-dire, que ces dernières soient en ordre inverse à l’égard des premières. Leur différence p ne sera donc plus m — n r comme auparavant, mais n — m; c’est-à-dire, qu’elle sera devenue inverse , et qu’on aura pour ce cas, d’une part,

P = M — N, et de l’autre, p — n — m y ou M = N + P et m = n — p.

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. Il

Substituons ces valeurs respectives de M et m dans les formules correspondantes, jusqu’alors semblables pour les deux systèmes ; elles cesseront de l’ètre après cette substitution : car dans l’une on aura mis N + P à la place de M , et dans l’autre n — p à la place de m. Il y aura donc cette différence entre les nouvelles formules , que les valeurs correspondantes P, p, s’y trouveront affectées de signes contraires. Donc , pour passer des formules du système primitif à celles du système transformé, il ne suffira plus , comme auparavant , de substituer dans les premières, aux valeurs absolues qui y entrent, les valeurs correspondantes de l’autre système; il faudra de plus changer le signe de la valeur de la quantité inverse p.

Et comme on peut appliquer le même raisonnement à toutes les autres quantités inverses , il est clair qu’on peut établir ce principe général :

20. Pour rendre les formules d’un système quelconque de quantités , immédiatement applicables à un autre système qui lui soit corrélati f, il faut t i°. établir la corrélation des valeurs absolues , en substituant , pour chacune de celles qui appartiennent au système primitif pris pour terme de comparaison , la valeur absolue qui lui correspond dans Vautre système ,* 2 °. établir la corrélation des signes, en changeant dans les formules le signe de chacune des valeurs dont les quantités se trouvent en sens inverse dans le second système ; et laissant, au contraire , à chacune des autres le

signe qu'a sa correspondante dans le système primitif.

2 1 . Le nouveau signe que recevra ainsi chaque valeur seranommé.s/g7z<? de corrélation de cette valeur; et cette valeur prise collectivement avec son signe de corrélation , sera appelée valeur de corrélation de la quantité que représente la valeur absolue. Ainsi , en supposant que P soit la valeur absolue de l’une quelconque des quantités du système primitif, p la valeur absolue de la quantité correspondante dans le système transformé : si cette dernière quantité est inverse, — sera le signe de corrélation de p r et — p sera la valeur de corrélation de la quantité représentée par p.

22. Puisque, d’après ces définitions, le signe de corrélation d’une valeur quelconque est celui qu’elle doit prendre lorsqu’on veut rendre immédiatement applicables à un système transformé dont elle fait partie , les formules du système primitif, il suit évidemment du principe démontré ci-dessus, que la valeur de toute quantité qui reste directe dans le système transformé , a -t- pour signe de corrélation, et que réciproquement toute quantité du système transformé dont la valeur a + pour signe de corrélation , est directe; que pareillement la valeur de toute quantitéqui devient in versé dans le système transformé , a — pour signe de corrélation ; et que réci proquement toute quantité du système transformé dont la valeur a — pour signe de corrélation , est inverse.

25. Lorsque dans deux systèmes corrélatifs à un même système primitif, il arrive que les valeurs do deux quantités correspondantes ont le même signe de corrélation , nous disons qu’elles sont entre elles en corrélation directe , quand même ce signe de corrélation seroit — , parce que si l’on prenoit, comme on en est toujours le maître , l’un de ces systèmes pour terme de comparaison ou système primitif, le signe de corrélation de l’autre redeviendroit + 5 car les deux quantités cox-respondantes en question sont bien l’une et l’autre inverses à l’égard du système pris actuellement pour terme de comparaison ; mais elles sont en sens direct l’une à l’égard de l’autre.

24. Si deux systèmes corrélatifs sont regardés comme un seul et même système variable dans deux positions différentes ; tel que seroit, par exemple, le système des coordonnées d’une même courbe : les quantités corrélatives étant alors représentées par les mêmes lettres, par exemple, les abscisses par x, et les ordonnées parjp ; le premier objet du principe énoncé ci-dessus ( 20 ) se trouvant rempli , il n’y auroitplus , pour rendre immédiatement applicables à l’un des systèmes les formules trouvées pourl’autre, qu’à remplir le second objet du principe ; c’est-àdire, à établir la corrélation des signes. Donc

25. Pour rendre immédiatement applicables à un système de variables, lorsqu’il est parvenu à une situation quelconque déterminée , les for -

!4 DELÀ CORRÉLATION mules trouvées pour une autre situation du même système , il suffit d’y changer le signe de chacune des variables , qui , par la mutation du système , sont devenues inverses.

