SI II A
v//| /i^ -r- ( I -t- k"^ y^ VùW^^ ^
il viendra, en suhslltuunt ces valeurs dans réqualion i'ondamenlale d'Airv,
M- = TT-: T, T r cos h tans? sin \
d'où
, r , f/'^ ' .. 1 I f-(;os(£ — o — '?.*l)
« Pour les dilFérenls points d'une courbe isochromalique peu dincrenls du centre, on peut considérer k comme constant; il suffira donc de prendre la dérivée par ra|)])orL à {f^ — d) du second meml)re en regardant // comme constant, d'où
(F) lan-(^- -«?--•>)
, (I-+-Â-M- ros2.v,-h \k^ sin2.v,-h(i- k'^f- («os^ ( 'Jt/'. — 5. )
i\ous citons toujours V^erdcL parce que c'est un Ouvrage classicpic des plus répandus, mais il importe de laire remarquer que ceLLe lormule a été expressément donnée [)ar Airy. Celui-ci, dans son Mémoire On tlie nature of ilie Liglit in tke l\vo Bajs produced by llic double Refraction of Quartz, Februai-y 21 i83i, dont nous poss''dons un tirag(î à part des Transactions of the Candjridge Pliilosopliical Society, dit, à la page -^.G :
(c Taking Lhe gênerai expression for llie brighlness and
making tang»]^ = j^^ tanga, we hâve, etc. ... »
Il en résulte donc que les Ouvrages classiques, et il ne pouvait en être autrement, n'ont l'ait que répéter et les raisonnements et les démonstrations d'Airj, l'auteur de cette théorie.
Et toujours d'après Verdet, page 25o, a cette formule montre que la différence entre tang( «^ — d — ^) et tang6 varie avec l'angle t'i ; il faut en conclure que les différents points de la courbe isochromalique (non spécifiée) sont à des distances inégales du centre; les plus éloignés sont ceux qui répondent aux valeurs de ix pour lesquelles la différence entre tang(»' — d — ^) et tangtj; est maximum, et les plus rapprochés ceux qui correspondent aux valeurs de t| pour lesquelles cette différence est minimum. Or la dernière équation montre que la différence est maximum lorsque l'on a li^ — 5, = o, savoir
^1 . m 5| fi = — ou i. = - -i ,
rj r» C3
et minimum lorsque l'on a 2 i , — 5, = — , 3- ? savoir
TS Sx . ^W S\
d'où, suivant les bissectrices des angles du plan primitif de la section principale de l'analyseur et à 90** de cellies-ciy les points des courbes isochromatiques seront à des distances maxima et minima, d'où la forme des Qourbes quadratiques. »
On voit que dans Verdet toute ligne isochroraatique est une courbe quadratique, et que Sx est quelconque.
La fig, 27g de la page 3i6 (t. JI) de VOplique de
M. Mascart, ainsi que l'énoncé : « La ligne isochromatique est donc une sorte de carré à angles éraoussés ou une courbe quadratique », montrent bien que s^ est quelconque pour les auteurs.
Or, si Ton fait 5| = o dans la formule fondamentale (F) des auteurs, il vient
c'est-à-dire encore une courbe quadratique.
En effet, j)our cos- 'lix = <>?
tang(^' — J— •^) :-. lang'^, et pour cos- 2/1 =: 1 ,
alors que si la formule eîil été exacte, pour .Ç| = o on aurait dû avoir
V — — 'Jt'^ r- (y. .\ -f- i) TïT niaxiiiia, et v. .\ m iniiiiiiia,
lescourlxîs isocliroinaticjiies élant (l(;s cercles pour .v, rrz o^ comme oii sait.
Jj'(*rrcur commise; [)ar l(;s ailleurs a clé double. Ils ont assimile' toute courbe (piadrali([uc à nue courbe isocbromati([uc, ai que rc\[)éri(;n(o moiilre in(;\act' ils ont ensuite, ce cpii est beaucoup plus ^ravc, commis une (M'reur de raisonnement en (liirérentianl le long d^ un rayon vecteur pour arriver aux. ])ropriétés des courbes (piadraliques.
