TROISIÈME SECTION

Des formes dominantes des cristaux .

§.33. Nous entendons ici forme dominante d’un cristal, le solide géométrique simple auquel on peut le rapporter en ne considérant d’abord que l’ensemble de ses faces les plus étendues, et faisant abstraction (momentanément) des facettes plus petites qui les modifient, et que nous appellerons en général les modifications de la forme dominante. Ainsi nous nous proposons dans cette section de décrire toutes les formes dominantes auxquelles on peut rapporter les cristaux observés jusqu’ici.

Sans doute cette manière de décrire les cristaux par leur forme dominante est entièrement artificielle ; mais elle nousparoît être-la plus simple que l’on puisse employer. Si on vouloit décrire à la fois toutes les faces qui composent un cristal , ilseroit presque toujours très- difficile d’être compris. On verra d’ailleurs que cette méthode nous conduit à des résultats qui représentent très-bien les lois symétriques que la nature paroît avoir suivies dans la disposition des faces des cristaux. (Voyez la 5.® section, §. 70, etc.)

Il doit résulter nécessairement de cette manière d’envisager les cristaux, en ne considérant que leurs plus grandes faces, que le même solide composé des mêmes faces , en même nombre et en même position relative, pourroit se trouver, dans différens échantillons, rapporté à deux formes dominantes différentes , suivant que telles ou telles faces auroient pris plus d’accroissement que les autres ; elle peut donc conduire quelquefois à un double emploi ou à une double description d’une même forme. Ainsi, par exemple, le cristal représenté par la fig. 7 7 seroit rapporté au cube ; seulement , pour indiquer les petites facettes triangulaires 0,0,... qui sont sur ses angles , on ajouteroit, suivant les expressions que nous adopterons dans la quatrième section , qu’il est tronqué sur chacun de ses huit angles : mais si , dans un autre cristal , ces facettes 0, 0, ... sont très-étendues et beaucoup plus que les faces c, c, ...du cube , le cristal prendra la forme représentée par la figure 73, qui

Formés dominante A 4^

seroit rapportée à Y octaèdre régulier , en ajoutant également, tronqué sur chacun de ses six angles.

Néanmoins nous pensons qu’il est extrêmement utile, peutêtre même indispensable, d’adopter cette méthode de décrire les cristaux d’après leurs formes dominantes: d’abord, parce qu’il est plus naturel et plus clair de commencer par indiquer le solide géométrique dont la forme paroît dominer dans le cristal, ou auquel le cristal considéré dans son ensemble ressemble le plus, et, en outre, parce que ces proportions relatives des différentes faces , quoique sujettes à varier quelquefois, ne paroissent pas être le résultat du hasard; que par conséquent il est important de les fixer, au moins approximativement. Ainsi l’exemple que nous venons de citer, étant pris dans une forme limite (voy. §. 1 8 ) , est, à la vérité, commun à plusieurs espèces minérales ; mais les deux extrêmes ne se rencontrent pas dans toutes. Le fer sulfuré cristallise en cube tronqué sur ses angles , et jamais ou presque jamais en octaèdre régulier tronqué sur ses angles : le contraire a lieu dans le cuivre oxydulé. Et, enfin , ce qui lève toute difficulté, c’est que ces doubles descriptions d’un solide composé des mêmes faces, en mêmes nombre et position, qui, d’ailleurs, ne sont pas très - fréquentes , peuvent toujours être ramenées à une seule d’entre elles , en faisant remarquer leur correspondance , et mieux encore à une seule forme primitive , d’après la théorie de M. Haüy, comme on le verra dans la 7.® section. Par conséquent le double emploi ne peut être que momentané.

Il y a quelques cristaux assez composés, tels, par exemple, que celui que représente la figure 85 , dans lesquels on peut, au premier abord , être embarrassé pour déterminer la forme dominante , parce que, leurs faces étant sensiblement égales , il paroît difficile de trouver celle qu’il convient le mieux de choisir pour constituer cette forme dominante. Mais dans ces cas, qui sont d’ailleurs assez rares, on a toujours des moyens de se guider d’après plusieurs analogies tirées des autres cristaux du même minéral.

§. 34. Les formes dominantes des cristaux peuvent être d’abord rapportées, en général, à neuf polyèdres géométriques principaux, qui sont le tétraèdre , le parallélipipède , Yoctaedre,

le prisme hexagonal, le dodécaèdre rhomboïdal, le dodécaèdre pentagonal , le dodécaèdre triangulaire, Yicosaèdre triangulaire , et le trapézoèdre.

Nous allons décrire ces formes générales, et nous ferons connoître les variations dont plusieurs sont susceptibles. Si on les considéroit géométriquement, ces variations dépendroient également de leurs angles et de leurs dimensions : mais on sent bien que dans les cristaux les rapports de dimension réelle ne sont nullement fixes. Deux cristaux d’une même substance , composés du même nombre de plans en même position relative , peuvent différer beaucoup dans les rapports entre leurs dimensions. Un prisme hexagonal d’éméraude peut être très-alongé, un autre très-court , etc. Les dimensions des formes dominantes des cristaux ne peuvent donc nous servir à les définir; nous ne pouvons pour cela considérer que leurs angles, qui , comme on l’a vu (§. 5), sont constans.

Mais les angles, malgré leur constance, ne nous étant connus qu’approximativement par nos goniomètres , c’est bien moins sur leurs valeurs absolues que nous baserons ces distinctions de diverses variétés de formes , que sur les identités ou différences que l’on remarque entre les divers angles d’un même cristal.

Outre les angles , nous pouvons encore déterminer dans les cristaux leurs clivages , et par conséquent la position relative des différentes faces par rapport aux différens sens de clivage. Nous devons donc aussi faire concourir ce genre d’observation à la détermination des formes dominantes; il nous conduira à considérer différentes faces comme étant identiques ou différentes dans un système cristallin , suivant qu’elles sont semblablement ou différemment placées par rapport aux plans de clivage. Ainsi, si deux faces latérales, d’une forme dominante, en parallélipipède ou prisme quadrangulaire , sont semblablement placées par rapport aux clivages (comme, par exemple , si chacune d’elles est parallèle à un plan de clivage également facile) , nous en conclurons que ces deux faces sont identiques dans le système cristallin , ou qu’elles y remplissent, pour ainsi dire, le même rôle; et, pour exprimer cette identité , nous distinguerons le prisme par une indication

Formes dominantes.

géométrique analogue, en disant que sa base est isocèle : dans le cas contraire, c’est-à-dire, si deux faces d’un prisme ne sont pas semblablement placées par rapport aux plans de clivage , ou si elles correspondent à des clivages de netteté différente , nous dirons que le prisme est à base oblongue .

Cette même observation des clivages nous servira aussi à vérifier les identités qui nous auront paru exister entre certains angles d’après le goniomètre. Ainsi, pour prononcer qu’un cristal en parallélipipède est un rhomboèdre , il faut, comme on le verra plus bas (§§. 42 et 43) , avoir observé que trois faces, se réunissant en un angle solide triple, font entre elles des angles égaux : mais nous n’admettrons cette égalité que lorsqu’elle se trouvera confirmée par une identité de position des clivages par rapport à chaque face, comme, par exemple , s’il y a un clivage également facile parallèlement à chacune d’elles.

Cependant, comme il peut y avoir de l’incertitude dans la détermination de la netteté égale ou différente des clivages, il est encore nécessaire que les résultats de ce genre se trouvent confirmés par des rapports entièrement semblables dans la disposition symétrique des modifications des formes dominantes, d’après les principes qui seront exposés dans la 5.® section. Cela est d’autant plus nécessaire qu’il y a des cristaux où, comme on l’a vu (§. 9), les clivages sont très-indistincts et même nuis.

Ainsi la distinction que nous allons faire de plusieurs variétés très-importantes dans la plupart des neuf formes dominantes que nous venons d’indiquer, sera toujours fondée, à la fois, sur l’observation des angles, sur celle des clivages, et sur la disposition symétrique des modifications. Nous donnerons , à la fin de cette section, un résumé général de toutes les variétés de formes dominantes que nous aurons été conduits à distinguer.

Les dénominations géométriques que nous emploirons pour désigner ces variétés , entraînent des idées , au moins générales , de rapports entre les dimensions , quoique ces dimensions nous soient inconnues; et on a pu le remarquer ci-dessus, lorsque nous avons dit prisme quadr angulaire , isocèle, ou à base oblon gue. D’après tout ce qui précède, ces dénominations ne doi-

vent pas être prises dans un sens absolu; ce ne sont, pour ainsi dire , que des comparaisons que l'on établit entre un cristal et un solide géométrique déterminé qu’on peut considérer comme en étant le type , afin de donner en peu de mots une idée exacte de toute la symétrie de la structure du cristal. On verra, par tout ce qui va suivre dans cette seotion et dans la 5.e, combien ces dénominations sont utiles.1

§. 35. Tétraèdre. On appelle ainsi en général un solide formé par la réunion de quatre plans triangulaires. On ne connoît, dans les formes dominantes des cristaux, qu’une seule forme de ce genre ; c’est le tétraèdre régulier de la géométrie, dont toutes les faces sont également inclinées entre elles sous l’angle dièdre de 70° 5i' 44", et qui, par conséquent, est composé de 4 triangles équilatéraux. Il est représenté, figure 9, en projection verticale et horizontale. Cette forme dominante appartient aux cristaux de cuivre gris et à quelques-uns de ceux du zinc sulfuré. Dans ce dernier, il y a douze sens de clivages, également faciles et parallèles deux à deux , qui sont disposés trois à trois sur chaque angle (comme on le voit fig. 69), en faisant un angle égal avec la face adjacente, identité qui confirme l’identité des quatre angles. Dans le cuivre gris il n’y a point de clivage

1 On trouvera un grand rapport entre les bases sur lesquelles nous établissons ces formes dominantes des cristaux, et celles dont M. Haiiy déduit les rapports entre les dimensions de la forme primitive qu’il a considérée dans chaque espèce minérale pour en faire dériver toutes les autres formes de cette même espèce. En effet , la forme primitive d’un minéral est toujours , ou une de ses formes dominantes existantes, ou une autre forme qui peut être le résultat de certaines modifications de ses formes dominantes existantes, d’après la symétrie ordinaire qu’on observe dans ces modifications , etc. , comme on le verra dans la j.e section. Nous avons pensé qu’il convenoit mieux de déterminer ainsi d’avance les élémens des différentes formes de* cristaux, uniquement d’après l’observation de la nature, et abstraction faite de toute considération théorique. Cette description des formes dominantes, et le développement de la symétrie observée dans leurs modifications dans la 5.e section , serviront comme d’introduction à l’exposition de la théorie de M. Haiiy , et il nous a semblé qu’elles dévoient en rendre l’intelligence plus facile.

