SPIRALES D'AIRY

Les spirales d'Airy sont celles que Ton observe dans le dernier problème que nous allons traiter lorsque Ton place une lame de quartz taillée perpendiculairement à l'axe sur la platine de Tappareil de Norrenberg.

Afin qu'il n'y ail aucun doute sur ce qui était enseigné jusqu'ici, nous allons reproduire (^^.78, p,3i^)laLjig, i3 du Mémoire d'Airy.

D'après cette figure, on voit que les quatre spirales d'Airy traversaient raxe. En outre, les colorations observées sur la plage centrale étaient uniquement dues au chromatisme des spirales. Ainsi, dans le voisinage de l'axe, les quatre spirales présentent entre elles un intervalle de couleur jaune orangé, teinte précisément comprise entre les couleurs rouge et verte de deux spirales voisines. Pas d'erreur possible, cette figure représente exactement ce qui a été toujours enseigné jusqu'ici.

Enfin, dans cette figure, les trois premiers cercles coupant les spirales sont nettement représentés. Ils sont très visibles, et Airy en enseigne expressément l'existence, comme tous les auteurs après lui, du reste. Il dit, en effet, page 4i du tirage à part de son Mémoire :

« The intersection of the spirals and circles is found by making both ihe équations

sin2 -r- = o and sin^ ( -^ y j = o

Ces préliminaires rappelés, montrons ce que l'on voit lorsque Ton commence à observer des quartz de 3™™, 65, 4™™,o5, 6™'°,o5.

Suivant le mol de Faraday, il faut commencer par dire comment est le phénomène pour que l'on puisse ezactemeat s'en rendre compte. Or, si l'on suppose que l'on prenne ce que l'on appelle en anatomie cérébrale le noyau caudé du corps strié, celui-ci représentera exactement deux spirales voisines d'Airy. Deux noyaux caudés symétriquement placés à une distance assez grande de l'axe, distance qui est précisément celle du diamètre de la tocAecenf/'a/é correspondant à l'épaisseur du quartz, l'une de haut en bas, l'autre de bas en haut, représenteront exactement les quatre spirales d'Airy et le phénomène entier.

\a Jig. 77 ci-dessous, obtenue avec des épaisseurs de quarts de 3'"™, (35, 4"""|05, G""°,o5, donnera l'apparence du phénomène que nous allons décrire et qui est général.

Sur chaque noyau caudé les deux branches sont constituées comme le montre celte figure. Jusqu'aux points

^"iB■ 77-

a, a, a, a, les spirales d'Airy de la plage centrale sont Ibrmécs de couleurs trùs voisines représentées par les lettres r, vi, et par deux courbes très rapprochés.

11 y a «;vè( «ci des couleurs/-, r,dcs S|)irulesen a, a, a, a.

La tache centrale, dans l'espace compris entre les points a, a, a, a, présente une coloration uniforme sombre.

Entre deux spirales voisines de la plage centrale.

c'est-à-dire en a, a, a, a, il y a coloration uniforme claire. Cette coloration est toujours celle convenant à V épaisseur du quartz examiné dans la lumière parallèle. Exemple :

Epaisseur. . Coloration.

3™", 65 jaune, lumière parallèle.

a, 7., oLj a, jaune, lumière convergente

4™'»,o5 orange, lumière parallèle.

a, oLj a, a, orange, lumière

" > aaaa, vert sombre.

aaaa. vert sombre, convergente. )

Gmm^oS rose, lumière parallèle.

a^ d, OL, OL, rose, lumière ) aaaa^ couleur sombre diffî-

convergente. ) cile à déterminer.

On voit l'erreur manifeste commise par Airy dans la fig, i3 de son Mémoire reproduite ci-après {fig* 78).

Non seulement celui-ci admettait que les spirales se prolongeaient jusqu'au centre avec leur coloration indigo i, alors que, d'après notre figure, la coloration d'une spirale s'arrête net aux extrémités a, a, a, a, de la tache centrale, mais il allait plus loin. Il supposait la teinte observée en a, a, a, a être précisément due au chromatisme des spirales, comme le montre sa figure (couleur jaune orangée comprise entre les couleurs rouge et verte de deux spirales voisines).

S'il avait varié l'expérience et surtout s'était adressé à des quartz épais, il aurait conclu à l'intervention de la polarisation rotatoire et conclu que, sur la plage centrale en aaaa, la coloration ne pouvait être due au chromatisme des spirales.

L'expérience montrant la variation de la coloration avec l'épaisseur du quartz, ainsi que dans la lumière parallèle, donne la clef du phénomène et nous prouve que la rota-

tion du plan primilif de polarisation s'étend dans louU'S ces parties. Ce n'esl qu'en dehors de rL%%% que l'espace

Kig. 78.

FuiLSK. vDi./v Fan i.pl.v

compris cnlro loi spirales prend la coloration diins l'ordre (le succession liabiliicl des cocirbos isochromatiqucs. inre <pn; l'cpuisseur

Au l'iir ei à inesnrc <pn; l'cpuisseur va en auf^nientanl, ;s spirales ainsi <]iie toutes les coui'lies rpiadraliqnes, du jste, se rajjproclient de plus eu plus du centre.

l'ar suite, axaa ciiipiélaiil sur l'espace aaaa, celni-ci iiddirc en prenaiil la coloration de «ïï pour l'C-paisjiirdu ipiart/. On a doue l'cxpliculiou de ce que Ton jit avec une lauie de y""", 1 -

Quai

— 3i5 Voici Tapparence (^fig* 79) :

Ceci n'est pas en contradiction avec la fig, 77, mais confirme ce que nous avons dit pour les lames épaisses (p. io5).

L'épaisseur de la lame allant en augmentant, la distance au centre pour laquelle est sensible la rolation du plan primitif de polarisation va en diminuant.

Pour les lames de 3™'", 65, 4™™,o5, 6™",o5 la rolation du plan primitif de polarisation s'étendait du centre aux plages a, a, a, a.

Avec une lame de 9"*™,!, elle ne semble plus dépasser la tache centrale aaaa qui présente la coloration verte convenant à l'épaisseur du quartz dans la lumière parallèle, et à partir de laquelle les couleurs semblent se suivre dans l'ordre habituel o, r, vi.

