DE LA

LOCOMOTION MÉCANIQUE

DANS L'AIR ET DANS UEAU

S I. — Sur la locomotion mécanique.

Le ballon dans l'air, le poisson dans l'eau, sont des corps qui déplacent un volume de fluide dont le poids est égal à leur propre poids. Les organes de locomotion qui peuvent permettre à ces corps de se transporter dans l'intérieur de leur milieu fluide sont des organes entièrement plongés. Le navire, dans l'eau, déplace aussi un volume d'eau d'un poids égal à son propre poids; le navire étant situé à la limite de séparation entre l'air et Peau, ou étant mi-plongé, peut avoir des organes spéciaux de locomotion dont l'efilcacité de jeu provient de la grande différence entre la densité de l'air et la densité de l'eau; il peut aussi avoir des organes de locomotion entièrement plongés, et, dans ce dernier cas, il y a identité entre le ballon et le navire, sauf la différence des densités entre l'air etTeau.

L'oiseau, dans l'air, déplace un volume de fluide dont le poids est très inférieur à son propre poids; l'oiseau pèse 6 à 700 fois plus que le volume d'air qu'il déplace; l'appareil mécanique de l'oiseau n'est donc pas seulement un appareil de locomotion, mais encore un appareil de sustehsion ; dès que le mécanisme se dérange ou se brise, l'oiseau tombe lourdement à terre.

La nature ne présente pas au sein de l'eau des mécanismes de sustension; les corps organisés qui se meuvent dans l'eau n'ont besoin que d'un appareil de locomotion. De même, la nature ne présente pas dans le sein de l'air des êtres organisés à la manière du poisson, et tous les êtres qui se meuvent dans l'air ont besoin d'un appareil de sustension. L'homme peut s'efforcer d'imiter ou de copier les milliers de mécanismes différents que présente le spectacle des êtres aériens; ces êtres ont, en général, un poids fort petit et des dimensions fort restreintes. Le condor et Valbatros, les plus grands oiseaux volants connus, ont un appareil mécanique de 3 ou 4 mètres d'envergure au plus. En construisant, en dehors de tout calcul, une double

échelle contenant le poids des oiseanx naturels en regard de renreTgure correspondante, on est conduit à fixer à plus de 20 mètres TenTorgare qni serait nécessaire an toI d'une autruche de taille moyenne. Or, la résistance des tendons, des muscles, des cartilages, des apophyses osseuses, qui doirent lier les pièces du mécanisme nécessaire au toI, ne saurait suffire à lutter contre le moment de rupture qui correspond au poids à sonlerer; de plus, la puissance musculaire qui doit correspondre à Feffort nécessaire au vol dépasse peut-être la puissance musculaire que peut développer la Yie organique. Le moment de rupture^ ou produit d'un poids par un bras de lerier, combiné arec la résistance des tissus organiques non moins qu'arec la force motrice déyeloppée par la yie, donne donc la limite du poids des grands oiseaux naturels.

Pour fabriquer des oiseanx artificiels ou mécaniques, Phomme peut utiliser des matériaux autrement résistants que les tissus organiques, et des forces motrices autrement intenses que les forces dues aux contractions musculaires; mais ces forces motrices exigent elles-mêmes des matériaux d'un certain poids, et il s'agit de saToir si la puissance mécanique déyeloppée au sein de Tair par une force motrice peut équilibrer le poids propre de l'appareil moteur. Ayant de tenter des expériences positiyes, ayant de s'exposer à des déceptions cruelles et à d'inutiles dangers, il faut pouyoir répondre aux questions suiyantes :

!• — Quelles sont les forces de réaction déyeloppées dans les fluides par le mouyementd'un mécanisme?

2* — Quels sont les moments de rupture qui correspondent aux forces déyeloppées?

3"" — Quelles sont les ressources de l'homme en fait de matériaux résis* tants et légers?

4* — Quelles sont les forces motrices déyeloppant une grande puissance sous un petit poids ?

Les forces de réaction produites par un fluide contre une surface en mouyement dépendent du quarré de la yitesse de la surface mouvante. Comme il est difficile de produire de grandes vitesses reclilignes, on utilise des vitesses de relation; l'appareil mécanique locomoteur produit une translation dans le sens même de Taxe tournant si cet appareil est entièrement plongé; le cas du navire maritime est alors identique au cas du navire aérien, sauf une substitution de coefficient.

Au point de vue de la locomotion maritime, il n'existe pas encore de théorie exacte pour interpréter le phénomène; on en est réduit à un empirisme habilement dirigé d'ailleurs.

Au point de vue de la locomotion aérienne, il n'existe ni théorie ni pratique; le problème est-il susceptible d'une solution? c'est à dire les données numériques de la question conduisent-elles à une impossibilité matérielle? Le côté scientifique de cette question me préoccupait depuis longtemps sous son double aspect maritime et aérien, aspects qu'il est impossible de désunir dans des recherches mathématiques. En 1887, j'avais composé un Mémoire fort étendu sur toutes les faces du sujet; je remettais sa publication de.jour en jour, lorsque le bruit qui s'est fait à propos de la navigation aérienne, grâce à d'heureuses et actives réclames, m'a d^erminë

à publier cet extrait de mes recherches, extrait réduit s^u strict nécessaire. Cela, d'ailleurs, m'attirait comme un délassement et une récréation relativement à des travaux d'un tout autre ordre.

