DEUXIÈME SECTION

Moyens employés pour mesurer les angles des cristaux .

§. 2 4. D’après les idées générales qui ont été données, dans la première section , des formes des cristaux , de la constance dé leurs angles et de ce qu’on appelle système cristallin, on conçoit qu’il est indispensable, pour bien connoître les cristaux , d’avoir des moyens de mesurer leurs angles le plus rigoureusement possible.

On distingue en général dans les cristaux , comme nous avons déjà eu occasion de le dire (§. 5), les angles que forment entre elles les différentes faces prises deux à deux, ou leurs angles d’incidence réciproque, ce que nous appellerons angles dièdres, et les angles que forment entre elles deux arêtes qui se rencontrent. Lorsque nous aurons à comparer ceux-ci avec les angles dièdres, pour les distinguer, nous leur donnerons le nom d’angles plans .

Il y a encore une troisième espèce d’angles dans les cristaux : ce sont les angles solides , lesquels sont le résultat de la réunion d’au-moins trois plans en un seul point commun.

Nous appellerons angles solides, triples, quadruples, etc. , ceux qui sont formés par trois plans , quatre plans, etc. Mais il y a cette différence entre les angles solides et les deux premières espèces d’angles , que les angles dièdres expriment la quantité plus ou moins grande dont deux plans se sont écartés l’un de l’autre par une sorte de révolution autour d’une ligne qui estleur intersection; que,demême, les angles plans expriment l’écartement de deux lignes par ‘une révolution dans un plan autour du point où elles se coupent; qu’ainsi les angles dièdres et les angles plans peuvent, tous deux également, être me-

surés par une circonférence de cercle, tandis qu’il n’en est pas de même des angles solides. Leur véritable mesure seroit la portion de surface sphérique comprise entre leurs côtés ou les plans qui les forment, cette surface sphérique ayant pour centre le sommet de l’angle solide. Mais, comme on ne mesure ce polygone sphérique qu’en le partageant en triangles sphériques, et qu’un triangle sphérique est déterminé quand on connoît ou ses trois angles ou ses trois côtés, il s’en suit en général qu’on peut déterminer un angle solide triple d’un polyèdre ou d’un cristal par le moyen des angles dièdres ou des angles plans qui le composent , les premiers étant les angles et les seconds les côtés du triangle sphérique, qui est sa véritable mesure : il en est de même des angles quadruples et autres.

§. 2 5. Pour mesurer les angles plans, il sembleroit qu’on pourroit y parvenir , au moins approximativement , par le rapporteur ordinaire. Mais, d’une part, les cristaux sont presque toujours trop petits pour permettre l’emploi de cet instrument , et même dans les cristaux d’une grande dimension 011 seroit souvent arrêté par le défaut fréquent de continuité des arêtes ; d’ailleurs on obtiendroit bien rarement une application exacte du rapporteur, à cause des inégalités qu’on rencontre presque toujours sur quelque point d’une face, et par suite du groupement des cristaux. On ne mesure donc pas ordinairement les angles plans ; on les conclut par le calcul de la mesure de plusieurs angles dièdres adjacens : ou, si l’on veut les mesurer directement, on peut y parvenir approximativement , au moins dans plusieurs cas , avec le goniomètre ordinaire dont nous allons parler.

§. 26. On mesure un angle dièdre d’un cristal avec divers instrumens, qu’on nomme goniomètres. On peut les diviser en deux classes. Les uns consistent principalement en deux lames métalliques , réunies entre elles par un axe autour duquel elles peuvent tourner : on applique ces lames par leur tranche sur les deux faces qui composent l’angle dièdre , perpendiculairement à leur intersection ; elles en prennent l’ouverture ou l’angle, que l’on mesure ensuite avec un rapporteur. Les autres sont des demi -cercles, ou des cercles entiers, gradués , disposés de manière à observer l’angle dièdre au moyen de

Mesure des angles des cristaux.

la réflexion d’un objet sur l’une et l’autre des faces qui composent cet angle dans le cristal. On sent bien que ce moyen ne peut convenir qu’aux cristaux dont les faces sont suffisamment polies pour réfléchir les objets ; ce qui n’a pas toujours lieu.

