I I -4- A . FI
m = — = y fil =-■ -
yfï.
On vait donc que le rayon eHiplicjuc incident auia donné, après une certaine épaisseur traversée, les deux rayons circulaires
lOO —
dont la résullanlc sera
'il
— cos-î sin ( b}t
-;=. sin cos ( to t
-:=. Sin ' sin ( b) ^
-— COS-! COS f 0) /
c'est-à-dire que ces rayons circulaires reviennent à deux mouvements vibratoires rectilignes en croix ayant une
Fi g. 33.
différence de phase égale à — et d'amplitudes -p et - -,
comme \difig* 33 le montre.
De tels mouvements engendrent toujours un mouvement vibratoire elliptique, comme on sait. Et, à chaque instant, ce mouvement vibratoire résultant peut régénérer les deux mouvements circulaires primitifs parcourus en sens contraire. Par conséquent, il est bien démontré que deux rayons circulaires d'intensité inégale et parcourus en sens
^ loi
contraire se propageront suivant Taxe principal d'un quartz, sans que leur composante puisse être considérée comme n'étant autre chose qu'un mouvement vibratoire elliptique.
Il y a donc tout lieu d'admettre qu'il en est encore ainsi lorsque le rayon incident elliptique ou circulaire pénètre dans un quartz obliquement à l'axe, et que les rayons elliptiques engendrés, parcourus en sens contraire, auront à chaque instant pour résultante un mouvement vibratoire elliptique.
Pour simplifier, nous supposerons circulaire le rayon incident. Les deux rayons elliptiques de l'entrée étant orientés, comme nous l'avons démontré, par la section principale du cristal, seront au bout d'un certain chemin
. V^ (i-h X:2)r^i = (i-f- A) sin(to^ — 8),
\/Z(i-\-k^)^^i =z k(i-hk)cos((iit — h,
V ^ (i-\- k^)r,.2= — k(i — k)s\n((jùt — ^)f ^2 (i-h/c2) $2 = (i/:)cos(to^ — y),
qui donneront, en remplaçant 5 par -\ -y y par
/â (H A-2)(T^H-r^2) = ( H-A-2) cosl^ sin /u)^ — ^±1^
-l-(i4-2A- — A2)sini cos((i)^ ï |>
-H(i — 2A. — A*)sinï sin(u)/ ^j,
c'est-à-dire un mouvement vibratoire elliptique redonnant
à chaque instant les deux, ellipses de Centrée, orientées par la section principale du cristal.
Dans ces conditions, lorsque les ellipses cessent d'être superposées, elles se retrouvent telles qu'elles étaient à l'entrée, c'est-à-dire orientées par la section principale du cristal. Donc, quand elles arrivent à la limite inférieure de ce que nous avons appelé la zone de polarisation rotatoire, aucune modification ni dans l'orientation, ni dans l'aplatissement, ni dans la forme ne se produisant, elles passeront (comme nous le montrerons bientôt) de la zone de polarisation rotatoire dans la zone de la double réfraction sans se dédoubler.
Telle est la distinction fondamentale qu'il convient d'établir entre les ellipses de l'entrée engendrées par de la lumière incidente polarisée rectilignement et celles dues à de la lumière circulaire.
Les premières sont orientées tout d'abord par le plan primitif de polarisation et sont essentiellement variables de forme dans la zone de polarisation rotatoire. Elles ne deviennent privilégiées qu'au moment même où elles se dédoublent en s'orientant suivant la section principale du cristal.
Les secondes, orientées dès l'entrée par cette section principale, peuvent être considérées comme privilégiées pour toute l'épaisseur traversée.
Les premières donnent lieu dans la première zone à la rotation du plan primitif de polarisation.
Les secondes, quoique superposées dans la même zone, ne peuvent jamais avoir pour résultante un mouvement vibratoire rectiligne, mais bien elliptique, redonnant à chaque instant les ellipses de l'entrée et, par suite, peuvent être considérées comme indépendantes et privilégiées' comme Airv l'avait admis.
CAS DES BIPRISMES.
Rayon elliptique d^Airy, incident droit sur cristal
dextrogyre.
Un rayon d'Airy est un rayon elliptique dont le grand axe de V ellipse est parallèle ou perpendiculaire à la section principale du cristal. Par conséquent Ç, yj {fig. 34) seront les coordonnées parallèles et perpendiculaires à celle-ci; si l'on suppose que le cristal qui a engendré A LA SORTIE cc rajon elliptique soit dextrogyre, celui-ci sera à la sortie, d'après les hypothèses d'Airy et d'après nos expériences, ordinaire et droit, c'est-à-dire comme le représente la figure. On aura donc, pour l'équation de ce rayon, b> a^
fi = 6sinu)^, J = a Costa t.
D'après nos recherches, un rayon circulaire ou elliptique droit pénétrant dans un cristal droit donne sur les deux rayons un elliptique droit plus intense que l'autre, et cet elliptique droit est en outre ordinaire, le moins intense étant extraordinaire; il en résulte qu'en posant
Tf) = T)! -H 7)2, I = Il -^ ;2'
on fera
(b-^ak) . k'{bk' — a) .