Si les auteurs avaient observé une seule fois avec une lame de 9™*°,i, ils auraient de suite considéré comme erroné tout ce que l'on enseignait jusqu'ici sur le prolongement des spirales, très fines pour cette épaisseur de quartz, et par suite ne permettant pas d'admettre, la figure ci-dessus le montre, « qu'en se croisant au centre elles forment une sorte de croix dont les bras sont contournés en 5. ))

Elles sont trop fines pour qu'en s'étalant elles puissent rendre compte de l'existence de cette énorme tache centrale. Elles ont une coloration propre r, v% qu'elles auraient dû conserver en se dirigeant jusqu'à Taxe, comme dans \di fig, i3 du Mémoire d'Airy. Rien de tout cela ne s'observe avec ce quartz de g""",!, pour lequel la tache centrale a précisément la coloration qui convient à cette épaisseur dans la lumière parallèle. Donc impossibilité d'admettre l'explication que l'on pouvait encore donner avec les lames peu épaisses, quand on ne connaissait pas la relation qui liait la coloration de la plage centrale aaax aux épaisseurs de quartz.

Mais voyons ce que, dans la théorie d'Airy, qui est identique à la nôtre quand la lumière incidente est circulaire, on aurait dû enseigner sans recourir à aucune formule, et pour montrer quelle devait être eu gros l'observation dans le dernier problème.

Au sortir de la première lame de quartz, devait-on dire, on est en présence de deux rayons elliptiques gauche et droit, qui ont celte propriété d'être très sensiblement circulaires dans le voisinage de l'axe.

Donc : i" ces deux rayons circulaires gauche et droit, (|ui n'ont entre eux (|ue la diflérence de marche qu'ils ont pu prendre dans la première lame, dans le voisinage de l'axe, ont toutes les propriétés des rayons de Fresnel ; par suite, à la sortie de la première lame, ils ont eu pour résultante un rayon polarisé reclilignement, qui a engendré dans la seconde lame une tache centrale dans la lumière convergente. Cette tache centrale sera incolore dans la lumière blanche, parce (jue la seconde lame était de signe contraire à la première.

Ainsi existence d'une tache centrale incolore dans la théorie d'Airy, dans ce dernier problème, comme lorsque

la lumière polarisée reclilignemenl traverse une seule lame dans la lumière convergenle.

2® Suivant la même théorie d'Aîry convenablement discutée, un rayon circulaire ou elliptique gauche engendre dans la lumière convergente deux spirales opposées prenant naissance sur une droite, à une certaine distance de UaxCy et dont l'enroulement dépend du signe du cristal ;

Un rayon circulaire ou elliptique droit engendre dans la même lame deux spirales sur une droite à 90® de la première.

Donc la propre théorie d'Airy, exacte dans le cas où la lumière incidente est circulaire, et par extension elliptique, devait conduire à :

!*• L'existence d'une tache centrale incolore;

2® L'existence de quatre spirales prenant leur origine à une certaine distance de l'axe, précisément aux extrémités de la tache centrale.

El alors les^î^. 80 ci-après, que l'on obtient avec deux lames de quartz de 2™™ droite et gauche dans la lumière convergente, semblent confirmer l'exactitude de cette théorie qui, en aucun cas, ne pouvait conduire à l'existence de cercles coupant ces quatre spirales.

Ce n'est qu'en allant plus loin dans les observations

que l'on aurait conclu, d'après la fig, 77, que la rotalion dans le voisinage de l'axe du plan primitif de polarisation devait s'étendre au delà de la tache centrale et s'effectuer I en réalité avec de vraies ellipses; |

Que, la tache centrale n'étant plus incolore dans les lames épaisses, l'ancienne théorie d'Airj devait être effectivement modifiée, puisque, convenablement discutée, elle ne permettait de prévoir qu'une tache centrale incolore et pas de plages colorées a, a, a, a présentant la teinte des images colorées d'Arago.

Il fallait en outre interpréter l'expérience fondamentale citée page 254, montrant que la coloration des lignes isochromatiques était elle-même due au pouvoir ro ta toire.

Et c'est ainsi qu'on était amené à introduire dans toutes les formules d'Airj la rotalion du plan primitif de polarisation R;t obliquement à l'axe dans la lumière convergente.

Nous allons le faire encore une fois dans ce dernier problème, et cela nous permettra de prouver, par des épreuves photographiques, (|ue les quatre cercles coupant les (|uatrc spirales d'Airy n'ont jamais existé, ce qui résultera précisément de nos Tormules et de celles d'Airy elles-mêmes.

Nous avons vu que l'on avait, à la sortie d'un quartz dcxtrogyre, la lumière incidcnlc étant polarisée rectilignemenl, les (juatre rayons cllipli(|ues

Nous avons, d'un autre côté, étudié (p. 160) comment se comportait un rayon d'Airy dextrogyre f passant d'un quartz droit dans un (juarlz gauche (l'axe du second

étant dans le prolongement du premier), et nous avons vu qu'il fournissait, à Ventrée du second quartz, les deux rayons

De même, un rayon d'Aîry lévogyre -^ passant d'un quartz droit dans un quartz gauche a donné (p. 162), à Ventrée de celui-ci, les deux rayons

/ V 2^' • / . MX / X' (i— A:2)6' . . ^ ,,,

^'^^y^ 7:;jfiSin(a)^4-f), (Triî)=-^— — ^^— sin(a>^4-f),

(Ci) = — j^^2Cos(a>;-t-ij/'), (;2)=- ^ ^ ^, cos(a)f -4- i^ ).