Je ne m'occuperai, dans ce premier Mémoire, que des appareils mécaniques entièrement plongés.

Je présente une théorie exacte qui rend compte de toutes les particularités du phénomène naval. Cette théorie répond en même temps aux questions qui peuvent être posées sur l'avenir de la locomotion aérienne ; je puis dire immédiatement que le calcul répond aujourd'hui par une négation à la possibilité d'élever dans les airs de grands poids au moyen îSl appareils de rotation^ c'est à dire qu'il n'existe pas actuellement de machine capable d'enlever son propre poids, à moins de se borner à des jouets formés par des ressorts d'horlogerie. A cet égard, on peut tout espérer de l'avenir, puisque nos machines actuelles datent en quelque sorte d'hier; il n'y a pas cinquante ans que la propulsion mécanique est réalisée dans l'eau; il n'y a pas vingt ans qu'elle est réalisée avec des appareils entièrement plongés; il a fallu deux mille ans pour arriver du principe d'Archimède à l'application informe de Montgolfler. Au début de mes recherches, j'étais convaincu que le ballon ne pouvait pas s'utiliser, et qu'il y avait tout lieu d'espérer dans la sustension mécanique, ou vol artificiel. Pour le présent, c'est l'inverse qui est vrai; les chiffres seront là. Je dois dire qu'en pareille matière il ne s'agit pas de jeter au vent des fleurs de rhétorique, et de séduire par de brillants mirages. Si Ton veut me pardonner l'expression, il faut produire des fleurs algébriques et numériques, fleurs peu goûtées du public. Les questions à traiter ne sont pas, d'ailleurs, d'un ordre très élevé, et elles sont plutôt du ressort d'un point de mécanique industrielle que d'un ressort véritablement scientifique.

S II« — Indications préliminaires.

Si l'on trace une ligne droite sur une feuille de papier, et qu'on enroule la feuille sur un cylindre, la ligne droite devient une courbe à double courbure que l'on appelle hélice. En appuyant sur cette hélice une ligne droite constamment perpendiculaire à l'axe du cylindre et passant par cet axe, on engendre une surface hélicoïdale^ que l'on appelle hélice en abrégé. On devra constamment discerner dans le discours si l'on parle de. la surface ou de la ligne. Le diamètre du cylindre qui limite la surface engendrée s'appelle diamètre de l'héUce; la longueur d'une arête cylindrique comprise entre deux spires, ou deux traits consécutifs de la' ligne hélice, s'appelle pas. La ms est une hélice, et c'est elle qui a servi d'image pour caractériser l'effet d'une hélice ou fragment d'hélice en mouvement. Cette image est vicieuse; l'idée statique de vis doit être rejetée comme n'affectant pas le caractère dynamique nécessaire au sujet; nous verrons également qu'il convient de rejeter d'autres expressions qui proviennent de la même image, telles que recul. •

Lorsqu'une surface de ce genre tourne autour de l'axe du cylindre pris comme axe de rotation, en faisant corps avec lui, la pression du fluide contre la surface mouvante se décompose en deux effets : l'un est opposé à la

rotation, l'autre exerce un effort de locomotion dans le sens de l'arbre; ce dernier effet s'utilise pour la propulsion.

On peut tracer sur le cylindre une ligne courbe quelconque servant de directrice à la génération de la surface hélicoïdale; on peut aussi remplacer la génératrice rectilique par une ligne quelconque s'appuyant à la fois sur la directrice et sur Taxe du cylindre; cela revient à considérer une aile motrice formée par un fragment de surface quelconque reliée à l'arbre d'une manière inflexible ; il n'y a plus alors de pas dans le sens ancien du mot, ou bien chaque partie différentielle de l'aile motrice a un pas élémentaire qui serait le pas de l'hélice tangente à cet élément différentiel. Pas plus dans le cas gé- ' néral que dans le cas spécial je ne me servirai du pas pour les calculs; il est préférable d'employer une autre constante pour caractériser Vaile motrice. Les équations générales du mouvement pour une surface quelconque permettent d'appliquer le calcul des variations pour déterminer les formes de surface les plus avantageuses.

Les diamètres de l'aile motrice sont limités dans la marine par la disposition même des appareils de locomotion, forcément plus petits que la moitié moins un mètre du tirant d'eau. Pour le cas de l'air, ces diamètres ne seraient limités que par la considération des moments de rupture correspondants aux forces développées. Cette condition restrictive pourrait aussi se produire pour le cas de l'eau, et c'est elle qui, du moins, impose au constructeur un poids et une force considérable pour les pièces métalliques qui forment l'aile motrice ; c'est ainsi que l'hélice de la Grande-Bretagne pèse 22 tonneaux. Ces moments de rupture n'ont jamais été envisagés, que je sache; c'est au juger, par une estimation empirique, que Ton apprécie la force de résistance nécessaire à la surface mouvante.

