Ri , on voit que
donc, ^k étant toujours relativement petit, on voit que
i, — t„ = — sensiblement ,
par suite que t^, quand R< va en augmentant, s'écarte de plus en plus de in\ ainsi Textinction dans une direction
déterminée, admissible pour les lames très minces, est de moins en moins exacte quand la lame devient épaisse. La tache devient donc circulaire {fig' 58). 11 est ainsi surabondamment prouvé que la tache centrale était donnée par la formule
cl non par celle d'Air}.
Coloration de la tache centrale.
Nous venons de voir que c'est grâce à l'introduction d'un terme en R^, qui manquait dans les formules d' Ai ry, que nous avons pu expliquer les différentes formes de la tache centrale. Nous allons voir que c'est encore l'existence de ces termes qui nous permettra d'expliquer la coloration.
Supposons d'abord que nous soyons en présence d'une lame d'épaisseur moyenne.
Voyons si la formule d'Airy nous permet d'expliquer la coloration de la tache centrale en croix, coloration qui varie avec l'azimut de l'analyseur. Si la lumière incidente est blanche, cette formule devient
-f- ( r- COS^i^.li — S,) > sin2^-
\ I -f- A:^ / ' ^id '>.
ET ELLE NE PEUT P VS ETRE ÉCRITE AUTREMEJNT. On Voit dc
suite qu'elle est absurde, car elle conduit à ce résultat que \y prend un minimum d^éclairement quand
quelle que soit la couleur cteinle par .V|. Or, dans les lames de moyenne épaisseur, quand la section principale de l'analyseur éteindra les rayons complémentaires du jaune, les branches de la croix seront colorées en jaune au maximum d^ éclaire ment, ce qui est contradictoire. Mais, la relation précédente ayant lieu, il reste
ly = l^cos^i ^cos — h — —^ 81115, ^sin — — j
qui seul doit donner la coloration. Or, peut-on la déduire de cette formule, et en particulier arrivera la teinte sen- Q. i8
siblc, quand k < i (branches de la croix). On ne saurait se placer suivant l'axe, puisque pour A' = i , plus de branches en croix.
La coloration des branches ne peut donc être due qu'aux
termes, sachant que ^ =: ( h ri )'
2 sin'^- - sin'( '—11' .^ it) .^ sin=( -î— ^ +()) ~r- . . . ou aux produits sin- cos'^
La ))remière conséquence est que la coloration serait indépendante de la valeur de 5^, puisque s^ n'entre pas dans ces dernières relations; par conséquent, que la coloration serait invariable, quelle que fut Torienlation que l'on donnerait à l'analyseur, ce qui est inexact.
En se plaçant à t^extrémité d^une branche de la croix A' << I , celle-ci est colorée et la coloration varie à chacjuo instant avec rorienlalion nouvelle de la branche (|uand on tourne Tanalyseur.
On voit donc que la forniuie d'Airj ne supporte pas la discussion quand la lumière incidente est blanche. Aussi les auteurs se sont-ils abstenus prudemm(;nt d'en parler dans ce cas et se sont-ils toujours cantonnés dans l'hypothèse d'une lumière monocluomatique.
Voyons, au contraire, ce que nous donne notre formule quand la lumière incidente est blanche.
!>= yi'<^^(!^\--\\/,) > cos -I J- > sin(.v,-- H/.) > sin
J^ Àmk -J. 1 -- A'^ ^d M^ '1 J
sm'^
La coloration. — Celle-ci, sur la plage cenlrale, ne
peut elre due aux termes en > sin2 — ^ — ou > cos- — - —
qui sont voisins de zéro ou de l'unité dans le voisinage (le Taxe et par suite négligeables quant à la coloration. Ces termes donneraient, si la dispersion était suffisante, une certaine coloration qui s'ajouterait à celle des courbes isocbromati(|ues qui n'apparaissent qu'en dehors de la plage centrale.
Mais les expériences nous ont montre que lorsque l'on éteint le chromatismc de la lâche cenlrale et de ces courbes à l'aide d'un quartz de signe contraire et de môme épaisseur placé devant le nicol du microscope, il n'y a plus trace de coloration^ même celle qui serait due à la dispersion.
La coloration ne saurait être due encore à
y ^ COS2(9. t, — s Y R/t) = C0s2(2t, — S^~ H/.)
-h cos2 ( '}. t| — 5i — O/.. ) -f- . . . ,
car, quelle que soit la valeur de 5|, les proportions de lumière dues à R^, O/^, . . . sont toujours les mêmes. Par suite, à ce terme correspond de la lumière blanche.
Donc, la coloration ne peut être due qu'à des termes de la première parenthèse, savoir :
COS2(;fl -^ Wf.) = COS2(5, — R;^.) -4- COS2(5, — 0^) -h . . . ,
sin2(5i— R/,) = sin2(.vi— R>r.)-^- sin2(5, — 0/,)-h
On voit donc que la coloration s'expliquera par ces termes exactement comme pour les images d'Arago, c'està-dire par l'extinction d'une couleur 5| = Ha, O/;, J/,, . ... Or, comme sur la plage cenlrale la lumière convergente est très voisine de la lumière parallèle, les colorations devaient
être a priori données par des formules idenliques. C'est à quoi nous conduit noire formule. Il convient de comparer ces relations aux formules ridicules par lesquelles on en était réduit, dans la théorie d'Airy, à chercher à expliquer la coloration quand on n'était plus sur l'axe.