Dans la première zone du second cristal gauche on a évidemment 5'= y» y'=8) dont il faudra tenir compte dans les phases, à la sortie du second cristal, qui sont, pour les deux premiers rayons,

pour les deux derniers,

.Ayant donc, d'après les valeurs de (A)| de la page 1^5, T)i = T-r [a^sini' sin(ai^' — o) -f-Xr^p cost' cos(aj<' — o)]

= h sin(a)^-4- i|/),

5i = 7- [a,, sin4'cos(ai^' — o) — Arp^ cosi' sin(a)^' — o)]

— a cos(to^-h 4»),

celui-ci aura engendré les rayons (y;i), (5i), (1^2)) ($2) qui Q. 21

à la sortie donneront (t,i) = - — -Ti-: cos(o'-4-£) ['Xp sint' sin(aj^' — o)-hX:pp cost' cos(a)<'— o)

^.tt;: sin(8'-i-£) ra„ sini'cosC (»)<' — o) — â*3„ cosi' sîn((i><'— o)

ik (;i) = -r^-^ cos(o'-i-£) [«y, sine' cos(to/' — o) — k^p cosi' sin((o/' — oi

■+- r^ sin(o'-+- e) [oLp sini' s'in (oit' — o)-\-k^p cosi' cos(a)^'— o)

(r,j) = 2T7 cos(Y'-f-o) [a^, sînT sin(aj^' — o)-hÂpp cost' cos(a)/' — o)

— / T^ sin(Y'-i- o) [a^ sint'cos(a)<' — o) — A',3,, cosi' sin((i>/' — o)

(5,) = — 2TTi cos(y'-+-'î)[«/ï sini'cos(aj^' — o) — â3p cosi' sin((o/' — oi

— r-^ — tttI !iin(Y-r-o)[oLpiiini' s\n((ji)t' — o)-hk^pcosi' cos(uit'—o)]

De même, le second rayon lévogyre de (A.)|, savoir : T^J = — —7- [k^p s'ini' sin(to/'— e) — a^, cost' cos(a>/' — e)]

= h' s\n(ix)f H- «y ),

Ç'i = -~ - [ A- fi,', si 11/' cos ((.)/'— £ ) ^- OLJ, cosi' sin((o/' — t) |

— — a' cos( iùt -f- «y ),

aura enj^endré dans le second cristal les deux rayons

M' C^i)\ M' (;2y q»i, à la sortie, seront

(r,i)'= '— - cos(Y'-ho)[Ap/, siiu" sin(io/'— £)— a^, cost' cos(œ<'— e)]

'jt A- -TT"; sin(7'-^o') [A fi,', sin/' ros((i)/'- -£)-h a^ cos t' sin(a)^' — î^

(;,)' = — — ' ros(7'-4- o) [Afi/, sin/' sin((!)^'— i)-^-7.p cost' sin(a)^'— s'^

; sin(7' ♦ o)|A3,', siiw" ?in((o /'— £ ) — a ' cos /' cos( to/' — ôi]

Ui)'=

T-— cos(o -+-t)\fc?n sint sin(a)^

^'~"^,^t' sin(o'-4-£)[^3; sinrcos(a)^'

(by=-

7—. cos(o'-4- s) r/i 3/. sini' cos(a)/'

, , ,— sin(8'H- s) TA- 3' sint' sin(a)^'

a^, cosT cos(a>/' — e)] — £)-i-a^, cost' sin ((»)<' — s)],

%p cosi' sin((i)t' — s)]

— z) — oLp cosT cos(aj^' — s)].

Pour obtenir les quatre rayons dus à (B),il suffira, dans les formules précédentes, de remplacer, pour les rayons de môme sens rotatoire, (Xp par a^, ^p par p^, et de représenter les coordonnées de ces rayons par [ ]. On aura, par suite les quatre rayons engendrés par (B) :

[■ni] =

Ilt]' =

IM

[la]-

Il]'

[lt\--

On aura donc, dans le second quartz gauche, les huit rayons formés par les quatre rayons (A) et (B) du premier quartz droit, savoir les quatre premiers rayons correspondant à f ayant donné ->■ f dans le premier quartz :

(îî)- -

; j-rz 2» siiu sin(aji — o — — s)

k'^p cosi' COS{lx)t' — o — 0' — 8j],

ik

(i -hk^)^ \ p \ /

— k'^p cosi' sin(a>/' — o — 0' — s)],

j- — f a« hini' sin((o/' — o — y' — o )

• -h k^pcosi' cos{(ùl' — o — y' — o)],

(,X7T]7[^/^ ^'"* cos((o/ — o — Y — o)

-- A' 3,, cu.^i s\n{'.ùt' — o — y' — ^)]>

[li] =

^y-j-^j [a,,sini sin(a)^ — o — — s)

-h A-p^ cost'cos((i}f' — o — o' — e)],

T— -7 [a,, sint cos(oit — o — o' — 6^

— k^ljcosi' siR((xit' — o — o' — £)],

-+■ k^'fj cosi' cos(b)t' — o — y' — o)],

— A' ,3^ cosrsin(oj/' — o — y' — o)].

Nous rappelant que les observations se font à l'aide d'un analyseur qui, lui, a la propriété d'ajouter les coordonnées de rayons non superposés, nous aurons par suite, comme nous l'avons vu page i-j^,

a/;-HaCy=i, P/i-^?7=i> a;-4-a^=i, 3),H-j3^=i,

d'où

(•nO + l-niI ^

-+- k cosi' (M)s(co/' — o — o' — s) J,

ok

: r-TTr^'nt cos(io/ — o — ô — £)

— /• cosi' sin(to^' — o — 8' — £)J,

I — k^ : -, suit sin(co^ — o — y — o)

-h k cosi' cos{iiit' — o — y' — c) )J,

l'CTT^^ f""^ cos(co^ -o-y-o)

— k cosi' siniuil' — o — y' — o)];

puis les quatre seconds rayons correspondant à <- avant

donné | — ♦ dans le premier quartz,

^^'>)'= {i-^kiy [k'^'pSini' sin{oit'-e — Y—o)

(^)' = -(7^^[^P;^sint'cos(a,«'-£-Y'-o)

-h OLp cosl' sin(w/' — s — y' — o)],

» — a/, cosrcos(a)/'— £ — 8' — s)],

-f- oL'f, cosi' sin(tD<'— e — 8'— s)];

— «y cost' cos(a)^' — £ — y' — o)li -{- oLqC os i' cos (m t' — £ — y' — ^)]>

— a<y cost' cos(a)^'— £ — 8' — £)],

[;î]'=— ^^^yr..^, [A:3,,sini*'cos(a)f'-.£— 8'— £)

-h ay cost' sin(ai/' — £ — 8' — £)].

