PQ

Ce résultat ne doit pas élre confondu avec celui qui représente la valeur-capital du revenu futur. Ainsi, au moment précis 0', la ligne O'P' représente la valeur de tous les articles de revenu, passés aussi bien que futurs, AB, A'B', A'B', A"'B"', tandis que la ligne O'P' ne représente que la valeur des articles futurs A'B'^ A"B'.

Fi-. 46

(Ghap. XUI, § 10)

Effets du calcul semi-annuel, trimestriel, et continu sur le taux d'intérêt réalisé sur un stock ou sur une provision d'articles.

D'ordinaire, le passage du taux d'intérêt calculé annuellement au taux d'intérêt calculé d'une manière continue, si on l'examine avec soin, n'est pas aussi simi)le qu'il le semble au premier abord et il peut causer un assez grand embarras à certains lecteurs. Si, pour plus de commodité, nous supposons que chaque article dans ïe stock du marchand y reste pendant une période déterminée apjtelée le temps de « retour des fonds » (turtiover), et que le eoût d'Hchat et tous les autres coûts qui se rattachent à cet article se produisent au moment où cet article entre dans le stock, tandis que toutes les recettes^ on revenu brut, provenant de ce môme article se produisent au moment où il quitte le stock, nous pou- Tons pîsser comme il suit du cas où le taux d'intérêt est « caleulé annuellement » à celui où ce taux est calculé d'une manière continue.

Tout d'abord, nous supposerons que tout le stock est acheté au eommencemenl de l'année et vendu à la fin, de telle sorte que la période de retour des fonds soit d'une année. Si le coût du stock est représenté par c, en y comprenant non seulement le prix d''achat, mais encore tous les autres éléments du coût, ce coût doit représenter la valeur escomptée des recettes à la fin de l'anïrée, recottes qui sont donc égales à c (1 + i). Le«revenu net pour l'année est, par conséquent, c(l H- 0 — c, ou ci. Ce revenu comporte un rapport à la valeur du coût total calculé au commencement de l'année, à savoir c, rapport qui est -r, égal au taux d'intérêt i.

En second lieu, nous considérerons le stock comme acquis pour Bioitié au 1'^'' janvier, et povr moitié six mois plus tard, c'est-à-

dire au 1^'' juillet, et nous supposerons que. comme auparavant, chaque élément du stock reste un an sans être vendu. Au l^'^jaa-

vier, le coût est .j, et, au l*^"" juillet, il est aussi de i^. Si nous faisons l'inventaire au 1^"^ juillet, le stock qui vient d'être acquis

représente une valeur de ^, tandis que celui qui est acquis six

mois auparavant, et dont on doit disposer dans six mois, peut être regardé comme ayant une valeur quelque peu plus grande,

à savoir^ V^l -f- i, cette dernière étant la valeur du coût plus

l'intérêt, ou, ce qui revient au même, la valeur de vente attendue, moins l'intérêt. Le stock total vaudra donc au l"^ juillet :

2 + 9 vl +î.

Les ventes ou recettes du stock seront évidemment chaque six

mois de c (1 -t- i), ceci étant la valeur accumulée pour une année

du montant acquis c. Pour l'année entière, les recettes serotit

donc exactement le double, ou c (l+i). Si de cette grandeur

nous déduisons le coût per annum, c, nous obtiendrons, comme

auparavant, le revenu net, c i. Le rapport de ce revenu net à la

valeur-capital considérée au I"" janvier ou au l'^'' juillet de chaque

année, sera donc :

Coite expression, qui est évidemment la même que

ne semble plus être égale au taux d'intérêt ; mais la divergence est due au fait que le revenu du marchand court senii-annuelle- 7ne?it, tandis que i est calculé aiiniiellement. Si nous remplaçons i par sa valeur en termes de i' , le taux d'intérêt calculé semi-

annuellement (à savoir, r -h x» comme nous l'avons montré

dans l'Appendice au chap. XII, § 2), nous verrons, après simplification, que l'expression ci-dessus se réduit à i' . En d'autres termes, dans le cas artificiellement simple où le marchand est suppo.sé accomplir tous ses achats et toutes ses ventes en deux