On verra que les travaux mécaniques, produits par la réaction du fluide, dépendent en réalité de la cinquième puissance des diamètres; cette loi importante et entièrement inédite, montre quel intérêt s'attache à l'agrandissement de cette variable, et combien peu cela correspond à l'idée statique de vis, La vitesse compatible avec l'appareil croit proportionnellement au diamètre

Dans le cas maritime, on construit le modèle en bois d'une aile de la variété d'hélice que l'on veut obtenir, et cela permet de faire le moule qui doit servir à couler la pièce métallique ; le calcul du moment de rupture servira à savoir, si l'on peut diminuer sans inconvénient le poids des pièces actuellement employées; je proposerai un mode de construction nouveau. Je ne crois pas que dans la marine on distingue la forme des hélices suivant leur destination ; on confond les hélices de vitesse avec les hélices de remor^ que, et l'on juge même de la supériorité d'une hélice de vitesse par sa puissance de traction sur point fixe; si l'on appelle n la vitesse de translation de l'arbre dans le sens de sa longueur, nous verrons qu'il faut distinguer trois cas:

1« — n = 0. — Cas de traction sur point fixe ; ce cas serait inutile à considérer si l'on n'en concluait pas la bonté d'un appareil moteur, ce qui est incorrect comme on le verra. On a fait en Angleterre une expérience célèbre : on a construit deux coques identiques; on y a placé deux machines identiques; on a armé l'un des navires d'un appareil en hélice, et l'autre de roues.

à aubes; on a amarré les navires à contre-bord pour savoir lequel des deux entraînait l'autre, et pour apprécier ainsi la supériorité relative d'un mode de locomotion sur l'autre. L'expérience est vicieuse, ou du moins n'est pas simple à interpréter; l'hélice qui eût été la plus avantageuse pour lutter contre le navire à roues, n'est pas celle qui devait procurer la meilleure marche à son navire isolé.

2** — n petit. — C'est le cas des remorques. Pour profiter le plus possible de la puissance de la machine, il faudrait un appareil à hélice différent quand on remorque un autre navire que quand on marche seul.

3° — n grand. — C'est le desideratum à atteindre; il faut choisir la forme * qui permette d'obtenir la plus grande vitesse compatible avec le navire et avec la machine; sous ce rapport, je crois que l'on peut améliorer grandement les sillages actuels ; mais je ne dissipaule pas que les dispositions nécessaires à l'obtention de grandes vitesses, 20 ou 25 nœuds par exemple, se concilieraient difficilement avec les exigences commerciales ou militaires des bâtiments. Les bâtiments dits de vitesse devraient avoir une destination et une construction spéciales.

On peut faire les mômes réflexions pour le cas de l'air. La première hypothèse, n = o acquiert une grande importance pour les hélices à axe vertical qui devraient servir à soutenir un poids en l'air par la pression due à la réaction du fluide contre le mouvement. La légèreté spécifique de l'aile motrice doit être recherchée autant que possible, et le métal ne peut servir que de charpente et d'apophyses osseuses. Je vais indiquer sommairement quel pourrait être le mode de construction d'une hélice aérienne ; cela me sera utile pour quelques explications ultérieures.

On sait combien les cannes-roseaux des pécheurs offrent de résistance ; on construira des cannes-roseaux en fer creux d'un diamètre extérieur de 0",04, etdeO",001 d'épaisseur; ces tubes pèsent 0^,95 au mètre courant. Sur une tige creuse servant d'axe de rotation, on disposera deux tourteaux rayonnes perpendiculaires à l'axe ou arbre^ à une distance y l'un de l'autre. Sur chaque tourteau, on emmanchera 6 roseaux de fer de 10"* de long par exemple, cela donnera une hélice de 20" de diamètre ; que l'on ne s'étonne pas de ce chiffre ; il n'est pas exagéré, et l'appareil que je décris servirait aux expériences préliminaires ; si l'on doit faire de la locomotion aérienne pratique, il faudra des diamètres de 30 mètres et plus. On croisera les to\irteaux de façon à projeter les rayons de l'un sur le plan de l'autre avec un

angle d'écart w. Le rapport — caractérisera la variété d'hélice linéaire ortho-

gonale, objet de la construction. Des fils de fer de 0,005 de section serviront à rabanter les têtes des roseaux de fer pour lutter contre le moment de rupture de la rotation et contre la force centrifuge; il sera peut-être même utile de disposer une seconde ligne de rabans à moitié rayon. Les roseaux de fer de deux tourteaux seront reliés entre eux par des tirants et entretoises courbés

en arcs d'hélice calculés d'après le rapport—. On recouvrira les roseaux, tîrants et entretoises, d'une étoffe de soie écrue résistante, et l'on obtiendra ainsi une hélice à 6 ailes dont le caractère spécifique sera—. En prenant 6

ailes, je choisis un exemple qui permet de ne pas donner une trop grande inclinaison aux rabans de tête sur les tiges-roseaux; mais ces ailes ne con-. tribuent que d'une manière très indirecte à la marche ; nous verrons la loi de leur rôle qui offre quelque analogie avec les pales successives des roues à aubes; suivant la variété d'hélice, il ne sera pas possible d'appliquer un même nombre d'ailes; on verra des variétés pour lesquelles il ne peut ^exister que deux ailes symétriques et opposées; ces variétés sont précisément celles qui s'utiliseraient pour la suspension aérienne, si l'on peut trouver des machines produisant un grand effort sous un petit poids. Cette esquisse rapide montre qu'une hélice aérienne de 10" de rayon^ pèserait environ 150 kilogrammes ; ce serait peut-être le cas d'employer V aluminium pour alléger ce poids. On serait libre de ne pas armer les 6 ailes ou de né pas les recouvrir d'étoffes, en laissant subsister le sqqelelte métallique. Il serait nécessaire d'utiliser d'autres modes de construction pour des hélices de vitesse à 2 ailes de IS mètres de rayon, hélices dont je parlerai plus loin. Pour fabriquer une variété d'aile motrice dont la surface n'est pas celle d'une hélice linéaire orthogonale, on devra chercher la courbe suivant laquelle un plan de tourteau coupe la surface moiivante, et l'on infléchira le roseau de fer suivant la forme voulue.

