SI

L'équation -- — Yî ne donne que la pression sur la face avant d'un plan

mince mû normalement à la direction de la vitesse; elle n'indique rien encore sur la face arrière du plan; elle ne donne rien pour les faces latérales d'un corps solide; elle ne tient pas compte de l'état limité du milieu fluide; elle néglige l'influence de la cohésion et de la viscosité, quantités négligeables pour l'air, mais non pas pour l'eau. Lorsqu'il s'agit de corps solides en

mouvement, M. Reech a démontré que la loi ——- ¥• ne pouvait être exacte

que pour la comparaison d'efforts de réaction produits par le mouvement

de polyèdres semblables, avec des vitesses proportionnelles à la racine carrée

des lignes homologues. Cette loi était déjà admise pour les corps sphériques.

Le point de départ de la démonstration s'appuie sur ce que SDH mesure la pression supportée par une surface S plongée dans un fluide de densité D à

une profondeur H. On sait que H=—— donne la vitesse théorique d'écoulement due à la hauteur. En retournant le problème, on obtient la formule indiquée.

Le fluide dans lequel se produit le mouvement ne peut pas être indéfini, puisque ce fluide est pesant. Nous vivons dans un air dont la hauteur serait de 8000 mètres environ, si cet air conservait partout la densité des couches à fleur de sol. Si ce milieu décuplait d'étendue, nous serions écrasés sous le poids de 10 atmosphères ou de 10 k. par centimètres carrés. De même, s'il existe des corps organisés à 4000 mètres de profondeur sous l'Océan, ces corps sont faits pour résister à une pression de 400 atmosphères, et ils seraient détruits si l'on modifiait notablement cette pression. Si l'on considère la hauteur Hj du milieu ambiant, on en conclut une vitesse correspondante

Vi = Vtg Hj qui est d'environ 400 mètres dans le cas de l'air. Dans le cas

de l'eau, Vj = Vïg (Hj + 10, 33) si la hauteur Ht est assez considérable pour isoler complètement les lames liquides inférieures de tout rapport avec

l'atmosphère; ^^z=^\/%g Hj, dans le cas des corps très peu plongés sous l'eau. Cette quantité Vj joue un rôle important. On voit qu'une lame mince en mouvement, en supposant que le vide soit

produit derrière elle^ devrait supporter une pression --r— (Vj *+ V), quantité

qui représentera l'effort de réaction due au fluide contre la face avant d'un ,plan, et que j'appellerai p ' .

On sait que le parallélogramme des forces n'est identique au parallélogramme des vitesses ou loi de Galilée^ que parce que la force est proportionnelle à la vitesse^ ce qui a lieu communément. Laplace a même consacré un chapitre de la Mécanique céleste à l'examen des circonstances dynamiques pour lesquelles la force n'est pas proportionnelle à la vitesse. Dans le cas que je considère, on voit qu'une vitesse double ne donne pas une vitesse double; qu'ajouter des vitesses ne revient pas au même que d'ajouter des pressions, et vice versa. C'est pour avoir méconnu cette réflexion, et avoir constamment confondu le parallélogramme des forces avec celui des vitesses, que don George Juan a formulé une théorie erronée, en partant de ces

mômes bases. Ainsi, il a admis que p' = — — (Vj -F V)'; et, en tenant

compte de la pression postérieure, il a obtenu une formule proportionnelle à

la première puissance de la vitesse.

Si l'on avait une équation mathématiquement rigoureuse p'=^ /"(S, V), Tap-

plication logique de la loi de Galilée conduirait à des conséquences mathéma^

tiquement rigoureuses. Si la surface mouvante faisait un angle ^ avec la position

primitive, normale à la vitesse, on en concluerait quep ' = /*(S, V cos ^) . cos -l»,

pour estimer le nouvel effort de réaction suivant la direction de la vitesse.

Or, quelques expérimentateurs et commentateurs se sont étonnés que la W

du cos '^, qui résulte de la loi -77- V*, ne se vérifie pas expérhnentalement.

Cette discordance entre la prévision théorique et le résultat expérimental prouve simplement que la loi du carré des vitesses n'est pas exacte; mais admettre la vérité de la loi du carré des vitesses, et ne pas admettre en conséquence la loi du cos "^ pour les incidences variables, est un peu plus . qu'une hérésie scientifique. Il est très rare que l'on puisse soumettre directement au contrôle de l'expérience le résultat d'une théorie logique; on est obligé de tirer des conséquences secondes qui se prêtent facilement à la vérification expérimentale. Dans notre cas, on. ne peut pas infirmer le principe de Galilée^ qui a fourni la loi du carré des cosinus; on doit donc infirmer la loi du carré des vitesses^ et nous verrons quel est le sens de ce désaccord.