Les figures 1 , 2 et 3 représentent deux goniomètres de la première classe, que l’on pourroit appeler goniomètres par application. Dans l’une (fig. 1), le demi-cercle ou rapporteur est fixé aux deux lames métalliques : dans l’autre (fig. 2 et 5), il en est séparé. Les figures 4 et 8 représentent des goniomètres à réflexion.

§. 27. Le goniomètre (fig. 1) a été inventé par Carangeot, il y a environ quarante ans. Le demi -cercle gradué str, en cuivre ou en argent, n’est pas, comme à l’ordinaire, fermé entièrement par un diamètre; celui-ci ne se prolonge que jusqu’au centre, de r en c, afin de supporter l’axe c autour duquel se meut l’alidade mobile df. Cette alidade peut s’alonger ou se raccourcir au moyen de la rainure l m qui y est pratiquée. Deux semblables rainures, g h, ifc, existent sur l’alidade fixe ab , afin qu’elle puisse de même être avancée ou reculée le long des deux points fixes c et e . Ces deux alidades sont en acier.

On conçoit que , par cette disposition , on a la faculté d’appliquer une longueur assez considérable des alidades sur les deux faces de l’incidence à mesurer , si ces faces sont grandes, ou de n’en appliquer que les extrémités, si les faces sont petites. Dans l’un et l’autre cas, le nombre de degrés de l’angle est marqué sur le cercle parle bord fn de l’alidade mobile, lequel se dirige v£rs le centre du cercle. 11 faut, comme on l’a dit ci-dessus , que les alidades soient appliquées par leur tranche perpendiculairement à l’intersection des deux faces de l’angle dièdre à mesurer. Il arrive assez souvent que, le cristal se trouvant engagé, soit avec d’autres cristaux, soit sur une gangue, l’extrémité s du demi-cercle empêche l’application exacte des alidades : pour remédier à cet inconvénient, le demi-cercle est coupé en t en deux parties réunies à charnière. On peut donc, quand cela est nécessaire, replier la partie st du demi-cercle sur l’autre; on la remet en place lorsque l’application des alidades sur

le cristal a été faite , afin d’observer les degrés de l’anglé mesuré. Pour que cette partie du demi-cercle, qui est mobile, soit solide, elle est maintenue par une petite branche d’acier co, fixée au centre, qui vient s’accrocher en o dans lin bouton sous le demi-cercle. Lorsqu’on veut replier cette partie mobile, on décroche cette petite branche d’acier, et on l’écarte vers la partie fixe du demi -cercle en la faisant tourner autour du centre.

§. 28. Dans le goniomètre à demi-cercle libre (fig. 2 et 3), le système des alidades est le même. Quand on a pris avec elles l’ouverture de l’angle, on les pose sur le demi-cercle pour observer les degrés. Mais on conçoit qu’il est absolument essentiel d’être bien assuré de placer exactement le centre des alidades au centre du demi- cercle, et une alidade sur son diamètre. Une construction particulière de l’instrument donne les moyens d’obtenir toujours cette exactitude sans tâtonnement. On a pratiqué au centre du demi -cercle un point c saillant en avant, et à l’entour un enfoncement cylindrique le', puis sur le côté du diamètre une petite rainure y' y" - En outre l’axe k des alidades (fig. 2) est cylindrique et saillant, et il porte à son centre une petite cavité ronde c ; il y a aussi sur une des alidades une saillie y.

Les alidades sont représentées ici vues en-dessous, c’est-àdire, en sens inverse de la position qu’elles occupent quand elles sont placées sur le demi-cercle tel qu’il est représenté dans la figure 3. Ainsi, pour appliquer les alidades sur le demi-cercle, on les retourne; on fait entrer la saillie y dans la rainure y' y" ; le cylindre k dans l’enfoncement cylindrique 7c', et la saillie c' dans la petite cavité c. De cette manière on est assuré que les deux centres sont bien identiques , et qu’une des alidades correspond au diamètre.