quanlités égales et à des intervalles semi annuels, le rapport, de sen revenu annuel à son capilal, calculé à ces époques, est i' . On peul démontrer de la même manière que si ses achats et ses ventes ont lieu à des intervalles trimestriels, le rapport de son revenu à son capital calculé à ces époques sera /", c'est-à-dire le taux d'intérêt per annum calculé trimestriellement ; et ainsi de suite, indéfiniment jusqu'à ce que nous atteignions le cas limite, approximativement vrai en pratique, où le marchand achète et vend quotidiennement, et où nous voyons que le revenu net annuel, divisé par la valeur du capital, à n'importe quel moment, est égal aux faux d'intérêt calculé d'une ma7iière continue. Nous ferons remarquer que, pour que cette proposition soit exacte, il est nécessaire que l'évaluation du capital du marchand soit non son prix de gros ni son prix de détail, mais quelque chose d'intermédiaire où l'on devra tenir compte du fait que le stock ne pourra pas être vendu immédiatement, et que, d'un autre côté, il ne sera pas nécessaire d'attendre un an pour qu'il soit vendu. Un Un raisonnement semblable peut évidemment s'appliquer au cas où la période de retour des fonds est de plus ou de moins d'une année.

(Chap. XllI, § 11)

Influence de la variabilité du taux d'intérêt.

Jusqu'ici nous avons considéré le taux d'intérêt pendant les années successives comme invariable. En fait, le taux d'intérêt est constamment soumis à des fluctuations. Nous supposerons d'abord que ces fluctuations sont prévues, et, par commodité, nous- nous bornerons à une année comme intervalle normal de temps. Supposons que, pour la première année, le taux d'intérêt soit il ; pour la deuxième année, 4; pour la troisième année, t's, et ainsi de suite indéfiniment, tous ces taux étant supposés connus d'avance. Au moyen de ces taux d'intérêt, nous pouvons calculer la valeur présente dun article ou d'une série d'articles

de revenu. Ainsi, s>i iOOO $ sont dus dans deux ans et si, pour !a première année, létaux d'intérêt (ii) est 5 ^f^, tandis que, pour la deuxième année, le taux (i.,) est 3 Vo» nous pouvons obtenir la valeur présente des 1000 $ en l'escomplant à 3 "/u pour une

année, obtenant ainsi . ^^ , ou 970,87 $, comme étant leur valeur une année auparavant à la date indiquée, ou dans une année à partir du moment présent, et en escomptant encore ces 970,87

à 5 Vo pour une année, ce qui donne . ^„ , ou 924,30 comme valeur présente.

En général, si V représente l'article de revenu qui doit être

reçu, sa valeur dans une année sera ^ r , et sa valeur présente

1 — 1— îi

formule qui, bien entendu, peut facilement être étendue à trois années ou à un nombre d'années quelconque.

Si nous représentons la valeur future V dans la figure 47 par la ligne AB, sa valeur dans une' année sera CF, valeur trouvée au moyen de la

courbe d'escompte c

3 "/o BC, et sa valeur présente sera ED, valeur trouvée au moyen de la courbe d'escompte 5 Vo DC. En d'autres termes, au lieu d'avoir une courbe ^'8* ^^

d'escompte uniforme de B à 1), nous avons une courbe d'escompte brisée BCD, avec un différent taux de pourcentage de hausse pour les deux années considérées.

De cette façon, nous pouvons obtenir la valeur présente d'une série quelconque d'articles de revenu aussi exactement qu'auparavant, sauf que les courbes d'escompte sont maintenant quelque peu irrégulières. Ainsi, si la série des articles de revenu à diffë-

APPE^'DICE

Fig. 48

renis moments est de la grandeur représentée, dans la figure 48, par AB, CD, EF et GH (lus dans leur ordre de fulurité), l'article le plus éloigné AB sera escompté au moyen de la courbe d'escompte BC et l'ar

ticle le plus rapproché du dernier article sera ajouté à la valeur-capital à C, amenant la valeurcapital au point D, d'où est menée la prochaine courbe d'escompte DE, et ainsi de suite jusqu'à ce que nous atteignions le point I. IJ est donc la valeur-capital de la série donnée d'articles de revenu.