Les roseaux de fer creux auront un autre mode d'utilisation. Si l'on peut parvenir à utiliser la vapeur par un mouvement de turbine^ les tubes de fer serviraient de conduits au flot de la vapeur évacuée. Il est possible que l'on parvienne ainsi à utiliser les mélanges explosifs, tels que la'poudre ordinaire, ou fulmi-coton. Ces forces puissantes ne servent actuellement qu'à la destruction; on a essayé vainement, ou peut-être sans assez de persistance, d'en tirer parti pour produire le mouvement alternatif d'un piston; on n'a pas essayé, que je sache, du procédé de turbine^ et l'expérience doit être tentée.

Dans ce Mémoire, je vais calculer, pour des surfaces motrices d'une forme quelconque, les quantités suivantes :

1^ — P — Pression normale sur une surface en mouvement.

20 — p^ — Pression opposée au mouvement de rotation.

30 — p^ — Pression dans le sens de l'arbre ou poussée de translation.

4** — Ml -r- Moment de rupture dû à l'effort de rotation.

5® — M, — Moment de rupture dû à l'effort de translation.

&* — Tj — Travail mécanique exigé par la rotation.

7<» — Tj — Travail mécanique exigé par la translation.

J'établirai les liaisons entre la force motrice, l'appareil moteur, et l'appareil à mouvoir, en concluant la vitesse qui résulte des données, et en montrant l'influence de chacun des termes du problème sur la variation 4e cette vitesse.

Une théorie qui ne rend pas compte des conditions de la pratique, ne mérite pas le nom 4e théorie. Dans le cas maritime, je crois pouvoir dire que j'explique toutes les particularités du phénomène, et que le contrôle de l'expérience confirmera l'emploi des formules que je propose. Dans le cas de l'air, il me semble essentiel, avant de rien entreprendre, d'instituer sur une grande échelle des expériences précises. Sur cette question importante de la locomotion aérienne, les uns et les autres m'ont paru un peu téméraires, soit dans l'affirmation, soit dans la négation ; tout en m'appuyant sur des

chiffres, je crois qu'il est nécessaire de mesurer direôtement et empiriquement les efforts de réaction que peuvent produire dans Pair nos machmes actuelles; on saura alors dans quel sens précis il faut diriger les recherches pour réaliser le vol mécanique.

Je dois ajouter, qu'à mes yeux, toutes les matières traitées dans ce Mémoire sont entièrement neuves; je n'ai rien vu ou rien lu qui, de près ou de loin, ressemble à ce que j'ai fait. 'Ce n'est donc pas une rédaction laborieuse ou ijne compilation que j'offre aux lecteurs en leur exposant les r^ cherches d'autrui. Il n'existe pas de théorie explicative pour l'hélice maritime; un homme très accrédité, le contre-amiral Paris, parle de ïkiction occulte des ailes de Vkélice; un ingénieur de la marine a imprimé que Ton ignorait complètement le rôle du diamètre^ on savait qu'un grand diamètre était efflcace^ mais on ne savait pas quelle était la loi de cette efflcacité. 11 existe un traité de Bournes, auteur anglais, sur l'hélice propulsive ; je n'ai pas pu me le procurer ; j'ai eu moins à le regretter en songeant que ce traité avait été traduit par l'amiral Paris ; il ne peut donc pas contenir de théorie explicative du mode d'action de l'hélice, sans quoi son traducteur n'eut pas employé l'épithète $ occulte pour caractériser l'effet de* ce moteur; j'ose affirmer que cette épithète ne pourra plus être acceptée par les lecteurs de ce Mémoire.

S III. — Mise en é^ation pour une loi ^elcon^e de résistance.

Lorsqu'une surface s se meut dans un tluide avec une vitesse v^ la résistance que le fluide oppose au mouvement sera une fonction de s et de v; soit p = f(sj v.) l'expression analytique de cette résistance.

Soit F (Xj y^z)=zo l'équation d'une surface représentée en cordonnées orthogonales; je prends un fragment de cette surface limitée par ses intersections avec quatre autres surfaces quelconques Y^ — Oy Fj = o^ Fj=o^ Y^=^o; soit, par exemple, par deux plans parallèles aux zx, y = yQ^y = y^, et par deux plans parallèles aux zy^ a? == a?o, a? = aj^; je relie ce fragment de surface d'une manière inflexible à l'axe des y^ et je suppose que la surface avec tout le système de cordonnées tourne autour de l'axe des y pris comme axe de rotation ou arbre. Je vais rechercher ou mesurer les efforts de réaction développés dans un fluide de densité D par le mouvement de rotation.

Soit N le nombre de tours, par seconde, de l'arbre de rotation.