Plaroijs-iious dans les conditions cxpérimcnlales les plus favorables [)0ur Tétude dt's courbes cpiadralicpies, c'eslà-dirc prenons un (piarlz de 2'"'" et pour .V| une valeur telb* cpie la taclic centrale soil au minimuu) d'éclairement( teinlc^
sensible dans la lumière blanclie) ou à 90" de cette position. Voici Tapparence d'une courbe quadratique (p. 283). Reportons-nous aussi à la fig. 12 de la PL III de Y Optique de M. Mascart, intitulée Anneaux quadratiques, et dans les deux cas nous constatons que V intensité lumineuse est totalement différente le long <fune courbe quadratique. Les parties les plus éloignées du centre qui correspondent aux branches disparues de la croix noire sont plus foncées que les parties les plus rapprochées du centre novécs dans la lumière blanche.
Donc le nom {^ isochromatique ne pouvait être donné à une courbe quadratique. En outre, on voyait que de 45'* en 43" on j>assait par des maxima et minima d'intensité lumineuse dans différents azimuts ix sur une courbe quadratique.
Il en est encore de même sur une spirale quadratique. Ainsi, pour arriver aux propriétés des courbes quadratiques, on devait différentier Tintcnsité lumineuse par rapport à l'azimut /,, |)uis(|ue c'est dans différents azimuts que l'intensité lumineuse prenait des valeurs maxima et minima, comme l'expérience le montre.
C'est /| qui était essentiellement variable. Or voici ce (|ui est écrit en conformité de ce que nous avons vu dans les Ouvrages les plus récents (Mascaut, Optique, t. II, p. 3i6) :
<( Pour se représenter la forme des lignes isochromali([ues dans le cas général, nous supposerons d'abord qu'à une faible distance de l'axe l'angle 9 (on sait que l'on a f.iit A' = tangjp) peut être considéré comme constant, au moins d'une manière approximative. Le long d un rayon vecteur, c'est-à-dire pour une certaine valeur de l'angle i\ , les points d'intensité maximum ou minimum s'obtien-
dront en égalant à zéro la dérivée du carré A^ (savoir rintensilé) de l'amplitude par rapport à $ (savoir^ — d de Verdet). »
Lors de la discussion des spirales (Mascart, Optique, t. II, p. 317), il est encore dit :
« Quant aux lignes isochromaliques, on obtiendra comme précédemment et d'une manière approximative les points qui correspondent à un maximum ou un minimum dans un azimut déterminé, en considérant l'angle^ {k des auteurs) comme invariable et égalant à zéro la dérivée par rapport à {g — d) du carré de l'amplitude d*une des images droite ou gauche. »
Ainsi k est essentiellement variable le long d^ un rayon vecteur de A* = i à k = o, et on le suppose constant dans la différenliation le long d^un rayon vecteur!
(g — d) est sensiblement constant, même entre des limites assez étendues pour une spirale, et on le suppose essentiellement variable pour une courbe quadratique !
C'est [)Our avoir commis ces erreurs que les auteurs sont arrivés à la forniulo (F) dont nous avons montré rinexactitude.
C'est pour ne pas avoir remarqué, et il suffisait de regarder, que sur les courbes quadratiques et spirales quadrati(]ues on |)assait par des intensités maxima et minima sa/is (/aitter ces courbes, qu'ils ont dillérentié l'intensité lumineuse |)ar rapport à (g — d) sensiblement constant pour une courbe, au lieu de la difl'érentier par rapport à t| essentiellement variable pour la courbe dont on clierche les propricLés.
Nous allons bientôt revenir sur ce point, mais terminons l'étude des courbes quadrati(|ues et montrons qu'à une épaisseur de quartz répond une courbe quadratique,
5| n'étant pas quelconque mais égal à h Ri tache cen-
traie au minimum d'éclairement, ou à R| plus de tache centrale ; on peut s'en rendre compte par les figures suivantes {^g- 59, 60 et 61).