Formes dominantes.

sensible ; mais dans les tétraèdres de cette substance la disposition des modifications confirme entièrement la régularité rigoureuse que nous avons donnée à cette forme , et pat conséquent l’angle dièdre exact que nous avons indiqué.

Il résulte de la définition seule du tétraèdre régulier, que toutes ses faces sont également distantes d’un point intérieur, qu’on peut regarder comme le centre du solide, et qu’il en est de même de toutes ses arêtes et de tous ses angles.

§. 36. Parallélipipède. On entend par ce mot, en géométrie, un solide composé de six faces parallèles deux à deux, et qui sont des parallélogrammes: ou un prisme quadrangulaire ayant pour base des parallélogrammes. Cette dernière dénomination suppose que l’on a choisi deux des faces.pour bases. Dans un parallélipipède, en général, considéré géométriquement , on peut prendre pour bases indifféremment telles faces que l’on veut; mais il n’en est pas de même dans les cristaux dont la forme dominante peut être rapportée au parallélipipède ou au prisme quadrangulaire, excepté dans deux cas très-remarquables que nous ferons connoître ( le cube , §. 37 , 1 .°, et le rhom boèdre,§. 42 et 43), et qui sont assez fréquens. Les modifications que subissent les formes dominantes de ce genre, sont constamment ordonnées, soit toutes ensembles, soit par groupes, d’une manière semblable par rapport à une ligne passant par le centre de deux faces opposées , et parallèle aux arêtes d’intersection des quatre autres faces entre elles : cette ligne doit donc être prise pour Vaxe du prisme , ces quatre faces pour les faces latérales, et les deux premières pour les bases.

Il est donc plus convenable de rejeter ici la dénomination de parallélipipède r et d’adopter celle de prisme quadrangulaire : pour plus d’exactitude nous devrions ajouter, à base parallélogrammique ; mais, comme nous avons dit ci-dessus (§* 2), que les cristaux avoient en général leurs faces parallèles deux à deux , et que les exceptions que nous avons mentionnées n’ont jamais lieu dans des cristaux en prismes quadrangu laires , nous n’exprimerons pas, en parlant de ces prismes, cette condition des bases, et nous dirons simplement prismes quadrangulaires.

Il arrive assez souvent que les bases ne sont pas visibles*, étant entièrement remplacées par les facettes qui modifient

la forme. Néanmoins, les quatre faces latérales suffisant pour constituer un prisme quadrangulaire , nous considérerons ces cristaux comme tels.

Les figures i o à 1 8 représentent différens cristaux en prismes quadr angulaires. Il y a, en effet, dans cette espèce de formes dominantes, plusieurs variétés qu’il est important de définir.

On conçoit d’abord que ces prismes sont différens, suivant que les angles dièdres latéraux sont , ou tous égaux et par conséquent de go° ( prisme quadrangulaire rectangle, ou prisme rectangulaire , fig. 1 o , 1 1 et 1 2 ) , ou inégaux et de deux espèces , l’un aigu , et l’autre obtus supplément du premier ( prisme quadrangulaire obliquangle , ou prisme rhomboïdal , fig. i3, 14, 16 , 17 et 1 8 ). x

Ensuite , dans chacun de ces prismes quadrangulaires la base qui le termine peut être perpendiculaire à l’axe et par conséquent aux arêtes ( prisme rectangulaire droit, fig. 10, 11, 12; prisme rhomboïdal droit , fig. i3 ), ou inclinée à l’axe et aux arêtes ( prisme rectangulaire oblique , prisme rhomboïdal oblique , OU à base oblique à l’axe; fig. 14 5 1 5 , 16 , 17 et 18).

Lorsque les bases n’existent pas sur le cristal observé , comme on a dit ci-dessus que cela avoit lieu assez souvent, on ne peut pas , au moins d’abord , déterminer ces dernières conditions dépendantes de la position de la base; mais l’observation des modifications sert très-bien, par analogie, à les déterminer. Cependant, dans ce que nous dirons de ces prismes obliques, nous ne nous occuperons, autant que pos-^ sible , que de ceux dont la base est visible.

§. 37. Dans le prisme rectangulaire droit tous les angles dièdres sont de 90°. Il seinbleroit donc que ces prismes devroient être nécessairement tous d’une même espèce; mais, si l’on observe les clivages, on reconnoit bientôt qu’il peut se présenter trois cas très-différens. Pour les distinguer , il faut examiner la position des trois faces (deux faces latérales et une base) par rapport aux différens plans de clivages : pour plus de simplicité nous supposerons qu’ils sont au nombre de trois et parallèles aux trois faces; le raisonnement seroit le même, si le nombre des clivages et leur position étoient différens. 1

1 Pour le fairfe concevoir, on peut citer pour exemple des cristaux

Formes dominantes.

i»° Si les trois sens de clivage sont tous également nets et distincts, comme dans le plomb sulfuré, il est évident que chacune des trois faces du prisme est alors dans le même rapport avec le clivage qui lui correspond : toutes sont donc » identiques dans le cristal ; toutes peuvent être regardées comme étant à égale distance d’un point central , comme dans le solide régulier que les géomètres appellent cube . Ce prisme quadrangulaire droit doit donc , dans ce cas , être appelé cube ( fig. 10).

Si, dans un cube, on veut considérer un axe (voy. §. 3), on reconnoît qu’il en a quatre, qui sont les lignes joignant deux angles solides opposés, telles que as, en, etc. (fig. îo). Il n’y a aucune raison pour adopter plutôt l’un que l’autre.

. 2.° Si deux sens de clivage sont également nets et distincts, et le troisième plus ou moins distinct que les premiers, ou même nul, comme dans l’idocrase, les deux faces, et par conséquent les quatre qui correspondent aux deux premiers sous des clivages identiques , sont semblables et ordonnées semblablement par rapport à la ligne qui joint les centres des deux autres ; cette ligne doit donc être considérée comme l’axe , et alors , pour représenter l’identité de position des faces latérales par rapport à cet axe$ on doit considérer la base, c’est-à-dire, l’autre face comme carrée : le solide peut donc être désigné sous le nom de prisme rectangulaire droit à base carrée , ou prisme droit à base carrée (fig. 1 1).

Si deux clivages, quoique parallèles à l’axe, n’étoient pas parallèles aux faces, il faudroit , pour que le cristal pût toujours être rapporté au prisme droit à base carrée, que

dont la forme dominante est rapportée au cube. Le plomb sulfuré cubique présente un clivage également net parallèlement à toutes ses faces : il n'en est pas de même dans la chaux lluatée cubique ; mais on y observe quatre clivages également faciles , parallèles à des plans passant par trois diagonales de trois faces adjacentes à un même angle solide, ou trouquant cet angle solide. Les facettes triangulaires sur les angles du cube (fig. 77) représentent ces plans de clivage. Chaque face se trouve ainsi entourée sur ses angles par quatre clivages également nets et également inclinés sur elle. Toutes sont donc dans une position identique par rapport aux clivages : le solide peut donc encore êtr® représenté par un cube.

chaque face latérale fût également placée par rapport aux deux plans de clivages latéraux , et que ceux-ci , par conséquent, fussent perpendiculaires entre eux.

3.° Si les trois sens de clivages , toujours supposés parallèles aux faces, sont différemment distincts, comme dans le péridot, alors chacune dés trois faces du prisme, considérée avec le clivage qui lui correspond , peut être regardée comme différente des autres : ce que l’on exprime très-bien en considérant le prisme comme un prisme rectangulaire droit à base rectangle , ou prisme droit à base rectangle (fig. 12).

On doit encore rapporter la forme à ce prisme, si deux sens de clivage parallèles à l’axe ne sont pas parallèles aux faces, lorsqu’ils ne sont pas perpendiculaires entre eux.

On sent bien , comme on l’a déjà dit, que ces désignations de base carrée et de base rectangle 11e sont pas absolues, et qu’elles ne sont adoptées ici que pour indiquer brièvement les rapports qui existent entre les différentes faces et les clivages, et aussi entré elles et les différentes modifications, lesquelles, comme on le verra, confirment toujours cette idée géométrique de la forme dominante par des dispositions symétriques analogues. (Voy. la fin du 34.)

Mais, en disant ainsi qu’une base est rectangle , c’est-à-dire, un carré oblong ou à côtés inégaux , il reste à déterminer quel est le côté le plus long. Nous ne pouvons avoir à cet égard que des conjectures probables : en général, la face qui correspond au clivage le plus distinct, est regardée comme la plus petite, et celle qui correspond au clivage le moins distinct, comme la plus grande , parce qu’il est naturel de supposer qu’une adhérence plus forte est produite par une surface plus grande, et réciproquement.1

Si les clivages parallèles à l’axe sont inclinés aux faces latérales, et non perpendiculaires entre eux, la face du prisme qui correspond à l’angle obtus que les clivages font entre

1 On verra dans la 7.® section (§. 1 1 1 ), que M. Haiiy est parvenu, au moyen de sa théorie, à déterminer approximativement les valeurs relatives des dimensions de ses formes primitives , en général, et par conséquent de celles qui se rapportent au prisme droit à base rectangle dont il est ici question.

