BA.PPOBT DES AXES
Calculé.
Différence.
Incidence.
Observé.
Évaluation.
o,io5
-l-o,oo3
— o,oo3
Ces résultats, très remarquables, nous montrent pour la première fois, d'une façon indubitable, que, si les expériences de Jamin, en ce qui concerne les différences de marche et le rapport des axes, sembleut vérifier la théorie d'Airy sur la plage centrale et à la périphérie, nous avons expliqué pourquoi, elles se trouvaient en désaccord avec cette théorie à mi-chemin de la périphérie, lorsque la lumière incidente était polarisée rectilignement ,
On voit donc, par la discussion complète des expériences de Jamin, que nous avons prouvé l'inexactitude de la théorie d'Airy, par le seul examen des différences de marche totale des rayons indigo dans le voisinage de l'axe. Quant aux rapports des axes, leur vérification n'était qu'illusoire au centre, et en contradiction avec l'expérience à mi-chemin de la périphérie. Elle ne devenait valable qu'à la périphérie où la rotation du plan primitif de polarisation pouvait être négligée.
Du reste, la vraie méthode expérimentale pour justifier la théorie de la double réfraction elliptique du quartz ne devait pas consister seulement à mesurer avec un compensateur des différences de marche de rayons dont le
Fresnel
Pi = - sino)^,
Œl = - COStiit.
p2== - smuit,
dj = COStiit.
Les équations des deux ellipses d'Airy de Tenlrée étanl
dans notre système de coordonnées (voir p. 174)) (crbïal dextrogyre)
7)1= y— ;— ^ (sint sîncof -H Arcost costo^),
ïi =
(sintcosto^ — k cosis'moit),
(ksinisinoit — costcosoi^),
(/csint cosb)t -+■ cosis'irnat),
devenaient suivant l'axe (A* = i )
- (sin*sina)< 2 ^
- (sin i cosoj^ 2 ^
- (sini sino)^ -
- (sintcosto^ 2 ^
- COS ((i)t
- sin ((of 2 ^
COSiCOSOX) =
cosf sin(o<) =
COS t COS Oit) = — - COS (bit -h
2 ^ cosïsinto^) = sin (a>^
Et pour reirouver les deux cercles de Fresnel rapportés au plan primitif de polarisation, c'est-à-dire se débarrasser de l'angle i, qui n'a aucun sens suivant Taxe, il faut remarquer que Ton a entre les coordonnées (yj, Ç) d'Airy et les coordonnées (p, g) de Fresnel {^ffg- 24)
7) = p sin t -h Œ cosij J = (T sint — p cosi.
On voit donc l'incorrection des formules d'Airy. Si elles avaient été exactes, en faisant A":^ i, on aurait dû d'emblée retomber sur les formules de Fresnel, c'est-à-dire sur des relations indépendantes de l'angle i que l'on avait obliquement à l'axe.
Cependant, lors de la discussion des recherches de Jamin, nous avons montré que nos formules générales (M), (N) nous permettaient de retrouver les formules d'Airy dans le voisinage de la périphérie, lorsque l'on faisait
Vik= o.
Comme nous l'avons vu, les formules d'Airy, exacics
Fig. 2.S.
dans le voisinage de la périphérie , étaient, dans les cas particuliers dans Icsfjucls Jamin s'était placé, /i=()o",
— i3o — i'= o® i^fig' ^5), pour un cristal dextrogyre,
?! = n: sino)^, £4 = j- sino)^,
^i = i^X:^ cosa)«, 7)j = -p^Tp costo^
Le problème à résoudre était donc le suivant. Établir des formules qui nous permettront de retrouver de suite les relations de Fresnel suivant l'axe, celles d'Airy dans le voisinage de la périphérie, et qui du centre à la périphérie nous rendront compte de la rotation du plan primitif de polarisation.
Or, si l'on pose, pour les équations de l'entrée que Ton substituera au rayon incident p = sino)^,
(l) p = p,-Hp2, o = (J, -Hffj;
J >/pQ — s/pQ
sachant que
p = sin2 i + k'^ cos2 1, q = cos^ i -\- k^ sin^ t,
nous aurons deux équations satisfaisant à toutes les conditions du problème.
1° Suivant l'axe, /: = i, elles deviennent indépendantes, comme cela devait être, de l'angle (90** — i) que fait le plan primitif de polarisation avec la section principale du cristal.
