KO

,Wy(\-^^^±^\\r^

cos'w

50 rfip -- \ Q cos<" / cos«.

aV* 1 +

COS'o)

Et quoique le sinus se rapproche davantage de son arc que la tangente, on voit que cette surface diffère davantage de l'hélice, au point de vue des efforts, que la précédente. Lorsque or sera assez petit pour que cos w puisse être pris pour un, on pourra substituer l'hélice.

Le grand avantage des familles de surfaces comprises dans l'équation arbitraire ¥ (<a — ay) = o consiste en ce que le facteur de rendement se trouve hors de l'intégration. L'équation différentielle de ces surfaces est

t09 dw

-^^ =r. a^ ou -3— = a. r dy

On peut avoir à rechercher la famille de surfaces pour lesquelles tg^f = a^ ou constante; on voit que — =-^ est l'équation aux différences partielles

qui donne Ffw — a—yrj = o pour équation arbitraire de ces surfaces. La

plus simple d'entre elles donne l'équation w = a. —5 qui paraît précisément

correspondre à une forme à maxima pour la poussée P, quand on restreint le problème à des surfaces réglées ayant au moins une directrice linéaire normale à l'axe de rotation; j'y consacrerai un paragraphe. L'équation

sin w = a — représente un plan en coordonnées mi -polaires, et ce cas

mérite aussi un examen spécial dans les deux systèmes de coordonnées.

L'équation tg(ù = a — pourrait aussi être étudiée; l'équation correspondante

en cordonnnées rectangles est du quatrième degré,

On peut se demander quelles sont les surfaces pour lesquelles tgy = est

constant ; on a alors — = -p- . qui donne F (w — a log r,y) = pour équation 7 ar

arbitraire de la famille. Si on voulait que tgoL soit constant, on aurait — 7-=:f--r^l + ("J~") P^^^ équation aux différences partielles. En effectuant les recherches nécessaires à l'intégration, on trouve que la condition nécessaire est que (-^) = o^ ce qui indique que l'équation est indépendante

de y; on a alors uniquement -j- = — ' avec la restriction précitée, ce qui

conduit à F (« — a log r) = o^ cylindre parallèle à l'axe des y^ et ayant pour base une ou plusieurs spirales hyperboliques de la forme w — a log r = 0. Ce résultat est important, en ce qu'il montre que parmi les surfaces relatives aux moteurs entièrement plongés, il ne peut pas en exister pour lesquels a soit constant; ces surfaces donnent une valeur nulle pourP^ et pour M„ puisque alors tgf = o.

Si l'on choisit pour génératrice dans les plans perpendiculaires à l'arbre une courbe géométrique quelconque, et non pas un trait infléchi arbitrairement suivant la fantaisie, sans que le calcul puisse s'appliquer, on aura la

valeur de tgy, qui fournira une équation différentielle en -r^, et l'intégration

uX

donnera alors la famille de surfaces correspondantes. Si donc on veut utiliser le squelette des hélices aériennes pour un mouvement de turbine^ on devra procéder ainsi, après avoir défmi mathématiquement^ au préalable, le genre de courbure qui correspond à la ligne /(w, r^ y^) = o.

Si, maintenant, on considère la surface engendrée par une ligne droite de longueur donnée, ou barreau qui se meut perpendiculairement à une directrice perpendiculaire à l'arbre, en variant l'inclinaison de ce barreau sur l'axe

des y, on aura une équation de la forme — = Fa?., en coordonnées rectangles, Fa? représentant cette inclinaison variable avec la distance à l'axe de rotation. C'est, à proprement parler, l'équation du moulin à vent^ ei les formules données par Coriolis à ce sujet sont incorrectes. En effectuant les calculs, il vient :

K6^ dxdy( 1 — — ^^^ V (^ -+- y'^xF'xyPx

* 1-4- y\V"x H- rx

Je me contente d'écrire la valeur de ePP,, ne voulant pas effectuer les calculs. Eh bien ! le problème qui consiste à déterminer la loi de variations des inclinaisons variables du barreau mobile générateur, suivant la distance à l'arbre, pour produire un maximum sur P,, est précisément posé par cette équation. Il faut la différentier d'abord par rapport à F 'a; considérée comme variable ; puis différentier le résultat par rapport à a?, et on a une équation différentielle du second degré très complexe qu'il s'agit d'intégrer. Le problème est plus simple que pour le cas général. Je me dispense d'écrire la longue équation que l'on obtient.

Si, au lieu de considérer un barreau rectiligne, on courbe ce barreau en forme de courbe hélice, on aura la possibilité d'appliquer les coordonnées mi-polaires à la surface engendrée, surface qui ne sera pas la même que la précédente, mais qui donnera des enseignements du même genre; alors on

Tu

aura — = Fr pour équation de la surface, ¥r exprimant la loi de variation

de tgf^ suivant la valeur de r.

On a alors pour la valeur de (TP, :

Ke'drdy ( 1 ~— i^V.r^.Fr.