Accepton^un moment la bonté mathématique de la loip '= — — (V^ '-h V).

Si, en avant de la surface, on dispose une forme en pointe ou en coin, cet ajutage devra produire un rôle de diminution dans l'effort; on considérera

chaque molécule d's de V ajutage, et l'on aura -3— . V* . cos ^ . dxdy, pour

mesurer l'effort particulier dû à l'élémen t superficiel d^s qui se projette suivant — ^. En effectuant l'intégration pour toute l'étendue de V ajutage qui s'ap-

COSip

puie sur la surface S ou section du corps en mouvement par un plan

perpendiculaire à la vitesse, on aura multiplié — — V par un facteur parti-

culier qui dépendra de Vétendue et de la forme de l'ajutage, en même temps que du contour même qui limite la surface S. On peut admettre, par une viie analogue à celle de Cassini pour instituer un angle fictif de réfraction totale, qu'il existe un certain plan incliné de /* sur l'ancienne position, et dont le facteur cos > serait précisément identique au résultat de Tintégra-

DS tion. Ainsi, on aura -- — (V^ *4- \* cos V) pour représenter la pression sur

^g la partie antérieure d'un corps plongé, ce corps étant armé <i'un ajutage en

pointe dont l'influence est représentée par cos V? /* étant l'angle fictif que

donnerait un ajutage théorique plan formant coin.

Or, lorsqu'un plan mince est en mouvement, les molécules liquides ne restent point en fil^s parallèles jusqu'à la rencontre de la surface, ainsi qu'il faudrait l'admettre pour le sens de la démonstration. Il se forme en avant du plan ce que l'on peut appeler un avant bec naturel ou ajutage naturel fluide, dont l'influence peut se représenter par un certain facteur cos V> correspondant à l'effet qui serait produit par un ajutage artificieL D'après ces prémisses, on voit que l'ajutage liquide naturel qui se produit à l'avant d'une surface doit varier, non seulement avec la vitesse, non seulement avec Vétendue de la surface S, mais même avec la forme ou contour qui limite cette surface.

Si maintenant on incline le plan S d'un angle ^ sur la première direction,

on aura ^ ~~ ^* • ^^^ V • <^os H pour représenter l'effort. Mais ici, dès que

l'angle ^ dépasse une certaine grandeur, l'avant bec naturel tend à disparaître, comme s'il se produisait dans le fluide un véritable talus de glissement. De sorte que ft dépend de ^ suivant une loi complexe, et la confrontation expérûnentale doit fournir des valeurs beaucoup trop fortes pour les petits

angles.

Examinons maintenant ce qui a lieu à Pârrière. Le mouvement du plan produit un véritable .effet de pompe dans un cylindre idéal à paroi fluide. Si la vitesse du mouvement est assez grande pour que le vide se fasse à Tar-

rière, la formule p'= -3— (V^ -h V*i50s V) représentera l'effort de réaction.

Ce cas ne pourra se présenter dans l'air que pour les projectiles, puisque Vj=400" environ. Dans l'eau, il y aura lieu de remarquer si la vitesse V^ d'écoulement du fluide eau doit se produire dans le vide ou bien dans Vair; ce qui

correspond aux deux hypothèses : Y^= \/ a^^ (H^ 4- 10,33) et V^ = V ig R,. J'ai longement traité ce cas important qui reçoit une application dans le mouvement des hélices rapides; mais je renverrai les formules longues et complexes, auxquelles cela donne lieu, à mon second Mémoire. Pour des vitesses inférieures à Vj, la théorie ordinaire des pompes montre

que la pression postérieure sera de la forme jp" = — — ÇV^ *— V*;) De même

^9 que sur l'avant, il se produit nn ajutage ou arrière bec naturel dont on peut

représenter l'influence par cos *v, et l'on aura en somme p^=p' +p'

= -—- (V4 •+ V* cos V — Vi *+ Y* cos 'v). On voit que V^* disparaît si la tg

densité D reste constante.

SD Ainsi, p = -^— Y* (cos V + cos S) représente la loi de la résistance

dans un fluide de densité constante, ft et v étant des angles qui varient avec la vitesse^ avec Yétendue de la surface S, et avec la forme de cette surface.