Formes dominantes. 55

tux , est regardée comme plus grande que celle qui correspond à leur angle aigu.

On voit que ces distinctions de diverses variétés de prismes rectangulaires droits ne sont fondées que sur l’observation des clivages et sur leurs rapports avec les faces du prisme; aussi, quand on n’a pas pu les observer suffisamment , on doit décrire le cristal en général comme un prisme rectangulaire droit, en se bornant au résultat de la mesure des angles.

§. 58. Dans les prismes rhomboïdaux droits , si l’on veut observer les clivages, que nous supposerons encore ici parallèles aux faces, comme dans l’article précédent, on n’est pas conduit à des distinctions aussi nombreuses. D’abord, il est évident que la face qui est perpendiculaire aux deux autres, est seule de son espèce, et doit être la base du prisme; et, en effet, elle est toujours placée, par rapport aux plans de clivage quelconques, différemment des autres. Il n’y a donc que deux cas qui peuvent se présenter : celui où les deux faces latérales (celles qui ne sont pas perpendiculaires entre elles) présentent des clivages identiques, et celui où elles présentent des clivages différens. Dans le premier cas , on peut considérer le solide comme un prisme rhomboïdal droit à base isocèle; dans le dernier, qui est assez rare et qui appartient à l’épidote, la forme dominante peut être distinguée sous le nom de prisme rhomboïdal droit à base oblongue.

Il faut appliquer ici l’observation faite à la fin de l’article précédent sur ces désignations de rapports entre les dimensions de la base.

§. 3g. Le prisme rectangulaire oblique ne diffère du prisme rectangulaire droit , et le prisme rhomhoïdal oblique du prisme rhomboïdal droit , qu’en ce que la base ne fait pas un angle droit avec l’axe. Nous les considérerons ici ensemble sous le nom général de prisme quadr angulaire oblique.

La base oblique d’un prisme , quelle que soit son inclinaison , peut êrtre disposée sur le prisme de plusieurs manières différentes, qu’il est. essentiel d’indiquer, parce que, comme on le verra par la suite , elles donnent- au prisme des propriétés symétriques différentes.

Pour mieux faire juger de ces différentes positions d’une base oblique, on a tracé, vers le milieu de chaque prisme,,

dans les figures 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 et 1 8 , un plan xy v z , qui est une coupe perpendiculaire aux arêtes ou à l’axe. La projection horizontale qui est au bas de la figure , représente ce plan suivant sa véritable grandeur. On conçoit que les rapports de longueur entre les parties supérieures ax , ez, iy, ov , des arêtes latérales au-dessus du plan horizontal xyvz , peuvent servir à faire reconnoître les différentes positions de la base que nous aurons indiquée.

En considérant géométriquement et d’une manière générale cette position oblique de la base , il se présente beaucoup de cas différens; mais nous nous bornerons à ceux qui ont été observés dans les cristaux et qui se réduisent à trois , auxquels nous en ajouterons ensuite un quatrième, lequel donne naissance à un solide d’un genre très- différent , qui mérite d’être considéré à part.

i.° La base oblique peut être disposée de manière qu’elle ne fasse avec aucune des faces latérales un angle égal à celui qu* elle forme avec l’axe , et que les angles qu’elle forme avec deux faces adjacentes soient différens.

Ce genre de prisme oblique est représenté figure 14; la projection verticale est entièrement droite, en sorte que la coupe transversale xyvz n’y est représentée que par une ligne. On voit que, dans le cas dont nous parlons, les portions supérieures des quatre arêtes latérales du prisme au-dessus du plan xyvz sont toutes inégales, comme il seroit facile de démontrer que cela doit être.

Cette forme dominante appartient au cuivre sulfaté. L 'axinite en présente une semblable. On peut l’indiquer sous le nom de prisme qu adr angulaire , à base oblique non symétrique.

§, 40. 2.0 La position de la base peut être telle qu’elle

forme avec deux faces latérales parallèles opposées , a e r m , et i 0 s n ( fig. 1 5 ) , deux angles obtus et aigus , égaux ci ceux qu’elle forme avec l’axe , ou, ce qui est la même chose, avec les arêtes. On reconnoît cette position dans là figure par l’égalité des parties supérieures des arêtes adjacentes deux à deux, ax = ez, iy = ov. Dans le ca$ particulier que représente la figure et qui appartient au feldspath, la coupe xyvz du prisme est rectangulaire ; alors la face e r s o et sa parallèle sont perpendiculaires à la base : mais cela n’auroit pas

Formes dominantes .

lieu si la coupe n’eût pas été rectangulaire. Nous indiquerons cette forme sous le nom de prisme quadrangulaire , à base oblique, reposant sur une face latérale.1 2

§. 41. 3.° Enfin, la base oblique d’un prisme quadrangulaire (fig. 16) peut être placée de manière qu’elle forme un angle égal avec deux faces adjacentes , telles que a e m r, et eors. La figure représentant un prisme isocèle , comme cela a lieu ordinairement, on reconnoît l’existence de cette condition de la base par l’égalité entre les parties ax et o v de deux arêtes opposées au-dessus de la coupe perpendiculaire xyvz.

Dans ce cas l’inclinaison de la base à l’axe est égale, en général, à l’angle que l’arête e r fait avec une ligne e i, qui sépareroit en deux parties égales l’angle e de la base; ou à l’angle que la base fait avec un plan amso, qui partageroit l’angle a du prisme en deux parties égales ; ou , enfin , ce qui est la même chose , à l’angle de la base avec un plan appliqué sur l’arête er, et faisant un angle égal avec chacune des deux faces latérales adjacentes (plan tangent à cette arête ; voyez §. 66).

Dans le cas particulier représenté par la figure, et qui appartient au pyroxène , le prisme étant isocèle , le plan amso est un plan diagonal du prisme, et la ligne e i est une diagonale de la base.

Nous indiquerons cette forme dominante sous le nom de prisme quadrangulaire , à base oblique reposant sur une arête. a Si le prisme est obliquangle , comme cela a lieu dans la figure , il faut indiquer si la base repose sur une arête obtuse, ou une trête aigue.

1 Nous avons imaginé cette expression reposant sur une face latérale, parce qu’en effet la base est avec cette face latérale dans le même rapport qu’un toit avec le mur sur lequel il est appuyé ou sur lequel il repose. Cette comparaison nous a paru plus exacte que toute autre indication également abrégée. Nous ne nous dissimulons pas que cette expression peut ne pas être approuvée; mais, la géométrie n’en ayant aucune consacrée pour l’endre cette disposition, nous avons cru pouvoir nous servir provisoirement de celle-ci, n’ayant pu, ni par nous-mêmes, ni par le secours de différentes personnes que nous avons consultées, en imaginer une meilleure , à moins d’adoptev une phrase.

2 Voyez, la note précédente.

§. l\2. Mais cette position d’une base oblique reposant sur une arête peut donner lieu à un cas particulier très-reinarquable , que nous allons faire connoître.

On conçoit que ces angles égaux de la base avec deux faces latérales adjacentes, sont essentiellement dépendans de celui qu’elle forme avec l’axe dans un rapport trigonométrique constant; que, par conséquent, ils peuvent, comme cet angle, varier à l’infini : d’après cela, il peut arriver que ces deux angles égaux de la base avec deux faces latérales adjacentes soient égaux à celui que ces deux mêmes faces font entre elles , et cette limite, qui est représentée par les figures 17 et 18, où la base oblique repose sur l’arête a m, donne au solide, comme on va le voir, des propriétés symétriques particulières, qui déterminent à 11e plus le considérer comme un prisme, mais comme un solide d’un autre genre, auquel on donne le nom de rhomboèdre.

En effet , il en résulte nécessairement que , dans l’une et l’autre figure, l’angle solide a , et de même son opposé s, sont composés de trois angles dièdres ou, ce qui est la même chose , de trois angles plans égaux, obtus dans la figure 17, aigus dans la figure 18; tandis que tous les autres angles solides sont , dans la figure 17, composés de deux angles aigus et d’un angle obtus, supplément de chacun des deux autres, et dans la figure 18 de deux angles obtus et d’un angle aigu.

De la il est évident que le système du solide est devenu bien plus symétrique. Dans un prisme quadrangulaire , considéré en général, les quatre faces latérales sont, à la vérité, semblablement placées par rapport à l’axe du prisme ; mais les bases ne sont nullement déterminées dans leur position à l’axe , laquelle est variable et indépendante de celle des faces: or, dans le prisme dont nous parlons, et par suite de la condition que nous y avons établie, toutes les faces, y compris les bases, sont semblablement placées par rapport à la ligne qui joint. les deux angles solides opposés égaux, a et s. Cette ligne a s doit donc bien plus naturellement être regardée comme l’axe du cristal’, et il convient de ne plus considérer le solide comme un prisme , ce qui n’exprimeroit pas assez; sa nature , mais comme un solide bipyramidal.

Formes dominantes .

C’est ce solide qu’on désigne sous le nom de rhomboèdre % et on le représente beaucoup mieux en plaçant son axe verticalement, comme dans les figures 19 et 20, qui sont les mêmes solides que ceux des figures 17 et 18.