Lames minces. — Si les lames sont très minces, on a sensiblement \\k = O^ = Ja, .... Donc les choses se passent exactement comme avec une couleur monochromatique. Par conséquent extinction de la tache pour
5i=--+-ÏU et ii = h-;
l\ff étant lui-même très petit, on voit que l'on a sensiblement
TïT TîT
Si= -^ y ll= —f
savoir
ix = Sx.
Par conséquent, les branches de la tache centrale en croix sont sensiblement dans le prolongement de la croix noire et sont elles-mêmes à l'extinction. Aussi, dans le cas des lames minces, la croix noire semble se prolonger jusqu'au centre.
11 faut remarquerque, dans le cas de lames assez minces [)Our que H^ soit négligeable, les formules d'Airy
donnent
TïT . . A'i 7TT .V, r= h Kl, t, r . 1
TTT ^, r=: .V, rrr -- ,
comme dans notre théorie.
Lames moyennes. — Dans les lames moyennes R;^, Oa, Ja, ... no sont pas encore très différents. De sorte
que, lorsque pour une couleur on a
(1) C0S-(2ii— 5i— R/t) = o,
on peut être sûr que les valeurs de cos^ (2^1 — Si — Oa), cos^(2ii — Si — Ja), ... ne sont pas très éloignées de leur valeur minima et qu'en tous les cas elles n'atteignent pas leur valeur maxima;
Par conséquent, que N^cos2(2f\ — Si — Ra) a dans
Tazimut correspondant à l'extinction d'une couleur une valeur moindre que dans tout autre azimut.
Si l'on remarque que près du centre (s — 0) esl voisin de zéro, et que dès qu'on s'en écarte, k devient rapidement très petit, il en résulte donc que la coloration est sensiblement uniquement due à
2] C0S«(5i— R/,) = COS2(jJi— R^.)hcOS2(5i — Oa)-+-
Donc, si pour une couleur on a
il en résultera que, 11a, Oa, Jai ... étant peu différents dans les lames moyennes, ^ cos-(5| — Ra) aura une intensité minima en même temps que ^ cos-(2 /, — St — Ra),
par suite que Ton observera encore une tache centrale en croix.
Mais la coloration sera rigoureusement donnée par
cos'(5j — Oa) -f- cos2(5i — J>;..) -I- . . . si COS2(5i— R/^.) = o,
par
cos2(5|— Ra)-!- cos2(ji — 0/,)-+- ... si cos2(j, — J/,.) = o.
Lames épaisses. — " y a disparition lolalc de toute croix parce que, si l'on peut encore avoir
^co82(5, — H^) niininia.
teinte sensible; pour une valeur j)articulière de 5|, l'expression
^cos-i^uf .V,— H/,)
atteint une valeur sensiblement constante dès que 2 /< — s% devient nrgli'^eahle par rapport à R^j Oa, Ja, . . ., quand l'épaisseur va en au<;nîcntanl.
Par consé<pient, la condition fondamentale pour observer une tache centrale e> choix au nn'nimuin d'éclaireinent, savoir (|ue l'on tidi simultanément
I ^ ros- ( >. /, — .V, — U/. ,) - - <K
l ^ <'<»^"<^-^i - 'v. ) iiiiiiiin;»
f ^C()^-('>/i .Si - lî/. ) ininiinîi.
l.aiiics miiHcs .
(.;iiiir> iiinNcrMi"^
n'cxlslc plus pour les lames rpaisscs.
lu Ton ne peut observer (pi'une tac^lu; circulaire \)VÙ?>o\\-
lant la teinta; s(;nslljlo si ^c()s-(a, — l^y;) cstnïinima dans
la lumière blanche, (^t rextinclion si cos-(/f, — Ry;) =z o dans la lutnière monochromarKpie.
( ' l'oi.r noire.
\j\\ eroiN noire iraj)|)aiaîl (|ue sur la première courbe is()chromati(|ue, e/esl-à-dii(î à une; certaine dislance du centic; pour hupiclle Iw, de\ieul c/, vA. k négligeable, \olrc
— 2-7 formule générale sera, dans la lumière monochromaliquc,
I^z=COS2(5i — pji) C0S2— h C0S2(2ii — ^1 — p/,.)sin2 .
Ici apparaît un phénomène qui n'avait pas été prévu jusqu'ici lorsqu'on était sur la plage centrale, c'est-à-dire quand le premier terme, à cause de R^j était du même ordre de grandeur que le second. Examinons ce qui se
passe entre deux anneaux obscurs, sin- = maximum,
et posons /(p/t) = sm-p/t cos--^ — •
On voit que pour 5| = — > /(p^) devenant très petit à une certaine distance de l'axe, on a
I^ = sin2(2«i — pA)sin2l— 1-/(pa),
par conséquent extinction du maximum de lumière dans
les azimuts f = o, i =^ • C'est la croix noire, nui ne
peut apparaître qu'à une certaine dislance de l'axe, quand les pA sont assez petits. Les é|>reuves photographiques des PL m Gi IV comme notre terme f{pk) prouvent que sur les branches de la croix noire, entre deux anneaux obscurs, il n'y a jamais extinction comme l'indiquait la théorie actuelle, mais minimum d'cclairement qui tend vers zéro à la périphérie avec pA. Il n'y a donc aucune comparaison à établir avec les croix noires du quartz et celles du spath.
Courbes quadratiques.
Si nous posons^ comme dans Verdet {Optique, t. II,
'}.U lanîr.vi ,