Et Ton aura, comme précédemment,

(^ii)'^"[^ii]'= (i^/^i)t [A-sinrsin(a)^'-£ — y'— o)

— cosi' cos((Mt'~ z — y' — o)]} (!.)'+[?.]'=- (7^^, ['tsin.-'cos(a,/'-e-f-o)

-+- cos^ sin(io/' — £ — y' — o)]>

(r„)'+ [r„r = - [f^^ [A- si"'" sin((u/'- e - o'-e)

— cos/' cos(a}/'— £ — 8' £)],

-:t-t:osf sin((o/ — t — o — i)].

Telles sont les formules des huit rayons pourant èire groupés deux à deux au sorlir de la seconde lame de quartz. Les coordonnées, comme on l'a vu, répondent à {^Jig. 8i ci-contre.

Fij;. 8i.

Si nous recevons ces rayons sur un analyseur, il convient de tout rapporter au plan primitif de polarisation. Si, de plus, la section principale s de l'analyseur est perpendiculaire au plan primitif de polarisation, on aura la figure suivante {Jig* 82):

Kig. 82.

Par siiile, on aura

r =: -H(/,-IU).

ou

5 en posant l[ = /, — Wk-,

En faisant celte subslîlution dans les formules cidessus, on aura donc des cordonnées rapportées au plan primitif de polarisation. D^un autre côté, posant toujours

IU=^^> Aa= ^-=— et a)/; = a)^'— (Y-f-8) — (o-f-s), on trouve facilement, sachant que o'== y, y'= S,

w/'— o— o'— £ = 0)/;— Rx-,

o) /' — o — y' — o =HMt\-\-{ 1 Aa -+- Ra),

lut' — £ — y' — o = to / 1 -h Ra ,

, tO/' £ o' £ = W^; (2Aa-^Rx).

Par suite, on aura

— k siiw'l cos(w/l — Rx)J,

(î') + l>'3= (71^^ [<=»«»•; cos(a./',-R,.)

-+-A:sintj sin(tofJ — ï^a)]>

(^iî)-+-[TQi]= .^^yr.^.i [cos^; sin(a)/; + 2AA+RA)

— k sint[ cos(a>/'j -+- i^k-^ ^a)]?

( Î2 )+ [Î2] = - ^^I^Ta/)» [^"^^*i cos(w<', -h ^AA-t- Ra)

-h Arsin/I sin(a>/'j -h 2Aa-I- Râ)];

(^ii)'-+-[^<î]'=- hrfTF)! [^*cosi\'sin(a>^; — 2Aa— Ra)

H-sint*', cos((o/J — 2Aa — Ra)]»

(Î2)'-^[Î2r=-r;^^^.[A:cos.-;cos((o/;-2AA-RA)

— sintj sin(tD/J — 2Aa— Ra)],

(T^ii)'+[^ii]'= (7^rx-ïT« t^**^^^**! sin(to<;-r-RA)

H- s\ni\ cos ((!>/', -h Ra)],

(ïiy+[îi]'=-^7^:^, [^'cos.Vcos(tof; + RA)

— sine'i sin(w/'i -h Ra)].

IDooé on san dans l'analyseor, en supposant la section ItrÏDcipale de celui-ci perpendicnlaire au plan primilirdc polarisation (s = 90') et pour l'image ordinaire,

It-est facile de^voirque le coefficient de cosu/, sera,av

facteur près ïttî» égal à

— 3it*sint|G0iii sin^A— aJt^sia^ slnij cosBi^

— ait: cost'iGosiJ cosRt+3A*cos£isiiti| ttuRk +.(,it)siQ,-,co.i; 8in(aA*-i-R*)

— i(i — A')siiiii 8in«Jco8(aA*+ Ri) + *(i-i«)cos(, cosï; co»(aii+ Rt>

+ it»(i — i*)co9»i sim'i sin(a4*+ Ri) -H*»(i — *')sini,coa(,'8in(ai*-+Rt)

— *(i — *»)iiQ.',ami;cos(a4*+Ri) -l-itCl-^il^Jcosft cosf co((a4t-<-Ri)

+ (I -A») cos», sÎD t; «n(aAt+ R*) + aA>sin(, cose'I sînRt+ a^sinii sini^ cosRj. -i-2A'cos£,cosi;coslU— 2A^co5^■,sini;ainR*.

0^donnanlpa^ rapport à siiiRA, cosR*, sîn(ai;i+RA)7 cos{2iiA-t-RA), les termes ci-dessus serédiiisenidesuiteà

+ (.-V*=)(.-*')sin((i + »',)sin(2a*.-!-R(.).

De même, le cocflicient de sinulj sera, au facteur près

+ at'.in.-, co>i;co,B,.-

nR*

-^(.-i'j.ini.co,

+ t(,-<.).illi,

-*{l-A-!)cos(,c

I*'C0.i,.ill,J<

.in (21,.^ R,) ■ .■;co.(2l,+ B,)

A:*(i — k^) sint'i costj cos(2Aa-H Ra)

— k{i — k^) sintj sintj sin(2AA:-f- Rat)

k{\ — A:*)cost costj sin(2A;t-+- Ra:)

— (i — k') cos/i sin ij cos(2Aa-4- Ra:)

ik^ûnii cost'i cosRa- — 2A:sinti sint'i sînR;^

— 2^-3 cos il cos r, sin Ra- — 2 X:* cos «i sin i[ cas R;t'

Ordonnant comme précédemment, ces lerraes' se réduisent à

4A:*sin(i| — tJ)cosRA — ik{i-\- k'^)cos{ii — t'J>9inKA (i — k^)' sin(t, — i[) cos(2A>t-f- Ra)-

Si Ton se rappelle que i\ = £| — Ra, on aura pour {y)i y)=^ ^^^/ sinRA: ^^^.^ cos(2Aa-4-Ra)— ^-j-^cosRA'Jsinw^i

j-j-j^ j sin(2ti— RA.)sin(2AA.-+-RA)

cos(2ti— Ra-)[cos(2Aa-h Rat) — cosRa] ! COSlx>«[ .

L'intensité lumineuse s'obtient en élevant au carré et ajoutant les coefficients de sinw^J et cosw^J.