Nous avons pensé qu’il étoit utile de commencer par expliquer comment ce solide peut s’engendrer sur un prisme quadrangulaire par une condition particulière dans la position de la base, pour le rattacher d’abord à une forme plus généralement connue, dont, en effet, il n’est rigoureusement qu’une variété, qu’une sorte de limite; mais maintenant nous allons en donner une définition géométrique plus simple et en même temps plus propre à faire ressortir les propriétés symétriques qui le distinguent.

§*43. Si l’on conçoit un triangle équilatéral horizontal, traversé à son centre par un axe vertical, et que sur chacun des côtés de ce triangle on applique un plan incliné à l’axe vers sa partie supérieure , ces trois plans étant également inclinés; qu’à un autre point de l’axe, dans sa partie inférieure, on place trois autres plans parallèles aux premiers : le solide compris entre ces six plans sera un rhomboèdre.

Un rhomboèdre est donc composé de six plans rhombes égaux, qui sont semblablement et symétriquement disposés autour d’un axe, trois à chaque extrémité, et qui forment entre eux des angles égaux. On peut ajouter que ces six plans, d’après cette identité de position sur l’axe, se trouvent semblablement placés par rapport au milieu de cet axe, qui peut être regardé comme le centre du solide.

On l’a encore quelquefois considéré comme étant une double pyramide triangulaire , ou un solide composé de deux pyramides triangulaires égales et régulières, ayant le même axe et opposées base à base, mais de manière que chaque arête de l’une corresponde dans l’autre à la ligne qui partage en deux parties égales l’angle au sommet.

1 Nous avons préféré, avec M. Weiss , la dénomination de rhomboèdre , au lieu de celle de rhomboïde (qui a été d'abord adoptée par M. Haüy ), par analogie avec les noms depuis long-temps reçus d’octaèdre , tétraèdre, etc.

rHEMIERE PARTIE : 5.* SECTION.

Nous rappellerons ici ce qui a été dit , §. 3/» , que, pour regarder une forme dominante cristalline comme un rhomboèdre , il faut que l’identité d’angles dièdres des faces adjacentes au sommet, donnée par le goniomètre, se trouve confirmée par une position identique des faces par rapport aux sens de clivages, qui doivent être au moins au nombre de trois et tous également faciles.

D’après ces définitions on concevra facilement les rapports qui existent entre les différcns angles et arêtes d’un rhomboèdre.

Quant aux angles solides , nous les avons déjà décrits dans l’article précédent.

Les deux angles solides opposés a et s (fig. 19 et 20) , situés aux deux sommets de l’axe, seuls de leur espèce, sont distingués sous le nom d’angles au sommet, ou angles supérieurs.

Les six autres angles solides, tous égaux, peuvent être appelés angles latéraux.

Les arêtes a m , ae et ai, pour le sommet a, et les arêtes sn, s r et s o , pour le sommet s, sont appelées arêtes supérieures, ou arêtes culminantes.

Les six autres arêtes, mr, re, eo, oi, inetnm, sont les arêtes inférieures ou latérales. D’après la définition du rhomboèdre , ces six arêtes latérales étant toutes semblablement placées par rapport à l'axe, et les plans dont elles sont les intersections étant tous semblablement disposés autour d’un triangle équilatéral, il est facile de concevoir que la projeolion horizontale d’un rhomboèdre quelconque dont l’axe est vertical, est toujours un hexagone régulier, comme le représentent les deux figures 19 et 20, et comme il seroit facile de le démontrer.

Nous nous contentons d’indiquer ici ces dénominations. On verra par la suite que ces differens angles ou arêtes ont des propriétés symétriques differentes, dépendantes de leur position.

On conçoit qu’un cube considéré par rapport à une quelconque de ses diagonales intérieures qui seroit prise pour axe, peut être regardé comme étant un rhomboèdre dont les faces sont des carrés et les angles dièdres de 90 degrés. Par un calcul trigonométrique très-simple on trouveroit que l’inclinaison de chaque face à l’axe est de 35° i5' 5 1 .

Formes dominantes .

Maïs, comme cette inclinaison des faces à l’axe dans un rhomboèdre peut varier à l’infini , soit au-dessous de cette mesure et jusqu’à o, soit au-dessus jusqu’à 90 degrés; ou, ce qui est la même chose, comme dans chacun des rhombes d’un rhomboèdre l’angle au sommet, qui dans le cube est de 90 degrés, peut devenir aigu et successivement jusqu’à o, ou obtus jusqu’à 1 2 o°( voyez ci-après) : il en résulte qu’il y a entre ces limites une infinité de rhomboèdres.

On appelle rhomboèdre aigu celui dont l'inclinaison des faces à l’axe est moindre que 35° i5' 5i", et l’angle au sommet de chaque rhombe moindre que 90°; et rhomboèdre obtus, celui dans lequel ces mêmes angles sont au contraire plus forts que les mesures indiquées.

Le rhomboèdre le plus aigu est celui dont l’inclinaison des faces à l’axe seroit=o. Les faces seroient alors parallèles à l’axe. Le prisme hexagonal régulier est donc la limite des rhomboèdres aigus. Le rhomboèdre le plus obtus est celui dans lequel l’inclinaison des faces à l’axe seroit = 90°. Toutes les faces seroient donc alors dans un même plan hexagonal , qui est en effet la limite extrême des rhomboèdres obtus. Voilà pourquoi on a dit ci-dessus que langle formé par deux arêtes au sommet ne pouvoit pas être plus grand que 120°.

Nous nous sommes un peu étendus sur le rhomboèdre , parce que ce genre de solide est la forme dominante d’un grand nombre de cristaux.

§. 44. Voctaèdre est, en général, un solide terminé par huit plans, quelle que soit leur position; mais on restreint ordinairement cette acception à un solide composé de huit plans disposés symétriquement autour d’un axe , qu’ils rencontrent, quatre dans un sens, quatre en sens inverse parallèlement aux premiers. Ces plans sont tous des triangles, si les faces se réunissent quatre à quatre en un point, à moins qu’une face ne soit beaucoup plus étendue que les autres (§. 5i). ( Voyez les figures 21 , 22 , 23 , 24, 26 , 26 et 27. )

On peut aussi considérer ce solide comme formé par la réunion de deux pyramides à quatre faces, semblables, régulières ou symétriques, opposées base à base et arête contre arête. Il s’en suit que les quatre arêtes, ce, ef, fd, de, de la jonction réciproque des deux pyramides , sont dans un même

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plan, et forment entre elles un parallélogramme c e fd, qui est la base commune. Ces arêtes ce, ef, fd, de sont appelées arêtes de La base ou arctes inférieures. Les quatre angles solides c , e, f et d, qui sont adjacens, sont appelés angles de la base ; les deux autres angles solides opposés a et b , angles-sommels ou angles supérieurs ; et la' ligne intérieure a b qui les joint, est l’axe. Les arêtes qui joignent les angles -sommets avec la base, sont appelées arêtes supérieures ou aretes culminantes.

Dans chacune des figures que l’on vient d’indiquer, on a tracé en bas la projection horizontale de la base commune , et même cette projection représente cette base suivant sa véritable grandeur, les solides ayant été disposés de manière que la base soit horizontale.

A côté de cette projection de la base on a tracé, suivant sa véritable grandeur, un des triangles qui composent l’octaèdre, et même deux dans la figure 2 6, où ils ne sont pas tous égaux.

Les huit arêtes culminantes sont aussi quatre à quatre dans un même plan, et ces deux nouveaux plans aebd et afbc sont encore des parallélogrammes. Il y a donc dans un octaèdre trois plans diagonaux ou trois coupes parallélogrammiques , c efd , aebd et afbc; et on conçoit que des rapports de figure et de position existant entre ces trois plans doivent dépendre différentes variétés d’octaèdre. On conçoit aussi qu’on peut indifféremment choisir pour base un quelconque de ces parallélogrammes, et par suite, pour axe , la ligne qui joint les deux angles opposés non compris dans la base adoptée. Il y a donc, en général, trois bases et trois axes dans un octaèdre; mais, dans les cristaux, les modifications fournissent presque toujours des motifs pour adopter un axe et une base de préférence aux deux autres, excepté dans un très-petit nombre de cas, notamment dans l’octaèdre régulier de la géométrie, dont nous allons bientôt parler.

Il est aisé de sentir que, chaque plan triangulaire d’un octaèdre rencontrant les trois axes, les différentes variétés d’octaèdre doivent également dépendre des rapports entre les inclinaisons des plans à chacun des axes.

Enfin, on conçoit que, dans les différens cas qui doivent

Formes dominantes .

se présenter , les triangles peuvent varier dans la proportion relative de leurs angles , et par conséquent de leurs côtés, équilatéraux , isocèles ', sc alênes , et être, ou tous d’une même espèce, ou de plusieurs, être égaux ou inégaux.

Toutes ces variations de rapports, soit entre lés trois coupes ou bases, soit entre les différentes inclinaisons des plans à l’axe, soit enfin entre les triangles, lesquelles sont des conséquences les unes des autres, seront exprimées dans les descriptions des différentes variétés d’octaèdre que nous allons donner, en nous bornant à celles qui ont été observées dans les formes dominantes des cristaux. En les décrivant, nous nous con» tenterons de faire remarquer, entre les mesures de leurs angles , des rapports qui sont la donnée fondamentale servant à les distinguer ; mais nous supposerons toujours que ces rapports sont confirmés par des rapports analogues dans la position et la netteté des clivages , et dans la symétrie des modifications. (Voy. §. 34.)

§. 45. L’octaèdre régulier : c’est celui qui est formé par huit triangles équilatéraux égaux , ou l’octaèdre régulier de la géométrie.