1 +F'-r-\-y* (rF'r — Fr)*

En traitant cette équation suivant les procédés du calcul des variations, on aurait la loi des inclinaisons, qui devrait se substituer, soit à la valeur de tg9 = «^ soit à la valeur de tg(f = ar, pour produire un plus grand effet de poussée P, dans les mêmes conditions de grandeur de la surface mouvante. On voit qu'il faudrait chercher le maximum pour (P, 4- iwS), m étant un facteur arbitraire que l'on détermine à la suite; on sait d'ailleurs que

l + FV + y'(rF'r — Fr)'

S XI. — Cas d'un plan pour surfttce motrice.

En coordonnées rectangulaires, Téquation générale du plan est : Ay 4- Ba? H- Cjz: 4- D = 0. En substituant les yâleurs as = r cos «, ;? = r sin &>, et en effectuant une transformation facile, on arrive à la forme : ay = br sin (w — wj + c = Oj, pour représenter le plan en coordonnées mipolaires. Sans nuire à la généralité de l'équation, on peut supposer «^ = o, c'est à dire compter les angles des plans d'axe à partir de celui d'entre eux qui contient une ligne droite perpendiculaire à l'axe ; seulement il sera possible qu'ily ait avantage à utiliser, pour le mouvement, une partie de la surface comptée à partir d'un certain angle «i plutôt qu'à partir de o.

En supposant 6 = o les équations s'annulent; le plan ay = c est perpendiculaire à l'arbre de rotation; pour notre sujet, nous pouvons donc, sans inconvénient, supposer 6 = 1, puisque b ne peut pas être nuL En supposant a = o^ l'équation r sin w = c donne lieu à un plan parallèle à l'axe des y^ ou cylindre linéaire, pour lequel V^ = o. Cette forme ne peut donc pas s'utiliser. Je donnerai toutefois les équations en P^ et Mj pour ce cas, pour interpréter certains genres d'expériences; cela peut s'utiliser pour les roues à aubes. En admettant c = o dans toutes les circonstances où le plan n'est pas parallèle à l'axe des y, on aura : ay =: r sin w , qui sera l'équation de l'aile motrice dans les limites ultérieurement choisies. On a alors :

doi a d(ù tgcù dy sin&>

ây rcosw dr r dr

a ^ \/ a^ + sin*w sinw

^^ coso» ^ cos«k>. -^^ a '

Les valeurs angulaires sont indépendantes de r et de y. La commodité des intégrations rend préférable d'éliminer y^ en considérant r et w comme

V COS w

variables indépendantes; en écrivant : dy = d<a. , il vient :

Ke'drd<o.( 1 — -^ ^— y.r' cos'o).

\ r cosw /

K0Wda)/l — 4-—^ V.r»cos»a».

\ B r cosw /

K'Mrdc^ ( i — ——^ — jV'cos'o). \ Q r cosw /

Ke^drdw ( 1 — ^-A Y.r*cos«a>.

\ $ r cosw /

rdré^.S/YTlc^

An //«M

Les limites naturelles de la pale, eu égard à la surface et au choix de coordonnées, sont depuis rz=zo jusqu'à r = r^ et depuis w = — « jusqu'à &) = + (», afin de rendre l'aile motrice symétrique par rapport à la seule ligne droite perpendiculaire à l'arbre qui soit dans son plan. L'aile représente un secteur elliptique qui se projette sur un plan perpendiculaire à l'arbre, suivant le

secteur circulaire 2 . -^, ayant r pour rayon, et 2w pour angle; la médiane

de ce secteur, ou petit axe de l'ellipse, est précisément la ligne d'origine, seule ligne du plan normale à l'arbre. Si l'on mène la corde de l'arc d'ellipse perpendiculaire au petit axe, on obtient un triangle isoscèle qui ne diffère de la pale que par un segment elliptique; si l'on mène la tangente au sommet de l'ellipse, cette tangente donne encore un triangle isoscèle dont le petit axe de l'ellipse est la médiane. Dans les trois cas, les efforts sont d'un genre analogue, sauf les différences de surface mouvante, différences négligeables pour de petites valeurs de w. C'est donc l'idée du triangle isoscèle de Hunt. En effectuant les intégrations, il vient :

Ko» / r* f-^'^ "ia.r'n T'^^ ^ «'^' »* C^ ""^ \

1» — P,= — -r 1 —T- \ cosWw / cosWw + — ^ r I coswaw i

' «(!+«') \V-a> 3 ôj, 2 ©V, )

30 __ ji^ dépend des mêmes intégrales que ?^ , et il suffît, pour l'obtenir, d'élever l'exposant de r d'un degré, ainsi que le (Jénominateur de chaque puissance de r d'une unité.

40 — Même remarque pour M, relativement à P,.

go s ^ £!i ^.. ^ : pour la demi-surface, à cause de la symétrie.

2 * d Les intégrales sont très simples, et leur valeur définie de — « à + w, est double du résultat pris de à w.

