DO

Pour z = i™"*, ^ = «1 , en même temps que A" = i ,

B = A:=6'. Suivant l'axe, on a, sachant que a^ est la rotation tabulaire,

ai = - -— 0)2

qui permet de déterminer c. En effet, o) = -7=r= — r — »

Ainsi k pour chaque valeur expérimentale de sera calculé. /' et /'' étant connus, on aura

•> , CKl > ,, CKl

d'où les vitesses v' et v>" ^ et les différences de marche correspondantes. Donc tout est connu.

Les deux vitesses déduites des rayons elliptiques de Mac Gullagh se présentant exactement comme celles des rayons deFresnel, il était évident a priori que ces rayons devaient avoir les mêmes propriétés.

satisfaisants), ne va pas plus loin et môme les invoque pour admettre que cela doit prouver que les coefficients c des termes additionnels (les dérivées troisièmes) dans ses deux équations différentielles doivent être inégaux : « In which c' is a little différent from c, would be more correct than those which we hâve assumed. Indeed Mr Airy's expcriments seem to indicate that c' is greater than c; for be found, as we hâve àlready said, that the ratio of the axes ofthe little ellipse described bya vibrating molécule is somcwhat différent for the two rays. We shall arrive

c' at the formula A:^— AA- = — , instead of formula A:'— AA: = i. This

seems to be the explanation of the différence between the ratios

observed by Mr Airy. » ( On the Laws of the double Refraction of

Quartz. Read, Fcbruary 22; i836).

Nous allons montrer, en effet, que, si les deux ellipses de Mac Cullagh sont tangentes dès l'entrée, quel que soit l'aplatissement et quel que soit l'angle que fait le plan primitif de polarisation avec la section principale du cristal, il en sera encore ainsi suivant des épaisseurs variables fonctions de l'inclinaison. Elles resteront toujours tangentes suivant un plan de polarisation tant que leur résultante sera une vibration rectiligne. Voilà ce qui différencie

les ellipses de Mac Cullagh de celles d'Airy.

l' -{- l" l' ~ l" Si l'on remplace /' par j , et l" par

) on aura

7) -h r/ = — a ( j ~^" ^" ) cos — ; z sin w t^

V—V , A- i sin >5COSto/',

È -H J' = H- 2 a sin ^ sin to t' .

l' -h i" en faisant, pour abréger, o)^^== iùt z. Donc, tant

que a ( -r — A") sin z cosw^'sera négligeable, on aura

? + ?' ik l"--r

c'est-à-dire que les deux ellipses de Mac Cullagh auront pour résultante une vibration rectiligne. Or ceci aura lieu : I® pour z très petit (cas des lames minces cristallisées); 2® pour (-7 — k\ très petit, savoir k voisin de i

(rayons de la plage centrale) ; 3^ pour ( -- — lx\ sin z

très petit (c'est-à-dire si, au fur et à mesure que z va en augmentant, on a soin de se rapprocher de l'axe).

Les relations de Mac Gullagh, dans lesquelles les Ç, rj sont toujours rapportés au plan de polarisation que l'on obtient après une épaisseur traversée z^ vérifieront donc, à chaque instant ainsi qu'à l'entrée, les relations

c'est-à-dire que, comme dans la théorie de Fresnel, à chaque instant les deux ellipses de Mac Gullagh auront pour résultante une vibration rectiligne dans une orientation nouvelle j^i qui redonnera à son tour deux ellipses tangentes dans une nouvelle orientation. La seule différence est que les deux cercles de Fresnel produisaient ce phénomène pour toute l'épaisseur traversée, tandis qu'avec les ellipses de Mac Gullagh on ne l'observe que pour des épaisseurs décroissantes du centre à la périphérie.

Si l'on désigne par R^ la rotation du plan primitif de polarisation sous l'incidence oblique, on a donc

tangRA:= ;j-p-p lang— ^— ;;.

Nous reviendrons sur ce sujet et nous verrons que cette relation ne s'établit de suite que sur la plage centrale et dans le voisinage de la périphérie. Sur la partie médiane on a en effet

RA:= PA:-+- pAr-h . . .,

pA, p^,, . . . étant liés à des épaisseurs successives assez petites pour que l'on eût rigoureusement

^^^^9k = Y^p^ tang -^^ Az.

Nous verrons de plus que les intégrales des équations dif-

férentielles de Mac Gullagh sont en réalité plus générales que celles données jusqu'ici et que nous avons rappelées. Quant à la rotation tabulaire obliquement à Vaxe que nous représenterons par a;i.et qui n'est autre chose que Ra pour Vanité d'épaisseur, elle sera donnée par la formule

^^=Kiî^ ^ S^) '^""'"^"^"^ " "^^ "•

On voit qu'elle n'est pas constante, mais varie du centre à la périphérie.

