Y Ê-ho Y — 8 E — o
H- £ par ' H -4- 1 ; — y et remplaçant
lût-] 1 par (0^', par Ra, par Aa,
on aura pour les deux rayons elliptiques, à la sortie du cristal, en prenant encore R^ H- Aa = ?,
d'où
A-, ,., r (cosçcosa — A:sin9sina)(I-^ X:n ..
' ^ '"^ L — (A'coscpcosa — sin(p siiia)(i — a:)J
[(sincp cosa 4- A'cosç sina)(i-f- A)!
;, J ^ . . ,^ ,, costoi'.
H-(A:sin^ cosa-i-cosîpsina)(r4- a:)J
L'intensité s'oblenanl en élevant au carré et ajoutant le coefficient de sino)/' et cosw^', on aura donc
2(1 4- k^yiy = (cos«a -H A-« sin«a)(i -^ A-)«4- (A«cos«a -+- sin«a) (i — A)«
[A'cos*9Cos*a — A:* sino cosco sinacosal , ... I • » I 1 1 A' )
-+• k sin*^ sin'a — sino coscp sina cosa J ^
[k sin*9 cos*a -h A* sin© coso sinacosal , ... -f- Acos*9 sin*a -h sincp cos^ sina cosa J ^
Les deux premiers membres se réduisent à
(1 4- A-«)»-+- 2A(i — A*) cos«a — aAd — A-«>sin«a
= (n- A«)*-h2A(i — A«)cos'ia.
Les deux crochets donnent
— 2A(cos*a — sin*a) (cos*'^ — sin*©) -+- 4(A*-|- 1) sin» coscp siiiacosa,
d'où
(I) ly = — I ; j— ---sin*9 cos'ia H rrsin2cp sinaa.
On voit que pour le dernier terme on aura le signe -|ou — suivant que dans a = /| — 5|, s^ <i t, ou 5| >> /, . Dans Verdet, .Vi >> ^4, ce qui explique pour(|U()i Ton a le signe ^-, On retrouve donc la formule plus connue en remplaçant 2 sin-ç par (1 — cos^^), savoir
, , . , , I Ad — A^) Ad — A?)
( I Ois ) 1 .. = - -I- — — - cos 'À a ; cos '2 a cos 2 c:>
•^2 (l-hA^*)* O-t-A^):*
f^a formule (i) peut se mettre sous la forme suivante, facile à discuter,
d'où
(3) lx= 71 sino ( j-T sm© cos2a ■+- cos© sin^a )•
Lorsque l'on se déplace le long d'une spirale quadratique, il est facile de constater qu'au raccordement des courbes il y a atténuation des couleurs, si bien qu'on observe une sorte de croix grisâtre coupant les spirales. En se reportant à nos planches photographiques, on retrouve le caractère fondamental des spirales quadratiques. Elles sont constituées par des quarts de cercles dont les rayons vont progressivement en croissant. C'est aux points de raccordement que changent les rayons de courbure.
Nous retrouverons ce caractère dans les spirales d*Airy, ce qui nous permettra d'interpréter l'erreur commise par les auteurs qui ont cru voir des cercles.
De 90" en 90", l'intensité lumineuse reste constante; donc, comme pour les courbes quadratiques, on aura, î), /i étant sensiblement constants même sur une spirale entre des limites aussi restreintes,
di
T^ = 2 r- sincp ( sin© sinaa -h cos© cos2a ) =0,
d'où
(4) lang© = — ^-7— - col2a.