Une analyse identique, Inais en omettant le 'rôle des ajutages naturels, et en confondant le parallélogramme des forces avec le parallélogramme des

vitesses, avait dû conduire don George Juan à jp = -^ ((Y^ + Y)* — ( Yj —Y)*)

Nous voici donc arrivé à la forme -5— -Y* (m + n) donnée par Dubuat qui,

zg le premier, avait analysé le fait de la pression postérieure, ainsi que .la diminution des efforts par l'effet des ajutages naturellement formés par le fluide; il donnait à ces ajutages l'expression heureuse, pittoresque et maritime deprov£ ei poupe fluides; on voit que ces coefficients mein sont loin d'être constants. On voit de plus la signification géométrique du théorème de M. Reech, et même une démonstration de ce théorème. Il se substitue au corps plongé une enveloppe fluide dont la forme varie avec les formes du corps ainsi qu*avec la vitesse; pour pouvoir comparer les résultats en supposant m et » constants, il faudrait que ces enveloppes fluides fussent semblablés, ce qui exige des corps plongés semblables^ et des vitesses exerçant une influence semblable, ou dont la racine quarrée soit proportionnelle aux lignes homologues. *

Le problème d'hydrodynamique à résoudre consiste donc à rechercher quelle est V équation de Venveloppe fluide qui se substitue naturellement à un corps plongé pour produire l'effort de réaction du fluide; pratiquement, il s'agira de rechercher les lois de variation des coefficients ^ et v^ suivant les diverses particularités du problème.

La densité D varie pour Pair avec la température et avec la pression barométrique. Certains expérimentateurs ont voulu tenir compte de ces changements; nîais, eu égard à la nature de la question, il semble que cela soit un enfantillage, à moins que Ton ne s'élève à quelque distance; il n'en est plus de même lorsque l'on considère les changements de densité qui proviennent du fait de vitefeses considérables. J'ai été conduit pour l'air à une formule

qui contient le terme ^rry, et que j'appliquerai plus tard au mouvement des

projectiles, cas où le vide a lieu sur l'arrière. Ce terme — -, atteint à peine

les centièmes pour une vitesse .de 40 ^50"* par seconde; par suite, je ne tiendrai pas compte de cette influence dans les calculs d'approximation de ce premier Mémoire. Pour le cas de l'eau, on sait que la densité reste constante, si cette eau est complètement purgée d'air; or, ce n'est pas le cas de là pratique pour les couches aqueuses superficielles au sein desquelles on opère; mais le genre de la correction est au-dessous de la nature d'approximation que l'on peut obtenir.

Si donc j'emploie la formule KSV pour calculer la marche générale du phénomène offert par les moteurs mécaniques, je n'aurai aucune précision à attendre dans les nombres isolés résultant des calculs; ces nombres devront être affectés de coefficients empiriques spéciaux à chaque cas ; mais ces coefficients varieront dans de faibles limites, et l'on sera certain de saisir le sens général du phénomène; les maximum seront déplacés dans des situations voisines ; on aura la certitude que les résultats seront compris entre certai-

nés limites en plus et en moins; en bloc, on peut estimer à moins de-jjr-

l'approximation que l'on obtiendra, ce qui est déjà beaucoup pour guider dans les recherches expérimentales. On verra d'ailleurs le genre de conclusions que je veux déduire de mes formules; j'attacherai fort peu d'importance, je le répète, aux nombres isolés, et il sera facile de montrer quel changement doit amener, dans l'analyse du phénomène, une loi de résistance aussi compliquée que l'on voudra; par exemple, p = S (AV + BV* + CV ); je dois

faire observer qu'il est naturel de n'introduire que des puissances paires, eu égard à ce que l'on déduit les résultats de pressions ou de hauteurs qui dépendent seulement de V".

On comprend combien il doit y avoir d'écart dans les valeurs du coefficient K fourni par les divers expérimentateurs; on aurait 104 kil. dans l'eau de mer pour m et n égaux séparément à 1 ; pour l'air, on aurait 135 grammes. Les uns estiment que le nombre actuel doit être de 77^ pour l'eau, et de O'',! pour l'air; d'autres diminuent ces chiffres jusqu'à 6S^ ou QO^ pour l'eau, et par suite à 80 grammes environ pour l'air; je n'utiliserai pour ainsi dire pas ces chiffres.

