EXAMEN ET CRITIQUE DES RECHERCHES ANTÉRIEURES
La théorie mathématique de la double réfraction elliptique du quartz donnée pour la première fois par Mac Cullagh nous permettra, convenablement interprétée, de démontrer l'exactitude de l'ensemble de nos recherches qui se résument ainsi :
I® Les deux ellipses de I'entrée sont toujours tangentes suivant un de leurs axes et orientées par le plan primitif de polarisation, Airy et tous les auteurs venus après lui avaient admis que les ellipses de Ventrée étaient orientées par la section principale du cristal, et qu'elles étaient seulement tangentes quand le plan primitif de polarisation
Théorie nouvelle. Théorie d*Airy.
devenait parallèle ou perpendiculaire à la section principale {fig. 9)-
2® Ces deux ellipses de l'entrée, comme toutes les ellipses tangentes suivant un axe et parcourues en sens Q. 3
contraire, ont toujours pour résultante une vibration rectiligne pendant des épaisseurs variables, fonctions de l'inclinaison. Elles permettent d'expliquer la rotation du plan primitif de polarisation sous l'incidence oblique^ ce que l'on ne peut obtenir avec les deux ellipses d'Airy dans le cas général. Ce fait avait complètement échappé aux auteurs, bien que les formules de Mac Cullagh le donnent de suite. La conséquence de cet oubli est que les formules classiques emplovées par Jamin et tous les expérimentateurs venus après lui conduisent à des différences de marche TOTALES complètement fausses dans le voisinage de Vaxe où la rotation du plan primitif de polarisation est sensible.
3® Les équations de Mac Cullagh conduisent, pour les vitesses des rayons elliptiques, à des formules analogues à celles de Fresnel, dans un cristal dextrogyre.
sachant que, en simplifiant et comme première approximation,
5 étant la valeur que l'on a dans les formules de Fresnel et k le rapport des axes des ellipses qui varie de i à o du centre à la périphérie.
4® La diflerence de marche entre deux rayons ellip-
tiques est, en faisant i^do) = do,
d'où
d-L^: d"^-\-0.kd\do)- k'-{do)^.
et justifie la forme générale donnée par Airy, à condition
de supposer que (do)k, au lieu d'être constant et égal à doj varie de âf© à o.
Elles montrent que sont inexactes les relations
que l'on avait cru pouvoir déduire des théories de Cauchy-, Glebsch , Sarrau, Boussinesq, alors que ces théories donnent d'autres termes que Ton pensait être négligeables, en se basant sans doute sur les recherches de Jamin.
5® Les ellipses à la sortie étant, comme l'expérience et la théorie le prouvent, orientées par la section principale du cristal, conformément encore à l'hypothèse d'Airy, il y a transformation pour un milieu d'ellipses ayant à Ventrée et dans une première zone une certaine orientation en ellipses ayant à la sortie une autre orientation, d'où la tétraréfringence du quartz.
Voyons comment nous pouvons déduire tous ces résultats des formules de Mac Cullagh..
Lorsque l'on établit les équations générales du mouvement vibratoire d'une molécule d'éther dans un milieu quelconque, on représente par a:, y^ z les coordonnées de la molécule rapportée à trois axes rectangulaires quelconques, par ^, Y], Ç les projections du déplacement s de la molécule sur les trois axes ; et l'on arrive à des relations de la forme
^-Xb ^-Ye ^^-Ze
dt^-^"-' df^-^"-' dt^-^"-
dans lesquelles X, Y, Z sont fonctions de la fonction des forces, des déplacements Ç, yj, Ç et des coordonnées x^ y^ z. On en tire .
{ = ^(R,Ocosa, 7; =cp(R,Ocosp, Ç = cp (R, cos-f,
R étant la distance d\ine onde supposée plane à l'origine des coordonnées, a, P, y l^s angles que fait avec les trois axes la trajectoire rectiligne de chaque molécule de l'onde plane.
Si l'on suppose que la normale à Tonde coïncide avec l'axe des ^, d'où y= 90®, il vient alors
^ = cp (5, t) cos a, Y) = îP {z, t) cos p,
a, P devenant complémentaires.
Pour que l'onde se propage sans altération dans le milieu, il faut :
I® Que les angles a, P, y restent constants;
2® Que la fonction ç soit de la forme (p(R — V^), V étant la vitesse de propagation de Tonde plane.