Avec ces goniomètres on peut, avec de l’habitude, parvenir à mesurer les angles des faces des cristaux à un quart de degré près. Pour avoir encore plus d’exactitude, on a imaginé de se servir d’un demi -cercle plus grand , environ du double de la figure , et dele diviser de dix en dix minutes, ou même de cinq en cinq minutes, au moyen de plusieurs cercles concentriques (disposés à des distances convenables), coupés par les rayons qui marquent les degrés, et par des lignes diagonales menées

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entre les deux cercles extrêmes d’un degré à l’autre, comme cela se pratique dans d’autres instrumens.

Mais la plus grande cause d’erreur provient, soit de ce que l’application des deux lames aux faces n’a pas été rigoureusement exacte , soit de ce qu’on ne les a pas placées bien perpendiculairement à l’intersection des deux faces à mesurer. Il faut pour cela beaucoup de soin et d’attention , et surtout une grande pratique. Ce n’est que de cette manière qu’on peut parvenir à obtenir des mesures d’angles aussi approchées que celles que nous avons indiquées.

§. 29. Goniomètres à réjlexion, La figure 4 représente un cercle entier gradué , que l’on dispose horizontalement. Il est muni d’une alidade mobile ab . Au centre c de cette alidade on fixe (avec de la cire) le cristal def dont on veut déterminer les angles dièdres ; par exemple , l’angle entre la face ef et la face df. Il faut avoir soin de placer ce cristal de manière que l’intersection f g de l’angle dièdre soit à peu de distance du centre de rotation de l’alidade, et en même temps verticale. Cette dernière position doit être rigoureuse: on va voir comment on parvient à s’en assurer.

On choisit dans la campagne un objet assez éloigné et vertical , tel qu’un clocher , etc. On observe , avec la lunette fixe m n , l’image dç cet objet réfléchie successivement sur chacune des faces ef et df, en tournant l’alidade, et on modifie la position du cristal jusqu’à ce que cette image réfléchie soit, dans l’un et l’autre cas, verticale; ce dont on s’assure au moyen d’un fil vertical qui est placé dans la lunette. Lorsque l’on a obtenu cette verticalité pour l’une et l’autre image, on est parfaitement certain que les deux faces sont verticales, et par conséquent leur intersection. Dès-lors il est évident que les deux faces, par le mouvement de l’alidade, décriront le même angle qu’elle.

Il ne s’agit plus maintenant que de répéter l’observation de l’image réfléchie sur chacune des deux faces ef et d f; de noter le nombre de degrés que marque l’alidade , lorsque l’image réfléchie par la face ef est vue par la lunette et à son centre ; de compter ensuite le nombre de degrés marqués par l’alidade , lorsque la même image, réfléchie par la face df, est vue par la lunette. La différence entre ces

deux nombres est, non pas la mesure de l’angle, mais celle de son supplément.

En effet, si on suppose que l’angle ef d (fig. 5) représente la position de l’angle dièdre cherché lors de la première observation de l’image réfléchie sur la face ef , on conçoit que sa position sera e' f d' 1 , lors de la seconde observation ( celle de l’image réfléchie sur la face df ) : il est donc évident que, pour l’amener a cette position, il faut que la face fd ait parcouru l’angle dfd ' , qui est le supplément de l’angle cherché efd. Si on veut obtenir une plus grande exactitude , il faut répéter la mesure de l’angle, comme on le fait ordinairement, avec les cercles répétiteurs, ce que nous ne décrirons pas ici.

§. 3o. Feu M. Malus , qui a enrichi l’optique de plusieurs découvertes importantes , ayant eu besoin de mesurer par réflexion des angles dièdres de surfaces réfléchissantes, s’est servi du cercle répétiteur ordinaire.

Dans ce mode de mesure par réflexion , on opère dans un lieu découvert d’où l’on puisse apercevoir deux objets verticaux, p et q (fig. 6) , éloignés du lieu d’où l’on observe d’environ 1000 à 1200 mètres, et qui soient dans des directions opposées ; le cristal est placé en a d b sur un support quelconque , où on le fixe avec de la cire , en donnant à l’intersection d des deux plans ad et bd, dont on veut mesurer l’angle, une position verticale, ce dont on s’assure dans le cours de l’opération par les mêmes moyens que ceux indiqués ci-dessus (§. 29).