Le rapport -5- = ^ dépend de n et de 6; il en est de même des bras de

levier de rupture, r^ et r,, ou rapports p- et — •

Lorsque » = 0, voici les valeurs explicites complètes pour une seule aile symétrique par rapport au petit axe de l'ellipse terminale. On voit bien nettement quelle est la loi des rayons :

,. xr . . cos*&) sinw + 2 sin&)

10 — Pi=:Kev^ 50 — p, = Ko V.

30 — M, == Kô'r'.

cosu sinu + &>.

(cos'o sinu + 2 sinu) 2

cosu sinu + u.

Le rapport de - — = t est complexe, ri = r^ = —• r. Les deux bras Fj 5

de leyier de rupture sont égaux ; lorsque n varie, ces bras de levier deviennent inégaux et variables. Dans la théorie générale, j'ai fait intervenir le rayon r,; mais il est nécessaire d'effectuer les calculs avec un autre rayon, et celui qui intervient le plus commodément est le rayon extrême de la pale r; il n'y a que l'hélice linéaire « = ay + 6a? + c qui donnent des valeurs r^ et r, constantes dans tout le cours du mouvement.

Le secteur elliptique qui sert de pale motrice ne peut évidemment pas tenir à l'arbre par un seul point, son sommet; il faudra donc limiter la pale à un rayon r,. Cette pale aura alors la forme d'un trapèze isoscéle terminé par deux arcs d'ellipses semblables. P„ par exemple, sera de la forme

P, = K9«.rSA(^l-(-^] y

et de même pour les autres valeurs. ^ •

Si l'on voulait que la pale eût une égale largeur dont la projection sur le plan d'origine fût ic pour la symétrie, on aurait à effectuer les intégrations

d'une toute autre manière; la première intégration sur r donnerait lieu à la

substitution de r = -: ? et l'on obtiendrait des fonctions faciles à intégrer

sm w °

de la forme /^cos "■« sin '« d<a. La pale serait alors un tronc de rectangle

ayant pour largeur VT^TcF, terminé à ces extrémités par deux arcs d'ellipses dissemblables. Une pale entièrement rectangle dépend naturellement des coordonnées rectangles, et j'y viendrai plus loin.

Si l'on voulait que la pale fût un trapèze isoscéle à bases elliptiques, mais dont le sommet ne fût pas sur l'arbre, le calcul serait extrêmement complexe. Après la première intégration sur r, il faudrait substituer une forme

r=—r--: T' en choisissant convenablement les valeurs de c et de w^

sm (« — Wi)

pour les deux limites; les intégrales seraient complexes.

Le rapport -^^ qui détermine l'avantage d'un appareil pour soulever un

poids avec une moindre machine est ici :

T ôr 4 cos*«sin«-i-2sinû»

P, a 15 cos w sin w -f- w.

Or 2

Le facteur qui multiplie — est environ -^ pour de petites valeurs de w; si

T dr 2 on pose tgl = a, on voit que --^ = — Pour l'hélice linéaire, on

Fj ÏQa O

trouve -ïT- = — • î à égalité de valeur pour <p et X, il semble donc que la pale

P. tQf plate vaut mieux que la pale en hélice pour soulever un poids avec une machine plus faible. Mais en ce genre de conclusion, il faut veiller avec soin à

traduire Palgèbre en français; ici toutes les parties actives de k pale soiit éloignées de l'arbre, ce qui change complètement les conditions de l'action, même à égalité de surfaces motrices.

\ Je n'ai pas à parler du pas d action moyen. En repos, h =;:

= -^^ — —; mais, en marche, ce pas ne peut plus être considéré, puisquMl 5 a.

varie avec n^ sauf pour lliélice linéaire. .

La valeur de tÇf = nous apprend que f a le même signe depuis

cos 0*.

û>= 4- 90° jusqu'à « == — 90°, et que ^ change de signe de »=90 à wrtrîTO**. Si donc on mettait en mouvement une franche entière de surface plane, chacune des parties séparées par l'arbre tendrait à produire un mouvement opposé de translation. Dans le sens d'un mouvement, on ne peut utilisée (pie la partie comprise de — 90° à + 90°. Cela est naturel. En regardant la pale à droite, inclinée sur l'avant, je suppose, cette pale prendra l'inclinaison sur Tarrière quand le mouvement de rotation l'aura amenée à la gauche du spectateur; les deux ailes opposées, qui devront former l'appareil en entier, devront être découpées sur des plans symétriques par rapport à un plan perpendiculaire à l'arbre, et elles ne peuvent pas être prises sur le môme plan en prolongement l'une de l'autre. Pour l'hélice, je n'ai considéré que l'une des nappes; mais en prolongeant les génératrices de l'autre côté de l'arbre, on obtient une seconde nappe^ qui est renversée : l'une est sinistrorsùm, l'autre dextrorsùm.