Soit B = 27rN la vitesse de rotation ou vitesse rectihgne d'un point d'une circonférence située à un mètre de l'arbre. -

Alors Br sera la vitesse d'un point situé à une distancer de l'arbre; et

r=Vx*'tz\

Sôit un point quelconque de fragm^ent de surface considérée, et x^ y, z^ les cordonnées de ce point. Par ce point et par l'axe de rotation y je fais

z passer un plan dont l'équation sera t==—Uy en appelant u^ v, Hes coordon-

nées courantes qui correspondent à x, y^ z. Parle point , je mène une droite que j'appelle OZ perpendiculaire sur le plan précédent; la puissance de réaction du fluide se fera sentir dans la direction de cette droite tangente à la di-

rection du mouvement de rotation. Je considère Pélément d^s du plan tangent à la surface mobile au point ; je mène la normale à ce plan tangent ou à la surface, et je la désigne par ON; je mène OY parallèle à Paxe de rotation.

Soit encore n la vitesse de translation de Parbre dans le sens de la longueur.

Paurai ôr cos ZoN pour la vitesse donnant lieu à la réaction du fluide dans la direction de la normale au plan tangent ; j'aurai n cos YoN pour la vitesse de Tappareil estimée suivant la même normale; les choses se passeront comme si la partie de surface d*s était choquée avec une vitesse normale v=s^r cos ZoN — n cos YoN ; si donc la loi f (s, v) est l'expression mathér matiqne rigoureuse de la résistance^ on aura :

d«p = f[d% (6r cos ZoN— n cos YoN) ).

En projetant cette force suivant OZ, on aura Peffort de réaction dans le sens de la rotation; en projetant cette force suivant OY, on aura l'effort de réaction dans le sens de la poussée ou de la translation. De plus, en appelant > l'angle du plan tangent avec le plan des yx^ on aura d*s = -•

On pourra donc écrire comme conséquence logique d'une loi mathématique les équations suivantes :

10— i«p^ = cos"ZoN/ Z".^^, (ercosZoN — ncosYoN)^ \ cosX /

2o rf.p cosYoN f( ^^, (ôrcosZoN — ncosYoN)\ \ cos A y

Of, si l'on examine la trace sur le plan tangent d'un plan t--z= (u—x)

z perpendiculaire à celui qui passe par et par l'axe des y, cette trace, que j'appellerai oT, forme avec oY un angle ToY = f qui joue un rôle considérable dans cette théorie. En examinant les divers angles solides triples formés au point 0, on trouve les deux relations : cos YoN = sin ZoN. cos N;2:Y et tQf z= tg ZoN. cos NjîY. En divisant ces deux équations l'une par l'autre, il vient : cos YoN = cos ZoN tgf, résultat important comme on le verra. Ce n'est pas de cette manière simple, je l'avoue, que je suis arrivé à cette démonstration; mais des calculs énormes m'ayant conduit constamment à trouver un rapport qui jouait le principal rôle, j'ai voulu donner un caractère géométrique à ce rapport; la démonstration géométrique m'a réussi, et, à la suite, la démonstration analytique, qui se déduit des formules connues, est encore plus facile. Si je pose ZoN = a, angle du plan tangent avec le plan qui passe par le point et l'axe des y, j'aurai, en résumé, pour une surface quelconque et pour une loi quelconque de résistance :

jo — ^ip^ = cos « / f -. , ( or — ntQf ) cos a j poussée de rotation.

2» — d"P, = coS(Ktgff ( -^y-, (Br — ntgf) cos «\ poussée de translation.

On voit que le rapport différentiel des pressions -— ^ = tgf, on aura ensuite :

80 — d'U, = d'V,,r. 5« - Ti = M, ô.

Il faudra maintenant exprimer >, «, ^ en fonction des coefficients différentiels de l'équation de la surface F (a?, y,z) = 0; choisir une loi de résistance f(s^v) théorique ou empirique; tirer la valeur explicite de z en fonction de X et de y; substituer à r la valeur v^^TJ!^; puis, enfin, effectuer les

intégrations dans les limites choisies pour terminer la pale mobile ou motrice.

l est l'angle du plan tangent à la surface 'avec le plsin des xy; on sait que

//F /ÎF dV

Téquation du plan tangent est (w— a?) — + (ti— y)— - -f- (^ — jr) — =« 0,

et alors :

Cos>:

dF dz

« est l'angle de deux plans dont l'un est le plan tangent, et dont l'autre a pour équation t—z = — . (u—x). En effectuant les calculs, on trouve :

Ces a = •

dF ^ ^ dx dz

"^y/mAwH^Y

y est l'angle avec l'axe des y d'une droite passant par l'origine et ayant

(fF dF rfF pour équations :ti-T- + t?-T--*-f-r-=oet^^ + î4a? = o.:la valeur de cos 9 dx ay dr

est assez complexe, mais la valeur de tgf est très simple; la voici :

tgf^

Les calculs auxquels on est conduit ne sont pas aussi complexes que l'apparence semble l'indiquer si l'équation f(s,v) n'est pas très compliquée. Toutefois, le système de coordonnées rectangles ne se rattache pas d'une manière directe à la nature des choses, et un choix judicieux de coordonnées apportera des simplifications considérables pour la recherche effective des cas usuels.

Il restera, pour compléter la mise en équation du problème, à écrire

Vx*

dF dy

dF

dF dz

dti l'équation du mouvement m. — = P,— R, ou m représente la masse du corps

ttv

en'traîné, P, la puissance de translation, R la résistance opposée au mouvement par le corps mù. Lorsque n est constant, cette équation se réduit à P, = R. C'est l'équation ordinaire du parachute si l'on donne à Pj la signification du poids soutenu par la résistance R de l'air; R = f{Sj n).

S IV* — Autre système de coordonnées.