Le cercle répétiteur est placé d’abord en m, à 2 ou 3 décimètres de distance du cristal. 11 doit être disposé horizontalement, et de manière qu’avec ses lunettes on puisse observer l’image de l’objet p réfléchie dans la face du cristal

1 Cela n'est pas rigoureusement exact, puisque, *si le point y étoit le centre de rotation, on ne pourroit pas, la lunette étant fixe , voir l’image réfléchie successivement sur l’une et sur l’autre face ; pour cela il faut que le centre de rotation soit entrey et e. Mais on Fa repré^ sente tel qu’il est dans la figure, pour faire mieux concevoir la mesure de l’angle cherché.

C’est un inconvénient de ce goniomètre que la difficulté de trouver le centre de rotation convenable.

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qui lui est opposée. On mesure alors successivement les angles qmp et p me; on dérange ensuite un peu l’instrument, pour le placer en n, avec les mêmes précautions que dans sa première position, et on observe les angles qnp et qng.

Au moyen de la mesure de ces quatre angles, que l’on peut avoir répétée plusieurs fois, on peut conclure la valeur de l’angle cherché ad b.

En effet , d’après la petite distance entre les deux positions m et n de l’instrument , et le grand éloignement des objets p et q, on conçoit que les deux angles mesurés qmp et qnp seront bien peu différens l’un de l’autre : on peut donc prendre la moitié de leur somme , et supposer que toutes les opérations ont été faites d’un même point m ; ce qui change la figure 6 en la figure 7, dans laquelle l’angle qmp sera cette valeur moyenne des deux angles qmp et qnp (fig. 6). Les deux angles qmg et p me (fig. 7) seront aussi dans ce cas sensiblement les mêmes que les angles qng et pme (fig. 6).

D'après la position relative, indiquée, des points p et m , relativement au cristal, les lignes pe et pm forment entre elles un angle extrêmement petit; on peut le regarder comme nul, et supposer les lignes pe et p m parallèles. De l’autre côté on peut également supposer le parallélisme des lignes qg et qm .

Si maintenant on mène du point m les lignes mr et mt , parallèles aux côtés de l’angle cherché a d b , l’angle t mr sera égal à cet angle a db. Or, d’après l’égalité entre l’angle de réflexion et l’angle d’incidence d’un rayon visuel , et les propriétés des parallèles, on trouve que cet angle tmr , c’est-à-dire l’angle cherché , est égal à l’angle q mp moins la moitié de la somme des deux angles pme et qmg.1

1 En effet, on a, d’après les suppositions, pem — 180° — pme et pem = 180° — (rfem+ ber)-, donc pme = dem H- ber : et comme de m =. ber, on a pme — 2 dem; mais dem = emr ; donc pme = 2emr: donc l’angle r m p = \ p m e.

On prouveroit , par un raisonnement tout-à-fait analogue, que de l’autre côté l’angle t m q = -3- q m g.

Mais la somme des deux angles rmp et tmq est précisément la différence entre le gi-and angle qmp observé et l’angle tmr , ou son égal.

Sans doute les suppositions qui ont été faites amènent nécessairement des inexactitudes dans la mesure de l’angle ; mais M. Malus a calculé qu’en opérant sur des objets situés au moins à la distance indiquée , le maximum d’erreur dans la valeur de l’angle cherché ne pouvoit être que d’environ quinze secondes.

Pour éviter les petites anomalies résultantes de la courbure légère qu’ont fréquemment les faces des cristaux, M. Malus avoit imaginé de noircir les deux faces de l’angle dièdre à mesurer , en ne laissant sur chacune d’elles qu’un espace éclatant très-étroit, et de répéter plusieurs fois l’épreuve sur d’autres points à différentes distances de l’intersection. Les résultats obtenus différoient, à la vérité, entre eux, mais extrêmement peu, et il en prenoit la valeur moyenne.