Avec un quartz de 2*"™ lévogyre, on voit qu'il suffit de
Fi g. 59, 60 et 61.
faire varier 5, très légèrement pour que la partie la plus rapprochée du centre se bombe. En même temps, alors que la courbe perd la forme quadratique, la partie colorée, qui était concentrée sur deux diagonales à 90** de cette courbe, se répand sur la nouvelle courbe qui mérite alors le nom AUsochromatiquej et qui est intermédiaire entre la forme quadratique et la forme circulaire {fig* 61 ). Avec les lames épaisses 7™™, la moindre variation dans la valeur de 5|, qui convient à la courbe quadratique, conduit à la forme circulaire.
H clail donc inexact de vouloir assimiler toute ligne isochromatique à une courbe quadratique et d'écrire comme les auteurs (AIascart, Ojitiquc, t. II, ])- 3iG) :
« La ligne isochroinatique est donc une sorte de carre à angles énioussés ou une courbe quadratique. )>
Comme on le voit par la première ligure, la courbe quadratique n'est dans aucun cas isocliromatique.
Et comme le montre la deuxième figure, lorsqu'on est en présence d'une ligne isocliromatique, celle-ci n'a aucun des caractères d'un carré à angles cmoussés.
Enlin il convient de relever ce (ju'on lit encore dans les auteurs :
(( La teinte centrale s'étend dans les directions des diagonales des courbes quadratiques et forme wxiQ tache à (juatre branches. »
C'est exact pour les lames moyennes, comme le montre uoirejig. 59 convenant à une lame de 2"""; c'est absolument faux pour les lames épaisses, ainsi qu'on peut le vérifier par la /ff^. G^\ se. rapportant à une lame de -j'"'". Pour l(;s lames é[);nsses, (;ii ellel, nous avions vu que la lâche centrale devi(;iit circulaiicî.
Vlw outre, il seniblerail, par la manière dont les choses sont présentées, (|ue la laeluî c(;nliale en croix dut disparaître dans les laines moyennes (piand la lii;iie isochromall(|ue de ([uadrali(jU(Mlevi(îndraileirculaiie.rS()s//^>-. 60 etGi nous [)rouvenl, au coniraire, qu(! poui- une même épaisseui* les variations de .v, modifient roric'nlalion cl l'intensité de la lâche centrale en croix, mais non sa forme i;énérale.
Par suite, Inverscîinenl, il était bien clair (jue la lâche [)onvait devenir circuilaire, alors cpie la eourlx; serait (lua- (Iralicjuc.
Enfin il importe de montrer, puisque ce fait n'est pas indiqué dans les Ouvrages les plus récents, que l'on obtient des courbes quadratiques sans tache centrale. Pour les observer, il suffit de se placer au minimum d'éclairemcnt de la tache centrale, puis de tourner l'analyseur de 90**.
On a alors les apparences suivantes {^fig* 62 et 63) :
Fiff. 62.
Fi g. G3.
Sans tache cenlrnle. Avec lâche centrale.
Quartz dcxlrogyre 2°'™.
Comme on voit, pour cette épaisseur de quartz, les points les plus obscurs sont les plus rapprochés du centre dans ces courbes quadratiques sans tache, alors qu'au contraire, pour la même épaisseur dans les courbes quadratiques à tacite au minimum d'éclairement, les points les plus obscurs étaient les plus écartés du centre.
De plus, à /|-^" de ces positions sont les points les plus éclairés.
Si, maintenant, nous modifions l'épaisseur du quartz, nous verrons exactement Finverse {fig* 64 et 65).
Pour des lames de 7™™, les points les plus rapprochés du centre sont les plus obscurs pour les courbes quadratiques à tache, et les points les plus écartés seront les plus obscurs pour les courbes quadratiques sans tache.
