ABC
Or l'on sait, et Lommel (*) a démontré, dans ses recherches sur la dispersion rotatoire, que la différence de marche A de deux ondes polarisées circulairement est de la
forme
Donc le terme r-^ ^^iste nécessairement dans la différence de marche de deux rayons qui traversent un cristal possédant le pouvoir rotatoire, ei^dîrcoii^é(\\iidnl les relations (i) sont théoriquement inexactes.
Montrons maintenant que les vitesses déduites des formules de Mac CuUagh conduisent à la relation
d=d'-^{do)k.
On a vu précédemment que les deux vitesses des rayons elliptiques droit et gauche étaient
En supposant comme première approximation, ainsi que nous l'avons vu,
(•) Wiedemann Annalen, t. XX, p. 678; i883. — Journal de Physique de d'Almeida^ p. 180 ; avril 1884.
il vient
L'hypothèse d'Airy conduisait, au contraire, à admettre que l'on pouvait exprimer les différences des vitesses par la relation
On voit qu'il suffisait de se reporter aux vitesses déduites des formules de Mac CuUagh pour prouver que cette hypothèse était inexacte. A priori^ en effet, il était bien clair que les ellipses étant très aplaties à la périphérie, rien ne devait différencier ces vitesses de celles des rayons polarisés rectilignement et, par suite, que l'on devait avoir pour k = o (périphérie)
ce que nous donne précisément notre relation ci-dessus.
Les différences de marche s'obtiendront maintenant facilement.
Nous verrons, en effet, qu'en sortant de la zone de polarisation rotatoire les ellipses de Mac CuUagh se dédoublent en se transformant en ellipses d'Airy orientées par la section principale du cristal. Ces quatre ellipses, deux à deux superposées, se conduisent comme deux ellipses résultantes dont les deux vitesses sont encore régies par la précédente relation. Celle-ci nous donnera donc la différence de marche totale : i° de deux ellipses de Mac Cullagh donnant lieu à la rotation du plan primitif de polarisation dans la première zone; 2® de quatre ellipses de la seconde zone ne présentant que deux vitesses différentes et agissant, par suite, comme deux ellipses résultantes. Si donc Do, Ge sont les chemins en air parcourus par les
ellipses droite et gauche de Mac Gullagh et les ellipses résultantes droite et gauche de la seconde zone, z étant l'épaisseur totale traversée et V la vitesse dans l'air, on aura
z Do z Gg
d'où, en remplaçant (^', (/' par leurs valeurs,
Si l'on se rappelle que S= —.X, on voit donc que l'on
aura
Ge — Do né — Jio rig-h rio
zX X irii
c'est-à-dire
dok,
irin
C'est la différence de marche (3) que nous avions indiquée. Nous verrons, page 91, comment on peut encore la représenter.
On voit que la seule hypothèse que nous avons faite pour arriver à une expression aussi simple de la différence de marche a été de supposer que nous avions (ce qui rentre dans les conditions expérimentales)
c'est-à-dire que /'= /''. [Or, expérimentalement, on ne peut jamais apprécier la différence [V — /'); c'est ce qui
fait que M. Cornu avait cru avoir démontré que /"= /'(*)]. Or, nous avons vu que les auteurs avaient précisément fait la même hypothèse pour arriver à la valeur du rapport des axes des ellipses k. Donc, si l'on se contentait de cette approximation pour retrouver le rapport des axes, il était inutile de vouloir déterminer la différence de marche avec «ne approximation plus grande, étant donné que la complication des formules avait amené ensuite les auteurs à négliger des termes, ce qui rendait théoriquement incorrecte l'expression générale de cette différence de marche qu'ils représentaient par
alors que nous venons de montrer qu'elle était nécessairement de la forme
d=d'^(do)k,
d'où
d^ = d'^-h id'{d„)k -h {doYk^,
c'est-à-dire qu'elle était explicitement fonction du rapport des axes des deux ellipses. Ceci était évident a priori puisque pour A'^ i , on avait r/'= o, /i^ = rio, d'où d= d„ et que pour A* = o, d-=id\ comme ceci doit se vérifier à la périphérie, où rien ne différencie les rayons primitivement elliptiques des rajons polarisés rectilignement. Par suite, leur différence de marche est nécessairement celle de ces derniers rayons.
Dans les formules des auteurs rf^ élant égal à do (théorie de Boussinesq, Clebsch) ou à docos^r (théorie de Cauchj, Sarrau, von Lang), on n'arrivait jamais, puisque les expériences ne dépassaient pas 23° d'incidence (Jamin)
(*) Il était aussi impossible de déterminer, dans les expériences de M. Cornu, l'inégalité de /' et /", c'est-à-dire de ôj et ôj, que d'arriver avec un goniomètre à observer une différence entre les indices de réfraction des deux rayons de Fresncl.