On voit que l’on ne peut faire usage de cette méthode de mesurer les angles par réflexion que dans des circonstances particulières qu’on n’a pas toujours à sa disposition ; mais, d’un autre côté, comme on a souvent un cercle répétiteur pour d’autres usages, on peut s’en servir à défaut de l’instrument suivant.

§. 3i. Le goniomètre à réflexion du D.r Wollaston est d’un usage beaucoup plus général. Il est représenté figure 8. Il consiste en un cercle entier, divisé en degrés sur sa tranche, disposé verticalement sur un axe horizontal mobile i k , qui est assujetti par un support m n , reposant sur un pied horizontal g h. Ce cercle est muni d’un vernier q , qui est fixe et adapté au support m n . L’axe i k est creux et traversé par un second axe tf ) l’un et l’autre peuvent tourner sur eux -mêmes au moyen des viroles v et s, avec cette différence que la petite

l’angle cherché ad b; donc adb — qmp

qmp — - - - -

[rmp -f- im y), ou adb~

Ou, en général, si on nomme X l’angle dièdre à déterminer sur le cristal, A le grand angle observé entre les rayons visuels dirigés vers les deux objets, B l’angle observé entre le rayon visuel dirigé vers un objet et celui dirigé vers son image réfléchie dans une des faces de l’angle X, et C l’angle semblable pour le second objet; on a

Mesure des angles des cristaux .

virole 5 ne fait tourner que l’axe intérieur, l’axe extérieur et le cercle restant immobiles , au lieu que la grande virole v fait tourner à la fois l’axe extérieur et le cercle qui lui est adapté, et aussi l’axe intérieur.

Cet axe intérieur est prolongé en/, d’abord par une branche circulaire / 1 qui est brisée et peut se mouvoir en d . Son extrémité l est creuse et traversée par une tige ronde e p , qui peut s’avancer ou se reculer % et en même temps se mouvoir circulairement au moyen de la virole u. L’extrémité p est fendue de manière à recevoir une petite plaque de cuivre c.

C’est sur cette plaque c , ou à l’extrémitép de la tige ep , que l’on fixe, avec de la cire, le cristal AB sur lequel on veut mesurer un angle dièdre 5 et c’est pour pouvoir donner à volonté au cristal toutes les positions nécessaires, que l’on a imaginé tous les mouvemens que l’on vient de décrire dans le prolongement fe.

On conçoit qu’il faut placer le cristal de manière que l’intersection des deux faces dont on veut mesurer l’angle , soit d’abord à peu près parallèle à l’axe de rotation. On obtient ensuite ce parallélisme rigoureusement par des moyens que nous allons décrire.

Pour observer avec ce goniomètre , il faut le placer sur un plan horizontal , et diriger le plan du cercle à peu près perpendiculairement à la face d’un bâtiment peu éloigné, et offrant , comme cela est ordinaire , plusieurs lignes horizontales parallèles, telles, par exemple, que la ligne extrême du toit et une ligne de balcons d’un même étage. On tourne alors le cristal par le moyen de la virole s , de manière à apercevoir sur une de ses faces A l’image réfléchie de la plus haute de ces lignes parallèles; puis on fait varier sa position, toujours au moyen de la virole s , de manière que l’œil observe à la fois cette ligne réfléchie et l’autre ligne inférieure du bâtiment vue directement, coïncidant ensemble. Lorsqu’on y est parvenu , on fait la même opération sur l’autre face B , sans toucher au cristal , mais seulement en le faisant tourner par la virole s : si la coïncidence a également lieu , on est assuré que l’intersection des deux faces A et B est bien parallèle à l’axe de rotation, et que le plan du cercle est perpendiculaire

aux deux lignes de mire parallèles. Le plus souvent on ne réussit pas d’abord : les deux lignes ne peuvent être amenées à la coïncidence sur la seconde face B ; on y voit l’image delà ligne réfléchie couper la ligne vue directement. Pour obtenir la coïncidence, on fait varier, soit la position du cristal sur son support au moyen des divers mouvemens du prolongement jfe, soit la direction du plan du cercle vers le bâtiment. Après quelques tâtonnemens, dont on acquiert bientôt l’habitude, on parvient à trouver la véritable position, dans laquelle la coïncidence parfaite de la ligne réfléchie et de la ligne ( parallèle à la première ) vue directement a lieu également sur B une et l’autre face du cristal, ce qui est la condition essentielle pour l’exactitude de l’observation.