Si, au lîéu de prendre le petit axe de l'ellipse comme ligne médiaiié de la pale, on utilisait une partie du plan comprise de w à a»^, il n'y aurait plus de symétrie par rapport à la médiane ; le secteur eUiptique ne serait plus isoscèle. Pou^ éhércher la valeur u>j la plus avantageuse, comme angle de départ, dans

l'effort de P,, il faut prendre le rapport -~- qui contient alors le facteur

cos w sin w H- « i. . X 1 « . 1

Pour •» = 0, ce facteur égale 2; et cela est encore presque

vrai quand ^ est trës petit. Pour « = 48, ce facteur égale — • 4; 1; et enfin,

TT

pour « = 90°, il devient 1; pour » = 180° y ce facteur égale o. Cette dernière valeur revient à une remarque précédente. On voit qu'en partant de w = a, les valeurs sont plus avantageuses; donc il faut prendre la partie du plan symétrique autour de la seule ligne jperpendiculaire à l'arbre qui soit dans ce plan.

Si l'on examine le facteur en a^ on trouve qu'il ne donne pas lieu à un maximum pour P,; cela paraîtrait étrange, si l'on ne remarq^siit pas que S

P s'accroît indéfiniment avec a; si l'on prend la valeur de •—> il n'en es* plus

de même, et l'on trouve a = —== , ou X = 35** eh^ron pour valeur dln-

V i clinaison qui donne le maximum d'effet pour P,. Ce résultat, obtenu par la différentiation, ne peut nous inspirer aucune confiance numérique; je l'ai répété bien des fois. D'ailleurs, de même que pour les exemples numériques

cités pour Fhélice, ce n'est pas Tinclinaison qui donne le maximum pour P,

qu'il convient de choisir, mais celui qui donne le minimum pour -^ • Ce der-

nier rapport a de grandes chances d'être réellement bien déterminé; il ne donne pas lieu à un maximum^ et il est d'autant meilleur que a est plus grand.

En désignant toujours par L le nombre des ailes, on peut admettre, en rigueur, que l'effort se double pour L = 2, les deux ailes étant opposées et symétriques. Exact quand on marche, ce fait n'est plus aussi rigoureux quand on agit sur place. Pour L = 4, on ne peut admettre que les efforts se quadruplent qu'avec les restrictions mentionnées; si les ailes sont très larges, il se peut que les formes hydrodynamiques qui se substituent à la forme de chaque aile pour produire les efforts viennent à se toucher; alors, le mouvement d'une aile influence le mouvement de la suivante. Théoriquement, accroître la hauteur y de deux ailes revient à accroître le nombre des autres ailes, sans produire d'une manière ainsi marquée l'inconvénient en question. J'ai dit que fractionner la hauteur y en parties successives pouvait avoir un effet avantageux, comme brisant les formes hydrodynamiques qui diminuent le <;oeflicient empirique et expérimental K, coefficient qu'il faut rendre le plus grand possible.

Pour les conditions de marche^ on aura toujours :

Il s'agit de calculer net p. L'équation P, =:R se présente sous la forme

n d'un polynôme complet du deuxième degré en —; on le préparera de la

façon suivante : On mettra « r* L r' en facteur commun, wr' représentant la projection de l'aile motrice sur un plan perpendiculaire à l'arbre, puisque 2» est l'angle de projection; alors, P, prendra la forme :

P. = K6T'.«r'. L. ( A -- ^ . A. + (-^Ja. j

A, A,, A, étant des facteurs numériques qui ne dépendent que des valeurs a et w. En supposant la pale motrice comprise entre o et r, il viendra :

KwrV

Sr-(v)=--.(^)-*.(^)"

équation indépendante de la densité du fluide.

fi Cette équation du deuxième degré fera connaître la valeur de -— > dans

les conditions imposées à l'appareil moteur.

En préparant d'une manière analogue la valeur de T,, on aura :

on pourra alors conclure p soit de — ~ — soit de -^ ce qui revient au môme, d'après l'équation précédente; on aura :

Br

On voit que, pour les surfaces autres que Thélice linéaire, «=ay4- 6a? + c; le rapport p , qui exprime la transformation du travail de rotation en travail de translation, varie dans le cours du mouvement. Quand n a pris la valeur constante qui convient à l'appareil, il s'ensuit une valeur constante pour p. Cette valeur est indépendante de la densité du fluide.

Je passe sous silence la discussion de ces équations, ainsi que les problèmes variés que l'on peut se proposer. Quant à l'équation du second degré, qui

donne — ? il est peu nécessaire de l'écrire sous forme littérale; seulement Or ^

il conviendra de laisser le radical au dénominateur, ce qui est aussi simple

que de laisser en haut, et la forme se rapprochera davantage de celles de

l'hélice.