— i3i — En effet, pour /: = i,ona/?=i, q = i^ d'où
pi = -sintof, p2 = -sinoj^,
Œi = - cosw^, Œj = coswr;
ce sont les relations de Fresnel.
2° Pour k = o périphérie :
Si i= 90°, les deux ellipses se réduisent à
p, = r/i = sina)^ = p;
et si i = o® elles donnent
p2 = Ji = sina)< = p;
ce sont les mouvements vibratoires parallèle et perpendiculaire à la section principale.
3® Pour k compris entre i et o, nous avons dans les deux cas des expériences de Jamin :
Si i = go^j
si i = o®,
p = k^, q = J, p-\- q =: i -h k^j yjpq = k.
Par suite, nos formules générales deviennent
pi =-j--j--^sina)« = Tii, Pj = __^^ sina)^ = T,j,
p!=7:;rF^^"^^ = ^i' Pi= TTT^ sin(o« = $;^
Ce sont les relations de Jamin-Airy que Texpérfence a vérifié exactes dans le voisinage de la périphérie.
Donc nous retrouvons, suivant l'axe, les relations mêmes de Fresnel et, à la périphérie, celles de Jamin-Airy.
En outre, les équations de condition de l'entrée sont toujours remplies, et V intensité lumineuse des deux rayons elliptiques substitués est égale à V intensité lumineuse du rayon incident. On a, en effet,
/?2 -t- ipq -\- q^ ^
Nous insistons sur celte dernière condition que l'on a l'habitude d'oublier dans les Ouvrages les plus recommandables, où Ton n'insiste toujours que sur les équations de condition (i), lesquelles ne suffisent pas. La relation des intensités lumineuses doit toujours accompagner les précédentes.
4®». Les équations (2) dans lesquelles on remplacera 0)^ par tùt — S, iùt par iùt — y, nous donneront, après une certaine épaisseur traversée, sachant que p -\- q z=i {^i -\- A"^)
et 0) r = (1) ^ — >
Y — 8 (i-+-A:2)(pi-i-p2) = (i -+- A-2)cos-i sino)/'
Y — S (^)[ — (sin^i — cos2£)(i — A'2)sin-i-; — costo/'.
(i -1-/1=^) (c7|-+-ar2) = — s/pq sin —^ — sintof'.
Or le dernier terme de la première relation est ne-
gligeable dans le cas de lames minces, puisque est
proportionnel à l'épaisseur traversée z (voir discussion des
formules de Mac Cullaerli où ^^^ = z=^a/(.z),
négligeable de la mcnie manière dans le voisinage de l'axe où
A" est voisin de i , et négligeable obliquement à l'axe pour
une obliquité et une épaisseur telles que ( i — k'^) sin
reste très petit. En outre, pour i = 45®, le dernier terme' est toujours nul. La vibration est donc rectiligne à droite de la position initiale (œi +(12)? négatif si le cristal est dextrogyre; par suite, on a aussi rigoureusement que dans le cas des lames minces, pour une obliquité donnée jusqu'à une épaisseur d'une certaine grandeur y
iJpq tang pA = ^-^^ tang
Mais remarquons que, pour une obliquité déterminée, la rotation du plan primitif de polarisation peut être plus grande que celle donnée par la formule ci-dessus, surtout
loin de l'axe où ( J a dû être pris très petit. Mais le
raisonnement fait pour le premier chemin correspondant
à j on le reprendra pour un autre chemin très petit.
Fig. 26.
L'azimut du plan primitif de polarisation qui était iy étant devenu t'= i — p^, dans ce nouvel azimut V le rayon étant polarisé rectiligncmcnt : p'= sinwf', on substituera
à ce rayon deux autres ellipses orientées suivant p', </ {/ig* 26), tandis qu'à l'entrée elles étaient orientées suivant p, œ; on aura donc, au bout d*un chemin très petit dans le voisinage de la périphérie, et d'un chemin suffisamment grand dans le voisinage de l'axe, par analogie avec les équations de l'entrée,
p, = .;-^2Sina)^ l p2==--i-^sina>^
dans lesquelles
p' — sinî V -I- Ar2 cos^ i\ q' = cos^ i' -h /c^ sin2 j'.