Quand il s'agit de s'appuyer sur le fluide pour produire un grand effort de réaction, on choisit la forme de surface qui augmente la valeur du coefficient ; c'est ici le lieu de faire observer qu'une légère inclinaison de la pale peut donner lieu à un effort plus grand que si la pale est normale à la vitesse; car, si d'un côté on diminue le coefficient par l'influence du cos ^^ de l'autre on l'augmente parce que w et n ou cos V ©^ cos S vont en augmentant.

En général, les formes convexes diminuent K, et les formes concaves Paugmentent; ainsi, un parapluie solide mù dans Teau.ou dans l'air, présente une différence très grande, facile à calculer, dans sa résistance relative aux deux directions opposées ; c'est précisément à des différences de résistance de ce genre qu'est dû l'effet utile des battements d'ailes; l'élytre du hanneton offre une résistance proportionnelle à 120 grammes dans un sens, et à 50 grammes dans l'autre, ce qui produit un effort d'ascension- proportionnel à 70 grammes.

Quand il s'agit au contraire de lutter contre la résistance du fluide pour transporter à de grandes vitesses un corps plongé, il faut diminuer le plus possible la valeur du coefficient de résistance, ce qui se fait en donnant aux corps à mouvoir des formes en coin. Pour les corps mi-plongés ou navires, la question est très complexe et exige une analyse spéciale. M. le capitaine de vaisseau Bourgeois, dans un Mémoire expérimental sur les formes usitées dans la marine pour les vitesses obtenues au maximum de 6 à 7 mètres par seconde, a traité ce cas, et a prouvé que les meilleures formes de navires actuels avaient des coefficients compris entre 3 et 5 kil. par mètre carré, par mètre de vitesse ; ces coefficients ne sont pas constants,et il ne paraît pas possible d'admettre la forme monôme pour exprimer la loi de la résistance. De là, on peut conclure que l'on abaisse à Va» environ la valeur maximum de la résistance, pour les formes actuellement utilisées ; en admettant pour l'air des formes analogues, on arrivera à estimer à environ 4 grammes l'effort à vaincre par chaque mètre de superficie de la section d'un ballon allongé, pour chaque mètre de vitesse. Ces nombres peuvent s'améliorer dans-la marine marchande ou militaire ; on est certainement désireux d'obtenir de la vitesse, mais il faut sacrifier à d'autres exigences. Si l'on ne veut qu'un sillage rapide, en sacrifiant toute autre espèce d'utilisation, il est possible d'abaisser le coefficient à 1 A ou 2 A pour l'eau, et à 2 gramme^ pour l'air, attendu que dans ce dernier cas le frottement est presque insensible. De plus, en plaçant les hélices sur l'avant, on est certain d'améliorer encore cette diminution. Les bateaux de course rapide qui servent aux joutes anglaises ont une longueur égale à 30 fois leur largeur et un creux très faible; leur résistance n'atteint pas 0^,5; ces bateaux ne peuvent absolument servir qu'à un amusement^ et il ne parait pas que les exigences de solidité d'un navire naviguant puisse lui permettre de dépasser une longueur de 12 à 15 fois sa largeur.

Dans le mouvement circulaire, les coefficients de résistance sont plus grands, eu égard à la forme particulière des enveloppes fluides qui se substituent à la pale mobile ;'les expériences de Thibault, qui sont en somme les seules complètes sur l'air, semblent indiquer comme préférables les chiffres de 90^ pour l'eau, et de 120 grammes pour l'air. Eh bienl le coefficient qui importe à considérer est précisément le rapport entre le coefficient du mouvement de rotation et le coefficient du mouvement de translation. Augmenter l'un et diminuer l'autre, tel doit être le but, comme nous le verrons.

J'ai dit que la résistance au mouvement des corps flottants était beaucoup plus complexe que pour les corps plongés. Ainsi, sera-t-on en droit d'espérer une diminution notable dans les chiffres expérimentaux de l'air, pour des formes analogues à celles qui ont été expérimentées pour l'eau, puisqu'il y a

une complication de moins. De plus, les hélices étant entièrement plongées^ leur théorie doit être plus simple que la théorie des roues à aubes j et cepen* dant Ton n'a jamais parlé d'action occulte pour ces dernières.