Si la pale va seulement de r^ à r, chaque coefficient sera multiplié par un

facteur de diminution de la forme ( *— *(-^) )• -^^sî, B deviendra B / 1 — /-! j j ; A et Bj seront multipliés par ( ! — f ~ J J , et ainsi des

autres. On voit qu'il faut déjà que le rapport ( — j soit sensible, pour que cela donne lieu à un changement appréciable. Le terme wr", qui exprime la

surface projective, deviendra • «*'** { * "~ ("^ ) ) •

J'omets des tableaux numériques et de nombreux calculs; j'ai tenu à préciser ce cas, parce que ce que je dis ici s'applique en général.* On voit qu'une théorie des moteurs plongés doit essentiellement faire intervenir la nature dé la surface, et que le problème n'est réellement simple que pour les héliçoïdes du premier degré ; de plus, on voit comment le rayon r^ du moment de rupture est moins simple à envisager que le rayon r extrême, môme dans le cas où les limites sont r et Tq.

Parrive maintenant aux coordonnées rectangles. L'équation du plan étant, je suppose, ay -h bx + cz + d = o, on a:

dF — — h dF

dy ~~ (to """ dz ~ '

En substituant dans les équations générales du § VU, il vient :

Kô«(tedy ( 1 — 4- ir-^^ V (*^ — c^):«-

3* — (PMi e t (f«M, s'obtiennent en multipliant les valeurs précédentes p^r V x^-h ;?•. On voit que P, et Mj s'intégreront facilement en valeurs algébriques, tandis que le radical complique les expressions de P^ et de M,.

Pour c = 0^ le plan est parallèle à l'axe des z; il n'y a plus de projection

sur le plan des xy; les équations se présentent sous la forme — Ce cas ne

peut pas s'appliquer, je passe.

I^our 6 = 0^ le plan est parallèle à l'axe des x; étant donné un, plan quelconque que coupe l'axe des y^ on peut toujours amener le plan des xy, par une rotation, dans la position indiquée par 5 = o. Ce changement de coordonnées ne modifie pas la situation de la surface mouvante par rapporta l'axe des y; on prend simplement pour axe des x la seule ligne du plan formant la pale qui se trouve perpendiculaire à l'axe des y; on peut supposer c = — 1, ce qui ramène la surface à l'équation z = ay^ en admettant qu'elle passe par l'origine des coordonnées. Alors :

(i + a') Va?* 4- aV

Kô'dtedy. (l— — — Vic'.fl.

2« — ePP. = r4 .^ ' ^'

Wixdy i^—^—Xoc\

Lorsque y est négligeable par rapport à x^ toutes les valeurs sont simples. En intégrant dans les limites + y à — y^ ce qui donne une hauteur 2y à la pale, et dans les limites de x^ à x, on obtient une pale rectangle ayant 2y (x — a?o) pour projection sur le plan des xy. Si on avait à faire les calculs, on conserverait la surface iyx, en la multipliant par le facteur de

correction ( 1 — — )• Je ne crois pas utile d'insister. Pour w = o, le rapport

Là encore, pour a = fflfy, il y a un avantage pour la poussée, dans l'emploi du plan, au lieu et place de Yhélice. Avec la môme machine, on élèvera un poids plus grand. Pour n quelconque, le rapport varie avec ».

Pour a = 0, la pale est parallèle à l'axe des y; il n'y a plus de poussée P,. Ce cas peut s'utiliser pour confronter les nombres expérimentaux donnés par Thibault, sous le titre de Résistances latérales.

S XII. — Gone hélicoïdal linéaire.

Je prends un point quelconque de l'arbre, et, par ce point pris comme sommet, je fais passer une droite constamment appuyée sur une hélice linéaire tracée sur un cylindre; j'engendre ainsi une seule des nappes d'un cône hélicoïdal linéaire. Parmi les génératrices de ce cône, il en est une qui est perpendiculaire à l'arbre de rotation pris pour axe des y; en prenant cette ligne pour origine des «a, j'aurai ay = rw pour équation de la surface* On voit que cette surface a pour plan tangent ay = r sin w. Tant que Varc d'ellipse tangent à l'arc à^hélice différera peu de ce dernier, les deux surfaces seront peu distinctes. Le long de la génératrice unique orthogonale sur y^ il y a inflexion du cône hélicoïdal; et pour de petites valeurs de w, on pourra prendre le plan tangent pour la surface, et vice versa. Cette surface est intéressante, comme paraissant donner un maxima pour P,; parmi les surfaces réglées, elle est la plus simple de celles pour lesquelles on a tg^f = a, constante. En

coordonnées rectangles, on aurait : tgl ^ — | = — ? ce qui est fort complexe. En coordonnées mi-polaires, on a :

tgy = &).

Pour û) = ou très petit, on voit que tga = tqf, c'est à dire que pour de petites valeurs de &>, cette surface se confond presque avec Yhélice, puisque «= y est le caractère distinctif de cette dernière. , p

On voit que -~- = tgf = a, puisque tg(p est constant.

Les intégrations sont très simples en-r et &>; il n'y a qu'une seule inlégrale qui intervienne pour les quatre quantités à calculer.

C'est /-- ^ — j- = cos y arctg (w cos y); en se rappelant que tg^ = a.

dr»> a dy r

doi u dr r

tgf== a

tgoL^ V^a^ + û.' tge = —

en posant I = 2 cos 7 arctg (w cos f) pour rendre la pale symétrique par rapport à la ligne d'origine des «>, ou intégrant de + u à — &>, il vient :

Ke! t/ r* 2«o»j j^ a*.r* \

*^' — tgf 1\L ô. 3 "^ e* ' 2 /

On voit que t = ta», et que r, = r, = • — - r quand n = 0.