Avec ces mêmes ellipses, on tombera sur les relations (4) dans lesquelles /?, q seront remplacés par /?', q'. Donc, au bout d'un chemin suffisamment assez petit, et que l'on peut prendre égal au premier, pour que le second membre de la première relation soit négligeable, on aura
, 1 \/p'q' Y — tangpf, = ■ ,\ tang-^
En raisonnant ainsi de proche en proche, tant que les mouvements vibratoires des ellipses peuvent être considérés comme superposés, on aura donc finalement une rotation du plan primitif de polarisation donnée par la formule
On voit que d'après les valeurs de /?', q^ les ellipses ont non seulement changé de forme, bien que k fût resté constant, mais que leur orientation a été essentiellement variable. Ainsi est justifié le nom que nous avions donné de zone des ellipses d^ orientation variable pour la pre-
mlère zone. Ce n'est qu'à la limite inférieure de celle-ci qu€ les ellipses seront orientées d'une manière invariable par la section principale du cristal.
L'orientation variable des ellipses répondait donc à la rotation du plan primitif de polarisation, qui lui-même était dépendant de ce que Ton observait dans la première lame mince. On peut s'étonner que ce fait ait échappé jusqu'ici aux auteurs qui, dans la propre théorie d'Airy, dans le cas des lames minces cristallisées y enseignaient qu'il y avait une rotation du plan primitif de polarisation représentée par (Verdet, Optique, t. II, p. 334)
ik Y — ^
Or il était indispensable, pour retomber sur des ellipses à la sortie, de substituer de nouveau au rayon polarisé rectilignement dans ce nouvel azimut deux ellipses. Donc, si celles-ci se propageaient alors sans altération jusqu'à la sortie, elles ne pouvaient en tous les cas avoir l'orientation des ellipses après une mince épaisseur traversée. Par conséquent, les hypothèses d'Airy et des auteurs sur l'invariabilité de direction des ellipses de l'entrée à la sortie étaient en contradiction avec la propre relation ci-dessus.
Dans le voisinage immédiat de Taxe (A' voisin de i)et
de la périphérie [(y — o) voisin de o],
»\ ( sin2 i — cos2 i) ( i — k^ ) sin cos o) t
étant d'emblée négligeable dans (4), on aura donc de suite
et
ce n'est que pour la plage centrale et la partie médiane qu'il faudra passer par les valeurs successives de p^, p^, ..., pour avoir R^.
Afin de faire voir nettement comment les choses se passent, supposons d'abord que les épaisseurs des lames soient assez minces pour que V reste de même ordre de grandeur que i, et par suite que les mêmes ellipses soient parcourues dans le même sens pendant Fépaisseur traversée; dans ce cas, sur la plage centrale Siussi bien qu'à la^eriphérie, les courbes resteront in\?ariables de forme, mais di orientation variable. On aura par suite dans un cristal dextrogyre, pour f>45°, les figures suivantes {fig, 27):
Fig. 27.
Limite supérieure de la zone de polarisation rotatoire i > 45».
Limite inférieure de la zone de polarisation rotatoiro i > 4;)».
Lames minces.
Examinons maintenant le cas des lames épaisses. Sur
la plage centrale et jusque sur la partie médiane, i allant en diminuant avec l'épaisseur traversée , les choses se passent comme si la valeur de V passait pour f = 90®, de 90** à 45°, à o®, etc.
En supposant à l'entrée ^ = 90°, 43**, o®, on aura dans la première zone, avec nos formules, sur la plage cert" traie et dans la partie médiane, la série de figures suivantes {Jig- 28) :
• Kig. 28.
Zoncy rlfs éUipses jinoilégiées
i.mO*'
Lames épaisses.
Chacune des figures successives de la zone de polarisation rotatoire donnant lieu, comme on voit, à la rotation du plan primitif de polarisation.
Avec les formules d'Airy, on a les apparences suivantes (y?^. 29) si 1 = 90°, 45", o®, pour les ellipses de l'entrée dans un cristal dextrogyre.
En se plaçant dans le voisinage de la périphérie où, comme nous l'avons vu, les ellipses conservent leur forme et ont sensiblement la même direction à la sortie qu'à l'entrée, puisque Ra est voisin de o, il est facile de vérifier
Donc, indépendamment de toute théorie, pour passer géométriquement de la première figure à la dernière, on devait nécessairement passer par la forme circulaire pour t = 45°.