Il est facile de voir que cette intensité lumineuse est composée de deux termes bien distincts, exactement comme l'intensité au sortir d'une seule lame quand la lumière incidente est polarisée rectilignement.

On se rappelle, en effet, que l'intensité lumineuse, au sortir d'une seule lame dextrogyre, la lumière incidente étant polarisée rcctilignement, était

f r / r» X Ê — o o.k . . o V . e — o"|« ly = I cos(si— Rjt) cos i T^sin(5i — KA:)sin — - —

Le premier crochet donnait rintensitc cl la coloration de

la plage centrale, le second lerme en i*, la forme des courbes isochromaliques. On voit, comme l'expérience le montre, puisque, avec deux lames de signe contraire de 9™"*,i, la coloration de la tache centrale est vert sombre, qu'il en est de m(5me dans noire théorie qui nous conduit à (sachant que 5| = 90°)

^- ) j sini'iii— Hx)sin('2AA.-h Ha)

Tanalogie est des plus frappantes. Le premier terme indépendant de î| peut sur la plage centrale, A^t étant très petit par rapport à lU (expériences de Jamin), revenir, sachant que dans ces conditions

l^-j-^ cos(2Aa.^ R,)- ^-p^^cosR,. J

voisin de cosll;^, à

Le second terme, au contraire, dans le voisinage de la périphérie, pour laquelle Ra, très petit par rapport à Aa et représenté par pk pour le rappeler, reviendra, sachant que

cos(2Aa- -h Ra) — cosKa = — '^^ sin(AA-+- RA)sin Aa-, si II (?.AA-h PA-) = 2siriAACosAA, a

— sin2A/,[2sin('^.fi — Pa)cosAa-

Donc, si nous avons soin de représenter les termes qui conviennent à la plage centrale et aux lignes isochromatiques avec leurs valeurs extrêmes, nous aurons, pour rintensité lumineuse, en remplaçant Aa par sa valeur,

.cos('2t, — pA)sin-^J .

sans oublier que la véritable formule est celle donnée plus haut.

Mais, sous cette dernière forme, nous pouvons comparer l'intensité lumineuse à celle acceptée jusqu'ici dans tous les Ouvrages classiques et qui est ( Verdet, Optique, t. II, p. 261) :

formule dans laquelle

On voit que, si l'on ne tenait pas compte, comme Airy et tous les auteurs qui l'ont suivi, de la rotation du plan primitif de polarisation dans la lumière convergente dans la première lame, par suite

Ra — pA- == O,

on devrait avoir

/ X f (i — k^Y . «s — of • • ^ — ^ (^) v= (TinrV S'" — ]- 2Sln2^lCOs-^— T-cosa^i sin

Telle aurait été la véritable formule à laquelle Airy aurait

dû arriver dans sa théorie. Car ne pas admettre cette

rotation avec les deux ellipses de Feutrée, c'était implici-

tement admettre que le terme -^ n'existait pas sous Pin-

cidence oblique, et, d'après le principe de continuité, qu'il n'existait pas suivant l'axe principal.

On voit que sur la plage centrale, (e — o) étant très petit (expériences de Jamin), on a sensiblement dans la lumière blanche

'j'HH^l'S"-»-^

àoncy sauf suivant l*axe /: = i, où I^=o^ on voit que sur la plage centrale il y a coloration d'autant plus Nombre que Ton est plus près de l'axe et représentée par

sin^aRA, comme pour les images d'Arago. De plus,

cette coloration est uniforme dans tous les azimuts, puisque ce terme est indépendant de {|. C'est ce que montre l'expérience en a, a, a, a et a, a, a, a.

Dans la théorie d'Airy, il est impossible d'expliquer la coloralion de la plage centrale. Car, si l'on voulait admettre qu'elle peut s'expliquer par le terme (qui est inexact luimême, comme nous l'avons vu)

V^ ^ — d V^ • /îT — d et par suite aussi par > cos^ et > sin^ , on

voit que la coloralion et l'intensité seraient variables dans les dlflTérenls azimuts, ce qui est faux.

Celle interprétation nous permet en même temps de nous rendre compte de ce que l'on voit avec une lame de

— 33i — ^mni pQQp laquelle l'espace aaaa est sombre. La formule

nous indique une coloration due à ^ sin2 2RA maïs insensible près de l'axe k voisin de i si la valeur de 2] sin2 2R^

n'est pas assez grande pour compenser la faible valeur due à (i — A:) du terme total. Au fur et à mesure que l'épaisseur va en augmentant, ce résultat se produit et alors dans le même espace aaaa le terme total prend une valeur qui cesse d'être négligeable et qui apparaît en même

temps avec la coloration due à ^ sin2 2RA.

On se rappelle, et c'est une propriété bien connue du quartz, qu'après une épaisseur traversée 2e la teinte est la même que pour une épaisseur e. Aussi, suivant Billet (t. Il, p. 2^1), la teinte sensible s'observe avec des épaisseurs de

Il en résulte que la teinte observée dans la lumière convergente et due au terme ^sin2 2RA devait être d'autant plus rapprochée de celle que l'on observait sur la lumière parallèle et due à ^sin^R,, que R^ était plus

voisin de R|. D'où l'explication de toutes les expériences données ci-dessus, et en même temps la preuve manifeste de la rotation du plan primitif de polarisation dans la lumière convergente comme dans la lumière parallèle, s'étendant jusqu'à des distances variables du centre d'après les épaisseurs traversées.

En effet, la méthode qui nous a permis de prairrer que la coloration des anneaux et des courbes quadratiques était due au pouvoir rotaloire obliquement à l'axe, va encore nous permettre de démontrer Texistence de (^tte rotation du plan primitif de polarisation dans la pr^nîère partie du moins des spirales d'Airy, dans celte partie qui comprend la plage centrale axoL%* Nous pourrons en même temps vérifier Texistence du coefficient aRit auquel

nous conduisait le terme j -rj- sin^aRi^, qpiî nous

donnait la coloration, et démontrer une fois de plus que les spirales prennent leur origine aux extrémités d'une véritable tache centrale indépendante de ces spirales et non constituée par le prolongement de celles-ci, comme on l'enseignait et comme Airy le figure expressément dans son Mémoire^ Plaçons sur la platine de l'appareil de Nôrrenberg une lame de quartz lévogyre de 2™™. La tache centrale est noire pour 5 = 0. Les spirales se présentent avec leurs couleurs ordinaires à partir des branches de la tache centrale qui, à première vue, semblent les continuer, mais non quant à la coloration. Ceci est déjà en contradiction avec la figure d'Airy, d'après laquelle les spirales secontinuaienl avec leurs couleurs \iis(\u^k l'axe.