Par suite, dans le voisinage de l'axe (k voisin de i), on a sensiblement
©= 2a-^Nlîr = — 2a-f-(2N-hi) — •
Pour N = o, on a la première spirale
TU
pour N = I , on a la seconde spirale
à 180** de la première. Si l'on remplace cp par sa valeur Aa+Ra cl Aa= -^^ = CT -^^^ — j (E — O) étant la
différence de marche par hi^^^ v étant le rayon vecteur, les deux spirales seront données par les équations
Av*= — 2(aH M- —,
On voit comme nous arrivons facilement à nos deux spirales. Avant de les discuter, reporlons-nous à la manière de faire des auteurs (Vkrdet, Optique j t. II, p. 257). Ils posent (en conservant notre valeur de a et nos notations),
(5) tang2i]/ = — y— tangîa,
et, substituant celte valeur de a dans les deux derniers ternies de I>- (formule i 6/5), ils obtiennent
lc{\ — /•2)ros(cp — ').^)
( I -f- A-2 ) /( i-H A-2 )2 cos2 'jttj; -h 4 A-2 sin2 2t{;
On peut se demander d'abord pourquoi la substitution n'a pas porté aussi sur le second terme en cos2a. C'est un arbitraire inadmissible, à moins qu'il n'ait été fait précisément pour obtenir une relation entre a et R, que l'on croyait devoir exister. En outre, les auteurs ne semblent pas avoir vu que la relation (i bis) se ramenait à la relation (1) qui se ramenait elle-même à la relation (2). S'ils avaientfait cette remarque, ils auraient été naturellement conduits à
établir une relalion entre ç et a, au lieu d'introduire une nouvelle inconnue ^ dans (5) qu'ils se donnaient ensuite la latitude de ne subsister qu'incomplètement à a, dans la formule des intensités lumineuses. On peut juger ce que vaut cette manière de faire.
Ajoutons encore que l'erreur déjà signalée par nous lors des courbes quadratiques se répète ici comme nous l'avons indiqué. Au lieu de différentier, ainsi que nous l'avons fait plus haut par rapport à x, en supposant 9 et A" constants, ce qui est admissible entre certaines valeurs assez rapprochées de ot, les auteurs différentient par rapport à la différence de marche le long d'un rayon vecteur, en admettant que a et A* fussent constants, comme si A* et o n'étaient pas essentiellement variables quand on se déplace du centre à la périphérie le long d'un rayon vecteur. Et les auteurs arrivaient aux spirales
Pour N = o, et a = — U|, on voit que l'on avait \^ = o. Donc la spirale passait par l'axe. Si la lame était infiniment mince, alors c'était pour a = o que l'on avait \^ = 0. Tout ceci est en contradiction avec l'expérience qui nous montre que, dans le cas des lames minces, l'origine des s[)irales est à une certaine distance de l'axe et à 45** de la section principale de l'analyseur. En outre, jamais les spirales ne peuvent passer par Taxe principal, mais elles prennent leur origine en dehors de la plage centrale, plage centrale d'un diamètre d'autant plus grand que l'épaisseur de la lame est plus petite.
Si nous examinons notre première spirale, nous voyons que, quel que soit a, v- n'est jamais nul. Si nous désignons par a la valeur de ç correspondant à l'origine dans l'azimut oLo de la spirale et R^ la rotation correspondante en
— 3oo — ce point, nous aurons par noire formule
, , / RaA w
/ta' = — 2 ( a© H H ,
pour un autre point de la spirale dans un azimut a, la rotation est allée en diminuant, soit p^? d'où
d'où
A((^«— aS) = 2(ao-a)H-(RA— pA).
Donc, en prenant comme point de départ de la spirale la droite OoLo {fig' 67) et désignant par w l'angle (a© — a),
on voit que si l'on reste pour la spirale dans le voisinage de cette droite, pA= Ra sensiblement, par suite
équation d'une spirale prenant son origine à une certaine distance a de l'axe, suivant une droite 0«o-
— 3oi —
Quant à la droite Oa©, origine des spirales, son orientation est fonction de l'épaisseur de la lame. En effet, de la précédente relation en a, a©, Ra, on lire
Il en est des spirales comme des courbes quadratiques, qui sont d'autant plus rapprochées de Taxe que l'épaisseur va en augmentant. Donc a aura sa valeur la plus grande pour les lames minces et ira en diminuant avec les lames épaisses. C'est ce que l'observation montre.