Dans les coordonnées rectangles, les trois surfaces coordonnées dont l'intersection fixe la position d'un point sont trois plans orthogonaux; la nature de la question conduit au système des trois surfaces coordonnées suivantes pour fixer la liaison analytique entre les points de la surface mobile :

J.** — Des plans passant l'axe de rotation y, et inclinés de w sur l'ancien plan des œy;

2** — Des plans perpendiculaires à l'axe de rotation y; ces plans sont coupés par les précédents suivant des lignes qui forment les rectiligues des dyèdres des premiers plans^ ou qui sont inclinées entre elles de l'angle variable &>;

30 Des surfaces cylindriques circulaires à rayon variable r^ ayant pour axe l'axe de rotation y.

Ce système de coordonnées est mi-polaire; les variables sont r,y^(ù. L'axe des y'est compté positivement dans le sens de la translation dans les deux systèmes.

Les relations ;î = r sin w, a? = r cos w, y t= y permettent de passer de l'ancien système au nouveau; l'équation Y {x, y, z) = deviendra F (r cos û), y y r sin «) = ou F (r, y y &>) = 0. Les relations r = Vx'^ + zt

u = arctg -^^y = y,^ permettent de passer du nouveau système à l'ancien ; les

équations simples d'un système seront, en général, transcendantes dans

l'autre système, et vice versa. Les fonctions naturellement indiquées par la

nature du sujel peuvent conduire à des calculs inextricables avec un système

vicieux de surfaces coordonnées représentatives.

On voit immédiatement que :

1« — F (y, w) = représente des surfaces hélicoïdales orthogonales avec une courbe directrice F (y^ w) = dessinée sur un plan en portant w en abcisse et y en ordonnée, puis en rabattant ensuite cette directrice sur un cylindre de rayon r, r étant le module choisi pour convertir w en longueur d'abcisse. Ainsi, fly+b&) + c = o indique une hélice ordinaire à directrice rectiligne et à génératrice orthogonale,

go — . F (r^ y)=zo indique une surface de révolution engendrée par une courbe plane F {r, y)=o qui tourne autour de Taxe des y. Ainsi ay -i-br -h c = représente un cône droit à base circulaire.

30 F ^f»^ 0))= indique la surface d'un cylindre droit dont la base est formée par la courbe plane F (r, «) = représentée en coordonnées polaires sur un plan quelconque perpendiculaire à l'axe des y. Ainsi ar 4- 6w + c = représente un cylindre droit dont la base est une spirale ordinaire.

On voit que F (r, y^(S)=iO peut être considérée comme une sorte de sur-

53Pr

face hélicoïdale générale dans laquelle la directrice tracée sur un cylindre de rayon r = r^ représente une courbe plane F (r» y^ w) = o rabattue sur le plan du cylindre de rayon r, tandis que la génératrice est une courbe quelconque représentée sur le plan w = w^ par Féquation F (r^ y^ <S) = o. On peut encore dire que la surface F ( r^ y, w ) = o est engendrée par une génératrice F (^1 r^ «) = courbe restant dans unT)lan perpendiculaire à Taxe des y, et qui se meut en s'appuyant sur une directrice F (r^, y, w) = o^ courbe hélice d'un degré quelconque que Ton obtient en construisant la courbe sur un plan et en rabattant sur le cylindre de rayon rj. Ce dernier mode de génération sera souvent T)référahle pour limiter la surface mobile par lieux plans perpendiculaires aux-y. Ainsi ay + &r + cw + d = o^ équation du !•' degré, représentera une surface hélicoïdale à génératrice rectilique, oblique^ et à directrice linéaire, rectilique sur un plan, et en hélice linéaire après rabattement sur un cylindre; ou bien cette surface sera engendrée par des spirales variables ay ^ + hr -^ ccù + d ^ o qui glissent sur Vhélice linéaire ay 4- br^ + c« + d = o^ après rabattement sur le cylindre de rayon r^ de la droite ay + cw + frfi + rf = o.

Cela posé, comme je tiens à caractériser la signification géométrique de chaque coefficient différentiel, ainsi que des relations entre les diverses variables qui interviennent dans le calcul, je désignerai par |3 Tangle formé avec Taxe des r par la tangente à la courbe F (r^ y^ «j) = o intersection de

la surface par un plan d'axe incliné de « = Wi ; alors tgp = -J—: je désigne-

dr

rai par y l'angle fi»rmé avec la ligne polaire des r par la tangente à la courbe

en équation polaire F (r^ y^(S) = o intersection de la surface par un plan

y=^y^; alors tgy = r -^. Les lettres « et y conservent la signification précédr

dente, ainsi que \ qui n'intervient pas dans le calcul pour ce dernier système de cordonnées ; on verra que fgfy = r — vaut qui sera utile pour éclairer les questions.

tème de cordonnées; on verra que tgf = r — , et on aura le tableau sui-

^^^ ^ ^'£" ^Sy = tgoL sin p.

dùi ^ r. dy IF

dy ^^7 = ^-^ tg\==tq\^ tqY

Ces préliminaires indispensables étant achevés, le reste est facile; la valeur géométrique des coefficients différentiels sert à guider dans la construction,

et, inversement, les rapports entre les grandeurs géométriques indiqueut les variétés de surface qui satisfont à la loi de ces rapports^..