Telles sont les propriétés des courbes quadratiques sur
lesquelles les ailleurs sont absolument muels, car on chercherait vainement à les retrouver dans les lignes de
Fig. 6}.
Fi g. 65.
Quartz 7"".
Verdet que nous avons rappelées et qui sont cependant les plus complètes à cet égard.
La marche suivie par les auteurs pour rinterprétation des propriétés des lignes isochroraatiques et qui ne conduisait qu'à une formule fausse est sans doute la raison pour laquelle ils se sont abstenus d'insister sur ce sujet.
Nous allons voir comment nous arrivons facilement à expliquer toutes ces propriétés.
Discussion de Vlntcnsltc lumineuse des courbes
quadrati(jues.
Toute courbe quadratique avec ou sans tache obtenue, comme nous venons de le dire, en orientant l'analyseur de manière que le centre de la tache soit au minimum d'éclairement ou à 90" de cette position, présente dans des azimuts à /\[)^ des maxima ou des minima dans Finlensité lumineuse. Pour montrer que dansées mêmes azimuts à 45° les distances au centre des points de la courbe sont maxima ou minima, nous rejetterons compirtement la manière de faire des auteurs. Ceux-ci difrérentiaient j'inten-
site lumineuse par rapport à la différence de marche seule, ce qui nWait aucun sens, car on passait ainsi d'une courbe isochromatique d'un certain ordre à une autre courbe isochromatique. Or, que la courbe fût circulaire, quadratique, spiralaire, quelconque enfin, on ne pouvait a priori d'une propriété commune à toutes ces courbes, rien déduire de leur forme.
C'est pour cela, comme nous l'avons montré, que la formule que l'on en avait tirée était fausse, nous indiquant encore pour 5| = o des courbes quadratiques alors que l'on était en présence de courbes circulaires.
Maintenant on peut se demander pourquoi les auteurs ont abandonné la marche qu'ils avaient suivie pour la discussion des propriétés de la tache centrale. Cette méthode était très correcte et nous l'adopterons pour trouver les propriétés de^ courbes quadratiques.
Elle consistait à se placer sur un cercle à une certaine distance du centre (e — o) = const., /: = const., y(p;t) = const., et à voir comment variait l'intensité lumii^euse quand on se déplaçait le long de ce cercle.
Nous n'avons qu'à faire exactement la même chose, ce que nous indiquent nos fig, 62 et 63, et alors nous passerons par des intensités minima et maxima, d'où nous déduirons facilement les propriétés cherchées.
Notre formule générale, devenant dans la région des courbes isochromatiques
\y = cos'(5i — pa) cos* — -
-f-cos«(2t, — 5i — Pa) sin2— \-fi^^f.)^
nous donnera sur un cercle pour lequel (e — o) = const., p;t= const., quand on sera en présence d'une cowrfce qua-
dratique à tache centrale au minimum d^ éclair entent, ce qui exige que 5, = R, h ,
\y = sin*{ Ri — p^) cos*
On aura donc une Intensité minimum pour
sin«(2t, — R,— p^) = o, d^OÙ
Rt -i- pA HT Ri -H pA . „
'2 Jl ' '2
et maximum pour
sin«(?.«i — R| — ?;fr) = 1, doil
H,-hp^ m ., R|-4-pA ^ 3?n
d'où
m = sin*(Hi— pA:)f'^s*^^ ^ ... ly minimum,
1 — jM = cos*(R| — pk)cos^ ... I^ maximum.
Si l'on remarque que m et 1 — M ont sensiblement la môme valeur C, on voit que
cos* := -: — —- , (s — O ) i)our I y miiumum ,
cos^ — -— , (£ — O ) pour ly maximum.