On a

ak=z - —ii}^= ai pour a: = i ,

a/c^- ( —z= = \ w pour k = o.

Ainsi, à la périphérie seulement, a^ devient indépendant de c et, par suite, ne mérite plus le nom de rotation tabulaire.

Les épaisseurs variables z'^ pendant lesquelles les deux rayons elliptiques donnent lieu à la rotation du plan primitif de polarisation, seront obtenues parla relation

ajc

ak n'étant jamais nul, et R^ variant de Rf à o du centre a la périphérie (A':= o), on voit que z! variera de

Pour Â: = I , en effet, on a

tangRi = ianga|..5,

d'où

Ri = iX\.z.

Donc, il existe dans le quartz une première zone pendant laquelle les rayons dès l'entrée donnent lieu à la rotation du plan primitif de polarisation, non seulement suivant l'axe, mais obliquement à l'axe jusqu'à la périphérie.

Les expériences de Jamin convenablement interprétées, ainsi que nous l'avons indiqué (*) et le verrons plus loin, nous ont prouvé pour la première fois l'existence de cette zone puisque les phases mesurées au compensateur correspondaient à des épaisseurs ej, ej, e'I^ progressivement croissantes de o à e quand on se déplaçait du centre à la périphérie {fig* 12). U en résultait que les

Fig. 12.

épaisseurs e, e', e'', e'" échappaient au compensateur, précisément parce que, pendant ces épaisseurs, les deux cercles de Fresnel et les deux ellipses de Mac GuUagh ayant à chaque instant pour résultante une vibration rec-

( ' ) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences^ t. GXXI, p. ii36; 1896^

tiligne, donnaient lieu à la rotation du plan primitif de polarisation. Théoriquement, pour le démontrer, il suffisait de faire voir que, dans cette première zone, les formules de Mac Cullagh étaient rapportées à chaque instant à un plan de polarisation d^azimut variable comme l'épaisseur traversée, c'est-à-dire à des axes mobiles qui prenaient l'orientation invariable de la section principale que l'on avait enseignée jusqu'ici, mais seulement à partir de la limite inférieure de cette première zone. Nous avons donné à cette première zone le nom de zone de polarisation rotatoirCy ou zone des ellipses d^ orientation variable.

De la forme générale de la différence de marche dans la réfraction elliptique du quartz (*).

Les diverses théories mathématiques avaient donné jusqu'ici pour expression de la difFérerice de marche

(I) d^=d'^->rdi^,

d'^ étant égal à do-, différence de marche suivant l'axe optique, dans les théories de Clebsch, von Lang, Voigt, Boussinesq; d'^ étant égal à rfocos^r dans les théories de Cauchy, Lommel, Ketteler, Sarrau, r étant l'angle de réfraction moyen du rayon incident, d' la différence de marche des rayons supposés polarisés rectilignement» Airy, au contraire, avait admis que la différence de marche était de la forme

(a) d—d'-¥do,

(« ) Note adressée à l'Académie des Sciences {Comptes rendus j l. GXXII^ 20 janvier 1896).

d'où

d^ = d'^ -^ dl -^ id' do.

Nous allons montrer que la différence de marche s'exprime, en posant -^ ^ do=^ (do), par la relation

(3) d=d'-^(do)k,

k étant le rapport des axes des ellipses de l'entrée qui varie de i à o du centre à la périphérie. Autrement dit, que la forme générale admise par Airy est la seule rationnelle, l'expérience prouvant d'un autre côté que do ne saurait être constant, mais diminue du centre à la périphérie de c/o à o.

Remarquons tout d'abord que l'on n'est arrivé à la relation (i) qu'en considérant comme négligeables cer^ tains termes. On ne peut donc pas dire que les diverses théories mathématiques aient conduit exactement à la relation (i).

Gela posé, si l'on remarque, en se reportant aux for-

A' , C mules des auteurs, que dans celles-ci (*) rf'2= —jrf^^— -

on voit que la relation (i) revient à

(l bis) ^2:^:3— -^- ^ -h ...,

tandis que la relation d'Airy donne

{ibis) ^2^__|__.4____4....

(*) Théorie de M. Sarrau (en négligeant certains termes).

— rrr- ) sinV + ( — rr^

d'— i rrr-j SinV + ( —r~ 1 COS» ?\

cip-

La relation (i bis) nous conduit à

la relation d'Airy (2 bis) nous montre, au contraire, que