Si l'on se rappelle que ha^ est égal à la différence de marche des deux rayons E, O dans un cristal homoédrique, différence nulle suivant l'axe et par suite très petite sur la plage centrale, il en résulte que la valeur maxima de ha^ est encore très petite et que dans le terme (R^-l- Aa^) la rotation R^ est rapidement prédominante.
Donc, si la lame est très mince, savoir R^ voisin de zéro, il s'ensuit que l'on a, sensiblement.
TÎT
Puis, le cristal étant dextrogjre et l'épaisseur allant en augmentant, on aura de même
m Ra 4 i-
Bien entendu, plus l'épaisseur du cristal ira en augmentant, plus Ra tendra vers R| valeur de la rotation suivant l'axe. Il faut encore remarquer que V origine des spirales sera encore caractérisée par ce fait. Avec les lames minces elle sera à 4^** de la section principale de l'analyseur et incolore, puisque dans le cas des lames minces, comme on sait, S Ra indique une rotation sans coloration. Donc
Tongine des spirales est caraclérisée par ce fait dans notre théorie. Elles prennent leur origine à une certaine distance de Vaxe, sur une droite passant par l'axe principal et dans un azimut sensiblement à 45** de la section principale de V analyseur dans le cas des lames minces^ pour lesquelles le point de départ des spirales est noir. L'épaisseur allant en augmentant, Vorigine des spirales se colore comme les images d'Arago, en vertu du terme SRa. En môme temps, l'orientation primitive de 45** va en diminuant de la moitié de la rotation R)^.
Tous ces faits sont complètement démontrés par les épreuves photographiques que nous avons reproduites. Elles prouvent en outre Tinexaciitude absolue de la formule classique des auteurs pour les spirales. En eflTel, de leur relation on tire pourN = o, première spirale,
a= - R, pî.
Ainsi,. pour les lames minces, on aurait eu dans la théorie des auteurs, pour v^=o^ premiers éléments des spirales, a = o ; donc a aurait été égal à zéro, c'est-à-dire
que les premiers éléments des spindes auraient été tangents à la droite représentant la section principale de
V analyseur ; on aurait donc eu la figure ci-dessus {Jig* 68) avec des lames minces dans la théorie d'Airy.
Or notre théorie et l'observation faite avec des lames de o™™,25 et o™™,5 montrent que Ton a la figure suivante {fig» 69); par suite, si l'on voulait admettre comme les
Fig. 69.
auteurs que les courbes Mm, M'm', observées quand Tépaisseur cesse d'être infiniment mince, se prolongent jusqu'àl'axe principal, \e prolongement ne pourrait s'effectuer que comme nous le figurons, les courbes passant par les points m, m' à 45^ de la section principale de l'analyseur. Donc \es premiers éléments des spirales conformes à Vobservation seraient sensiblement perpendiculaires à la section principale de l'analyseur, quand la formule déduite de la théorie d'Airy, pour R^ = o et (^ = 0, donne a = o, c'est-à-dire indique que ces éléments sont paral-^ Lt:LEs à cette section principale {fig* 68).
L'étude du mode de formation des spirales va maintenant nous permettre de vérifier que l'orientation successive de la droite origine des spirales varie comme la moitié Ae la rotation, tandis que dans la théorie d'Airy les premiers éléments des spirales étaient orientés comme la rotation. Q. 20
Mode de formation des spirales.
Les fig. 70 ci-après montrent comment se forment les spirales qaand l'épaisseur va successivement en croissant (dans la lumière jaane pour les cinq premières lames et la lumière rouge pour les trois dernières, pour les épreuves photographiques que nous avons reproduites à la fin du volume et que représentent les schémas suivants) :
Fig. 70.