Je termine ces considérations par une dernière remarque : la forme SV (m + n) donne la résistance pour un corps plongé indépendamment du frottement. Si le corps est mince, les termes w et n seront influencés mutuellement; mais si le corps est un long parallellipipède, les facteurs w et n seront isolés. Si donc on place des avant-becs plus ou moins inclinés soit à Pavant, soit à l'arriére, on aura SV* (m cos'^ + ncos^i) pour effort produit après l'adjonction de ces avant-becs. On voit que, pour une forme constante à Varrière^ la loi d'incidence sur l'avant sera celle du cos'tp plus une constante, et vice-versà, M. Bourgeois, en commentant les expériences de Beaufoy, arrive à ce résultat; et il le considère comme un nouvel écart entre la prévision théorique et la confrontation expérimentale. Pour une pale oblique animée d'un mouvement de rotation, les angles ^p et ipi sont sensés être égaux; mais, je le répète, les formes hydrodynamiques qui naissent du mouvement donnent lieu à des variations en sens inverse des coelficients m et n.

S VII. — Formules spéciales pour une surflEice mouvante

quelconque.

Étant supposée la loi KSV* comme expression mathématique de la résistance, je vais en déduire les conséquences logiques pour une surface de forme quelconque; le | III donne les formules :

/ 1» — dTj = Kd*s. ( Or — nfj'y )'cos»«.

2» — dT, = KcPs. {Br — ntg f Y cos^a tgf.

l 4* — d'M, = dT,. r. -pi- = r,.

5" — T, = Mj6. r= P^.e.rj = F,.

7" — h = — • pas élémentaire.

tg?

Ces formules sont écrites dans un système quelconque de coordonnées. Je vais mettre Br en facteur commun, et remplacer les valeurs géométriques des fonctions angulaires par leurs valeurs en coefficients différentiels dans le système de coordonnées mi-polaires et dans le système de coordonnées rectangles. Je me contenterai d'écrire les valeurs de d% de d*P, et de d'P,, les autres quantités n'ayant pas besoin d'être écrites à nouveau. Pour d*5, on pourra prendre les coordonnées que l'on voudra pour coordonnées projectives, et le calcul de chaque surface particulière fait ressortir les coordonnées qui donnent lieu au calcul le plus simple.

ââ

On a, en coordonnées mi-polaires :

2"-(fP,:

On "voit que (fP, s'exprime naturellement en dr. dw. On a, en coordonnées rectangles :

dF dr

mH^hmy^-"

K 0*da7dy / 1

2« — (fT,i=-

, __w dy {/ dF dFVdF

^ 2^^ ^\V'd^~^ dz) dy.

dx dz 1 '

dz \\dx)'^\dy)^\dz) )'

On voit que d'P, s'exprime naturellement en dz dx^ et qu'il ne contient pas de radical. La valeur de Mj ne contiendra pas non plus de radical, et la valeur M, le contiendra.

Le calcul de P, et de Mj sera beaucoup plus simple que celui de P^ et de M,.

Si l'on veut faire attention aux valeurs générales qui contiennent les lignes trigonométriques, on pourra déjà conclure quelques conséquences importantes : »

1* — Les pressions sont proportionnelles à 0*, ainsi que les moments de rupture;

2*— Le travail de rotation est proportionnel à e*;

3" — Les pressions dépendent de la quatrième puissance des dimensions;

4*^ — Les moments de rupture dépendent de la cinquième puissance des dimensions. Ces conséquences sont la déduction de la loi KSV. Une surface multipliée par un quarré de vitesse donne bien une quatrième puissance, ^en comptant pour un la largeur de la surface. Cette nature de conséquence est évidemment exacte d'après la discussion même du | VL

Si Ton désigne par S» la surface maîtresse section du corps à mouvoir, et par K^ son coefficient de résistance à la translation, l'équation P,= K sera

delà formeK I A -i- —. Aj-H — Aj =KiSJ — j . Lorsque le corps à

entraîner est mi-plongé ou flottant, le second membre ne serait pas exact

quand bien même le premier serait mathématique. Dans le cas d'un ballon,

ou corps entièrement plongé, la formule est meilleure. Cette équation du

fi deuxième degré donne — • La puissance de la machine motrice, sauf le coeffl-

cient de rendement, est alors — î-^ — . On voit que— est constant; cela ne

doit pas être pour les navires, mais cela doit s'écarter peu de la vérité; je manque de documents pour vérifier l'inexactitude de cette constance dans la

valeur de — .

Si l'on a une surface pour laquelle -^ = a, alors le facteur ( 1— — a )

n'entre pas dans les intégrations; et, comme il a été dit au | V, l'équation

P,=K prend la forme : K A A - — aX=K, S,. ("- V d'oùiî.=. L__.

Équation que j'utiliserai en insistant sur la valeur du rapport --?-, et sur le degré d'exactitude qu'elle peut procurer. C'est par ce rapport --?-> qui sera

spécial à chaque appareil pour chaque navire, que la formule prend son caractère empirique.