Nous avons rappelé ces principes de la double réfraction parce que l'hypothèse de Mac Cullagh consiste à partir des formules de la double réfraction débarrassées des termes de la dispersion et à introduire dans ces formules des dérivées troisièmes des déplacements. On voit, et nous insistons sur ce point, que les coordonnées x^ y^ z étaient quelconques et n'avaient aucune relation avec le milieu pour lequel les équations différentielles ont été établies. Il en était forcément ainsi parce que, en faisant ^ = o, ou R = o, une des premières conditions fondamentales était que les équations de Ventrée devaient redonner le mouvement vibratoire incident rapporté à ces axes de coordonnées Ox^ O^, 0-z, mouvement vibratoire qui existait dans le premier milieu et qui, par suite, avait dû être défini par des coordonnées bien avant de pénétrer dans le second milieu.
Si nous supposons, par exemple, le mouvement vibratoire incident polarisé rectilignement, il est naturel d'imiter Fresnel et de prendre le plan primitif de polarisation
pour l'un des axes de coordonnées et une droite perpendiculaire pour l'autre, et par suite les axes O^, Oy qui étaient quelconques se trouvent définis dans le premier milieu par rapport au mouvement vibratoire incident. Ils ne sont donc plus quelconques dans le second milieu.
Et par suite les équations différentielles de ce second milieu étant
les Ç, T] sont rapportés aux axes Ox, Oy déterminés dans le premier milieu par le plan primitif de polarisation.
On pourrait s'étonner que nous insistions sur un point aussi simple et aussi évident et que nous ayons même rappelé les définitions classiques par lesquelles ces coordonnées 0^,0/, Oz ont été précisées. On s'en étonnera moins quand on constatera que, dans le problème de la double réfraction circulaire, elles ont été parfaitement respectées, alors qu'elles étaient totalement oubliées et méconnues dans la double réfraction elliptique où l'on a fait appel au second milieu, la section principale, pour supposer aux coordonnées Ox^ Oy une orientation qu'elles j\e pouvaient avoir et qu'elles n'avaient pas à I'entrée. La nécessité A^ identifier à la limite les. formules de Mac CuUagh de la double réfraction elliptique à ses formules de la double réfraction circulaire nous montrera, en effet, que, dans le premier cas comme dans le second, les coordonnées Ox^ Oy sont rapportées au plan primitif de polarisation du rayon incident. Ce sera donc un premier lapsus que nous aurons à relever dans la discussion des formules de Mac Cullagh de l'entrée quand la normale à l'onde fait un .certain angle avec l'axe principal du cristal.
Recherches théoriques.
Les types de ces recherches sont celles d'Airy et de Mac CuUagh.
Examinons d'abord celles de Mac Cullagh qui a le premier retrouvé, aprùs Airy, les propriétés du quartz dans les équations différentielles de la double réfraction, modifiées de manière à rendre compte des propriétés spéciales qui se manifestent dans les cristaux doués du pouvoir rotatoire.
Les cristaux comme le quartz qui possèdent le pouvoir rotatoire naturel, c'est-à-dire sont hémièdres à formes conjuguées non superposables, ont pour caractéristique, par rapport à des axes fixes, que la rotation aura lieu dans un sens ou dans un autre quand les rayons se propageront en sens contraire. Dans la polarisation rotatoire magnétique, la rotation s'effectue dans le même sens.
Une des conséquences immédiates de cette propriété du quartz est qu'il ne peut exister de dérivées impaires par rapport au temps, tandis qu'il doit exister des dérivées impaires, troisièmes par rapport aux coordonnées. Si Ox^ Oy, Oz sont des axes définis par le premier milieu et si l'on désigne par o:,^, z les coordonnées d'une molécule considérée du second milieu, ç, y;, Ç les projections du déplacement sur les trois axes, en prenantpour axe des5 la normale à l'onde, b la vitesse de propagation de la lumière suivant l'axe du crislal, les équations différentielles de la double réfraction en négligeant l'influence de la dispersion, savoir
d^r d^r <72j: rl2t
dv^ ~ dz'^ ' dr^ ~ dz'^ '
doivent alors être modifiées de manière à renfermer des dérivées troisièmes par rapport aux coordonnées, et l'on
a les équations de Mac Cullagh
d^Ti d^l
dz^
dz^
d^ dz^
La normale à l'onde ayant ici la direction de l'axe, on devra donc retrouver les propriétés du quartz quand le rayon incident a la direction de l'axe (Jig' lo).
Fig. 10.