Nos formules répondent exactement à ces figures. Celles d'Airy répondant à \difig.{b) pour i=: 4 5^ sont donc fausses comme incompatibles avec les figures expérimentales (a) et (c), vérifiées rigoureusement pstr les recherches de Jamin (^ = 90®, i = o**) dans le voisinage de la périphérie, ainsi que par nos expériences, comme nous le verrons.
Il nous reste, pour terminer, à montrer que nos formules seront les véritables intégrales générales des équations différentielles de la théorie de Mac Cullagh, quand on a soin de faire disparaître l'anomalie signalée par nous pour la première fois au sujet de l'orientation des axes dans la première zone des cristaux biréfringents possédant le pouvoir rotatoire. Dans la théorie actuelle on établit les équations différentielles et l'on arrive à leurs intégrales sans connaître la nature de la lumière incidente, et, dans le cas de lumière polarisée rectilignement, sans que l'angle du plan primitif de polarisation avec la section principale entre explicitement dans les formules correspondantes!
Nous avons montré que dans les formules de Mac Cullagh les axes de coordonnées devaient être rapportés au plan primitif de polarisation à l'entrée, et dans la première zone, à chaque instant, au plan de polarisation, résultante du mouvement vibratoire des deux ellipses. C'est-à-dire que Ton doit avoir, p, œ étant les coordonnées dans ces conditions,
qui donneront à chaque instant comme à Tentrée, et exactement comme suivant l'axe,
p -f- p'= m sin(ai^ -f- p), Π-H ff' = o.
Ces relations nouvelles de Mac CuUagh seront satisfaites à chaque instant, i pouvant être considéré comme constant pendant des épaisseurs très petites correspondant à une rotation p^, par nos équations
Pi = — — — sin(aif — l'z\ g% = — - — siii(a)« — l"z),
Jt = cos( (si t — l'z), (10= — ^-^cos(aj< — r^),
sachant que
p = sin^ i -h A'2 cos' i, q = cos^ i -i- A» sin* £ , d'oii/?+5r = i-h A2.
Si l'on pose — - — =/>n — ^ — = 7ii et que l'on
admette de suite pour simplifier (ce qui rentre dans l'hypothèse d'Airy et dans les limites de la vérification expérimentale) que l'on a, comme lorsque i = 90® et f = o®, conditions expérimentales de Jamin, ^^y, = i, ces relations deviendront
pi =pi sin(a>^ — rz)y p2 = — sin(ai^ — T^),
Pi
Œj = cos(a>< — /';;), (J2 = — cos(a)< — fz).
Elles vont nous permettre de bien apprécier les anciennes relations de Mac Cullagh telles qu'elles étaient enseignées jusqu'ici et qui étaient représentées par les équations dif-
férentielles
^2r ^ dH, d:^\ i — A ~ -X- r ^
dV- ~ dz'^ dz^
dt^ " dz^ dz^
5, Y] étant les déplacements des coordonnées suivant la section principale et une droite perpendiculaire.
Comme nous l'avons vu, les intégrales de ces équations seront, soit celles données page 4^ et répondant en réalité à ^ = 90°, soit
- TQi = — koLS\ïï{{ût — l'z), ''12 = — jasin((uf — Vz)} -
Ji = — acos(a)^ — l'z), Ç2 = -H acos(a)« — l'^z),
et qui conviennent au contraire à i = o®.
Ces formules sont celles des Ouvrages classiques {voir Verdet, Optique, l. II, p. 3 16.) Or dans ces formules données comme générales n'entre pas l'angle i que fait le plan primitif de polarisation avec la section principale du cristal; on peut se demander comment on avait pu avoir la prétention de vérifier avec ces relations de Mac Cullagh les formules d'Airy, dans lesquelles les dimensions des deux ellipses et le sens dans lequel elles sont parcourues sont essentiellement fonction de cet angle i. Cet angle devait s'introduire d'autant plus dans les relations générales de Mac Cullagh, dans l'hypothèse où les déplacements ^i, ^25 • • . étaient comptés suivant la section principale du cristal, que l'on écrivait (Verdet, Optique, t. II, p. 3i4) : « Quelle que soit la direction du plan de polarisation du rayon incident, on peut toujours le supposer décomposé à son entrée dans le cristal en deux rayons polarisés, l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement à la projection de l'axe sur le plan de l'onde. » Donc l'angle i entrait nécessairement dans ces
conditions, surtout si l'on se rappelle que la forme des ellipses esl essentiellement fonction de la nature de la lumière. Ainsi les équations difTérentielles de Mac CuHagh étaient absolument inexactes à l'entrée, si l'on admettait que les déplacements étaient rapportés à la section principale du cristal. Elles redevenaient correctes, au contraire, si l'on admettait que ces déplacements, comme dans la théorie de Fresnel, étaient à l'entrée rapportés au plan primitif de polarisation (p, a) et exprimées par (5), ce qui avait lieu en réalité dans ces cas particuliers.