On voit aussrque -^ = -y-^ • — • Alors P,= * cos f . arctg (w cos f).

On a supposé la pale allant de o à r; on corrigera comme d'habitude quand Taile va seulement de r^ à r.

Si Ton devait construire des hélices sur cette forme d'équation, on voit que les sections par des plans perpendiculaires à l'arbre sont des spirales hyperboliques à équation ay, = «r. Ce serait donc les lignes qui termineraient l'aile motrice, si on devait la terminer par des sections normales à l'axe ; mais dans ce cas, les intégrations précédentes ne donneraient point l'effort; après

avoir intégré par rapport à r^ il faudrait substituer r== — ? pour effectuer

la seconde intégration.

S XIII. — Examen de quelques maxima.

Dans le choix primitif des matériaux que j'avais l'intention d'utiliser pour ce premier Mémoire, ce paragraphe était fort étendu. La nécessité de me restreindre à un petit nombre de pages me force à une simple analyse.

Les équations générales en valeurs angulaires sont, pour n = o ;

10 — d"P, = KôVcos»arf'5.

2** — d*P, == KôV* cos ""utgf, d*s.

Sous tsette forme différentielle, on reconnaît bien la loi d'une surface mouvante rf*^, multipliée par le quarré de la vitesse d'une circonférence de rayon r

avec des facteurs spéciaux. Un nouveau facteur (1 tgA tient compte

des forces perdues, dans le cas d'une translation ».

On sait que'« ne peut jamais être constant, sauf pour des cylindres à base spirale logarithmique, surfaces inutilisables pour P,; de plus, « est toujours plus grand que f, puisque tg^c^ = tg\ -h tg^y, à moins que y = o, ce qui donne a = y, cas de l'hélice.

On voit que l'effort opposé à la rotation va saûs cesse en diminuant depuis a = jusqu'à a = 90. Il n'en est plus de même de l'effort opposé à la trans-

ation : si, d'une part, raugmentation de « produit une diminution sur P,; d'autre part, l'augmentation de f accroît P,. L'effort est nul pour «e = o, puisqu'alors f = o; et il est encore nul pour a = 90 en tenant compte delà forme X 00 , que prend alors P,. La poussée de translation est donc susceptible d'un maxima variable suivant chaque forme de surface mouvante. Il est étrange qu'il n'existe pas une seule expérience pour constater expérimentalement la loi de variation de P,, en tenant compte des variations du coefficient K. Pour le terme P„ pour le mouvement circulaire, on ne possède înéme que les expériences de Hutton, de Vince et de Thibault ; celles de Thibault sur l'air sont seules complètes. Elles ont été entreprises à Brest, en 1826, dans le but de rechercher les lois les plus favorables à la disposition des voiles pour les anciens navires. A cette époque, la marine en vapeur était à l'état embryonnaire, et l'on ne soupçonnait même pas que l'on pouvait utiliser la pression P, pour exercer un effort mécanique de locomotion. J'ai dessiné les courbes qui donnent les valeurs fournies par les recherches de Thibault; je renvoie leur examen au second Mémoire, avec toute l'extension nécessaire, pour suivre surtout la loi de variation du coefficient K, qui interprète expérimentalement l'influence de la forme hydrodynamique qui se substitue au corps en mouvement. Je me contente de faire observer que le premier tableau d'angles de Thibault, celui que l'on cite le plus communément comme argument contre la loi des sinus quarrés^ est vicié par une cause d'erreur expérimentale inaperçue par l'auteur; en outre, il est mauvais d'opérer sur des pales différentielles

En comparant les pressions à égalité de surface^ le maximum de l'effort différentiel d*P, sera donné par le maximum de cos^utg^; en posant « = y + a, puisque «>y, on pourra indiquer approximativement le maximum de ces* (y 4- 5)sin f>, comme se rapprochant de celui qu'on cherche. On trouve que l'angle doit être compris entre 30 et 35°, avec une correction pour la valeur de 3. Pour des pales ordinaires, 3 est petit. Si 5 pouvait être o^ ce qui ne peut avoir lieu que pour les surfaces hélicoïdales dont l'équation ne renferme pas la variable r, on aurait 35° à 36° pour valeur du maximum. Ce nombre isolé ne peut pas avoir de bonté pratique à nos yeux, puisqu'il est influencé par la variation du coefficient K, coefficient qui varie avec î> ou «. C'est aux environs de 35° qu'a lieu le maximum; c'est tout ce que l'on peut dire.

En comparant les pressions à égalité de projection sur un plan d^axe^ l'équation devient : (PP» = Ko V cos ^cKtgfJrdy; la position du maximum change.