Intercalons maintenant devant Tanalyseur des lames de quartz de difl'érentes épaisseurs. La tache centrale se colore de teintes fonctions de l'épaisseur du cristal intercalé en même temps que les spirales se révèlent à leurs points de départ, comme on avait pu en déterminer déjà l'origine en faisant varier la section principale de l'analyseur très peu de la valeur s = qui donnait l'extinction de la tache centrale.

Si, parmi les quartz intercalés devant le nicol, on en prend un dextrogyre de 3'"'", 65, c'est-à-dire un peu plus

petit que le chemin total 4™'"? parcouru aller et retour dans la première lame, voici ce que l'on observe.

La tache centrale noire a disparu pour faire place à de la lumière blanche légèrement teintée en jaune. En même temps, les parties teintées a, a, a, a sont devenues blanches. Les spirales ont aussi perdu leur coloration et paraissent noireSy ayant toujours leur point de départ aux extrémités de ce qui était la tache centrale.

La disparition de la coloration des parties de la plage centrale aaaa et des spirales nous prouve qu'à cette distance de Taxe la rotation de la lame de 3™'°, 65 était égale et contraire à celle i Ra de l'épaisseur totale traversée, plus petite que celle aRi correspondant suivant Taxe à 4*"'". Enfin, si l'on intercale successivement des quartz de 9""*, i dextrogyre et lévogyre, on confirme tous ces résultats.

La tache centrale verte se différencie encore nettement des spirales. De plus, les parties des spirales d'Airy qui entourent les plages a, a, a, a prennent des colorations totalement différentes, suivant le signe du cristal intercalé devant l'analyseur.

Au contraire, les branches des spirales vers la périphérie conservent leur coloration propre, quel que soit le signe du cristal intercalé devant l'analyseur, parce que 2Ra a pris une valeur très petite, ap^, à cette distance de Taxe, pour laquelle le pouvoir rotatoire n'est plus sensible dans la première lame placée sur la platine de l'appareil de Norrenberg.

Mais une conséquence beaucoup plus grave pour la manière dont on raisonnait jusqu'ici résulte de l'absence

de ce terme ^ sin'aR^. Airy et tous les auteurs ont conclu que l'intensité lumineuse déduite de leur formule (c) prouvait l'existence de deux séries de courbes : des cEiicLES et des spirales.

Les cercles correspondent à la relation

les spirales, à

asinai" cos^î^^— ^* cosai sin^-^^^ =

el elles étaient nettement représentées, d'après Airy, par la figure schématique suivante {^fig- 83) des Ouvrages

classiques. Or, si nous nous reportons à nos épreuves pholo graphiques, nous constatons qu'il n'y a pas trace (le l'existence de cercles. Pour nous assurer encore de ce fait fondamental, nous avons fait une deuxième observation en tournant l'analyseur de ijo" et, comme dans le premier cas, nous avons constaté Vexistence seule de quatre xpirales. Nous avons publié hors texte ces épreuves photographiques. Elles permettent de suivre très nettement les courbes et montrent qu'elles se rapprochent de 90° en yo", mais jamais se se coupent. Que si l'on représente par I une spirale, et que ce chiffre soit inscrit de distance en (lislanee sur celle-ci, entre deux chilTrcs 1 en conjonction on ne compter!! jamais que trois courbes.

Ces épreuves établissent donc quel n^y a pas tracç d^une série de cercles , alors que la première relatioa d'Airy indiquait l'existence des cercles :

« Premier cercle obscur, deuxième cercle obscur, troisième cercle obscur, quatrième cercle obscur, et ainsi de suite (Verdet, Optique, t. II, p. 268), que chaque spirale coupe successivement. »

On voit que cet énoncé, ainsi que la figure schématique de Verdet reproduite par tous les Ouvrages classiques, est absolument imaginaire.

Remarquons que la première figure de notre PL 111 (5 = 0) est identique à la photographie d'après laquelle a été gravée lay?^. 4 de la PL 111 àe V Optique de M. Mascart. Nous avons même entre les mains le cliché des photographies de ce savant. Or, sur ce cliché comme sur notre figure, non seulement les courbes ne se coupent pas, mais elles présentent un intervalle encore très net comme notre photographie agrandie de la PL IV l'indique.

Dans notre PL 111 l'apparence, à première ^me, est celle de lay?^. 4 de la PL 111 Ae M. Mascart. Il faut en eflet regarder à la loupe CGiie Jig, 4 de 90** en 90°, pour percevoir des traits tracés entre les courbes voisines, traits qui n'ont jamais existé ni sur les clichés ni sur les photographies. Ces traits ont donc été rajoutés par le graveur aux épreuves photographiques pour retrouver les spirales et les cercles qu'indiquait la théorie d'Airy.

11 est certain que la même opération a été efTccluée sur les planches gravées de M. Liebisch.

Il est regrettable que les auteurs qui font appel à la Photographie n'indiquent pas les corrections qu'ils ont fait Q 22

subir à leurs épreuves photographiques pour les faire codcorder avec les figures schématiques des théories en cours.

Il nous a donc fallu la certitude absolue de l^inexactitude et de la théorie d'Airy, et des démonstrations défec- >tueuses que nous avons signalées, certitude accompagnée •d'une théorie nouvelle qui expliquait tous ces faits, pour •oser annoncer, pour la première fois, « que la série de cercles qui accompagnait les spirales d'Airy n'a jamais existé ».

Il y a cinquante ans que Ton enseigne l'existence de ces deux séries de courbes : les spirales et les cercles.