Sauf à partir de 9"", i où il est devenu impossible de bien déterminer les extrémités des spirales, on voit, en se reportant à la P/. 1, depuis o"*",5 jusqu'à 7"*™,6, comment les choses se sont passées. Notre formule générale est bien vérifiée. En effet, pour les lames minces, on voit que l'origine des spirales est à 45** de la section principale de l'analyseur. Rien ne change dans ces figures si l'on change l'orientation de l'analyseur, les courbes tournant avec l'analyseur. Dès que l'épaisseur va en augmentant, i™™, S^
2™", 5, on volt que Tangle de 45** va en diminuant. Pour o™",5, i"™,5, Ra étant plus voisin de o** que deR«, l'orientation reste voisine de 45®. Pour 2™", 5, ^n prenant Rjt égal à R|, nombre trop fort, on a une rotation de 2'"", 5 X 22*'4o'= 56^,67, et notre formule donne
nombre plus faible que celui donné par l'épreuve photographique parce que R^ a été pris trop fort. Les épaisseurs allant en augmentant, la valeur de R^ se rapproche de plus en plus de celle de R| qui sert au calcul. Pour 3'°™, 65, les rayons jaunes donnent pour la rotation 3™", 65 X 22®4o'= 82% 7 et notre formule
ce que vérifie la quatrième figure. Pour 4™"*? 75, on a 4"™,75 X 22^,67 = io7%68, ^'^^ «= — 8%8, ce que montre la cinquième figure. Les trois dernières figures photographiques ont été obtenues dans la lumière rouge. Nous calculons de même avec les lames de 6™™,o5y 7"",6, 9"°»,i des rotations de ii4%8, i46%3, 172^7, d'où i= — 12", i= — 27**, t =^ — 4i^j ce qui est vérifié par nos photographies.
Ainsi, pas d'ambiguïté, on a bien la moitié àe\di rotation.
En même temps on peut observer que Vorigine mm' des spirales prend une teinte fonction de l'épaisseur SR^ comme dans les images d'Arago. Noire (5 = 0) dans la lame de o*°°*,5, commençant à se teinter dans les lames de i""*,5 et 2™", 5. Bleu verdâlre dans la lame de 3*°'", 65 qui, pour cette épaisseur, est jaune dans la lumière parallèle. Vert d^eau dans la lame de 6™'°,o5 qui, pour cette épaisseur, est rose, etc.
La vérification expérimentale est donc aussi complète que possible.
Avec des quartz lévogyres et de la lumière încidente gauche, nous aurons les figures suivantes {^fig* 71) :
Ftg. 71.
fn.
^mm
En résumé, on voit que la loi est générale. h^orîenCalion de la droite nini', origine des deux spirales, est donnée par les formules très approchées
t\ =z Si
HT
Ha
) Cristaux dcxtrogyres, lumière
) incidente dextrogyre,
) Cristaux lévof^yres, lumière in-
) cideiitc Icvoj^yre.
Kl, pour une même valeur de .v,, les deux spirales sont représentées par les deux fi<;nres ei-après {/ig. 7i>. )
l'ij;. 7^,
Cristaux dcxtroj^'.vrcs
Cristaux lévogyres.
Quant à la partie pointillée que nous avons simulée afin
de permettre de comparer nos figures à celles admises jusqu'ici par les auteurs, on voit quV//e n* existe pas, ni théoriquement ni expérimentalement.
Pour le faire voir encore par un exemple plus frappant, nous allons immédiatement passer d'une lumière polarisée rectilignement à une lumière polarisée circulairément. A cet effet, nous plaçons la lame ^ d'onde de manière que son axe soit perpendiculaire au plan primitif de pols^risation (axe parallèle à la vibration), puis nous obliquons cet axe jusqu'à ce qu'il soit à 45® du plan primitif de polarisation. Sur la lame | d'onde nous avons placé le quartz, de sorte que rien n'est plus facile que de suivre les déformations par lesquelles on arrive aux spirales B {PL II),
Fig. 73.
Nos épreuves photographiques sont encore très nettes sur ce point. Si la lumière incidente circulaire était gauche sur cristal droit, alors ce n*est pas suivant la verticale mm' que la dislocation se serait produite, mais suivant une ligne horizontale. On aurait eu les mêmes spirales ayant tourné de 90", c'est-à-dire en croix avec les premières. Nos éj)reuves photographiques le montrent.