^^'=^ .^l'i sin(o/, 7^2= — ^ sinci)/,
^ , k'{b-hak') , bk'~a ^
Et l'on voit que ces équations satisfont aux équations
— id4 —
de rentrée et, en même lemps, aux recherches expérimentales, qui veulent que près de Taxe le rayon droit soit plus
intense que le rayon gauche, qu'il soit ordinaire alors que le second est extraordinaire et moins intense.
Supposons que l'axe du premier cristal ait la direction du second cristal. Dans ces conditions
d'où
hk' — a = o.
On
aura
;i = acosw/,
Par conséquent, le rayon elliptique d'Airy se propage sans modification aucune dans le second cristal, si
celui-ci est de même signe que le premier et si la direction de Vaxe est rigoureusement la même.
Donc, c'est uniquement parce que i° l'aplatissement est fonction de l'inclinaison de l'axe, 2® et que l'orientation est invariable, que le rayon elliptique reste unique dans le second milieu dont l'axe conserve la même direction.
Dans le cas particulier où â:'= i, c'est-à-dire comme dans nos expériences, lorsque l'axe du second cristal a la direction du rayon incident, on voit que les formules précédentes deviennent, à la sortie du second cristal.
Tfïi =
Si =
sin(a>^ — S), r^j =
sin(a)^ — y)»
— cos(a>^ — 6), 52= cos((i>^ — y).
Par conséquent, un rayon elliptique d'Airy est nécessairement représenté, à la sortie d'un biprisme tel que
Fig. 35.
celui ci-dessus (/?g. 35), par deux rayons circulaires parcourus en sens contraire, dont les intensités lumineuses seront
b^-^-a^-hiab b^ -\- à^ — ^.ab
et
— i56 — ou, en remplaçant - par -r, par les deux formules
avec des vilesses
On voit que dans nos expériences, même en adhtiellant Texactitude de la théorie d'Airy, on devait toujours voir quatre rayons à la sortie de nos biprismes formés de deux quartz de même signe, du moment que les axes faisaient
entre eux un certain angle.
Rayon elliptique (TAiry, incident gauche sur cristal
dextrogyre.
L'équation de cette ellipse sera (^fig* 36) Tj = ô'sinu)^, Ç = — a'cosw^.
D'après nos recherches, un rayon elliptique gauche pénétrant dans un cristal droit engendrera un rayon elliptique gauche extraordinaire y le plus intense, et un rayon elliptique droit ordinaire, le moins intense. Par suite, on aura les équations de condition
Yj = r^i H- r^2, ? = ;i -+■ $2,
et Ton fera
k'ia'^b'k') . a!l^—U.
^1 = . ^ l'y COSa)^ Ç2 = . , ;,, — costo/,
qui satisfont et aux équations de condition et aux données expérimentales d'après lesquelles le rayon gauche est extraordinaire Çi > r^i et plus intense que le rayon
Fig. 36.
ordinaire, puisque l'intensité de ce rayon extraordinaire sera ici égale a p-j — r tandis que celle du rayon
,. . {a'k'—b'Yordmaire sera 77:; —
Toutes les conditions expérimentales étant remplies, nous sommes bien certain que les équations précédentes sont celles des deux rayons elliptiques dans le second milieu.
Si l'axe du second quartz est dans le prolongement du premier, l'aplatissement des rayons elliptiques de même sens rotatoire est nécessairement le même; par suite
d'où
a par conséquent
a'k'-b' = o et
^ TJi = h' SXtiOit^ Tj2 = O.
' Çi = — a'cos(o<, J, = o.
Donc le second rayon elliptique gauche d'Airj se propage sans modification aucune dans le second cristal y si celui-ci est de même signe que le premier et si la direction de Vaxe est rigoureusement la même.
Dans le cas particulier où â:'= i, c'est-à-dire quand le second milieu a la direction des rayons incidents, les équations des deux rayons deviennent celles de cercles, savoir
r,i = — - — siii(tof — y), r,2 = — - — sin(a)^— ô), ^j = cos(a)< — y)» sî = cos(a)< — o),
et leurs intensités lumineuses seront
^'2 u a'2 -H 9. a' U 6'« -H a'2 — 2 rt' //
ou en remplaçant — par sa valeur k
(,-H/)2 et -d-^^;' /
avec des vitesses
Vn I
Les cas les plus simples sont ceux dans lesquels les
rayons d'Airy onl clé engendrés par de la lumière incidente circulaire. On a loujours, en effet, pour les rayons
elliptiques produits dans le premier prisme, - = |- et
Cl K
-7 = k. En se reportant à la page i46, on voit que , i \-h k . T I — k
Donc les deux rayons circulaires produits dans le second prisme et consécutifs au rayon elliptique droit d'Airy auront pour intensités lumineuses, d'après la page i56,
(■) /-4(.— X^)i •=' lîiTÂî?' \ (^>
et ceux consécutifs au rayon elliptique gauche d'Airy, les intensités, d'après la page i38,
/ . . I (I-AM2 ^ I (i~k)'* .