De cette façon, il est possible de passer en revue tous les cas spéciaux de revenus capitalisants qui ont été examinés au chapitre XI 11, et de leur faire subir une correction pour le cas général d'un taux d'intérêt qui est variable, mais prévu. Un semblable calcul, cependant, n'a que très peu d'importance pratique, puisque les variations dans le taux d'intérêt sont rarement prévues, si même elles le sont quelquefois.

S'il valait la peine de poursuivre l'examen de cette matière, il serait bon de simplifier les calculs en substituant, là où ce serait possible, aux séries des taux d'intérêt z'i, e'o, i,^, etc., une moyenne j, de telle sorte que si les séries données d'articles de revenu étaient escomptées uniformément d'après le taux d'intérêt J, nous obtiendrions exactement la valeur présente tout comme lorsque les divers taux séparés i^, ii, i-i, etc., sont employés. La formule pour le taux moyen d'intérêt 7 d'un grand nombre particulier de taux individuels, comme z'i, i-i, i\, etc., employée pour l'escompte des articles individuels de revenu, ai, a.,, a^ serait évidemment :

On pourrait faire diverses applications de ces formules, quoique ces applications aient peu d'utilité pratique. Ainsi, on obtient, comme auparavant, la valeur d'une annuité temporaire d'un terme donné, en prenant la difTérence en valeur entre une annuité perpétuelle commençant aujourd'hui et une annuité perpétuelle différée jusqu'à la fin du terme donné. La valeur de l'annuité perpétuelle commençant aujourd'hui s'obtiendrait, comme nous venons de le démontrer, en divisant le revenu annuel a par j^, taux moyen d'intérêt des taux individuels à partir du moment présent jusque dans un avenir indéterminé. La valeur de l'annuité différée prise à la fin du terme serait, de ia

même manière ^, où ^ est ia moyenne des taux individuels à

partir de ce point en s'avançant toujours. La valeur présente de cette annuité différée serait obtenue en escomptant la dernière valeur pour le terme de l'annuité d'après le taux J,,, où y^ est la moyenne des taux individuels d'intérêt t'i, ù, i^... 2, pour le terme de l'annuité.

La valeur d'une obligation s'obtiendrait d'une manière analogue. Nous venons de faire voir comment on obtient la valeur

présente de l' u intérêt de l'obligation, et la valeur présente du

. . . . P « principal » l*, dû à l'échéance, serait évidemment j-. ; — -r^.

§ 16 (Chap. XIU, § H)

Représentation du Capital et du Revenu par des Coordonnées

polaires

Le lecteur mathématicien peut s'intéressera une autre manière de représenter le revenu et le capital, d'après laquelle on se sert de coordonnées polaires au lieu de se servir de coordonnées rectangulaires. Supposons que dans la figure 49 le rayon vecteur représente le capital primitif. Le temps requis pour une révolution complète du rayon vecteur peut être regardé comme représentant

« la période d'achat >> (purchase période). Ainsi, si le taux d'intérèl est de 40/0. la période d'achat sera de vingt-cinq ans. Durant une année, le rayon vecteur décrira un angle de ^ d'une révolulion complète, et la longueur du rayon vecteur augmentera de OA à OB d'une quantité BG, qui sera ^ de la ligne originaire OA , l'intérêt étant de 4 V,, calculé annuellement. Dans le cas où l'inlérêt

BC n'est pas replacé, mais est détaché du principal, l'année suivante fera prendre au rayon vecteur la position OD, époque à laquelle le même intérêt DE, pourra être détaché, et ainsi de suite indéfiniment, le résultat étant une roue déniée. Chaque dent étant de ^ du rayon OA, la somme de vingt-cinq dents sera exaclement égale au rayon. Dans le cas où l'intérêt est calculé semi- '^' annuellement, les dents se-

ront au nombre de cinquante au lieu de vingt-cinq, mais chacune d'elles aura une largeur deux fois moindre; et ainsi de suite jusqu'au moment où, pour le calcul « continu >>, nous aurons un nombre infini de dents d'une grandeur infinitésimale ; mais la somme de ces dents dans la révolution complète sera encore égale à OA. \ Dans le cas où il n'est touché aucu)i revenu, l'accumulation du capital est représentée par la longueur croissante du rayon vecteur, dont l'extrémité décrit ainsi une spirale. Le rayon vecteur accomplit sa révolution en spirale une fois chaque vingtcinq ans, et le rapport entre le a montant » OA', après une révolulion complète, et le « principal » originaire, OA, seia e, c'est-à-dire 2,718, pourvu que le taux d'intérêt soit calculé d'une manière continue.