Tel est le mode de formation des spirales : on vpit nettement {Jig- 73) que celles-ci ont pour point de départ les deux extrémités d'une branche de la tache centrale ayant subi une certaine rotation. Par conséquent, les deux
spirales m, rn! ne peuvent jamais se rejoindre. Pour des épaisseurs très grandes, la distance mm! va en diminuant. Mais, quand l'épaisseur va en augmentant, m et m! ne peuvent plus être observées comme les deux premières courbes du premier ordre elles-mêmes. Alors seulement on peut dire qu'elles sont noyées dans la tache centrale. Mais, par conséquent, pour des épaisseurs moyennes pour lesquelles la dislance mm! est relativement grande, si la courbe spiralaire n'était pas observée au delà de m, c'est parce qu'elle ne s'étendait pas au delà de ce point.
En effet, c'est le quart de circonférence i qui a formé le premier quart i de la spirale.
Il était donc impossible que cette longueur i pût donner autre chose qu'une longueur i du même ordre de grandeur.
Il suffisait de faire cette observation, que l'on peut répéter de toute façon, pour s'assurer que l'hypothèse des points /n, /n' se rejoignant comme les auteurs l'admettaient et comme nous l'avons figuré par un pointillé, n'était que de la pure fantaisie, en contradiction absolue avec le mode de formation des spirales, lorsqu'on partait des courbes isochromaliques que Ton observe dans la lumière polarisée rectilignemcnt.
Les flg, 'À^o du texte de l'Ouvrage de M. Mascart {Optique, t. II, j). 3 18), et i3 (planches) sont donc absolument fausses. Elles sont du reste en contradiction avec ce (jue la photographie nous a donné (A, PL 11),
Pour terminer, indicjuons une dernière expérience qui nous montrera bien que l'orientation différente de la droite îu'ni, suivant l'épaisseur, marquait toujours l'origine des spirales.
La lumière incidente étant circulaire droite et gauche
— 3o9 — et le cristal dextrogyre, on aura pour un quartz de 2™™
Fig. 74.
C'est-à-dîre qu'introduire de la lumière circulaire gauche sur cristal droit, c'est exactement comme si l'on tournait à gauche l'analyseur de 90®.
Le cristal étant lévogyre et la lumière incidente gauche el droite, on aurait pour une même épaisseur :
Fig. 75.
Si nous supposons maintenant le cristal lévogyre superposé sur le dextrogyre de môme épaisseur, nous aurons à la sortie du premier cristal la Jig. 74 (0 quî donnera à rentrée du second cristal (2) et (3) de \di fig. ^S, Il est facile de voir que pour tous les points de (i) et (2) la résultante sera nulle par rapport à la verticale, ce qui n'a pas lieu avec (i) et (3) qui conduisent à (4), fig* 76. De
— 3io
môme avec (i bis), (2) el (3). (i Ois) et (3), symétriquement placés égaux et de sens contraire, ne donnent rien Tandis que (i bis) el (2) donneront (5), /tg. ^6 :
Fijï. 76.
C'est-à-dire que l'on aura pour résultante un point m intermédiaire entre m, et ma, en même temps que l'enroulement sera celui du cristal gauche, puisqu'il reste toujours le même, quel que soit le sens rotatoire du rajon circulaire incident.
L'observation montre en cflel que m'^m^ dans (4) prend la direction intermédiaire /;//// a[)rcs la superposition (lu cristal Icvo^jrc sur le dexl rouvre. H en est de même dans (5).
J3onc, c'est bien roricntaLion de la droite ni'in que nous avons pour la première fois introduite qui doit intervenir dans la discussion, des spirales quadratiques.
Ce fait était ini[)ortant à noter, car il va nous permettre d'interpréter d'une manière exacte et toute différente de celle des auteurs le cas où de la lumière incidente polarisée rectiligncment traverse deux lames égales et de signes contraires.
3ii —