-^ = a = --^ • donne immédiatement, en système mi-polaire, une équation

aux différences partielles qui correspond à F (rù — ay^r)=o^ F étant une fonction arbitraire de r. Si l'on écrivait l'équation en coordonnées rectangles,

il faudrait intégrer l'équation aux différences partielles — — . z——x~

a dx dz

qui revient bienà-— !?=.= — — -J^ — — -, et on retomberait sur la

dx. dz même fonction arbitraire, en remplaçant w par arctg — , et r par

V^a?*4-z' . On voit quelle simplicité de calculs fournit un choix judicieux de coordonnées.

On voit que pour toute cette famille de surfaces définies par l'équation

quelconque F (» — ay, r) =: o, on aura h = — -; le pas est constant.

L'hélice générale oblique du premier degré, (a=^ ay -h br + Cy est dans cette catégorie ainsi que l'hélice orthogonale &> = ay 4- c. Aussi, c'est par cette équation que je commencerai les calculs.

Pour se rendre compte du phénomène, en bloc, on peut dire qu'une surface Si ayant un coefficient de résistance K^, produit un travail utile Kj Sj w*, qui doit être équilibré par un autre travail KS ôr', S étant la surface mouvante

dont le coefficient de résistance est K; l'équation Kj S (— ) = f- KS.

exprime la liaison du travail utile au travail total avec le facteur /", comprenant à la fois rinfluence du rendemejit et de coefficients spéciaux. Comme

en plus on doi^ avoir la liaison égale des résistances Kj Sj l — \ = /j KS,

n f cela conduit à la liaison — = -j-* Cette indication grosso-modo ne tient

pas compte des forces perdues; notre analyse spéciale tient compte de ces forces perdues lorsque l'appareil est entièrement plongé.

Si l'on admet y = o, alors P, est toujours nul. Si, alors, on admet que l'axe se transporte dans une direction perpendiculaire, et que la rotation s'opère dans deux fluides, on aura le cas des roues à aubes, dont la théorie sera identique; mais dans ce cas, il intervient des forces de choc à l'entrée et à la sortie de chaque fluide, qui troublent la netteté des équations.

Si l'appareil moteur se trouve isolément soumis à un courant de vitesse u faisant un angle 5 avec la direction de w, on aura u cos ô qui s'ajoutera ou se retranchera de n suivant le sens du courant. La composante u sin § agira dans un plan perpendiculaire à l'arbre. Cette composante, pendant la moitié du mouvement^ agira pour pousser l'aile, et pendant l'autre moitié du mouvement, elle luttera contre le mouvement de cette aile. S'il n'y avait qu'une aile, cela fatiguerait l'appareil sans rien changer dans le cours entier d'une rotation. Si l'appareil est composé d'ailes symétriques, le courant sera sans influence sur la rotation. Je n'ai pas à dire qu'un courant général, au sein duquel' s'accomplirait le mouve^ment, est sans aucune espèce d'influence. On n'a môme aucun moyen de constater l'existence de ce courant autrement que par l'écart constaté au point d'arrivée. C'est toujours l'application de la loi de Galilée, ou indépendance des forces.

Les équations générales étant données, on peut se demander quelle est la forme de surface la plus avantageuse à telle ou telle nature de pression ou de moment de rupture. Si je considère les équations en coordonnées mipolaires, je vois qu'elles sont indépendantes de w ; le calcul des variations donne la règle suivante pour obtenir l'équation aux différences partielles qui correspond au maxima : on différentie l'équation en P„ je suppose, par

rapport à -^ et par rapport à -^ considérées comme des variables indépendantes; puis on différentie de nouveau chaque résultat, le premier par rapport à r, le second par rapport à y, et la somme des deux résultats donne l'équation différentielle du problème. On obtient ainsi une équation aux différences partielles du second ordre, non linéaire, à coelficients variables. Si l'on savait intégrer cette équation, on trouverait une forme contenant une fonction arbitraire que l'on déterminerait d'après la nature des limites qui doivent terminer l'aile motrice ou fragment de surface mouvante. L'analyse mathématique répond par une solution générale à une question restreinte. Je me dispense de reproduire cette équation différentielle qui couvre plusieurs