26. Mais comme il est indifférent pour le résultat de changer le signe d’une valeur quelconque, au commencement, au milieu ou à la fin, on pourra, comme c’est l’usage , pour l’uniformité et la simplicité des calculs , n’employer, pour le système considéré dans toutes les positions possibles , que les seules formules du système pris pour terme de comparaison , pourvu que dans les applications qui en seront faites, on change le signe de chacune des valeurs des quantités qui, dans chaque cas particulier , seront en sens inverse.

2 7 . Lorsque , pour rendre les formules du système primitif, immédiatement applicables au système transformé , on a opéré le changement des signes , les formules ainsi changées deviennent évidemment pour le système transforme lui-même , ce qu’elles étoient avant le changement pour le système primitif ; c’est-à-dire , explicites , par rapport à ce nouveau système. Ainsi , en général ,

Dans les formules du système primitif, les signes et — n’indiquent que des additions et soustractions exécutables sur les quantités absolues dont ils affectent les valeurs.

2°. Il n’y a aucun changement de signes à opérer, dans les formules du système primitif , pour le»

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l5 remire immédiatement applicables à tous ceux qui sont avec lui en corrélation directe.

5 °. Pour que les formules du système primitif deviennent immédiatement applicables à un autre système quelconque, qui lui soit indirectement corrélatif, il faut changer dans ces formules, le signe de chacune des valeurs , appartenantes aux quantités qui deviennent inverses dans le système corrélatif.

28. On voit par-là qu’ayant des formules immédiatement applicables à un système quelconque de quantités, si l’on vient à changer le signe d’une ou plusieurs des valeurs qui y entrent, elles cesseront d’être immédiatement applicables au même système; que le nouveau système pour lequel elles peuvent devenir explicites , est en corrélation indirecte avec le premier; et que, pour le trouver, il faut , parmi tous les systèmes corrélatifs possibles , chercher celui auquel satisfont les changemens opérés dans les signes ; c’est-à-dire , celui auquel les formules , ainsi modifiées , pourront être immédiatement applicables.

29. Mais il pourroit se faire qu’aucun système transformé ne pût satisfaire au changement opéré dans les signes : dans ce cas , le nouveau système ne seroit ni directement ni indirectement corrélatif avec le système primitif : néanmoins il conserveroit avec lui une sorte de coi’rélation que je nomme cornplcxe ; et de-là naît la notion des imaginaires, dont je remets à parler à la fi u de cet écrit.

l6 DE LA CORRÉLATION -

5o. Puisque pour rendre les formules du système primitif immédiatement applicables à un système transformé, où il entre une quantité inverse, il est nécessaire de changer le signe de sa valeur, il suit que , réciproquement , si prenant pour inconnue dans ces formules, cette quantité inverse, on tire sa valeur ; ce qu’on obtiendra , en résolvant l’équation , ne sera pas la valeur même cherchée, mais cette même valeur affectée du signe négatifj car n’ayant pas changé le signe de cette valeur dans les formules primitives, il faut absolument le changer dans le résultat pour qu’il soit exact, c’est-à-dire, immédiatement applicable au système transformé ( 26 ).

3l. En supposant donc qu’on ignorât d’abord si la quantité cherchée étoit directe ou inverse , on conclura qu’elle est nécessairement de cette dernière classe , puisque sa valeur est négative ; c’est-à-dire, que le système auquel elle appartient n’a, avec le système primitif, qu’une corrélation indirecte , et que, pour connoître ce nouveau système, il faut, parmi tous les systèmes corrélatifs possibles, chercher celui auquel pourront satisfaire immédiatement les formules du système primitif, après qu’on y aura changé le signe de la quantité reconnue inverse.

52. Il suit de-là que si en résolvant un problème^ on trouvoit pour l’inconnue une valeur négative , ce seroit une preuve que ce problème n’auroit pas

été

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 17 été mis exactement en équation, parce qu’on auroit supposé le système autre qu’il n’est réellement; c’est-à-dire, qu’on auroit pris , au lieu du véritable système sur lequel le raisonnement doit être établi , un autre système qui n’a avec le premier qu’une corrélation indirecte ; que , pour rectifier ces équations et trouver le véritable système auquel se rapporte la question, il faut, dans toutes celles par lesquelles on est parvenu au résultat trouvé, et dans ce résultat lui-même , changer le signe de l’inconnue, et voir quel est le nouveau système auquel ces équations et ce résultat deviennent immédiatement applicables par ce changement. Ce nouveau système et les équations ainsi rectifiées, donneront la solution du problème proposé.

33. Soit proposé, par exemple, de trouver le segment CD dans le triangle ABC {fi g. l r '),en supposant les trois côtés connus , et tels qu’on ait AC = BC = 7 AB.

Comme nous ignorons encore si le point C doit se trouver placé entre B et D , ou si c’est le point D qui doit se trouver entre B et C , établissons d’abord le calcul dans cette dernière hypothèse.

Nous aurons ( 17 )