On trouve que le maximum correspond à : « = 45 ^i sauf toujours l'in-

fluence pratique de la variation de K; c'est donc entre 40 et 45'' que l'inclinaison de la pale devrait produire le maximum de P,.

En comparant les pressions à égalité de projection sur un plan perpendiculaire à Varbre, on aurait : d»P, = KôV cos •a.dr.dw.; c'est à dire que, dans ce cas, il n'y a plus de maximum; la variation de a a<5broit la surface mouvante dans un rapport tel que V accroissement de la surface compense la diminution de l'effort.

Ces observations ont une grande importance, puisqu'elles montrent un sens des difficultés. Ce dernier résultat surtout est curieux, et je l'avais déjà fait

observer dans Fexamen de la pression donnée par un secteur elliptique plan (page 49). H n'est exact qu'en exprimant l'effort P, en coordonnées mi-polaires ; cela dépend des limites.

Pour des surfaces quelconques, la recherche des maxima ne peut guère se faire que sur les intégrales, en dressant des courbes numériques. Ce n'est pas d'ailleurs le maximum de P,, je le répète encore, que l'on cherche toujours à utiliser, puisqu'il s'agit d'obtenir, non pas le plus grand effort observable, mais le plus grand effort pour la plus petite valeur de la machine. Le rapport différentiel

T. Or

-1 = -- — , et l'on voit que les pales peuvent être avantageuses en produisant

un moindre effet pour une plus grande valeur de tg^.

En faisant intervenir dans la valeur de p la projection ry^ il semble naturel de considérer la recherche des maxima à égalité de projection sur un plan d'axe.

L'examen général de cette question, dans la recherche des valeurs isolées de P,, comme dans la i^cherche des rapports, m'a conduit à des liaisons différentielles très complexes et même indéchiffrables. Si on borne le problème au cas où les surfaces doivent contenir une seule génératrice rectiligne normale à l'arbre, la surface n'étant point comprise pour cela parmi les surfaces réglées, on peut opérer sur une équation beaucoup plus simple, soit en coordonnées rectangles, soit en coordonnées mi-polaires, en recherchant la loi dMnclinaison d'un barreau droit ou en forme d'hélice qui glisse sur la ligne droite en question. C'est ce que j'ai appelé l'équation du moulin à vent; là, je suis arrivé à quelques résultats que je renvoie au second Mémoire

En dehors de cela, je considère une tranche infiniment mince d'une surface hélicoïdale générale définie par F (w,y) = o. Cette équation ne. contenant pas r^ on voit que a = y. Je prends une tranche infiniment mince d'héliçoïde, tranche de longueur quelconque, comprise entre deux lignes droites perpendiculaires à l'arbre ; l'effort maximum sera caractérisé par tg^(A == — ou

cos «a = — ; la lame mince obtenue sera tangente à la lame hélicoïdale, et

produira un effet plus grand. Si je cherche la surface qui' correspond à cet élément superficiel tangent à l'hélice, j'obtiens tgcp = r -^ = a ;= — = pcwir

expression générale; d'où il suit que la surface ay = wr parait devoir donner davantage que l'hélice pour la poussée P^, à égalité de surface^ quand

En opérant dans les mêmes conditions, mais à égalité de projection sur un plan d'axe, on trouve que la surface favorable, avec toutes les restrifAiens du sujets est y == «r, c'est à. dire que a = 1.

Si au lieu d^opérer sur l'équation relative au cas de n = o^ on opère snr les équations du mouvement, les résultats ^ont différents. En diffërentiant l'équation générale, en omettant les facteurs inutiles^ il vient :

r^—tgff — ^rtg'f == o.

Cette liaison, pour le cas où Ton compare à égalité de surface, redonne bien tg^f = — pour » = o. La surface favorable sera donc caractérisée par

Féquation :

dy \dy J

En faisant disparaître le facteur r, et en appelant R une racine de cette

équation, on aura -r— = R, équation aux différences partielles qui conduit

à la surface générale w = y R + Fr^ Fr étant une fonction arbitraire; on en conclut :

pour équation de la famille de surfaces qui correspondent à l'équation différentielle. Dans Phypothèse la plus simple, celle de Fr = o^ on a l'équation suivante :

Les sections de cette surface par des plans d'axe w = caj sont des hyperboles du second degré; la ligne d'origine, qui correspond à &> = o^ est tangente au sommet de la branche négative de toutes ces séries d'hyperboles. Les section^, par des plans normaux à l'axe, y = y, , sont des spirales hyperboUques dont le dessin offre une analogie fort remarquable avec les courbes qui se dessinent dans les remous et à l'arrière des corps en mouvement dans l'eau, en tenant compte de la branche négative de la courbe. J'espère pouvoir prouver, d'ailleurs, que les surfaces des ondes^ dans ce cas, sont des espèces de cônes à bases spirales hyperboliques. Ces dernières lignes permettraient facilement de construire pratiquement l'aile héUçoïdale d'après la forme caractérisée par l'équation. Un moyen simple, que j'ai utilisé, consiste à porter au dehors d'axes rectangulaires une longueur arbitraire prise pour unité, en portant sur l'axe vertical les longueurs des tangentes des diverses

valeurs de 9, et en construisant la courbe r = -= — s-rr— ' ^ étant enabcisse: ^ 1 — 2. tg\

j'ai dessiné plusieurs variétés de cette courbe en comparant lés inclinaisons

avec celles qui proviennent de l'équation r = -^ > relative à l'hélice linéaire

orthogonale.