ou 32® (Beaulard), à pouvoir se débarrasser de rf^-, même à la périphérie. Alors que tout prouvait qu'à la périphérie le rapport des axes tendait vers o, qu'il était impossible expérimentalement de différencier les rayons de ceux polarisés rectilignement, par suite que les vitesses devenaient celles de ces derniers, les formules les plus rationnelles des auteurs (Cauchy, Sarrau, etc.) indiquaient que (d'^ — d'^) ne pouvait tendre vers o comme k luimême qu'à 90® de l'axe, alors que pour 28® à 25** d'incidence, c'est-à-dire 16® à 18** de réfraction, l'aplatissement des ellipses est tel que les mesures ne sont plus possibles. Il suffisait de faire cette remarque pour conclure à l'inexactitude de cette formule. Celle que nous avons déduite des formules de Mac Ciillagli nous montre, au contraire, que (d — d') tend vers o quand /r tend vers o, ce qui est seul rationnel et a lieu à la périphérie, c'est-à-dire à une distance qui n'est pas nécessairement très éloignée de l'axe ( * ). Si nous nous reportons aux Tableaux A, D, E de la Thèse de M. Beaulard (p. 66, 70, 78), dans lesquels se trouvent réunies les différences de marche observées par la méthode des anneaux (méthode suffisamraenl exacte lorsque Ton opère avec des épaisseurs considérables, comme nous le verrons), on a, pour 10™™ de quartz, les nombres suivants, d'où l'on déduit d — d' :
(*) Mais, si i'on pouvait critiquer les formules de Cauchy, Sarrau, que dire des théories de Boussinesq, Clebsch donnant pour d'^ — d'^ une valeur constante égale à df,l Cette relation avait autant de valeur que celle d'Airy donnant d — d' = do.
Au moins dans les recherches de Cauchy, Sarrau, le terme do représentant le pouvoir rotatoire finissait par disparaître pour r = 90*.
Ce fait nous montre ce que valent les vérifications purement expérimentales pour l'appréciation d'une théorie.
En effet, dans les formules de Boussinesq, Clebsch, les valeurs de d' étaient telles que les nombres calculés pour d pouvaient être considérés comme aussi bons que ceux déduits des formules de Cauchy et Sarrau.
d' sans
des
polarisation
franges.
Incidence.
d observé.
k observé.
rotatoire.
d'oùd — d
le
o,ti9
7,3oi
io,o35
o,ii4
Jamin, dans ses recherches pour la détermination de la différence de marche, s'est bien gardé de dépasser l'incidence de 23® 1 5'. On voit, d'après le calcul de (rf — rf'), que cette différence a été progressivement en décroissant, ce qui démontre, comme le dit très bien M. Beaulard, « que l'hypothèse d'Airyest inexacte », puisque celui-ci ajoutait à d' le nombre constant i , 2o58 pour i o™™ de quartz. Jamin, du reste, l'avait déjà indiqué et avait renoncé à comparer ses différences de marche à celles déduites de l'hypothèse d'Airy. « Quelque simple qu'elle soit, quelque probable qu'elle paraisse, cette hypothèse n'est cependantpas vraie. »
Mais, à partir de la quarantième frange, on voit que l'observation ne donne plus que des nombres très défectueux. On arrive même, pour (d — rf'), à des valeurs négatives! alors que du centre à la périphérie d — rf'>o. On voit donc qu'il n'était pas permis de dépasser l'incidence à laquelle Jamin s'était arrêté pour la mesure de la différence de marche.
Par suite, il n'était pas permis d'invoquer des observations à partir de 24® d'incidence pour juger entre les diverses théories mathématiques, comme l'a fait M. Beaulard.
Voici quelques nombres qui le montreront et qui sont tirés de son Tableau A (p. 94 de sa Thèse) :
N» des franges,
, Incid.
d observé.
Boussinesq.
Sarrau.
Cauchy, von Lan g.
Lommel.
Ketteler,
-t-o,ii5
-HO,io5
-ho, i83
-ho, 196
-ho,i57
-hO,I24
Il était absolument inadmissible de vouloir apprécier avec des nombres tels que 16,200 les diverses théories, puisque, pour ce nombre en particulier, la différence (d — d^) était négative, ce qui indiquait que depuis longtemps on avait dépassé la limite des phénomènes d'Airy. On constate en même temps des différences énormes entre le calcul des diverses théories et ces nombres observés, alors que ces différences étaient relativement faibles quand les nombres dits observés avaient quelque valeur.
La conséquence de ces remarques est que l'on ne saurait tenir compte des observations qui dépassent 24° d'incidence pour la mesure de la différence de marche, et qu'il convient d'imiter la réserve de Jamin.
Si, maintenant, nous voulons, avec les nombres de M. Beaulard et sans dépasser cette limite, vérifier l'exaclitude de notre formule
nous remarquerons d'abord que, pour k ^^i^ n\, = iio-^ rf'=: o, d'où rf= âfo= i,2o58,et, comme d'un autre côté, 0. 5
d'après Rudberg, no= i,544i8, ne=^ i, 55328 et que pour les différentes inclinaisons /i^ varie de rioèi riej il en résultera que pour le quartz — peut être pris égal à i sans
erreur sensible jusqu'à 24® d'incidence, d'où
d= d' -h do'k.
Nous aurons alors le Tableau suivant, en calculant les valeurs de d par cette dernière formule et les rapprochant des nombres observés de M. Beaulard (p. 62) :
Incidence.
d observé.
dok.
d calculé.
Différence.
-ho,oo4
-ho,o35