Les trois coupes sont rectangulaires et perpendiculaires l’une sur l’autre , et par conséquent des carrés : si le sommet est un point, comme dans la figure 31 , et non une ligne, comme dans les figures 3o et 3a, ainsi qu’il sera dit plus bas (§. 5i), les trois axes sont égaux et perpendiculaires entre eux , et on peut choisir indifféremment l’un ou l’autre. Chaque plan fait un angle égal avec chacun des plans qui lui sont adjacens sur une arête : il s’en suit que cet angle est nécessairement de io9°2 8/ 16", comme dans la géométrie, et que son supplément, ou l’angle des deux faces qui sont opposées l’une à l’autre à une des extrémités d’un même axe, est de 70° 3i' 44", le même que l’angle entre deux plans adjacens du tétraèdre régulier (voyez §. 35). Chaque plan fait aussi un angle égal avec chacun des trois axes , et cet angle, qui est le même pour tous les plans, est de 35° i5' 5 1 précisément le même que celui de l’inclinaison à l’axe des faces du cube considéré comme rhomboèdre ( voyez ci-dessus

D’après cette identité de position des faces par rapport

PREMIÈRE TARTIE : 3.* SECTION.

aux axes , on peut conclure que toutes les faces sont semblablement placées par rapport au point qui est commun! aux trois axes, ce point pouvant être considéré comme lei centre du cristal.

L’octaèdre régulier est une forme dominante qui appartient à la chaux fluatée , au spinelle , etc., et notamment: à beaucoup d’espèces de la classe des substances métalliques.!

§. 46. L’ octaèdre symétrique à base carrée. Cet octaèdre est i composé de huit triangles isocèles égaux. ( Yoyez les figures? 22 et 23.)

La coupe cef d, qui est ici prise pour base, parce qu’elle est seule de son espèce , est un rectangle, et les deux autres aebd et afbc sont des rhombes et sont égales; d’où il résulte que la première est un carré. Ces trois coupes sont perpendiculaires entre elles. Des trois axes qui sont nécessairement perpendiculaires entre eux, deux, de, cf , sont égaux , le troisième a b , qui est ici préféré , est plus grand dans la figure 22 , qui appartient à l’anatase, et plus petit dans la figure 23 , qui appartient au zircon. Chaque face fait deux angles égaux avec les deux axes de et cf, et un angle différent avec l’autre axe ab , plus petit que les premiers dans la figure 22 , où l’octaèdre est appelé aigu, et plus grand dans la figure 23 , où l’octaèdre est appelé obtus.

Plus généralement , dans toutes les variétés d’octaèdre qui se rencontrent dans les formes cristallines, on dit que l’octaèdre est aigu , lorsque les quatre angles linéaires qui viennent se réunir au sommet que l’on a choisi, ou au moins deux d’entre eux opposés, sont plus petits que 6o°, qui est l’angle des triangles de l’octaèdre régulier ; ou bien , ce qui est la même chose , lorsque l’inclinaison des quatre plans à l’axe , ou au moins celle de deux plans opposés , est moindre que 35° i5' 5if", angle indiqué ci-dessus dans l’octaèdre régulier.

Si ces différens angles sont au contraire plus grands que les mêmes limites , on dit que l’octaèdre est obtus.

§. 47- Octaèdre symétrique a triangles scalènes. C’est un octaèdre composé de huit triangles scalènes égaux (voyez fig. 24 et 25).

Formes dominantes .

Les trois coupes cefd, aebd et a cl f, sont perpendiculaires entre elles; elles sont toutes des rhombes et toutes inégales. Il en résulte que dans cette forme, qui appartient au soufre, il n’y a en général aucun motif pour adopter plutôt l’une que l’autre pour base , comme on peut en juger par la figure 2 5, qui représente le même solide qùe la figure 24, mais sur une autre base: dans la figure 24 l’octaèdre est aigu, et il est obtus dans la figure 2 5. Les trois axes sont tous perpendiculaires entre eux, mais inégaux. Chacun des plans est également incliné au même axe, mais en faisant un angle différent avec chacun des trois axes.

§. 48. Octaèdre symétrique à base rectangle. Dans cet octaèdre les faces sont toutes isocèles, mais de deux espèces dans chaque pyramide, les quatre d’une même espèce étant égales (voyez la figure 26, qui appartient au plomb sulfaté). Des trois coupes, deux afbc et aebd sont des rhombes égaux; elles sont perpendiculaires à la troisième, mais inclinées entre elles. La troisième cefd est un rectangle ; mais elle est nécessairement oblongue , d’après l’obliquité entre les deux autres. Des trois axes , deux , cf , d e , sont égaux , et non perpendiculaires entre eux ni à la base correspondante; le troisième a b est, ou plus petit (comme dans la figure), ou plus grand , et il est perpendiculaire aux deux autres et à la base c efd qui lui correspond. Les deux faces opposées , adf, ace, d’une même pyramide, sont également inclinées à l’axe, et de même les deux autres faces opposées acd, a e f; mais l’inclinaison à l’axe des premières est plus petite que celle des deux autres.

$. 49. La figure 27 représente un cristal qui a encore les caractères d’un octaèdre , et qui a été considéré comme tel dans plusieurs ouvrages ; c’est ce qui nous détermine à le mentionner ici , quoiqu’il soit bien plus naturel, comme on va le voir , de le rapporter à une autre forme , dont il n’est qu’une modification.

Les faces sont de deux espèces: ace ç t bdf, qui lui est parallèle , sont deux triangles équilatéraux ; toutes les autres sont des triangles isocèles égaux; aef et acd , opposées, sont également inclinées à l’axe ; mais, des deux autres opposées, adf est plus inclinée à l’axe que ace . Les trois coupes sont

rectangulaires et toutes inclinées entre elles'; les trois axes ne, sont point perpendiculaires entre eux. Cependant, malgré ces irrégularités apparentes, le solide est extrêmement symé trique.

La symétrie consiste en ce que les trois coupes sont égales et semblables , et également inclinées entre elles , ou, ce qui est la même chose , que les trois axes sont égaux et également inclinés l’un sur l’autre ; d’où il résulte que les trois faces isocèles a de, afe et bc e sont également inclinées sur la face équilatérale ace, et que les trois autres faces isocèles b ef, b c d et adf forment aussi le même angle avec l’autre triangle équilatéral bdf.

Mais cette inclinaison égale de trois faces à un triangle équilatéral est la condition fondamentale d’un rhomboèdre , comme on l’a vu (§. 43). Cette forme est donc un dérivé d’un rhomboèdre . La figure 28 représente le même solide que la figure 27 , mais disposé de manière que les triangles équilatéraux ace et bdf sont horizontaux, et que la ligne qui joint leurs deux centres, et qui est ici l’axe du solide, est verticale. L’identité des lettres fait reconnoître la position des différentes faces dans l’une et l’autre figure ; de plus, les lignes ponctuées r a , r c , r e , vers le haut , et td , tb , tf vers le bas, complètent le solide , qui redevient semblable en tout, sauf les dimensions, aux rhomboèdres figures 19 et 20. C’est donc un rhomboèdre tronqué sur ses angles - sommets , par deux plans perpendiculaires à l’axe passant par ses angles latéraux.

Cette forme appartient au corindon ; plusieurs autres espèces en présentent d’analogues.

§. 5o. Il n’est pas inutile d’observer que cette propriété, qui nous a servi à ramener l’octaèdre (fig. 27 ) dont nous venons de parler au rhomboèdre ( l’égalité entre les trois axes ou les trois coupes, et leur identité d’inclinaison réciproque) , existe aussi dans l’octaèdre régulier , où les trois axes sont égaux et perpendiculaires entre eux, etc.: il s’en suit donc que l’octaèdre régulier pourroit aussi être considéré comme un rhomboèdre tronqué sur ses deux angles -sommets , dont l’axe seroit à volonté une des quatre lignes qu’on peut mener entre les centres de deux faces parallèles ; ce qui , à la vérité, donneroit une idée peu nette de sa régularité.

Formes dominantes.

Mais, si on rejette avec raison cette manière de représenter ce solide , elle peut servir à faire concevoir que Voctaèdre régulier peut devenir un rhomboèdre par la suppression de deux faces parallèles , opérée par le prolongement des six autres. La figure 2<y représente un octaèdre régulier, que l’identité des lettres permet de comparer avec celui de la figure 21. Cet octaèdre est projeté de manière que les deux faces parallèles ace et Z» d/sont horizontales, et les lignes ponctuées, ra, rc, re, d’un côté, ettb,tf , £d, de l’autre, que l’on a ajoutées, complètent un rhomboèdre.

D’après ce qui a été dit (§§. 35 et 45) de la mesure des angles du tétraèdre régulier et de l’octaèdre régulier, on reconnoît facilement que les parties solides, race et tbdf ajoutées, sont des tétraèdres réguliers: par conséquent la propriété que nous venons d’indiquer , peut s’exprimer en disant que l’octaèdre régulier peut ctre changé en rhomboèdre , en ajoutait sur deux de ses faces parallèles un tétraèdre régulier dont les triangles équilatéraux ont la même dimension. Cette variation remarquable de l’octaèdre régulier a été observée dans des cristaux de bismuth natif.

§. 5i. Dans le §< 44, en décrivant les octaèdres en général y et dans le §. 45, en décrivant l’octaèdre régulier , nous avons supposé que les faces étoient également étendues, de manière à se réunir, quatre à quatre, en un seul point de l’axe : d’où il résulte qu’elles sont toutes triangulaires. Ce cas est le plus ordinaire v; mais il y a aussi des exceptions, lesquelles donnent au solide une apparence toute différente , qu’il est utile de faire connoîtrc.

L’octaèdre cunéiforme (fig. 3o) est l’octaèdre régulier (fig. 21) qui a subi un alongement parallèlement à deux arêtes parallèles c d et ef; d’où il résulte que les deux faces aef et ad c, et de même leurs parallèles, ne se rencontrent plus en un point a, mais en une ligne a a et b b\ et ne sont plus Ides triangles, mais des trapèzes, comme les deux côtés d’un poin : de la le nom d’octaèdre cunéiforme qu’il a reçu.