La même spirale représente l'accumulation du capital, quel que soit le taux d'intérêt. En effet, une révolution complète ne représente pas une longueur de temps déterminée, mais la |)ériode d'achat; et il est clair qu'un taux d'intérêt plus rapide est représenté par une rotation plus rapide du rayon vecteur. Ainsi, si le faux d'intérêt est non pas 4 ^o- "^^'s 8 "'q, le rayon vecteur parcourt la même spirale une fois en douze ans et demi, au lieu de la parcourir en vingt-cinq ans. De même, si le taux est de 2 ^/o, la révolution sera de cinquante ans. La spirale porte le nom de « spirale équiangulaire», et elle a pour propriété que la tangente à un point quelcotique forme un angle constant avec le rayon vecteur. Dans ce cas, l'angle est tel que sa tangente est 2;:.

Cet angle est de 80", .57'. L'équation de cette spirale est ~ =e2Tr,

où p représente le rayon vecteur, 6, l'angle de révolution et p^ le rayon vecteur initial; e et :: sont, bien entendu, les grandeurs ■ordinaires représentées par ces lettres, c^est-à dire la base du système Napierien de logarithmes et le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre.

(Chap. XIV, § 5)

Lorsque le taux d'intérêt varie, il existe deux concepts rivaux de revenu type

Lorsque le taux d'intérêt varie durant des années successives, le terme de comparaison du revenu et du capital exige de nouvelles constatations. Nous avons vu que, lorsque le taux d'intérêt était supposé constant, le revenu type correspondant à un capital donné était un afflux perpétuel et uniforme, afflux dont la valeur présente était, à n'importe quel moment, le capital. Il importait peu que le revenu type fût regardé comme un revenu constant et perpétuel, ou comme un revenu dont la valeur-capital conservait un niveau constant; car, à condition que le taux d'intérêt fût constant, la valeur-capital d'un revenu constant demeurait nécessairement constante. Nous, lorsque nous introduisons la possibilité d'un changement du taux d'intérêt, ces deux concepts de revenu type ne sont plus équivalents ; ce n'est que dans de telles conditions qu'un revenu inconstant conservera une valeur-capital constante. Ainsi, si le taux d'intérêt pour la première année est de 10 "^ /(,, pour la seconde de 5 "/o ^^ pour la troisième, de 6 "'/q, etc., le courant de revenu qui maintiendra le capital intact, sera, dans les années successives, proportionnel aux nombres 10, 5, 6, etc. Il est évident qu'une personne qui possède 100 S de capital peut gagner avec ce capital 10 S la pre-

mière année et conserver encore ses 100$ intact, somme avec laquelle elle peut encore gagner 5 S la deuxième année tout en conservant son capital de 100 S ; et, elle peut gagner encore 6 $ la troisième année, et ainsi de suite, en recevant chaque année un revenu proportionnel au taux d'intérêt. Relatis'emenl à ce courant de revenu considéré comme un type de référence, les propositions émises au chapitre XIII ne cesseront pas d'être vraies, c'est-à-dire que si le revenu réel, dans une année quelconque, excède le revenu type de cette année, le capital sera entamé du montant de l'excédent; et si, une année, le revenu descend audessous du revenu type, le capital sera augmenté du montant du déficit.

Mais ce concept du revenu type n'est pas le seul concept légitime. Nous pouvons, si nous l'aimons mieux, nous servir de l'autre définition du revenu type, c'est-à-dire d'un afflux perpétuel et uniforme. Dans ce cas, c'est la valeur-ca|)ital d'un tel courant de revenu qui variera de temps en temps. Comme on l'a vu, la valeur-capital d'un tel courant de revenu s'obtient en divisant le taux de revenu a par la moyenne des taux d'intérêt individuel, tels que, comme dans l'exemple ci-dessus, 10 ** o-^ "^ o» ^ " o'®*^-' ad infi^iilum, la moyenne étant obtenue par la formule que nous avons donnée dans l'Appendice au chap. XII, § 5. Si nous désignons parii, un semblable taux moyeu d'intérêt, la valeurcapital sera — . Supposons, par exemple, que cette personne ait