{ly
Ces relations seront satisfaites, dans notre système de coordonnées, par
r, = - - OL sin (uit — l'z), Ç = — acos(w^ — ^'-2),
qui donneront les équations de condition
— 0)2 7) = — 62^2 Y) -4-0^3 Tl, — 0)2 Ç = ^2 /'2 Ç + c/'3 Ç^
d'où
si c est très petit.
et
Si l'on remarque que w = -=7-, V = — z=z -— , X' étant
la longueur d'onde du rayon circulaire droit i^', il en résulte que
tu , 1 ( I cl'
Ainsi Ton retrouve Texpression de la vitesse d'un rayon de Fresnel droit dans un cristal dextrogyre.
Les relations de Mac Cullagh sont encore satisfaites par
T)'= — asin((o^ — l" ^)j Ç'= -\- a cos(wf — l" z)y
qui conduisent aux équations de condition d'où
</' étant la vitesse du rayon circulaire gauche dans un cristal dextrogyre.
On retrouve donc cette première propriété des deux rayons de Fresnel d'être représentés, quant aux vitesses,
par la relation vz= bi i±-\y puisque, si c est très petit,
on a sensiblement c/'= cl" . Mais on voit que, en réalité, S ne pouvait être le même pour les deux rayons, ainsi que M. Cornu a cru l'avoir démontré (*).
On voit de plus, pour z = o, que si l'on a
Ç -f- $' = o , r^-!r- T^ z= — 2 a sin o) f ,
comme Fresnel établit ses relations, il en résulte que les équations deMac Cullagh, dans le cas particulier où le rayon incident éldXl polarisé rectilignement, nous montrent que l'orientation des axes n'a pas été prise quelconque, mais que, dans notre système de coordonnées, les x — x' suivant lesquels on a compté, dans le second milieu, les dé-
C) Journal de Physique, 2* série, t. I, p. 157; 1882.
placements^ se sont trouvés être parallèles au plan primitif de polarisation. On tire des deux solutions précédentes
TjH-7)'= — a [sin(a)f — l'z)-\- s\n(uit — l"'Z)]
= — 2 a sin [Oit z ) cos z,
Ç H- ^ — — a [ cos(a)i — /'^) — cos(a)^ — l"^)]
\ sin
= -H 2 a sin [iùt z ) sin z,
d'où
^ = — tang z.
Y) -H Tj' ^2
Ayant p'= -7=r v, j 1^''= -y^r -p} ^^ ^'> ^" àdi^s un cristal
dextrogyre, nous voyons donc que /"> /'. Ainsi « les vibrations du rayon émergent sont rectilignes et dirigées à droite de l'axe des y avec lequel elles font un angle égal
l"—l' à z. Par suite, le plan de polarisation a été dévié
l" — V à droite d'un angle égal à 5, et le cristal est dex-
trogyre, ce qu'il s'agissait de vérifier (*). )>
Nous avons cité les propres termes de Verdet pour bien faire voir qu'il n'y a aucun doute à avoir et que, comme cela devait être, les déplacements ^, ^ ont été comptés parallèlement au plan primitif de polarisation.
Cette constatation est de la plus haute importance pour l'étude du phénomène quand la normale à l'onde fait un angle avec la direction de l'axe. Là est l'erreur commise jusqu'ici par tous les auteurs qui ont voulu faire cadrer la théorie mathématique de la double réfraction elliptique
(') Verdet, Optique, t. II, p. 3i2.
du quartz avec la théorie d'Airy. Uerreur a consisté à supposer que, dès Ventrée, les déplacements Ç, ^ étaient comptés (non plus suivant le plan primitif de polarisation), mais suivant la section principale du cristal. Voici ce qu'on lit dans Verdet ( * ) :
« Nous pouvons maintenant généraliser la méthode précédente et considérer le cas où l'onde incidente est inclinée sur l'axe du cristal Si l'on prend pour axe des z
la normale à l'onde, pour axe des x la projection de Vaxe du cristal sur le plan de l'onde (par suite, zOx est une section principale) et pour axe des y la perpendiculaire à Taxe des x tracée dans le plan de l'onde..., on obtient les deux équations différentielles de Mac Cullagh
, dt^ dz' dz^
6/^2 dz^ dz^
sachant que A = &2, B= fe2__(fc2__^2) gin^ô, 6 étant l'angle de la normale à l'onde avec l'axe du cristal, a et 6 ayant la même signification que dans la théorie de la double réfraction (2). »
Ainsi, aucun doute à avoir pour bien spécifier que les r\ ont été comptés perpendiculairement à la section principale, Verdet a soin de dire que
il}y\ , d^ dv' ~ dz'
est l'équation différentielle du rayon ordinaire A = b^,
(') Dans notre système de coordonnées, les x sont les y de Verdet et les y les a?, et nous faisons celte transforrnation dans les lignes que nous transcrivons.