Il importe d'insister sur ce point, car si les auteurs les plus recommandables ont déclaré qu'ils avaient vu des cercles, c'est évidemment que l'on croit en voir pour certaines épaisseurs de quartz. Si d'autres auteurs, comme Liebisch dans sa Cristallographie physique de i8gi (Leipzig), ont même publié des photogravures montrant nettement les cercles d'Airy coupant les spirales, c'est qu'ils ont opéré avec des épaisseurs de quartz telles que les arcs de cercle (qui forment ces spirales) semblaient couper des spirales, alors que la photographie agrandie de la PL IV montre que les courbes ne se coupent jamais. Il convient donc d'étudier ceci avec soin et de montrer où est l'erreur commise.

En premier lieu, il faut se reporter à nos photographies et en tirer cette conséquence. Quand 5 = 0, c'est-à-dire quand on observe des anneaux circulaires dans le microscope polarisant, on obtiendra, dans l'appareil de Nôrrenberg, des spirales essentiellement constituées par des arcs de cercle de courbure progressivement croissante de 90® en 90®.

Si Ton jette les yeux sur la photographie {PL 11^ A) obtenue directement avec de la lumière incidente circu-

laire, on verra nettement ce caractère des spirales que Ton ne devra donc pas s'étonner de relrouver dans les spirales d'Airy. Ainsi, dès que Ton est un peu écarté du centre, les spirales seront constituées par des arcs de cercle, de rayons progressivement croissants de 90® en 90®, qui se soudent pour constituer les spirales d'Airy.

Le caractère circulaire des spirales disparaîtra au contraire si 5^0, c'est-à-dire si dans le microscope polarisant on avait pour ces azimuts observé des anneaux quadratiques.

11 faudra donc, dans tous les cas, pour être bien fixé, non seulement faire l'observation pour 5=0, mais encore pour 5^ o et ne jamais oublier s = 90®.

Cela posé, nous allons nous placer dans les conditions les plus favorables pour observer le premier cercle d'Airy coupant les quatre spirales. A cet effet, il suffît de prendre un quartz de 2"™ et de le placer sur l'appareil de Nôrrenberg. Voici (Jig» 84) l'apparence pour s = o :

Fig. 84.

Suivant les auteurs, 5|,52, 53, s^ sont les quatre spirales,

Ci4- Ca-f-C8 4-C4 le cercle qui coupe les quatre spirales.

La théorie enseignée semble donc bien vérifiée. Mais,

sema rien.changer, ponrugmenlerle champ, ajoalopasur le qDBitz de a**" une lentille pbn-convexe. La figure |»écédeate devient la inivante (fig- 85), exactementdeuùiée.

Cette figure nous montre déjà que l'arc de cercle Cs semble bien continuer la spirale St et non se condaner avec l'arc c,; de pins, ces conrbes présentent déjA le ca^ ractère de nos épreuves photographiques (A) et (B) de la Pi. II, un arc de cercle c, se soudant à un autre arc de cercle de rayon pins grand c[ pour continuer la spirale S4. Pour éclairclr nettement cette manière de voir, opérons avec une lame de quartz de 3""", 65. Celte épaisseur est la plus convenable. En outre, nous observerons alternativement dans la lumière rouge et dans la lumière blanche. Le trait noir continu représente ce que l'on voit dans la lumière rouge. Les traits pointillés indiquent la trace du rouge dans la lumière blanche.

Voici {^g. 86) la figure que l'on obtient quand s=3 o, le cristal étant lévogyre.

En l'examinant, on voit que c, continue exactement s, , non seulement parce qu'il est nettement séparé de C4,mais parce que, dans la lumière blanche, le pointillé indique la continuité de la courbe s,c,. Cette continuité et cet

écarlement des[c, dans la lumière rouge prouve donc que la courbe 5| s\ n'existe pas.

Fig. 86.

Quant aux photographies de nos PL 111 et IV qui se

présentent exactement comme ici, il ne serait donc pas

permis de les corriger, ainsi qu'on l'a fait dans idi^g. 4)

Fig. 87.

PL 111, de M. Mascart, suivant la méthode de la seconde fig. 87, uniquement pour se permettre de retrouver les spirales et les cercles d'Airy.

Mais il y a plus : faisant varier s de son azimut 5 = à 5 := 90", voici (yî^. 88) ce que l'on obtient pour s = 3o".

Fig. 88.

Cette observation juge définitivement la question. Elle nous montre en même temps que les spirales prennent leur origine à une certaine distance de Taxe, aux extrémités de la tache centrale colorée, mais plus ou moins sombre suivant l'épaisseur pour 5 = o et qui s'atténue pour 5^0, ce qui permet de la différencier des spirales dont elle diffère par la coloration.

Avec les lames épaisses de 9""",!, non seulement tous ces faits sont très nels, mais on vérifie que pour s •= o les spirales ne sont plus isochromatiques, comme elles paraissent Têtre avec des épaisseurs de 2™"* et 3'

[mm

Ajant bien établi la non-existence des cercles au point de vue expérimental, montrons maintenant que \di propre formule d^Airy, convenablement discutée, ne donnait que quatre spirales et pas de cercles.

Mais revenons d'abord sur la manière dont les auteurs discutent l'existence des anneaux circulaires. On a vu que

Ton avait, pour 5 = 0, dans le microscope polarisant (p. 277), d'après les auteurs,

et Ton dit (Mascart, Optique, t. Il, p. 3i5) :

« Les courbes isochromatiques sont alors circulaires^

car rimage extraordinaire est nulle pour ^^ = mxs ».

er ri Si

représente le - de M. Mascart.

Ce mode de raisonnement est celui de Verdet et de tous les auteurs. 11 n'a pas peu contribué à prouver l'existence de cercles dans la formule d'Airy.

Or, supposons qu'au lieu de nous adresser à de la lumière monocbromatique nous ayons pris de la lumière blancbe; dans ce cas, la formule ci-dessus serait

Iy= sin*(2ei) \ sin

et les anneaux se trouveraient donnés par

d'où

sin*^^ = o.

Ij. = o.

Or I^ n'est pas nul puisque les cercles sont colorés.

Donc la relation ^^ sin^^ = o? qui conduirait aux

cercles d'interférence, est fausse. Ce n'est pas un des points les moins intéressants de notre théorie d'arriver à prouver par les anneaux colorés l'impossibilité qu'il y avait d'admettre que la différence de marche due au pouvoir rolatoire puisse intervenir dans la production des franges d'interférence.