un revenu uniforme perpétuel de 5 $ par an. Si le taux d'intérêt, il, est aujourd'hui de 5 " (,, la valeur-capital sera aujourd'hui 100 $. Si l'année prochaine j-, (nioyenne des taux futurs dans des années particulières commençant à celte époque) est de 4,9 ^0, la valeur-capital sera de 102 S. Si dans deux ans j^ est de 5,1 " 0» '^ valeur-capital descendra à 98 S. Si nous adoptons comme type un semblable courant de revenu, les propositions relatives à la diminution ou à l'augmentation du capital seront encore vraies, pourvu qu'une telle diminution ou une telle augmentation soit mesurée en se rapportant à la valeur-capital variable que nous venons d'indiquer. Ainsi, si, à la fin de la première

année, on touche un revpnu supérieur à 5 $, la valeur-capital sera diminuée de la différence, celte diminution devant être calculée par rapport non pas à 100 $, mais à 102 S, ce qui serait la valeur du revenu s'il était resté normal.

C'est ainsi que le résultat d'une difîérence entre le revenu réel et le revenu type (ou normal) peut être énoncé dans les mêmes termes, quelle que soit celle des deux définitions que l'on adopte. Dans un des cas, le type se rapporte à un capital constant et à un revenu variable ; dans l'autre cas, il se rapporte au capital variable et au revenu constant. En pratique, c'est le premier type qui est ordinairement en usage, quoique, dans certains cas, il fût préférable de se servir du deuxième. Nous connaissons tous des placeurs qui, il y a vingt ans, effectuèrent des placements à un taux d'intérêt très élevé, et qui ne se sont inquiétés que de conserver intacte la valeur de leur capital tout en sachant .''ort bien que le taux d'intérêt était constamment en baisse. C'est pourquoi ces personnes sont maintenant obligées, lorsqu'elles effectuent un nouveau placement, de subir une grande diminution de revenu, diminution qui aurait pu être évitée si elles avaient veillé à la conservation, non de leur capital, mais de leur revenu, et si, chaque année, elles avaient mis de côté une certaine somme afin de compenser la baisse du taux d'intérêt. Si ce procédé n'est pas communément suivi, c'est parce que la baisse, ou tout autre changement qui survient dans le taux d'intérêt, ne peut jamais être prévu avec une grande précision, et que, par suite, on ne saurait s'assurer un afflux de revenu parfaitement uniforme, tandis qu'il est toujours possible, lorsqu'il s'agit de placements d'épargne, de calculer ce qui est nécessaire pour maintenir la valeur du capital à un niveau uniforme.

(CuAP. XIV, § 12) Effet d'un impôt prévu sur l'augmentation du Capital

Supposons que les trois frères placent leurs annuités respectives sans considérer qu'un impôt va être établi. Le premier frère

a acheté, avec ses 10000 S, une annuité perpétuelle de 500 $ par an; le second, une annuité perpétuelle de 1000$ ditTérée 15 ans; et le troisième, une annuité de 2000 $ pour six ans seulement. Après (jue ces placements ont été faits, supposons que l'on annonce un impôt de 10** „ sur le revenu. Si le mot « revenu » est pris dans son sens propre, c'est-à-dire comme indiquant simplement les annuités, la valeur de chacune des trois propriétés baissera immédiatement de 1 OJO $, de sorte que l'un des trois frères pourra vendre son annuité, soumise à l'impôt, pour 9000 S. Mais si V impôt sio' le revenu est considéré comme un impôt sur les « bénéfices » [earnings), c'est-à-dire sur le revenu et Vangmenlalion du capital, l^annonce d'un semblable impôt non seulement réduira très inégalement les valeurs des trois propriétés, comme nous l'avons fait voir, mais elle aura encore pour résullat d'altérer môme l'augmentation annuelle du capital soumis à l'impôt. Pour bien montrer l'elTet de celte « répercussion i>, supposons que c représente la valeur du capital du deuxième frère (qui épargne) à la fin de chaque année durant laquelle aucun revenu (vrai) n'est touché. Ainsi c est de 18 000 $ à la fin de la quinzième année lorsque l'annuité de t 000 $ par an est acquise. En etfef, la capitalisation de l'annuité perpétuelle de 1000 $ qui commence à celte époque est de 20000 $ desquels il faut déduire 2 000 •$ comme impôt capitalisé. Siipposons que i représente le taux d'intérêt (comme, par exemple, o "/q) et / le taux d'impôt (comme 10 "^ „). Nous voulons d'abord trouver x, la valeur-capital une an7\ée avant c. 11 est clair que x est la valeur