(') Verdet, Optique, t. II, p. '6\^\.
et que les Ç ont été comptés parallèlement à la section principale; que
de- ~ dz'^
est celle du rayon extraordinaire dans le même cristal ne possédant pas le pouvoir rotatoire, et qu'il a suffi d'ajouter et de retrancher les dérivées troisièmes pour avoir les équations différentielles convenant aux quartz sous l'incidence oblique.
Le fait que nous indiquons est trop précis, trop classique pour que l'on puisse venir le nier lorsque nous aurons montré comment on doit le rectifier pour les cristaux possédant le pouvoir rotatoire. Ce que nous pouvons dire, c'est qu'aujourd'hui tous les Ouvrages classiques traitent cette question comme Verdet l'indique expressément.
Cela posé, montrons nettement l'erreur commise. Si nous partons des formules (2) de Mac CuIIagh, du second problème, nous dirons que, quand la normale à l'onde fera un angle ô = o avec l'axe, d'où A = 6^, B = fe^^ i^g formules (2) devront se réduire identiquement aux formules (i). Or les formules (2) ne peuvent être identiques aux formules (i). que si les ^, Ç' sont comptés sur une droite x — x' ^ parallèle au plan primitif de polarisation, et non sur une droite x — x^ faisant un angle (90® — i) avec le plan primitif de polarisation, puisque cet angle n'entre effectivement ni dans les formules (i), ni dans les formules (2).
De plus, s'il existait dans les formules (2), il entrerait nécessairement dans les formules (i), ce qui serait inexact, puisque suivant l'axe il n'existe plus de section principale et, par suite, que les formules des rayons de Fresnel ne sauraient renfermer de termes fonctions d'une section principale.
Nous verrons, et l'on peut le vérifier de suite, que cette incorrection se retrouve précisément dans les formules des deux ellipses d'Airy de l'entrée.
Quand on fait dans celles-ci Âr= i, pour retomber sur les rayons de Fresnel, les coordonnées sont alors fonctions de termes en cos{iùt — t), sin(a)^ — «), cos((i)^ -[- t), sin((i)^ + i).
Ayant donc rectifié les formules de Mac Cullagh en ce qui concerne l'orientation des axes dès l'entrée, voyons le. fait important qui avait jusqu'ici échappé aux auteurs, et que nous avons pu déduire ultérieurement des propres expériences de Jamin. Nous voulons parler de la rotation du plan primitif de polarisation qui existe dans la lumière convergente comme dans la lumière parallèle.
De la rotation du plan primitif de polarisation dans la lumière convergente (*).
Les formules de Mac Cullagh étant donc les suivantes
d^r, dt^
dz"^
dn
dz^
d^^ dV^
^ dz^
" dz^'
dans le système de coordonnées indiqué par la figure ci-contre seront satisfaites par les premières relations dans un cristal dextrogyre (c positif)
T^ = — Y et sin{(j)t— l' z)^ J = - a cos(a)^ — l' z)^
(*) Note adressée aux Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. CXXII, p. 28; 1896.
relations identiques à celles de Fresnel si l'on fait Ar = i et qui représentent la première ellipse parcourue de gauche à droite {Jig* n).
Fig. II.
Les équations de condition deviendront ici
— W».7) = — A /'».Y1 — ckl'^i\,
A IH r- I et
•" ni «*''\
La seconde relation donnerait pour expression de yy
îiBA-
Ces deux expressions de la vitesse sont égales.
Mais ce qu'il est important de faire ressortir et ce qui avait été laissé dans l'ombre jusqu'ici, c'est que la première relation se présente exactement sous la forme des vitesses des rayons de Fresnel, savoir
comme on pouvait le prévoir d'après l'analogie qui devait
exister entre les rayons elliptiques et les rayons de Fresnel. Si l'on remarque qu'à la périphérie le rayon elliptique droit, l'ellipse étant très aplatie, se réduira au mouvement vibratoire rectiligne suivant Oy, on voit, par conséquent, que ^j^ variera du centre à la périphérie de B (* ) à o puisque Ton a
., ckl
et que k varie de i à o.
Ainsi, les vitesses des rayons dans la double réfraction elliptique du quartz présentent tous les caractères des vitesses des rayons de Fresnel, du centre à la périphérie. Ce sont les propres formules de Mac Cullagh qui le montrent.