La meme variation peut arriver sur les autres octaèdres Ique nous avons décrits. La figure 3a représente l’octaèdre * igure 26 , ainsi alongé.

Si cet alongement de l’octaèdre est considérable , le solide

peut, au premier abord, être considéré comme un prisme rhomboïdal dont la base seroit remplacée par deux faces; et les figures 3i et 33 ne sont autre chose que les figures 3o et 32 disposées de manière que l’axe de chacune de ces formes prismatiques soit vertical.

Dans le cas de l’octaèdre régulier, on donne toujours à ces cristaux alongés le nom d’octaèdre cunéiforme ; mais, dans les autres cas, il arrive quelquefois qu’il convient mieux de les considérer comme des prismes, d’après des motifs tirés des modifications que subit la forme dominante.

§. 5a. Si l’alongement a lieu à la fois dans trois sens , ou, ce qui est la même chose , si les deux faces parallèles aef et bdc (fig. 21) sont très-larges, et les six autres faces trèsétroites j il résultera de cet aplatissement de l'octaèdre, que les deux premières faces deviendront des hexagones réguliers (au moins par l’égalité de leurs six angles entre eux), et les six autres des trapèzes.

C’est ce que représentent les figures 34 et 55 : dans la première, le solide est représenté dans la même position que dans la figure 21; dans la seconde, il est disposé de manière que scs faces a! a! f'f ee et b'b' c'c' d'd' sont verticales et représentées suivant leurs véritables dimensions.

Ce solide, pouvant être évidemment considéré comme le résultat de deux sections faites dans un octaèdre par deux plans parallèles entre eux et à deux de ses faces , est réelle- j ment un sëgment d’octaèdre ; aussi lui a-t-on donné le nom à’ octaèdre segminiforrne.

O11 conçoit qu’il peut arriver que l’une des deux faces indiquées soit seule élargie; alors l'autre conserveroit sa forme triangulaire équilatérale.

§. 53. Ces solides aplatis, analogues à ceux dont nous venons de parler, peuvent aussi être le résultat d’un aplatissement semblable dans d’autres octaèdres, et par conséquent dans celui représenté fig. 27, c’est-à-dire, dans le rhomboè-' dre tronqué (fig. 28) : l’aplatissement a lieu sur les triangles équilatéraux ace et dbf, et ce rhomboèdre tronqué segminiforrne 1 est encore parfaitement représenté par les figures 34 et 35 , ! sauf les différences des angles entre les faces.

§. 54. Prisme hexagonal . C'est en général un prisme qui a

Formes dominantes, 67

pour base un hexagone, ou qui a 6 faces latérales. On distingue:

Le prisme hexagonal régulier (fig. 36). C’est celui dont la coupe perpendiculaire à l’axe est un hexagone régulier, ou dont deux faces latérales adjacentes quelconques sont inclinées entre elles de 120°. On sent bien que chacune des faces du prisme doit aussi être semblablement placée par rapport aux clivages (voyez le §. 54).

Le prisme, hexagonal symétrique (fig. 07), C’est celui dont la coupe perpendiculaire à l’axe est un hexagone qui n’est pas régulier , mais seulement symétrique. Dans les cristaux, la symétrie de ce genre de forme consiste presque constamment en ce que, parmi les six angles que font entre elles les faces latérales adjacentes, deux opposés a et b sont égaux et d’une mesure différente de celle des quatre autres, lesquels sont aussi égaux entre eux.

Nous ne voyons que les cristaux d’épidote qui fassent exception à cette règle. Dans les prismes hexagonaux qu’on y observe, les six angles sont de trois espèces; aussi on ne les considère pas comme des prismes hexagonaux , mais comme des prismes rhomboïdaux tronqués latéralement.

On conçoit que la position de la base, perpendiculaire ou oblique, mérite aussi d’être considérée dans le prisme hexagonal, comme nous l’avons fait dans le prisme r uadrangulaire ; et, dans le cas d’une base oblique , on doit distinguer également si elle repose sur une arête ou sur une face (voy. ci-dessus, §§. 40, et 41).

Un cristal ayant la forme d’un prisme hexagonal régulier a toujours sa base perpendiculaire à l’axe; cependant, dans lçs cristaux de feldspath , elle est oblique et repose sur une arête : aussi ces cristaux ne devroient pas, rigoureusement , être considérés comme tels , quoique leurs angles dièdres latéraux paroissent être tous de 120° d’après le goniomètre, leurs faces latérales n’étant pas semblablement placées par rapport aux plans de clivage (voy. §. 34).

Dans un prisme hexagonal symétrique, il faut déterminer >ur quelle espèce de face ou d’arête repose la base oblique voy. la note au §.40) : ainsi, par exemple, dans le pyroxène périhexaèdre de M. Haüy, elle repose sur une face comprise între deux angles égaux.

§. 55. Le dodécaèdre rhomboïdal est un solide composé de douze plans rhonibes.

Si les douze rhonibes ont tous les mêmes angles ou sont égaux et semblables , il en résulte nécessairement que chacun d’eux forme le même angle avec chacun de ceux qui lui sont adjacens : c’est le dodécaèdre rhomboïdal régulier . Il est représenté fig. 38, et aussi, dans une autre position, figure 09, avec les mêmes lettres, afin de faire mieux juger de toute la symétrie de sa structure , que nous allons faire connoître avec quelques détails, à cause des rapports de ce solide avec le cube, l’octaèdre régulier et le tétraèdre régulier.

Il y a vingt-quatfe arêtes et quatorze angles solides. Parmi ceux-ci il y en a six (a, c, d,f, e, b ) qui sont quadruples et égaux , et huit ( l , m , o , n. , r, s, t , v) qui sont triples et de même égaux entre eux.

L’angle dièdre, entre deux faces quelconques qui se rencontrent sur une arête, est de 120°. Celui de deux faces quelconques qui sont opposées l une à l’autre sur un angle solide quadruple, est de 90°. L’angle plan obtus de chaque face (fig. 40) est rigoureusement de 109° 28' 16" (le même que l’angle dièdre de l’octaèdre régulier; voy. §. q 5 ) . 1

Il en résulte nécessairement, i.° que le dodécaèdre rhomboïdal régulier, placé de manière qu’une ligne, a b joignant deux angles solides quadruples opposés soit verticale (comme cela a lieu dans la figure 38), doit donner un carré cdef pour projection horizontale ou pour coupe perpendiculaire à la ligne a b, ainsi qu’on l’a tracé dans la figure; et que, comme il y a six angles solides quadruples opposés deux à deux, il y a trois positions semblables absolument identiques.

1 Ces mesures d’angles rigoureuses sont déduites, ).° de ceque tous les angles dièdres ou plans de même espèce sont trouvés sensiblement égaux par le goniomètre ; 2.0 de ce que les douze faces sont toutes sem» j blablement placées par rapport uux plans de clivage, qui, dans cette forme , sont , ou au nombre de six et parallèles aux faces , ou de quatre et formant par leur réunion un octaèdre régulier, ou de trois et formant un cube, étant dans chacun de ces cas tous également faciles.

Formes dominantes. 69

ou trois lignes , al , c e, df, qui , étant placées verticalement ou étant prises pour axes , donnent le même résultat.1

2.0 Que le même solide, placé de manière qu’une ligne os joignant deux angles solides triples opposés soit verticale (comme cela a lieu dans la figure 39), doit donner un hexagone régulier , h v f mer , pour projection horizontale ou pour coupe perpendiculaire à la ligne os, ainsi qu’on l’a tracé dans la figure; et que, comme il y a huit angles solides triples opposés deux à deux, il y a quatre positions semblables entièrement identiques, ou quatre lignes, os , lv, mt, nr , qui, étant placées verticalement ou étant prises pour axes , donnent le même résultat.2

Les trois coupes carrées sont égales et perpendiculaires entre elles, et elles se joignent toutes en un seul point intérieur, qui est leur centre. Mais, comme elles traversent quatre à quatre tous les rhombes du dodécaèdre en les coupant par leur grande diagonale, il s’en suit que chacune de ces grandes diagonales, qui est un côté d’une coupe carrée, est semblablement placée par rapport à ce centre. 3

Les quatre coupes hexagonales sont égales entre elles et se réunissent en un seul point ou centre , qui sera le même que celui des trois coupes carrées, si on suppose que

1 D’après te qui a été dit ci-dessus, que deux faces opposées l’une à l’autre sur un angle solide quadruple formoient entre elles un angle de 90°, chaque face est donc inclinée de 45° à l’axe de l’angle quadruple auquel elle aboutit : d’où on déduit que chaque arête aboutissant à ce même axe lui est inclinée de 54° 44' 8"; par conséquent elle forme, avec l’arête qui lui est opposée de l’autre côté de cet axe, un angle de io9°28r i6M (angle dièdre de l’octaèdre régulier).

2 On trouve, par des considérations et un calcul très -simples , que chaque face est inclinée de 54° 44' 8" à l’axe de l’angle triple auquel elle aboutit, même valeur que celle de l’inclinaison d’une arête à l’axe d’un angle quadruple; d’où on déduit que chaque arête aboutissant à un axe d’un angle triple lui est inclinée de 70°3ii 44".

3 11 n’est pas inutile de faire remarquer ici que cette disposition de trois coupes carrées perpendiculaires entre elles est la condition fondamentale de l’bctaèdre régulier, comme on l’a vu §. 45 : nous allons bientôt confirmer ce rapport entre ce solide et le dodécaèdre rhomboïdal régulier.

chacune de ces coupes hexagonales a été faite à égale distance des deux sommets de l’axe os, ou etc . , auquel elle est perpendiculaire1; et comme ces quatre coupes hexagonales traversent six à six tous les rhombes du dodécaèdre par une ligne perpendiculaire à deux côtés opposés et passant par le centre du rhombe ( chaque rhombe étant traversé ainsi par deux coupes), il s’en suit que toutes ces lignes sont semblablement placées par rapport au centre des coupes, qui devient ainsi le centre du cristal.