escomptée de c (c'est-à-dire -. -A moins la valeur escomptée de

l'impôt que nous supposerons dû à la fin de l'année. L'impôt est établi sur l'augmentation delà valeur-capital dans l'année, c'està-dire sur c — X. Gomme le taux est t, l'impôt sera (c — x)t.

La valeur escomptée de cet impôt est ^ . : . Cette grandeur

déduite de la valeur escomptée i :, de la valeur-capital de

cette année, x ; c'est-à-dire que :

Résolvant en vue de x, nous avons a; = —^ U. L'imnôt

lui-même est / (c — x). ce qui, si nous remplaçons x par sa va-

I j i . . cit leur que nous venons de trouver, se ramené a -. ..

Si nous remplaçons i et t par leurs valeurs supposées, 0,05 et

0,10, nous avons :

Impôt = c X 0,0053.

En remplaçant c par sa valeur à la fin de la quinzième année, c'est-à-dire par 18 000 S, nous trouvons que x, valeur d'une année précédente^ sera de 18 000 x 0,957 ou 17 046 $, et que la valeur de l'année précédente sera égale à cette dernière somme multipliée également par 0,947 ou 16142,26 $, et ainsi do suite jusqu'à ce que l'époque présente soit atteinte, époque où l,i valeur sera de 7 952,15 $. Le tableau ci-dessous nous montre donc l'effet total d'un impôt de 10 " ^ sur l'augmentation de valeur, y compris la « répercussion » de l'impôt sur les valeurs-capital elles-mêmes.

Désignation

Valeur-Capital

.\ugmentation delà valeur-capital

Impôt de 10 o/o sur cette valeur

Commencement

Fin de la première année .

Fin de la deuxième année.

Fin de la troisième année.

Fin de la quatrième anuée.

Fin de la cinquième année.

Fin de la sixième année . .

Fin de la septième année .

Fin de la huitième année. .

Fin de la neuvième année .

Fin de la dixième année . .

Fin de la onzième année. .

Fin de la douzième année .

Fin de la treizième année .

Findelâ quatorzième année.

Fin de la quinzième année.

Dans ce lableau, les impôts diffèrent évidemnient quelque peu des impôts donnés dans le texte, car dans ceux-ci n'est pas compris l'effet de la «répercussion ». C'est pourquoi la valeur présente de cet impôt passera de 714 $ à 001,81 $. 11 faudrait effectuer une correction analogue pour le cas concernant le prodigue^ Cependant, ce que nous nous proposons surtout ici, c'est non pas d'étudier l'effet des différentes méthodes d'établir des impôts, mais uniquement de montrer combien peu est soutenable la théorie qui comprend les épargnes dans le revenu et qui en exclut cette partie du revenu vrai, ou services, qui entraîne une dépréciation du capital.

(Chap. XIV, § 13)

L'applicntion complète d'un impôt sur le revenu vrai est impossible

Théoriquement, un impôt sui la revenu devrait être établi sur cha(iue élément de revenu, grand ou petit, positif ou négatif. C'est-à-dire que tous les articles positifs devraient être fraj)pés d'un impôt, et tous les articles négatifs devraient bénéficier d'un dégrèvement (bounly). C'est là un système qui serait idéal en théorie, mais qui est, en pratique, d'une application difficile.