Nous pouvions arriver au même résultat en diflférentiant rintcnsité lumineuse comme nous l'avons indiqué, par
rapport à i| seul, puîsqu'entre des limites de 45** par lesquelles on passera par un maximum et un minimum, (e — o), k et pA peuvent être considérés comme sensiblement constants, par suite
-j/ = 4 sifi(2ii— Ri— pa) cos('2ti— Ri— p)t) sin«-— - = o,
d'où
sin(2i;|— Rf — pA:) = o, I^ = minimum,
et
cos (21, — Ri — p;fc) = o,
savoir
sin(ai|— Ri— pa) = I, 1^ = maximum;
ce sont les résultats donnés plus haut.
Donc :
1^ Sur une même courbe quadratique on obtiendra des intensités maximaet minima dans des azimuts à 4S^;
2^ Les intensités maxima et minima seront à des distances inégales du centre;
3® Ces distances seront fonctions de l'épaisseur du quarlz,
Quand
sin«(R,— p;t)>cos»{R| — p;fr) )
(e — o)(ly minimum) > (e — o )(Iy maximum) \^
si
cosnRi-p*)>sin«(R,-pA) I quartz «"
(e'—o')(l^ maximum) >(e — o)(Iy minimum) \^ '
Et maintenant nous pouvons reprendre la démonstration et la formule (F) d'Airy et montrer comment nous en rétablirons l'exactitude. ^
Si nous supposons que nous ayons attribué à ^i la va-
leur parliculière R| H ou R| qui donne pour une épais-
seur de quarlz déterminée la courbe quadratique correspondante, étant en présence d'une ligne qui n'est plus isochromatique, mais sur laquelle on rencontrera des intensités lumineuses maxima et miuima, nous voyons pourquoi le long de cette courbe {k sensiblement constant) nous pouvons exprimer que les intensités lumineuses dans deux azimuts £| et i\ sont maxima ou minima.
Or, précisément ces intensités répondent aux points les plus rapprochés ou les plus éloignés du centre.
Grâce à cette coïncidence, on peut, à l'exemple d'Airy, différentier par rapport aux rayons vecteurs ou à (^ — <f ), c'est-à-dire en réalité à (s — b), l'intensité lumineuse dans deux azimuts très voisins /|, l'i -{- A/| et égaler à zéro ces expressions.
On voit ce que cette manière de faire a de très spécial, car k varie exactement avec (s — o), et supposer le long cUune courbe, comme première approximation, k constant, c'est supposer (s — o) constant. Aussi nous n'entrons dans ces détails que pour tacher de tirer quelque chose de l'ancienne formule (F) d'Airj, et nous j arrivons seulement grâce à celte coïncidence que les points les plus rapprochés ou les plus éloignés du centre (s — o) ou (^ — rf) maxima et minima répondaient précisément à des valeurs de 1^ maxima ou minima de l'intensité lumineuse le long d'une courbe quadratique.
Ayant ainsi rectifié le sens qu'il faut donner à la formule (F) d'Airy (.ç, déterminé et non quelconque), nous pouvons alors chercher les azimuts t, dans lesquels la différence tang( «• — cl — tj;) — tang(^ — rf), ou plus exactement tang(£ — o — i{^) — tang(£ — o), est maxima ou minima, et raisonner alors comme Verdet cité précédem-
ment (p. 279). L'erreur des auteurs avait été de prendre la différence tang(^ — d — ^) — tangij/ sur un même rayon vecteur (i| constant) en quittant la courbe étudiée. Nous prenons cette différence dans deux azimuts infiniment voisins ij, i| -h A«i, pour lesquels l'intensité reste maxima ou minima, et en ne quittant pas la courbe.
Nous retrouvons ainsi les résultats donnés ci-dessus.
SPIRALES QUADRATIQUES.
Lumière incidente circulaire.
Nous avons vu que notre théorie était identique à celle d'Airy lorsque la lumière incidente était polarisée circulairement. Aussi les formules des intensités lumineuses dans un analyseur sont exactement celles données par Airy.
Il semblerait donc au premier abord que nous n'aurions qu'à invoquer les résultats donnés jusqu'ici sans aller plus loin. Malheureusement, il n'en est rien. Les détails dans lesquels nous entrons, et qui ont été passés prudemment sous silence, nous amèneront à rectifier complètement les raisonnements par à peu près à l'aide desquels on croyait trouver les propriétés des spirales quadratiques.