Donc aussi , dans un diodécaèdre rhomboïdal régulier , toutes les faces sont semblablement placées par rapport à un point intérieur , qui est le centre du cristal. De même , toutes les arêtes sont semblablement placées par rapport à ce centre, et en sont également distantes.

Quant aux angles solides, cette identité n’existe pas pour tous à la fois. Les angles quadruples sont semblablement placés entre eux et par rapport au centre : les angles triples sont aussi semblablement placés entre eux et par rapport au centre ; mais ils en sont plus rapprochés que les angles quadruples.

Cette propriété fondamentale du dodécaèdre rhomboïdal régulier a, comme on le voit , beaucoup de rapports avec celles que nous avons indiquées ( §§. 35, 37 et 45) pour le tétraèdre régulier , le cube et l’octaèdre régulier. En effet, si on joint les huit angles triples quatre à quatre par des plans, on aura un cube ; et si on fait la même opération sur les six angles quadruples, on aura un octaèdre régulier, et par conséquent aussi un tétraèdre régulier, d’après ce qui sera dit §. 85. Ces quatre solides ont donc dans leur structure un grand nombre de rapports , et l’on verra , dans la sixième section, qu’ils passent de l'une à l’autre par des modifications symétriques.

Cependant la régularité du dodécaèdre rhomboïdal diffère de celles du tétraèdre régulier , de l'octaèdre régulier, du cube, en ce que les angles de ce solide sont de deux sortes,

1 On démontreroit facilement qu’elles sont placées entre elles à ce centre comme les quatre faces d’un octaèdre régulier à son sommet, et qu’elles font entre clics les mêmes angles.

Formes dominantes.

et c’est pour cela qu’il n’est pas compris , en géométrie , parmi les corps réguliers , lesquels doivent avoir une identité parfaite, non -seulement entre toutes leurs faces et leurs arêtes, mais aussi entre leurs angles. Néanmoins, en cristallographie , d’après les rapports qui existent entre ce dodécaèdre rhomboïdal et les corps réguliers de la géométrie , nous avons cru pouvoir le nommer aussi régulier , pour le distinguer des autres.

§. 56. On conçoit que, si les douze plans rhombes qui composent le dodécaèdre rhomboïdal ne sont pas également inclinés l’un sur l’autre , le solide sera seulement symétrique.

On peut en distinguer en général un grand nombre de variétés ; mais dans les cristaux elles se réduisent à deux classes :

i.° Les dodécaèdres symétriques dont une des coupes hexagonales est un hexagone régulier ; les six plans que traverse cette coupe sont également inclinés entre eux et diffèrent des six autres , lesquels sont aussi également inclinés entre eux et forment des angles égaux avec l’axe du prisme hexagonal.

2.0 Ceux dont aucune coupe hexagonale n’est un hexagone régulier , mais dont huit faces, qui composent quatre à quatre deux angles solides quadruples opposés, forment entre elles des angles dièdres égaux, tandis que les quatre autres sont perpendiculaires entre elles.

Nous n’avons pas donné de figures particulières pour représenter ces deux cas ; la figure 39 peut donner une idée du premier, qui existe dans la chaux carbonatée, etc.; et la figure 38, du second, qui se rencontre dans lezircon, etc. Ces genres de forme ne sont pas ordinairement décrites comme des dodécaèdres , mais comme des variétés d’autres formes , déjà décrites, modifiées : ainsi la variété figure 59 est beaucoup mieux indiquée comme un prisme hexagonal avec un pointement (voy. §, 68) à trois faces sur chacune de ses bases , ou comme un rhomboèdre dont le sommet est en o , tronqué verticalement sur toutes ses arêtes inférieures ; et la figure 38, comme un octaèdre symétrique à base carrée , tronqué sur les angles de sa base; on peut encore la considérer comme un prisme rectangulaire , tronqué symétriquement sur tous ses angles , ou plutôt portant sur chacune de ses

bases un pointement à quatre faces qui reposent sur les arêtes latérales.

§. 57. Le dodécaèdre pentagonal est un solide terminé par douze plans pentagones égaux et semblables.

Dans la géométrie, on considère un solide de ce genre , qui est rangé parmi les corps réguliers , parce que ses pentagones sont réguliers.

Le dodécaèdre pentagonal régulier n’existe point parmi Jes cristaux : le seul 1 dodécaèdre pentagonal qu’on y connoisse ( dans le fer sulfuré et le cobalt gris ) , a à la vérité toutes ses faces égales et semblables; mais ses pentagones ne sont point réguliers. Il est représenté (figure 41 * * * ) en projection verticale et en projection horizontale. On conçoit que la représentation du dodécaèdre pentagonal régulier seroit peu différente.

Le dodécaèdre pentagonal de la cristallographie diffère du dodécaèdre pentagonal régulier en ce que , dans un de ses pentagones représenté figure 42 , l’angle b est de 1219 35' 17", les angles adjacens q'et s sont de 106° 36' 2", et les deux angles g et h, de 102° 36'' 19". 2

Dans le pentagone régulier (fig. 43 ) , au contraire , tous les angles sont de 108°.

L’angle b (fig. 42), seul de son espèce , est appelé le sommet du pentagone ; le côté gh, opposé à cet angle , est appelé la base. Les angles g et h sont appelés angles de la base , et les angles q et s , angles latéraux .

Dans ce dodécaèdre pentagonal symétrique les pentagones sont ordonnés de manière que deux ont un même côté pour lase : ainsi la base g h du pentagone bqghs est aussi la base du pentagone d u g h x; il n’y a donc que six bases.

1 Cela n’est pas rigoureusement exact: la figure 56, qui est une variété de cliaux carbonatée, est aussi un dodécaèdre pentagonal ; mais les pentagones sont de deux espèces, etc. La symétrie de ce solide est bien mieux exprimée en le considérant comme un prisme hexagonal régulier terminé par un pointement à trois faces (voyez §. 68).

2 Ces valeurs d’angles ont été calculées par M. Haiiy d’après sa théorie.

Celles, au contraire, que nous avons données pour le dodécaèdre

rhomboïdal, l’octaèdre et le tétraèdre réguliers et le cube, peuvent être

déduites immédiatement de l’ensemble de la symétrie de chaque cristal.

Formes dominantes .

La disposition symétrique de ces bases des pentagones est essentielle à connoître pour bien juger de la symétrie du solide. Ces bases sont situées deux à deux dans trois plans perpendiculaires entre eux. Dans la projection verticale (fig. 41), les deux bases parallèles g h et ef sont horizontales; il en est de même des deux bases parallèles ab , cd , et les bases ih et Im sont verticales : mais , en faisant passer trois plans chacun d’eux par deux bases parallèles opp.osées , le plan par gh et ef est seul horizontal; le plan par ab et c d est vertical et perpendiculaire au premier , et enfin le plan par i h et l m est encore vertical et perpendiculaire aux deux autres.* 1

Le sommet de chaque pentagone est situé à l’extrémité d’une de ces bases : ainsi les deux points i et fc, extrémités de la ligne ih (base commune des deux pentagones gqihu et epiht ), sont les sommets des pentagones ipabq et h t c d u , etc.

Il en résulte nécessairement que les vingt angles solides ( tous triples ) du dodécaèdre pentagonal symétrique sont de deux espèces. 11 y en a huit ,p,q,s,r,ett,u,x,v, qui sont composés de trois angles plans égaux , lesquels sont tous des angles latéraux du pentagone ; les douze autres angles solides sont composés d’un angle -sommet et de deux angles de la base du pentagone.

Les huit angles solides p, q, s, r, t, u, x, c, que nous venons d’indiquer , sont placés entre eux rigoureusement comme les huit angles d’un cube.

Nous verrons dans la sixième section (§/86), que ce solide a beaucoup de rapports avec le cube , dont il n’est qu’un dérivé.

§. 58. Le dodécaèdre triangulaire est en général un solide composé de douze triangles, parallèles deux à deux, et se réunissant six à six en un point d’un même axe.

On distingue le cas où les triangles sont isocèles , dodé-

1 Dans le cobalt gris, le clivage, qui est triple et également distinct dans les trois sens, a lieu parallèlement à ces trois plans; ce qui con-

1 firme l’identité de position relative des douze faces (voy. §. 34). Cette disposition fait également concevoir que ce solide a de grands rapports de symétrie avec le cube, comme on le verra 86.

caèdre triangulaire isocèle (fig. 47); et celui où les triangles i sont scalènes , dodécaèdre triangulaire scalène ( fig. 48 ) : l’un et l’autre peuvent être regardés comme étant des solides bipyramidaux, ou composés de deux pyramides ayant le même axe et réunies par leur base.

Dans le dodécaèdre triangulaire isocèle (fig. 47), la jonction commune est un plan perpendiculaire à l’axe , si toutes les faces sont également inclinées à l’axe; il en est de même des arêtes, et il en résulte que la base commune est un hexagone régulier. Ce cas a lieu dans le quarz , le plomb phosphaté , etc. Si , au contraire , toutes les faces ne sont pas également j inclinées à l’axe , la base commune est un hexagone qui n’est que symétrique : ce cas a lieu dans le plomb carbonaté.