Si au lieu d'opérer sur l'équation des pressions comparées à égalité de * surface, on opère sur l'équation des pressions à égalité de surface projection en ry, les résultats sont tout autres. On est conduit, par la différentiation, à la liaison analytique :

— tg'ff + rtg^-^^ —tg^ — r^o.

Pour » = 0, on retrouve bien fjfy = J., ou y = wr. Pour n quelconque, en supposant égale à zéro la fonction arbitraire introduite par l'intégration de l'équation aux différences partielles, on obtient, pour la surface, l'équation :

— - r*w' + rWy + -— wy* — y» = o.

On voit que les sections par des plans d'axe sont des courbes du troisième degré, tandis que les sections par des plans normaux à l'axe sont des spirales

-j- ¥? + — tg?

hyperboliques du troisième degré. L'équation r = -. — sert à

1 — tg f.

dessiner la courbe qui permettrait de construire facilement le modèle en bois qui devra servir à fabriquer l'aile motrice, en portant tgf en ordonnées^ et r en abcisse.

Quant aux calculs d'intégrations que nécessiteraient les équations de surfece, on peut les simplifier quelque peu en prenant tg^ comme variable au lieu et place de r. C'est même par ce procédé que j'ai d'abord effectué tous mes calculs pour l'hélice ordinaire. 11 est plus facile, en général, d'opérer sur des fonctions trigonométriques sous le signe d'intégration. Pour les fonctions que je viens d'indiquer, on est conduit à intégrer des fractions rationnelles dont le dénominateur est naturellement décomposé en facteurs simples, ce qui donne une succession d'intégrales faciles à obtenir.

Pour la pratique, c'est môme un enfantillage que d'effectuer ces sortes de calculs, ou de proposer le maniement de formules longues et compliquées aux constructeurs pratiques. On construira son appareil comme s'il devait être donné par une hélice linéaire orthogonale w = ay ; la puissance de rendement de la roue motrice en vitesse de translation sera un peu améliorée en faisant choix d'une surface favorable; mais l'amélioration sera toujours d'un ordre en quelque sorte secondaire.

Pour clore cette étude analytique du phénomène mécanique des moteurs plongés, je dois insister sur cette dernière considération et résumer les conclusions principales : F désignant la puissance de la machine, en kilogrammétres, mesurée au dehors de Varbre, indépendamment des flexions et des frottements contre les points d'appui et les presse-étoupes ; «p et r désignant, non plus des variables, mais ce que l'on peut appeler Yinclinaison extrême et le rayon extrême, on a :

n = p-— -, puis »=I/-Y^;puis /) =

C dépend de tg^ quand il s'agit d'une hélice &> = ay. Pour une autre forme, C sera susceptible d'un accroissement ou d'une diminution; le diviseur de er sera, non plus tg^^ mais un certain coefficient spécial à

l'aile. En somme, un appareil préférable à l'hélice donnera quelque chose d'un peu mieux pour p et pour n, sans infirmer le sens général de ces liaisons qui permettent de résoudre tous les problèmes que l'on peut se proposer, par une première et sérieuse approximation.

Pour diminuer Kl autant que possible, afin de pouvoir utiliser la plus faible machine possible à égalité de vitesse, on allonge les navires ou les ballons. Ce coefficient Kj se compose de deux parties : l'une qui dépend des formes avant, l'autre qui dépend des formes arrières. En plaçant l'hélice à Yavant avec un arrière très fin, on diminue K, dans des proportions considérables. Cette situation de l'appareil moteur est d'ailleurs naturelle si l'on veut y réfléchir; c'est ainsi que le fer de la flèche est en avant. Il n'y a que des circonstances importantes et spéciales à la tenue du bâtiment à la mer, ainsi qu'à son utilisation militaire, qui puissent rendre préférable la situation arrière de la roue motrice. Dans ce cas même, elle doit être devant le gouvernail, sans quoi celui-ci ne fonctionnerait pas.

En faisant varier 9>, on fait varier G et conséquemment p suivant une loi complexe. Lorsque n doit être faible, on prend tg^ très grand, ce qui améliore le facteur p; lorsqu'on veut obtenir une grande vitesse n en ayant une machine à son gré, on peut sacrifier p en diminuant tg^. Voici, comme exemple, trois cotes numériques qui permettront facilement aux constructeurs de faire un devis estimatif, sauf ensuite à préciser le calcul. En supposant P = 0,50 dans les trois exemples, ce qui exigerait des appareils différents, on aurait :

Pour y = 35° n=: 0r. 0,7 ou n = or. 1,4. /s.