TÊ 3 — TC 3 = BD J -CD

De plus , puisque nous raisonnons dans l’hypothèse que le point D est placé entre B et C, nous aurons

33D — B ÏT — CTT.

Donc UD j =BC 2 +CD 3 ~ 2 BC.CD;

substituant dans l’équation précédente , on aura

II j -AC 1 =:BC j -2BC.CD,

or , à cause de AC = BC = £AB, on aura , en réduisant ,

CD = -^ÂB;

c’est-à-dire, que le calcul donne pour l’inconnue

C D, une valeur négative. Donc le problème n’a pas été mis exactement en équation , parce qu’on a établi le raisonnement sur un système autre qu’il n’est réellement. Il faut donc rectifier les équations en changeant dans celles qui nous ont conduits au résultat trouvé, et dans ce résultat , le signe de C D , et voir à quel nouveau système ces équations et ce résultat se trouveront être immédiatement applicables.

Or , par ce changement , l’équation qui étoit

BD=BC-CD, devient BD=BC + Cl), laquelle ne peut avoir lieu sans que le point C ne se trouve placé entre B et D. Donc le système auquel satisfait le changement de signe de C D, c’est-à-dire, le véritable système sur lequel on devoit établir le raisonnement, diffère de celui que nous avons choisi, en ce que le point cherché C est entre B et D , au lieu d’être, comme nous l’avions supposé, au-delà du point D. Changeant donc également le signe de CD dans le résultat ou l’équation finale

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 19 CD=— ^AB que nous avions trouvée , on aura

CD = nAB.

Donc la véritable valeur de l’inconnue C D est ^ A B, et le véritable système sur lequel on doit établir le raisonnement pour la trouver , est celui des droites AB, AC, BC, BD, CD, combinées de manière que le point C soit placé entre B et D. Et en effet , si l’on recommence le calcul dans cette dernière hypothèse, on trouvera pour C D la valeur positive + 7 ; A B.

34. Si l’équation avoit plusieurs racines , les unes positives , les autres négatives , les premières appartiendraient explicitement au système de quantités sur lequel les raisonnemens auraient été faits ; mais les racines négatives ne lui appartiendraient qu’implicitement ; elles seraient explicites seulement pour d’autres systèmes indirectement corrélatifs avec le premier, et qu’on trouverait en cherchant, pour chacune de ces racines , quel est, parmi tous les systèmes corrélatifs possibles , celui auquel satisferait cette racine , après en avoir changé le signe.

35. Supposons , par exemple , que cette équation se rapporte à une courbe dont l’ordonnée soit représentée par y, et que , pour une certaine valeur déterminée de l’abscisse , il y ait parmi celles dey une valeur négative.

Il suit de ce que nous venons de dire , que cette racine négative ne peut s’appliquer immédiatement

DE LA CORRÉLATION au système sur lequel le raisonnement a été établi et l’équation trouvée, mais à un autre auquel devra satisfaire immédiatement la même équation, si l’on y substitue préalablement — y à la place dey.

Mais je dis que ce nouveau système est précisément la branche ou portion de courbe, qui est de l’autre côté de l’axe , par rapport au système primitif ; c’est-à-dire , par rapport à la portion de courbe •sur les points de laquelle le raisonnement a été établi et l’équation trouvée.

En effet, il est d’abord évident que cette autre portion de courbe forme un système corrélatif avec la première : mais je dis que cette corrélation ne peut être qu’indirecte , eu égard à la série des raisonnemens qui ont ete faits pour trouver 1 équation ÿ car si cette corrélation étoit directe, la formule du premier système seroit applicable , sans aucun changement de signes, au second ( i5) , ce qui est impossible, puisque ces raisonnemens ont été établis dans l’hypothèse que l’ordonnée étoit du premier côté de l’axe : or, cela ne peut avoir lieu sans que y soit positive. L’autre branche de la courbe forme donc un système indirectement corrélatif avec le premier. Mais comme toutes les quantités qui composent ces deux systèmes sont les mêmes , à l’exception de l’ordonnée qu’on ne connoît pas encore; il suit que c’est cette ordonnée seule qui devient inverse , et que par conséquent c’est ce nouveau système auquel satisfait l’équation trouvée, lorsqu’on y substitue — y à la place dey.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. ?t

56. Il se présente une autre question importante à faire sur la comparaison de deux systèmes corrélatifs , ayant chacun sa formule propre ou explicite : c’est d’en trouver une troisième qui les renferme l’une et l’autre , ou qui soit immédiatement applicable aux deux systèmes. C’est ce qu’on pourra faire en rapportant ces deux formules à leur origine commune, c’est-à-dire, en éliminant de ces formules particulières les quantités respectivement inverses qui les rendent disparates , et remettant à leurs places les quantités directes dont elles sont les différences.

En effet , puisque la quantité inverse p ( 18 ) n’a été introduite dans le système que par la substitution de faite de n — p à la place de m, il est clair qu’on reviendra au premier ordre de choses, c’est-à-dire , à la formule qui ne contenoit pas de quantités inverses , et qui par conséquent étoit immédiatement applicable aux deux systèmes, jusqu’alors directement corrélatifs entre eux , en remettant n - — m à la place de p ; et si l’on fait la même chose pour toutes les autres quantités respectivement inverses entre les deux systèmes , la formule deviendra immédiatement applicable à l’autre, sans aucun changement de signes, et sera par conséquent la formule générale cherchée,

^ 7 -Par exemple, dans le triangle ÀBCD cité plus haut , on a pour le système primitif, c’est-àdire, lorsque D tombe entre B et C,

Âü 3 — ÂTc 3 = ïTc 3 — 2 bTc . c"n *

et dans le système transformé, c’est-à-dire, lorsque

C tombe entre B et D ,

ÂB'-IC^BC 1 + îBC - CD.

Ces deux formules ne se ressemblent point, parce que , dans le dernier cas , C D est inverse , attendu qu’on yaCD = BD — BC, tandis que , dans le premier, on a au contraire CD = BC — BD.

Mais si l’on veut trouver une formule immédiatement applicable aux deux systèmes, il n’y a qu’à éliminer la quantité inverse C D , en substituant sa valeur en quantités directes , laquelle est B D — B C , ce qui donnera