'En outre, quand les courbes étaient quadratiques, 5^0, les auteurs, pour arriver à ces courbes, différentiaient l'intensité lumineuse te long d'un rayon vecteur.

Or, avec les quartz épais, on passe d'une courbe quadratique à la forme circulaire par une légère variation de 5. Donc,' si la méthode choisie par les auteurs était e&acte pour arriver aux courbes quadratiques, c'était le moment ou jamais de l'appliquer aux anneaux, puisque dans un azimut i|, intermédiaire entre les branches de la croix noire, on passait le long d'un rayon vecteur par des maxima et des minima d^intensité lumineuse.

Par conséquent, les anneaux circulaires, d'après la manière de faire des auteurs, devraient être donnés par la relation

dïy

d'où

. g—d g—d 2 sin^ cos2 = o,

savoir

et non

sin(^ — d) = o

sin

Eq réalité, tous ces modes de raisonnement sont faux. Une seule méthode est exacte, celle que nous avons déjà indiquée. Elle consiste à écrire ce que l'observation nous donne pour l'intensité lumineuse des courbes . Sur un arc de courbe, l'intensité est-elle constante, passe-t-elle par des maxima ou minima pour différentes valeurs de t'i? Alors on écrira

maxima.

\\y I ' = const, ou

minima.

En outre, entre ces limites, pour toutes les courbeSy quelles qu'elles soient, (s — o) et A*, qui varient simultanément, ainsi que /(pk) restent constants sensiblement. Donc, pour arriver aux courbes, cercles, anneaux quadratiques, spirales quadratiques, spirales d'Airy, on fera

dl

dii

o, (e — o), /:, /(pA:) constants.

Notre formule de la page 277 était, dans le cas particulier des anneaux pour la lumière blanche,

'r = 21 sin2(2 M— pk) 2 sinsi:^ -^/(pk).

On voit que nous avions -j^^- = ^^sini(ii— pk)cos2(ii— pk)^s'in^^—— = o;

ti étant différent de o® ou 90®, puisque nous nous étions placé en dehors des branches de la croix noire, il reste

cos^ = r,

^ sin2 — ; — = o, d'où \^

c'est-à-dire les anneaux circulaires dont l'intensité lumineuse sera (p. 277) I7 = /(pa) = ^ sin-'p^.

Pour f, = 45®, la formule ci-dessus donnerait sensiblement, pour ce qui correspond dans la lumière monochromatique à l'intervalle de deux anneaux obscurs, savoir :

^ sin' — ; — = 1, d'où \^ cos2^^ =0 et f(pi^.)=zo;

c'est-à-dire la teinte la plus éclairante, complémentaire de la teinte sensible ^ s'^'PA-

Le même raisonnement s^appliquera à la formule d^Aifj

— 4 r«cos2itSin^ I •

Avec les lames peu épaisses, on est en présence de courbes sensiblement isochromatiques pour « = o. Ceci prouve que, sur un arc de ces courbes,

[Iyj^« s= coDst.y g— d=i const., k = const.;

donc

dix \i4-a:*/ 2 a«i\ a

— 47:^7^5 0082*1 sin^-j—^ =0.

Par suite, les seules courbes que l'on pouvait obtenir par la propre formule d'Airy étaient données par la relation

d l . . g-d , k . . g'-d\^ -p-{ '1 sin2ii cos2 4 7vCos2iiSin2 ] = o,

savoir

4( 1(2 cos2ti cos^ h 4 75 sm 2 ti sin i- ) = o,

Ainsi, en raisonnant exactement comme les auteurs l'avaient fait pour la discussion de la plage centrale, c'està-dire ayant pris g — rf= const., nous voyons que nous arrivons aux relations

\ * 2 ^ î-hk^ * 2 / '

( 2 cos2(i cos^ h 4 — sin2ti sin^ j = o,

qui nous donnent quatre spirales que nous discuterons plus loin, mais pas de cercles. Il n'y avait donc pas plus de cercles dans la propre théorie d'Airy que n'en indiquent nos observations et les photographies non corrigées de nos PL III et IV, Celles de Liebisch (1891) doivent être des similiphotogravures, c'est-à-dire corrigées ou obtenues avec des épaisseurs de quartz de 2"™ qui ne permettent pas de se prononcer.

Puisque la théorie d'Airy, exacte quand elle s'appliquait à la lumière incidente polarisée circulairement, nous indiquait, sans faire appel à aucun calcul, comme nous l'avons vu précédemment, que dans ce dernier problème on devait observer quatre spirales et jamais de cercles, la conclusion forcée est que la formule donnée par lui était mal interprétée dans ce dernier cas.

En outre, on pouvait faire remarquer que les auteurs,, pour arriver à déterminer les propriétés des courbes que l'on observait dans ce dernier problème, délaissaient complètement la manière de faire adoptée par eux lorsqu'il s'était agi d'obtenir les propriétés des anneaux quadratiques et des spirales quadratiques. Les auteurs enseignaient (p. 282) qa^'û fallait différencier l'intensité lumineuse par rapport à la différence de marche en regardant i^ et k comme constants.

Pourquoi donc abandonnent-ils cette méthode? Si elle était exacte dans les premiers problèmes, elle devait l'être encore ici.

Nous avons indiqué que, le long d'une courbe quadratique, Ra, (e — o) et A: étaient sensiblement constants entre des limites assez étendues de t|, et qu'entre ces limites on passait par des maxima et des minima, par suite qu'il idX\d\i différentier par rapport à tj en considérant ^k^ (s — o) et k comme constants. C'est ainsi que nous avons

retrouvé les propriélés des courbes quadratiques et des spirales quadratiques. Donc, dans le dernier problème, nous n'abandonnerons pas, comme les auteurs, la méthode suivie jusqu'ici.

Par suite, la formule (6) nous donnera, R^^, (e — o) et k étant constants, sur un arc de courbe sur lequel l'intensité lumineuse est elle-même constante,

dly ,/i — k*V . ,» — or ... . •

4^ / ♦ V . « — ol