Dans le dodécaèdre triangulaire scalène (fig. 48), les faces sont également inclinées à l’axe , mais les arêtes sont inégalement inclinées. Trois, non adjacentes, ont la même inclinaison , et les trois autres une inclinaison différente. Les arêtes moins inclinées à l’axe , dans la pyramide supérieure, viennent concourir, dans la jonction commune des deux pyramides, avec les arêtes plus inclinées à l’axe de la pyramide inférieure, et réciproquement. Il en résulte nécessairement que les angles dièdres entre deux faces adjacentes sont de deux sortes, alternativement plus obtus et moins obtus. Les angles dièdres d’une face d’une pyramide sur l’autre sont tous égaux. Il résulte de toutes ces propriétés, que la jonction commune des deux pyramides n’est point un plan , mais une suite de lignes en zigzag, comme on le voit dans la figure , qui représente un cristal de chaux carbonatée.

On conçoit que, suivant que l’angle au sommet est plus ou moins aigu , il peut y avoir un grand nombre de dodécaèdres triangulaires, soit isocèles (à base régulière ou symétrique), soit scalènes; il y en a même quelquefois plusieurs variétés dans une même espèce minérale : en effet, le corindon présente deux dodécaèdres triangulaires isocèles à base régulière ; la chaux carbonatée présente plusieurs dodécaèdres triangulaires scalènes.

On verra (§. 90) que le dodécaèdre triangulaire isocèle à base régulière est un dérivé du prisme hexagonal régulier,

Formes dominantes.

ou, dans quelques cas, du rhomboèdre , comme dans le corindon ( §. 87, 4.0), et que le dodécaèdre triangulaire scalène est aussi un dérivé du rhomboèdre par des modifications symétriques ( §. 87, 3.°); enfin , que le dodécaèdre triangulaire isocèle à base symétrique peut être un dérivé du prisme hexagonal symétrique.

§. 5q. L 'icosaèdre triangulaire . C’est un solide composé de vingt triangles.

Si ces triangles sont tous équilatéraux , il en résulte l’icosaèdre régulier de la géométrie, qui a une identité parfaite entre tous ses angles solides.

Dans les cristaux cette forme entièrement régulière n’existe point ; on n’y connoît qu’un seul icosaèdre symétrique (fig. 44)5 qui appartient au fer sulfuré et au cobalt gris.

Ses vingt triangles sont de deux espèces , huit équilatéraux et douze isocèles. Ils se réunissent cinq à cinq pour composer un angle solide : il y a douze angles solides.

Pour mieux indiquer la position symétrique Telative de ces deux sortes de triangles , nous allons faire voir comment cet icosaèdre provient du dodécaèdre pentagonal symétrique.

D’après ce que l’on a dit ci-dessus (§. 5 7) de cette dernière forme, les angles solidesp, q,s,r,ett,u,x,v (fig. 41), sont composés de trois angles plans égaux ; par conséquent , et d’après la position relative des pentagones , si l’on mène les diagonales ib, b g et gi à l’entour de l’angle q, ces trois diagonales seront égales : si donc on fait passer par elles un plan qui tronque l’angle solide q , la face i b g qui le remplacera, sera un triangle équilatéral. La figure 44 , qui représente l’icosaèdre symétrique , n’est autre chose que le dodécaèdre pentagonal symétrique (fig. 41 ) qui a subi huit troncatures de ce genre. Ainsi les triangles ibg, Ibh, laf , iae, dans la partie supérieure , et leurs parallèles , dans la partie inférieure , sont équilatéraux.

Les autres triangles, g i fc, b g h, etc., sont isocèles; un de ces triangles , b g h, est représenté suivant sa véritable grandeur dans la figure 45 , et l’on reconnoît qu’il est le même que le triangle & g h de la figure 42. On. y a joint aussi ( fig. 46 ) un des triangles équilatéraux i b g. \

Dans le triangle isocèle b g h, Fangle b est de 48® 1 1' 20", et les angles g et h sont de 65° 54' 20". 1 2

§. 60. Le trapézoèdre est un solide composé de vingt-quatre faces quadrilatères symétriques : il n’en existe qu’un seul parmi les cristaux; toutes ses faces sont égales et semblables, et semblablement placées (voyez la figure 49)»’

Si les faces sont également étendues, ce qui arrive presque toujours , leur forme est celle que représente la figure 5o. Les deux angles C et y sont égaux (82° i5' 5"); l’angle et est aigu (78° 27' 46,/), et l’angle m est obtus (117° 2 8"). 3

Il y a vingt-six angles solides; savoir: huit angles triples, m, l, n, o, s , r, v, t, chacun d’eux étant formé de la réunion de trois angles obtus analogues à m ( fig. 5o ) , et dix-huit angles quadruples ; mais ces angles quadruples sont de deux espèces • six, a, b, c, d, e , f, sont formés par la réunion de quatre angles plans analogues à l’angle a (fig. 5o); et les douze autres, désignés par des lettres grecques, sont composés de quatre angles plans , tels que £ ou y ( fig. 5o). Les huit angles solides triples sont situés quatre à quatre dans tro>s (six) plans égaux et perpendiculaires entre eux, comme les huit angles solides du cube, et disposés comme eux aux extrémités de quatre axes égaux. De même , les six angles solides quadruples formés par des angles plans a ( fig. 5o) sont disposés, deux à deux , aux deux extrémités de trois axes égaux , et perpendiculaires entre eux , comme les six angles solides de l’octaèdre; et comme ces six angles solides quadruples comprennent les vingt- quatre faces, et de même les huit angles solides triples , cela fait voir le mode de symétrie de tout l’ensemble du solide.

Deux faces quelconques, a£my-, a<Tos, qui sont opposées l’une à l’autre au même sommet quadruple moins obtus, a,

1 Ces valeurs d’angles sont déduites de celles données au §. Sy. Voy. la note qui y e--,t relative.

2 Nous avons donné à ce solide le nom de trapézoèdre } par analogie avec les noms d'octaèdre, de dodécaèdre, etc. M. Haüy l’a désigné sous le non» de Solide à vingt-quatre faces trapézoïdales.

3 Ces valeurs rigoureuses d’angles, et les suivantes, sont déduites de celles des angles du dodécaèdre rhomboidal régulier, avec lequel ce solide a de grands rapports de symétrie, comme on va le voir.

Formes dominantes.

font entre elles un angle de 109° 28' 1 6", précisément comme deux arêtes du dodécaèdre rhomboïdal régulier opposées l’une à l’autre sur un même sommet quadruple ; ces faces sont par conséquent inclinées à cet axe de 54° 44' 8" , comme les arêtes du même dodécaèdre (voy. §.55).

De plus , trois faces quelconques a£my, fymÇet cÇmÇ, qui se réunissent sur un angle solide triple m, sont également inclinées chacune de 70° 3i' 44" à l’axe de cet angle, valeur qui est encore égale à l’inclinaison d’une arête du dodécaèdre rhomboïdal régulier sur l’axe de l’angle solide triple auquel elle aboutit (voy. §.55).

il suit de ce double rapprochement, que la symétrie du trapézoèdre est fondée sur celle du dodécaèdre rhomboïdal ; et comme toutes les arêtes du dodécaèdre rhomboïdal régulier sont semblablement placées par rapport* au centre, il s’en suit que toutes les faces du trapézoèdre sont de même semblablement placées par rapport à un point , qui est l’intersection des trois axes indiqués ci-dessus , et qui peut être regardé comme le centre du cristal.

On verra (§. 85) que le trapézoèdje n’est en effet que le résultat de la troncature tangente des vingt -quatre arêtes du dodécaèdre rhomboïdal régulier.

§.61. D’après tout ce qui a été dit dans cette section , on a vu que les neuf polyèdres géométriques principaux que nous avons indiqués ( §. 34 ) comme comprenant toutes les formes dominantes des cristaux , ont été partagés en plusieurs variétés. Nous allons résumer ici en un seul tableau toutes ces variétés de formes dominantes.

Tableau des formes dominantes des cristaux.

Tétraèdre.. Tous les triangles équilatéraux . Tétraèdre régulier ( §. 35, fig. g),

clivages idcntiq. sur les 3 faces . . Cube (fig. io).

Faces latéra- I

les perpen- J deux clivages identiques', par [ Prisme rectangulaire droit à base diculaires \ rapport aux faces latérales. I carrée ( §. 37 , 2.0, fig. 11 ). 4

enlreelles: I. n ,• I Prisme rectangulaire droit à base

( tous les clivages differens . . . .

I & l oblongue (§.37, 3.°, l>g. ta), j

Faces latéra- ) 1; ]aléraux identiques. . j Prisme rhomboïdal droit à base

. In il . -r. / cto \

Base

perpendiculaire à l’axe.

Parallélipi-

PÈdE

«u Prisme quadrangulaire.

les non per-

isocèle ( § 38, fig. 1 3 ).

à base

pendiculaires cl;va lalëraux différons . . I Prisme rhomboïdal droit k entre elles : J { oblongue ( §. 38 ).

11, 1 r , , [Prisme rectangulaire ou rhomboï-

Aneles diedres , de la base avec les faces laté- 1 . , , , ...

1 dal , a base oblique non svmé raies , tous inégaux. ( c r... ,/x

Deux angles dièdres, de la hase avec deux faces latérales opposées , égaux.

trique ( §. 3p, fig. i4).

Prisme rectangulaire ou rhomboï dal , à base oblique reposant sur une face (§. 4°, fig- i5).

Base

oblique < , , , , ( Prisme rectangulaire ou rhomboï -

a 1 axe. m\Deux angles diedres , de la base avec deux J j.., • tl

faces latérales adjacentes , égaux

Angles dièdres de la base avec les faces laté raies, égaux aux angles diedres des face latérales entre elles.

Les trois coupes étant perpendiculaires entre elles,

ftCTAEDBE. .

toutes trois rectangulaires. .

une rcctangul.e, deuxrbombes toutes trois rbombes. ....

Prisme