Alors, au moyen de la virole v, on met le cercle à zéro, et, au moyen de la virole s, on amène une des faces A du cristal à donner à l’œil la coïncidence indiquée. On fait tourner ensuite le cristal , et en même temps le cercle , avec la virole a, de manière à obtenir la coïncidence sur l’autre face B. Il est évident que le cercle, qui tourne aussi (comme on l’a dit) avec la virole doit marquer le nombre de degrés de la rotation qu’a subie le cristal pour que la face B vienne prendre la même position qu’avoit la face A lorsque le cercle étoit à zéro.

Mais, d’après ce qui a été dit ci-dessus (§. 29), ce nombre de degrés n’est pas l’angle dièdre cherché, mais le supplément de cet angle. (Voyez la fig. 5.) Aussi, pour éviter tout calcul, la division du cercle, qui est ici de deux fois 180°, est inverse du sens dans lequel il doit tourner. Si la rotation a été du quart de la demi-circonférence , c'est-à-dire de 4Ô°, le cercle marque i35°, qui est son supplément.

On conçoit que, pour obtenir une plus grande exactitude, on peut répéter l’observation de l’angle plusieurs fois, comme avec le cercle répétiteur ordinaire.

Pour rendre l’observation plus commode, on a adapté au support un ressort r, qui arrête le cercle aux deux points qui marquent à la fois zéro et 180° par le moyen de deux saillies qui existent dans l’intérieur du cercle. Ainsi , lorsqu’on est arrivé à l’un de ces points, on ne peut faire tourner le cercle',^ de io° par exemple, qu’en l’amenant à 170%

Mesure des angles des cristaux .

et non en l’amenant à marquer io°; pour lui faire marquer io°, il faudroit lui faire subir une rotation de 170°. De cette manière on est assuré de ne commettre aucune erreur, et d’avoir toujours directement marquée sur l’instrument la quantité de degrés de l’angle cherché , ou le supplément de l’arc de rotation.

Cependant on peut, en cas de besoin, donner au cercle tous les mouvemens que l’on veut en soulevant le ressort.

§. 32. Ce goniomètre a un avantage remarquable, c'est de pouvoir servir à mesurer les angles dièdres de cristaux trèspetits, en approchant l’œil très-près du cristal. Cette con-4 dition de la grande proximité de l’œil est même essentielle dans tous les cas , l’œil n’étant point fixe : mais on doit observer que ce sont précisément les petits cristaux qui doivent donner les angles les plus exacts, parce que l’effet de la légère courbure qu’ont souvent les faces cristallines y est à peu près insensible. Cette grande proximité de l’œil permet encore d’appliquer, avec cet instrument, la mesure des angles par réflexion à un plus grand nombre de cristaux qu’avec les autres instrumens que nous avons décrits d’abord : le plus foible éclat d’une face permet d’y observer une image réfléchie.

Les différens modes de mesurage des angles dièdres des cristaux, par réflexion , doivent, comme on le voit, donner des résultats plus exacts que les goniomètres ordinaires par application , pourvu, toutefois, qu’on ait pris toutes les pré* cautions indiquées; et on doit remarquer qu’on peut toujours s’assurer , presque rigoureusement , d’avoir bien observé ces précautions , tandis que dans les goniomètres ordinaires on ne peut juger que par aperçu que les lames sont appliquées bien perpendiculairement à l’intersection. Néanmoins l’emploi de -ces goniomètres à réflexion , même de celui du docteur Wollaston, ne pouvant s’appliquer aux cristaux non éclatans , et exigeant toujours un temps beaucoup plus long que l’emploi des autres goniomètres, l’usage de ceux-ci est et doit être conservé, né fût- ce que pour reconnoître rapidement des angles déjà déterminés antérieurement; mais le mesurage par réflexion peut être préféré lorsqu’il s’agit de déterminer le système cristallin d’une substance qui n’est pas encore suffi* samment connue.