Il est facile de voir que les intensités lumineuses seront dans l'ordre de succession des chiffres (i), (2) = (3), (4). C'est ce que l'expérience vérifiera complètement. En effet, elle nous montrera que le rayon le plus intense (1) et le rayon le moins intense (4) sont toujours parcourus dans le même sens et que les intensités (2) et (3) ne peuvent être différenciées l'une de l'autre.
Rayon elliptique d'Airy y incident droit sur cristal
If'vogyre.
Nos expériences nous ont montré que dans le voisinage de Taxe, quand un rayon circulaire ou elliptique droit tombe sur un quartz lévogyre, le rayon le plus intense est extraordinaire et droit, et le moins intense ordinaire et gauche.
Par suite, le rayon incident étant, d'après la fig, 3^, nous aurons
k'{a-^bk') .
sino)/,
b-ak' . T^<î = \^ k'^ sinfa)^
qui satisfont aux relations r^=^T^^ -h r^a? Ç = 5i + ?•> et aux
Fig. 3;.
conditions expérimentales indiquées par la figure ci-contre. Ici l'on ne peut jamais avoir h — ak' = o, car on en
déduirait — = A^, ce qui est impossible, puisque b> a el
que k' <i I, sauf pour /> = a, k' = i, c'est-à-dire quand le ravon incident est circulaire et que Taxe du second cristal
a la direction de ce ravon. Pour — = — = — , axes dans le
prolongement, on a
b — ak =b\\ — Xn.
Donc, un rayon elliptique droit d^Airy provenant d'un cristal dextrogyre et pénétrant dans un cristal lévogyre engendre toujours deux rayons elliptiques droit et gauche, quelle que soit la direction de Vaxe du second cristal par rapport au premier, en particulier quand la direction est la même. Nos recherches et les formules ci-dessus démontrent l'exactitude de cette hypothèse d'Airy qui, jusqu'ici, était restée à l'état d'hypothèse.
Si Â:'= I, c'est-à-dire quand l'axe du second cristal est dans le prolongement des rayons incidents, les deux rayons d'elliptiques deviennent circulaires, et on a pour leurs intensités lumineuses
«2 -J- -xab -4-^2 ^2 >)ab -h h'^
et »
d ou, en remplaçant - par -j■^
-(n-^)2 et (,-A:)2,
avec des vitesses
Rayon elliptique d*Airy incident gauche sur cristal
lévogyre.
Nos expériences nous ont montré qu'un rayon circulaire ou elliptique gauche pénétrant dans un cristal lévogyre engendre uji rayon elliptique ordinaire gauche le plus intense et un rajon elliptique extraordinaire droit le moins intense.
La fig. 38 ci-contre représente ce résultat expérimental. Par suite, le rayon incident étant
v; = 6'sinto*, {= — a'cosoi/,
nous aurons pour les deux rayons engendrés dans le second cristal
. k'{a!k'->rb')
a'- b'k' U = — ^^^/a cosoi^
qui satisfont aux équations de condition
Y) = YJl ^ 7)8, { = Çi-f-{2
et aux résultats expérimentaux.
Ici, l'on ne peut jamais avoir a' — b'/c^= o, car on en
Fig. 38.
déduirait k'=jp9 ce qui est en contradiction avec l'hypothèse a'> b'^ sachant que k^ varie de i à o.
Pour 1^ = -i, axes dans le prolongement dans les deux cristaux, savoir
— i63 — il vient
d— b'k' =a'{\ — A-2) et a' k' -^ h' = idk.
Donc, un rayon elliptique gauche (T A iry provenant dun cristal dextrogyre et pénétrant dans un cristal lévogyre engendre toujours deux rayons elliptiques gauche et droit y quelle que soit la direction de Caxe du second cristal par rapport au premier y en particulier quand la direction des deux axes est la même.
Dans le cas particulier où A"'= i, c'est-à-dire quand le second milieu a la direction des rayons incidents, les rayons elliptiques deviennent des rayons circulaires, savoir
TQ, = — - — sin(w^ — v), r,î = — sin(a>f — Q),
Çi = — cos(a)^ — y), $2 = — cos(to.^ — a),
dont les intensités lumineuses seront
et r
ou, en remplaçant -7 par sa valeur A:,
\ \{i + k)* et ^ (>-/•)', /
avec des vitesses
Si nous n'examinons encore ici que le cas où les rayons d'Airy ont été engendrés par de la lumière incidente circulaire, on aura dans les deux exemples que nous venons de traiter, quand les deux prismes sont de signe contraire et que le dernier a son axe dans la direction des rayons incidents, les mêmes valeurs pour les Intensités himi-
- i64 — neuses que celles données (p. iSg), si, comme précédem-
I I I Iç f f —^ le
ment, on remplace h par —^ 7^ et d par -— —•
Par conséquent, on a les quatre raj'ons (1), (2), (3), (4). Nous pouvons réunir dans le Tableau suivant les résultats obtenus.