lignes d'écriture, attendu que je n'ai môme pas essayé de l'intégrer, persuadé de l'inutilité de mes tentatives. Je donnerai quelques solutions restreintes de ce problème, sans y attacher d'ailleurs une grande importance, puisque Ton ne peut pas obtenir une loi vraiment mathématique de la Tésistance sur laquelle s'appuyerait une différentiation rigoureuse. On verra d'ailleurs que cette recherche des formes n'a pas une importance aussi considérable que l'on pourrait croire, et qu'en somme, le principal effet d'un appareil hélicoïdal provient de son diamètre et de sa vitesse de rotation. Pour les hélices de sustension aérienne, on verra même qu'il ne convient pas de choisir la forme de surface qui donne la plus grande valeur pour P„ mais la forme qui donne

la plus petite valeur au rapport --i-, pour pouvoir tirer le plus grand parti

possible d'une machine donnée. En tout cas, la forme maxima doit varier avec n, ce qu'il importe de remarquer.

Pour clore ce paragraphe, je marque dans les deux systèmes de coordonnées la valeur de d*5, qui est :

dy '

Puis, je vais dire un mot sur le calcul de la force centrifuge.

Soit G la force centi-ifuge; on sait que G = , m désignant la masse

du corps en mouvement, v sa vitesse, et r sa distance au centre de rotation . soit D la densité du corps, / sa largeur, e son épaisseur, on aura

dl de dr d*G = D . 0* . — '- — • — . r . Si le corps est homogène et que l et e soient cons-

tants, on a immédiatement G = -. — .l.e.r.—-. le volume sera i . e . r, et

le poids p sera D J.e .r; d'où = — ? c'est à dire la masse multi-

9 2 pliée par le carré de la vitesse de rotation angulaire et par la moitié de la longueur. Pour les roseaux de fer indiqués au | ii, cette formule donne à peu près G = 5 ô* ou 20 tt' . N' . Cela aura son importance pour les hélices aériennes. Pour les héUces maritimes, le calcul est plus complexe puisque la

largeur et l'épaisseur de l'aile sont des fonctions de r; d/ = d y 1/ 1 + rM -^ j •

quant à e^ sa valeur arbitraire dépend da constructeur, qui l'augmente ou qui la diminue, suivant ce qu'il juge convenable pour résister au moment de rupture. En tout cas, cette épaisseur sera plus grande à la jonction de l'aile à l'arbre qu'à l'extrémité de cette aile.

La question de la stabilité est parfaitement connue et traitée pour le cas maritime, en tant que stabilité statique; on est moins avancé pour ce qui concerne la stabilité dynamique. Si jamais l'on doit s'élever dans les airs, les questions de stabilité seront à examiner avec soin dans des conditions

essentiellement différentes de la stabilité nautique. Pour aujourd'hui, je laisse de côté ce problème, fort long d'ailleurs à traiter complètement.

S VIII. -- Surfaces hélicoïdales obliques du premier degré.

La plus simple des surfaces comprises dans l'équation générale F (w— ay, r)=zo pour lesquelles le pas est constant^ correspond à la liaison linéaire ta = ay + br + e. En étudiant le mouvement au moyen des coordonnées mi-polaires, on aura :

d<a d(ù . dy b

dy dr dr a

tgf = ar. tga=;zr \/ ^« ^ ^î ^^q = ^. tgy = b.r.

' Ko* A — —a].r.drdy

io rfîD — y ^ /

*""• 1 -HrMa^-H b') Kô^n — '^aya.r.drdy.

Les intégrations s'effectueront en veillant avec soin à la nature des limites choisies pour terminer la pale. La commodité d'installation de l'appareil exige ordinairement que l'aile soit terminée suivant des plans perpendiculaires à l'axe de rotation. Dans ce cas, en intégrant d'abord par rapport à y, et laissant cette lettre y pour désigner la hauteur de la surface mouvante dans le sens de l'arbre, on aura, pour les quatre termes à calculer :

\ ^ JJ i -h r^ [a^ + 6*)

«. - M. = K«.j fl - ia X.aL ^^^-t-

J'admettrai que l'on prend les intégrales de à r. Si l'on doit supprimer Peffet produit par un noyau évidé autour de l'arbre, ou bien si l'on veut tenhr compte du rayon de l'arbre, on aura à soustraire du résultat la valeur obtenue

pour r =1 fo, rayon de départ. Il n^y a que trois intégrales à chercher; en posant, pour abréger récriture, V a* + 6* = q; voici ces trois intégrales :

jV*

gr — arctg.gr gV« — log(l +y»r«) 3 î^' + arctg.jr

Pour effectuer des calculs pratiques, ces valeurs sont assez commodes; il faut se rappeler que les logarithmes sont népériens^ et que les arcs s'expriment en valeurs décimales. Sous cette forme, les lois du diamètre ne res- '

sortent pas; mais si Ton veut faire attention que Q = -^i et que a = -^j

en donnant à « et à y la valeur numérique acquise à ces angles pour la valeur

extrême r de la distance à Parbre, on obtient le groupe suivant où toutes

les lois ressortent clairement :

i n i^^t /i n Y ' tau — a.

lo-P. = Kô.^l-aj.y.r.^;^j

5^> - P. = Ke? A - 1. « Y-y. r *-^^^^^^^^tl]£g£^ifl^

tg^.