Si, dans la pratique, on avait besoin de connaître les longueurs t, î„ /„ des arcs de lignes courbes découpées sur la surface motrice par les

surfaces coordonnées, on verrait facilement que rf/ = rfy 1/ 1 + r" (t- )%

dl, = dr l/l 4- ( JV, rf/, = dr l/l + r^f-V [représentent la longueur de Parc i'hélice directrice d'un degré quelconque, la longueur de la génératrice comptée sur des plans d'ax^, et la longueur de la génératrice comptée sur des plans perpendiculaires à l'axe.

Avant de choisir une loi de résistance? =/(«, v) et d'effectuer les calculs d'intégration, ce qui n'est plus qu'un jeu de calcul, il convient d'indiquer ce que l'on peut, dire de général, pour une loi quelconque, comme théorie des moteurs mécaniques.

S V. — Théorie de la locomotion mécanise pour une loi quelconque de résistance.

d*P On a vu que le rapport des pressions différentielles —-^ = tg^f^ tg^ étant

a Pj '

une certaine fonction des coefficients différentiels de la surface motrice

F (a?, y, ;?) = ou F (r, y, &>) = o. Si tg^f est constant, ce qui caractérise une

famille de surfaces dont tg^f = c est l'équation aux différences partielles, ce

rapport n'influe pas sur les intégrations et l'on aura encore -? = tg^. Lorsque

la nature de la surface fait varier y, le rapport — * ne peut se déterminer

qu'après l'effectuation des intégrales. Ce rapport, que je désignerai par la lettre t pour rappeler le cas de tgff^ dépend en général de n et de e, ainsi que des diverses particularités qui spécifient la pale mobile. Lorsque n et ô sont constants, t devient aussi constant.

On aura d*Mi = d*P, . r et d*M, = rf*P,.r. ; deux nouvelles intégrations fourniront M^ et M, ou moments de rupture. Pour les surfaces définies par

la condition tg^ = c, on aura encore — == tg^f. ; pour d'autres surfaces, les

Ml

valeurs de Mj et M, dépendront en général de n et de e.

On aura -5=^= r^ et — = r, . équations qui donneront les hras de levier * t * »

de rupture r^ et r,. La valeur de ces bras de levier permettra de mesurer la puissance nécessaire des pièces métalliques pour les hélices maritimes, et la résistance des squelettes en roseaux de fer pour les hélices aériennes.

La rotation de l'appareil autour de l'axe des y engendre une réaction qui produit un travail T^ = ©M^ = Pj . 0r,. Cette réaction du fluide contre le mouvement de rotation produit aussi une réaction pour transporter l'arbre dans le sens de la. longueur, et le travail T, = P,n mesure cet effort. Le

travail dans le sens de la translation est relié au travail de la rotation par un rapport p qui dépend de la nature de l'appareil, ainsi que de la résistance opposée au mouvement de translation. Ce rapport p ne doit pas être confondu avec le coefficient de rendement qui multiplie le travail total pour donner le travail utile; on a donc P^n = p . P,. Br^; or, P, = P^^. Donc, en substituant et tirant la valeur de n, on obtiendra :

eri 27rr,.N

n^p.—j-' ou n = /). — j —

Ainsi, la vitesse de translation que l'appareil imprimera à l'axe de rotation sera celle d'wn point d'une circonférence dont le rayon est r^; cette circonfé* rence se mouvant avec la vitesse angulaire ©; le rayon r^ étant multiplié par

un certain facteur -t qui dépend de la résistance à vaincre et de la consti-

tution de l'appareil.

On est donc conduit à considérer, pour tout appareil de locomotion mécanique, une circonférence d'action dont le rayon est précisément le bras de levier de rupture de la rotation. Cette conclusion importante et absolument générale, indépendamment de toute loi de résistance, montre donc une similitude étroite entre l'effet d'une hélice et l'effet des roues à aubes. Dans les deux cas, la possibilité de vitesse ne se rattache que d'une manière indirecte à la puissance dé la machine motrice. Cette machine doit suffire à vaincre la résistance; mais la puissance ne se traduit en vitesse que d'après la grandeur de e et de r^ ; il faudra de grands diamètres %r^ , ou de grandes vitesses e, l'une de ces quantités pouvant indifféremment se substituer à l'autre comme grandeur, au point de vue de la circonférence d'action; mais il n'en est plus de même au point de vue de la valeur relative de p et de f, et les grands diamètres ont un autre genre d'influence qui servira surtout à donner à la marche un coefficient de rendement plus avantageux ou plus près de l'unité. Cela seul suffirait à supprimer l'épithéte ^occulte pour ce qui concerne le rôle des diamètres de l'hélice. Ce diamètre ne sera limité que par les conditions de résistance des matériaux et par les exigences d'installation. 27rr

Si Ton pose — j-^ = A^, on aura la définition de ce que j'appellerai le pas

d'action de l'appai^eil moteur, quoique je ne l'utiliserais pas. On aura alors w=./). ftjN. La vitesse de translation sera égale à ce pas moyen multipliée par le nombre de tours par secondes et par un facteur particulier. Si l'on