Ce premier point établi, il fallait en outre à l'entrée que les intégrales renfermassent l'angle i du plan primitif de polarisBlion avec la section principale du cristal, puisque les/ï^. (n)et (c) étaienlexpérimentalcnient vérifiées dans le voisinage de la périphérie. Donc, dans celles-ci, on devait substituer à A' la valeur />(, qui permettait de retrouver les formules de Fresnel suivant l'axe, et celles d'Airy dans le voisinage de la périphérie. Et les intégrales présentaient le degré de généralité qu'on est en droit d'en exiger et don-naient, comme les formules d'Airy dans leur genre, les dimensions des ellipses et le sens dans lequel elles sont parcourues, quand la lumière incidente est polarisée dans le plan de la section principale ou dans un plan perpendiculaire.
On voit que les intégrales de Mac Cullagb, données
comme intégrales générales, ne répondaient en réalité qu'à
^o°, 90°. Eu effet, a étant pris égal à ~, on retrouve
3S deux équations d'Airy (p. i3i) correspondantes à = o". Et pour retrouver les deux ellipses d'Airy correspondantes à I = 90", il faut précisément admettre que l'ellipse ordinaire est devenue extraordinaire et inverse- :' est-à-dire que le sens dans lequel les ellipses sont parcourues a changé.
Par conséquent, si l'angle ( n'enlrail pas dans les intégrales des équations difTérenti elles de Mac Ciillagh, c'était uniquement parce que les auLcura, sans javoir pris g supposaient implicitement ('=o", 90".
Nos intégrales, au contraire, dans lesquelles on a pris
pi, qx au lieu de /. et y, renfermant cet angle i et per-
mellant de retrouver pour (' ^r o" et i-=. go° les formules d'Airj dans le voisinage de la périphérie où elles ont pu être vérifiées exactes, sont les seules qui nous donneront la solution générale du problème.
Donc, en même temps que nous retrouvons toutes les données espérimentales, nous voyons comment nous rec- ^ly/onsleséqualionsdilTérentielles établies dans les diverses théories mathématiques. Aucune, en elTet, ne conduisait à des intégrales renferitianl l'angle du plan primilifde polarisation avec la section principale du cristal. Les propres formules d'Airy renfermant cet angle auraient donc dû, dès l'origine, montrer que ces intégrales n'offraient pas le degré de généralité qu'une théorie doit donner.
Nos formules sont donc absolument conformes et aux véritables équations différentielles (5) et (fi) des première et seconde ïone, que l'on pourra établir dans les diverses théories mathématiques des cristaux possédant le pouvoir rotatoire, et aus données expérimentales, et aux formules d'Airy vers la périphérie oit elles deviennent exactes.
Si l'on remarque qu'il suflira de raisonner comme on l'a fait pour la plage centrale et la partie médiane (p. i34), c'est-à-dire ne supposer que des chemins très petits pendant lesquels les angles (', ï, f, etc., pourront être successivement considérés comme constants, on voit donc que dans les équations de condition que l'on établira pour retrouver les équations différentielles,/)! jouera le n
rôle que A* et sera considéré comme constant. Par suite, on arrivera identiquement aux mêmes équations de condition que celles connues et que nous avons données quand on prenait A" au lieu de/?|. Il suffira, dans celles-ci, de remplacer finalement k par p^ . On aura, pour la plage centrale et la partie médiane, autant d'équations analogues en pi^ P'it Pn ^"® ^'^"^ Siurai été obligé de concevoir de fractions de l'épaisseur traversée dans la première zone. Dans le voisinage de la périphérie, au contraire, on a d'emblée les seules équations de condition connues, dans lesquelles on aura remplacé k par/?i.
LUMIERE INCIDENTE POLARISEE GIRCULAIREMENT.