Dans la théorie enseignée actuellement, l^es équations des spirales quadratiques sont les suivantes :
Av?«= 2(a — Ri)-f- 2Ntît,
V étant le rayon vecteur, R| la rotation de la lame de quartz suivant l'axe. D'après cette relation, les spirales traverseraient l'axe principal théoriquement « et s'il était impossible de vérifier expérimentalement la direction de leurs premiers éléments, ce serait uniquement parce que
— aga —
Vintensîté deh tache centrale fait disparaître complèlemenl \es parties des deux spirales voisines du centre, n {Vf.rdet, Optique, t, II, p. 339).
Or nous montrerons que, si l'on n'observe jamais de spirale dans le voisinage du cenire, ce n'esl pas parce que l'intensité de ta lâche centrale s'oppose à l'observation, mais parce que ihéoriquement les spirales ne peuvent prendre naissance dans le voisinage de l'axe.
Nous verrons, en efiel, que les spirales ne sont autre chose que des associations de parties de courbes isocliromatiques légèrement modifiées, qnand la lumière de rec- Liligne devient polarisée circulai rem en t.
Mais on a démontré que les courbes isochromatiques se l'ormenl loujours en dehors de la plage centrale, la première courbe apparaissant avec la croix noire. Donc les portions de spirales correspondant à des portions équivalentes de courbes isocliromatiques ne pourront se Ibrmer qu'en dehors de la plage centrale.
Ce qui caractérise en eO'et la plage centrale, c'est que, les deux rayons circulaires ou elliptiques restant superposés, il y a rotation du plan primitif de polarisation quand ta lumière incidente est polarisée reclilignement, mais jamais formation de franges d'interférence, puisque lesdeux rayons superposés doiventétre considérés comme ajanl pour résultante nn rayon rectitigne unique. Et c'est pour cela que la plage centrale présente la coloration des images d'Arago.
De même, quand ta lumière incidente est circulaire, les deux rayons elliptiques de sens roLatoire inverse restant superposés sur la plage centrale ont pour résultante, comme nous l'avons montré, un rayon elliptique unique. Donc, pas de franges d'interférence.
La différence de marcbe totale étant donnée toujours
ce n'est que lorsque {= — o) deviendra de même ordre de
grnndei
plage I
que les frances d'inlerféi
ngendrer soil les
[ qu;
idral
iqiie
ladraliqiK
surront dans la lumière diins la Itimière
tiligne, soit les spirales qi polarisée circnlairement.
Remarquons, en particulier, que daos ce dernier cas il était absolument incorrect d'admettre, même théoriquement, des franges d'interférence dans le voisinage de i'axe. En effet, pour qu'il se forme de telles franges, il faut non seulement qu'il y ait une certaine difl'érence de marche entre deux ra^fons, mais îl faut surtout que les deux rayons aient des intensités lumineuses comparables. Or, dans le cas de lumière incidente circulaire, l'un des rayons a une intensité très faillie jusqu'à une certaine distance de l'ase. Donc ce rayon ne peut intervenir pour produire avec l'autre des franges d'interférence.
Donc, théoriquement, les spirales quadratiques ne pouvaient se former qu'à une certaine distance de l'aie, et dans un certain azimut, fonction de l'épaisseur, même alors que théoriquement les courbes quadratiques pouvaient être déjà considérées comme formées, mais noyées dans la lumière colorée de lu plage centrale.
La deuxième erreur a été déjà signalée lors de la discussion des anneaux quadratiques. Les auteurs, au lieu d'écrire que sur les arcs de cercles qui constituent les
spirales [I,]| ^ const., d'où — jÇ- =^ o, ont différentié
^ l'intensité lumineuse le long d'un rayon vecteur.
La troisième erreur commise par les auteurs est la suivante. Après avoir posé (Verdet, Optique, t. II,