Sous cette forme, on voit bien que les pressions varient suivant le cube du rayon, et les moments de rupture suivant la quatrième puissance. La dimension y . augmente le produit d'un degré. J'insiste sur ce que « et 9 ne sont plus des variables, mais des valeurs numériques qui donnent lieu à des facteurs numériques.

On trouvera facilement f, r, et r, rapport des pressions et bras de levier

de rupture. On voit que -~ = - — • ou rayon extrême de la pale, divisé par

ce qu'on peut appeler la tangente de Yangle de sortie. Toutes ces valeurs ne

dépendent pas de », non plus que du coefficient empirique K.

Il convient de remarquer que t=ari. d'où -7- = ■- — • c'est à dire qu'il

t tgf

est plus simple de remplacer le rayon fj de la circonférence d'action par le

• Qr

rayon r extrême. On voit alors que n= p - — (i VI).

Si l'on a 6 = 0^ l'équation se réduit alors à w = ay + c, et représente une hélice orthogonale. Je vais consacrer un paragraphe spécial à son examen.

Si l'on a «=0^ on voit que quelque soit b^ P,=o ainsi que M,. Ce cas ne peut pas s'utiliser pour des surfaces entièrement plongées; la surface w= to + c représente un cylindre à base spirale dont Taxe est parallèle à Taxe des y. Dans deux fluides, cela donnera lieu aux roues à aubes, et le mouvement s'effectuera en transportant Tarbre perpendiculairement à la longueur.

Si Ton a à la fois a = o^b = o^ ?^ et Mj prennent leurs valeurs maximum, puisque le dénominateur de l'intégral est le plus petit possible. On aura :

en faisant ressortir une surface mouvante multipliée par le quarré d'une

vitesse, puis par le cube de cette vitesse.

Cette conclusion permet de vérifier la loi des y, ou loi des surfaces, et elle

est inexacte dans la mesure de la variation du coefficient K. On voit que le

qui

bras de levier de rupture ^i = -y- . r. La surface se réduit à w = c; ce

signifie bien un plan i)assant par l'axe de rotation; et, d'après la nature des limites, c'est un rectangle y. r qui tourne autour de son côté y,

S IX. ~ Théorie de l'hélice linéaire orthogonale.

Dans l'hypothèse de b = o, l'équation du premier degré se réduit à la forme « = ay + c; on peut admettre ç=o,ce qui ne diminue pas la généralité de la forme. Dans ce cas, les sections par dès plans d'axe sont des droites perpendiculaires à cet axe, tandis que dans le cas général les mêmes sections étaient des lignes droites obliques; les sections par des plans perpendiculaires sont encore des lignes droites, tandis que pour le cas général ces sections étaient des spirales ordinaires.'

A priori, il semble que tout ce qui peut diminuer le dénominateur des quantités sous le signe somme tend à augmenter chaque terme isolé de la série, et conséquemment la somme de cette série; b = o doit donner des conditions plus avantageuses à la puissance des efforts développés; mais cela ne change rien aux conditions de la vitesse.

Je vais traiter complètement ce cas important et pratique.

On a toujours : tgf = ar y = a ^=o,y = o.

La famille de surfaces dans lesquelles y = a est définie par l'équation diffé-

rentieIIe-^=:o, ce qui correspond à l'équation arbitraire F (t«, y) = o. On

voit que y ne ;peut être égal à a que dans le cas où l'équation est indépendante de r; les sections par des plans d'axe sont toujours des droites perpendiculaires à cet axe, ainsi que les sections par des plans perpendiculaires à l'arbre. Ce sont des surfaces hélicoïdales à directrice rectilique orthogonale, et à géhératrice en hélice d'un degré quelconque. (o = ay représente la plus simple de ces surfaces, c'est à dire Yhélice linéaire orthogonale.

Les équations deviennent :

ar — arctg ar.