Rayon Incident circulaire droit, cristal dextrogyre.
Le rayon incident circulaire droit d^intensité i ayant pour formule
ir) = -— sinoi^, 5 = -— coso)^,
on peut le rapporter à de nouvelles coordonnées, p, cr kfiS' ^0 fsiisant un angle indéterminé i avec les premières en posant
j <j sin i — p cos i = {,
( acosi -f- p sini = 7).
Par suite on aura
p = — ;= sintiof, a = -— costo^
yj')- y/'i
Si donc on substitue à un moment donné deux rayons
— i46 elliptiques parcourus en sens contraire et en croix à ce
Fis:. 3i,
rayon circulaire, rapportés aux mêmes coordonnées, il suffira de faire
, pj = ms'mbitf pi = A/isinu)^, X
' ffj = Xrmcoso)^, (T2 = — ncosbit;
avec les équations de condition
p = Pj -H P2, (j = (j, H- (J2-
Celles-ci donneront
—p = m -4- kn,
d'où
et
Pi =
<ji =
v/ï i + >tî
COSCt)^,
-— = km — riy v/2
On vérifie en outre que l'intensité de ces deux rayons permet de retrouver l'intensité initiale prise égale à i. On a en efiet
£ (i-f-Â:)«(iH-/:») I (i — k)^ (i -\- k*)
Il est facile de déterminer i dans deux cas particuliers : au centre et à la périphérie.
Au centre, k= i^ les équations des deux ellipses se réduisent à
pi— —-sintiit, <Ji = — cosu)/,
y'2 sji
donc
Pi = *n> «^i = $•
Par suite, pour retomber sur ces relations, il faut que l'on ait
i = goo pour A* = i ... centre.
A la périphérie, k = o, les équations des deux ellipses se réduisent à
pi = —= sinw^ = p, <rj= -—cosw^ = (j,
ayant
p, = 0, (Ji = o.
Substituant ces valeurs dans (1), on voit encore que i = 90*» pour k = o . . . périphérie.
Donc, du centre à la périphérie, les deux ellipses substituées au cercle sont orientées par la section principale du cristal, comme Airy l'avait admis. On comprend qu'il en soit ainsi quand la lumière incidente est circulaire^
puisqu'il n'existe plus de plan primitif de polarisation pour orienter dès l'entrée les deux ellipses, par suite la section principale du cristal seule intervient dès qu!on les substitue au cercle du rayon incident,
11 en résulte, par conséquent, que le rayon incident circulaire droit pénétrant dans un cristal dextrogyre engendrera dès l'entrée les deux rayons elliptiques admis par Airy et que les ellipses, parcourues en sens contraire, pourront être représentées du centre à la périphérie en grandeur, intensité et direction, par les figures suivantes (/g. 32) :
Fig. Sa.
Mais ces derniers rayons elliptiques de l'entrée, superposés, parcourus en sens contraire, peuvent-ils à un moment quelconque, pour une certaine inclinaison, avoir pour résultante un rayon polarisé rectilignement? S'il en était ainsi, il est bien clair qu'à partir de ce moment nous retomberions sur Je cas examiné dans le Chapitre précédent et, par suite, que le nombre des rayons serait le même, que la lumière incidente fût polarisée circulairement ou rectilignement.
Pour résoudre la question, nous allons examiner ce que devient un rayon elliptique pénétrant dans un quartz suivant Taxe principal. Nous allons voir qu'un tel rayon engendre deux rayons circulaires parcourus en sens contraire et àHntensité inégale. Mais la distinction fondamentale à établir entre ces deux rayons et ceux à^inten-
sUé égale qu'un rayon polarisé rcclilignemcnt aurait engendrés est la suivante. Les myons circulaires dont les mouvements vibratoires sont superposés, de sens contraire et d'intensité inégale, ont analytiquenient, à chaque instant, pour résultante un rayon polarisé elliptiquement, tandis que les autres rayons circulaires iï intensité égale et de sens contraire engendrent à chaque instant un rayon polarisé rectilignenient.
Ayant
r[ = -j-sintiit, \ = -— c«»sw/.
^'1 yjl
en posant
r, = r,,-f-iri>, \ - %\ -t- ?*,
on aura les deux cercles
* 5i = //icoswt, ^2= — /?i'cosw/, ^
avec les équations de condition
et
d^où