Les formules de Mac Cullagh seront encore satisfaites par les relations
qui doivent nécessairement représenter une ellipse tangente à la première suivant Paxe perpendiculaire au mouvement vibratoire incident. Cette condition est nécessaire puisque le mouvement vibratoire incident étant
y =. — Si a sinto^;
les deux ellipses de l'entrée doivent donner, pour .3 = 0,
ce qui exige que l'on ait toujours ^= — Ç, quel que soit k. Donc les deux ellipses substituées à Centrée au mou-
( ' ) Comme première approximation, celle des expériences de M. Cornu,
vement vibratoire rectiligne seront: i° orientées par le plan primitif de polarisation ; 2® tangentes dans la direction du plan primitif de polarisation. En substituant ces valeurs de Yj', Ç' dans les formules de Mac GuUagh, on a les équations de condition
d*où
D'un autre côté, la discussion complète des formules de Mac Cullagh, en partant des formules les plus générales, nous montrera que l'on a sensiblement pour première approximation, celle des expériences et de Thypothèse d'Airy,
Il en résulte que Texpression de la vitesse sera donnée par la première ou la seconde formule, savoir
cV'k
Si l'on pose
.. cV'k
on voit que la vitesse du rayon elliptique gauche sera représentée par la formule
exactement comme le rayon circulaire gauche de Fresnel dans un cristal dexlrogyre, et que, si l'on remarque que k
varie de i à o, que pour A' = i , = o, A = B, v^= v^ il en résulte que
8^ variera de o à o ainsi que §j^.
Ces résultats nous montrent que l'on a toujours pour la différence des vitesses des deux rayons elliptiques de l'entrée
k étant une quantité qui varie de i à o. Suivant l'axe, on a A=B, Â-=i, d'où
sachant que 8 = ^r X = — X, a étant la rotation tabu-
laire, do le coefficient de la différence de marche suivant l'axe pour l'unité d'épaisseur.
Donc on voit dans quelles limites les relations que nous avions indiquées au commencement se vérifient, pour le quartz, savoir :
Ainsi, il résulte de cette première analyse que nous avons pu représenter avec les propres formules de Mac GuUagh les vitesses des deux rayons elliptiques par des expressions qui les rapprochent complètement de celles des deux rayons de Fresnel.
Ce fait était d'autant plus important à noter que la manière dont jusqu'ici on avait représenté les vitesses ne permettait d'apercevoir une telle analogie. Mais, en admettant
que la relation d'Alry-r x k' = i ne fût qu'une première
approximation, ce qui reviendrait, comme valeur exacte, à remplacer Sj^ par Sj^ (i h- e), e étant un petit nombre, cela ne changerait rien à l'expression générale des vitesses. Du reste, nous allons voir que les auteurs sont restés dans ce degré d'approximation pour le rapport des axes. Ayant les deux relations
k on éliminait d'abord k^ d'où
puis, pour déterminer k {\e rapport des axes), on retranchait Tune de l'autre, d'où
Par suite, k était déterminé par l'équation du second degré
k^ H TT— k — \ = o.
Le quartz étant un cristal attractif, B < A, /: variant de I à o, il en résulte que (A — B) et ( -7 — k\ sont essentiellement positifs; donc la relation précédente exige que c et /' soient de même signe. La dernière relation donnant
ici' —y ^e-i"^ ^ '
et k étant essentiellement positif, il en résulte qu'il n'y a qu'un signe possible devant le radical, savoir ici le signe -{-. On aura une seule valeur de A*, savoir
Avec les deux relations de la seconde ellipse
cl"
on aurait
o = (A-B)-cr(l-A:'),
d'où, ainsi que précédemment,
Admettre avec Airy que l'on a entre les axes des deux ellipses
ceci revient à supposer que /'= /'', savoir k'=k. Nous
Supposer V= V= X, c'est donc rester dans les mêmes hypothèses expérimentales d'Airy; en remplaçant A — B* par sa valeur (b^ — a^) sin^B, le rapport des axes sera déterminé comme première approximation par la relation
A: =—7 (62 — a«)sin2 0-+-i/---4-7(6*-«*)2sin*e-hi.
Exprimer le rapport des axes par cette formule des auteurs ou déterminer les vitesses suivant la méthode cidessus pour en déduire ultérieurement les différences de marche, c'est rester dans le même degré d'approximation. Cette formule sera complètement déterminée quand c sera connu.
Des relations des vitesses on déduit
(02==/'2(A-Hc/'X), iO^=n(\i-cl"k).
Si c est très petit, on voit que l'on a approximativement
donc on peut supposer
en négligeant les termes supérieurs à o)^, la première relation donnera
d'où
On aurait de même