27rr poseft = — — , en définissant ainsi le pas élémentaire à la distance r de » z

l'arbre, on voit que pour les surfaces où t est constant, ce pas élémentaire variera proportionnellement à la distance à l'axe de rotation; chaque fraction superficielle de l'aile motrice tendra donc à communiquer à l'appareil une vitesse différente, et la moyenne intégrale de ces vitesses sera donnée par la vitesse moyenne due au pas moyen ft^, ou pas d'action; il y a là encore quelque chose d'identique à ce qui se passe pour les roues à aubes où la circonférence d'action donne lieu à une vitesse plus grande que celle acquise par les points des pales plus rapprochés de l'arbre, et plus petite que celle

acquise par les points des pales plus éloignés de l'arbre. Si, au contraire, le

r rapport ---est constant dans toute l'étendue de l'aile motrice, ce qui définit r

une famille particulière de surfaces, alors le pas est constant et chaque

partie élémentaire de la surface^motrice tend à imprimer la même vitesse à

l'appareil. • ,

La largeur comptée sur l'axe de rotation pour limiter la pale dans k sens de sa hauteur sera y^ fraction de A,, ou fraction du pas employé^ que ce pas soit constant ou qu'il s'agisse de ce pas moyen relatif à la circonférence d'action de rayon r^ ou bras de levier de rupture de la poussée dans le sens de la rotation.

Le travail Tj qui correspond à la pression rotatoire est égal à Mj 0, ou Tj = Pi.2 7rr4.N; lorsque n — o, et qu'il s'agit d'exercer une traction ou de soulever un poids, ce travail indique, à un facteur de rendement près, l'effort de la machine nécessaire pour soulever le poids ou exercer la traction qui

p doit être équilibrée parP^. On peut donc écrire T^ == -^. 2 tt . r^. N. Or, dans

la pratique aérienne, si elle doit avoir lieu, on voit que la machine qui devra soulever un poids devra avoir une puissance en kilogrammétres égale au produit de ce poids par la vitesse de la circonférence d'action, au facteur près t, facteur que l'on peut rendre plus grand que 1, mais qui est toujours petit. Cela est effrayant pour l'avenir de la locomotion mécanique dans l'air, et nous verrons que, actuellement, il n'existe pas de machines capables d'enlever leur propre poids, ou capables de développer une puissance égale à leur poids multiplié par le chemin 2 tt r, N, puisqu'il faudra des valeurs très grandes à N ou à r^ pour produire un F, ayant une valeur très grande. Aussi, en dehors d'appareils peu étendus à ressort d'horlogerie, il faudra renoncer à élever des poids par la réaction de l'air avec des appareils de rotation, à moins d'effectuer un progrès considérable dans la co'nfection des machines. Je reviendrai à diverses reprises sur ce point si grave en donnant des valeurs numériques. Nous verrons même qu'il faut des machines relativement moins fortes pour diriger un ballon comme on dirige un navire que pour soulever les poids par le «eul effort de réaction dans le sens de l'arbre. J'indiquerai, de plus, quelle peut être la constitution des appareils de soulèvement pour lutter contre le moment de rupture^ si l'on arrive à produire des forces motrices assez puissantes pour que le cheval-vapeur, ou 75 kilogrammétres, ne pèse que 7 à 8 kilogrammes; et, pour de grands efforts, il faudra réduire encore davantage le poids du cheval-vapeur.

J'ai tenu à présenter la question sous cette forme, parce que l'on peut juger ainsi de la nature du phénomène; mais, en réalité, dans les calculs, on verra qu'il est plus commode de faire intervenir le rayon extrême r de la pale motrice au lieu du rayon r^, bras de levier de la rupture. On aura l'équation P, = R, qui permettra de déterminer n par une équation plus ou moins complexe suivant la loi de résistance, et l'on pourra si l'on veut, à la suite, déterminer la valeur de p. Quant à la machine motrice qui doit équilibrer la rotation ou produire le travail R n, on aura F = -— -, F étant la force

réelle en chevaux-yai^enT.

Gomme exemple, je suppose que la loi de résistance f{s, v) soit une forme monôme KSY*^ , m étant quelconque. Je suppose de plus que — soit un nombre constant, ce qui définit précisément la nature particulière des surfaces pour lesquelles le pas est constant; alors, l'équation Pg = R sera de la forme

CM — —tgfy=Ks(—y en ayant soin de préparer convenablement

l'équation , et il viendra . — = rm-

Cette équation remarquable sera précisément utilisée, comme donnant le facteur qui doit multiplier Br^ vitesse d'un point de la circonférence extrême, pour fournir la vitesse n correspondante. On voit qu'une loi monôme d'un

n degré quelconque conduit à la constance du rapport — pour une aile motrice

appartenant à la famille particulière de surfaces pour lesquelles le pas est constant. Dans la pratique, on pourra donc vérifier immédiatement, avec un appareil constant de ce genre de surfaces, si la loi de résistance peut être exprimée, oui ou non, par une forme monôme d'un degré quelconque.

S VJi. — Choix d'une loi de résistance.

Lorsqu'une surface plane s, exprimée en mètres carrés, se meut dans un fluide d'une densité D, avec une vitesse V exprimée en mètres par seconde

on a la formule théorique p = — . S V! pour exprimer la force normale de

de réaction du fluide sur la face avant de la surface; g exprime la constante de la gravitation.

Cette question épineuse a occupé un grand nombre d'hommes distingués, parmi lesquels on pourrait citer au moins vingt noms fort sérieux, et l'on peut dire que le sujet est loin d'être épuisé. Ce premier Mémoire est déjà très chargé,. eu égard au but spécial que je poursuis; je me contenterai d'une brève analyse, en remettant à une autre et prochaine occasion, si les circonstances me le permettent, le soin de développer mes propres recherches avec toute l'étendue qu'elles comportent.