Xous n'essaierons pas, dans cet ouvrage, d'imaginer un système pratique dimpôt exempt de toutes les difficultés que nous avons indiquées dans les divers systèmes actuellement en usage. Il est incontestablement vrai qu'il serait impossible d'établir un impôt sur chaque article en prenant pour base les articles réels de revenu qu'il produit. En effet, la plupart de ces derniers articles sont tout simplement les côtés positifs « d'interaction » et ils se trouvent compensés comme dépenses dans le compte relatif à quelque autre article de caj-ital. L'application en détail d'un semblable système exige que nous établissions des impôls sur les opérations de chaiiue vente et que nous en fassions la remise sur chaque placement. Il serait difficile d'éviter l'injustice, l'évasion

el la fraude si on essayait d'établir des impôls sur un tel revenu, €l de faire remise de ces impôts, comme l'exigerait la logique, •sur les dépenses correspondantes Le contribuable chercherait à exagérer sa dépense et à sous-évaluer son revenu. C'est pourquoi, il n'est pas tout à fait injuste d'exempter de l'impôt la partie du revenu qui se rapporte à ralfaiblisseinent du capital, et d'établir des impôts, au contraire, sur la partie qui va grossir le capital, c'est-à-dire sur les épargnes. Le système serait parfaitement juste si l'alTaiblissement d un capital était toujours compensé par l'accroissement de quelque autre capital, c'est-à-dire si la valeurcapital totale du contribuable se maintenait au même niveau. En -général, les grandes recettes sont ordinairement replacées, et par -conséquent elles ne devraient pas du tout être soumises à l'impôt. Si nous pouvions supposer qu'un semblable replacement constitue une règle invariable, nous pourrions donner notre assentiment au système en vertu duquel, en Angleterre^ une rente 'tempflraire n'est pas imposée comme revenu sur son entière valeur, mais seulement sur la partie de cette rente qui constitue « l'intérêt ». L'autre partie, qui constitue un alîaiblissement du .principal, n'est pas imposée. Bien entendu, ce système est injuste là où cet alTaiblissement du principal n'est jamais restitué sous une autre forme de placement, mais, en définitive, il représente, comme l'autre partie de l'annuité, à cause de la dépense personnelle, le revenu final dont on peut jouir.

Pour faire comprendre par un exemple l'exemption relative à l'affaiblissement du capital, nous dirons : si une somme de 1 .000 $ -est versée pour une annuité de cinq ans sur la base d'un intérêt de 4 " 0 (calculé semi-annuellement), cette somme achètera une annuité de 1 11,33 S à la fin de chaque six mois, et nous donnons ci-dessous le tableau indiquant la valeur-capital à chaque intervalle, l'intérêt qui s'y ajoute, le payement au bénéficiaire, et l'affaiblissement qui en résulte pour le capital (1).

S'il y a au début un capital de 1.000 $, à la fin du premier semestre, il restera 908,67 $, ce qui aura diminué son capital de

(1) ExlraiL de Institute of AcluaviesTexl-Book. l""*^ partie « Intérêt », .par Ralph Todhunter. p. 57, Londres (Layton) 1901.

91,33$. Si cette dernière somme était replacée et produisait un inlérél, il en résulterait un fond total de 1.000 S comme auparavant. De même, à la fin du deuxième semestre, le titre original

CapiUl

Inléi-iH

Paye me lit s

Alt'aiblisse-

)é3igoation

au

eoininf ncemenl

s'ajoutant à la (In

toUu\ ù la fin

ment >1u capital

Capital restant ù la fin

ire

Demi-année.

vaudra 8io,o2 S, mais il faut y ajouter le capital placé l'année précédente 91,33 S, et aussi le placement de cette année 93,15 S, soit encore un total de 1.000 S, et ainsi de suite pour chaque année.

Alors, si, comme en Angleterre, l'impôt est payé annuellement sur l'intérêt (deuxième colonne), il n'y a pas d'injustice, pourvu que les articles de la quatrième colonne soient effectivement replacés chaque année, et que l'intérêt de ce nouveau placement sous quelque autre forme soit em[)loyé comme revenu. En d'autres termes, chaque nouveau placement n'est pas accumislé à intérêts composés, mais constitue un fonds séparé produisant un intérêt perpétuel qui est converti en un revenu dont on peut jouir aussitôt qu'on l'a touché. Dans ce cas, cette personne touchera, provenant du titre en question et des autres titres créés au moyen des replacements, un revenu net uniforme de 20 S par an, et conservera son capital à 1 .000 S. Par conséquent, l'exemption à la suite « d'allaiblissement du capital » ne donne lieu, en dernière analyse, à aucune injustice, puisque, en définitive, cet affaiblissement n'existe pas.

Mais comme, en pratique, nous ne pouvons jamais savoir dans quelle mesure ces « diminutions » sont effeclivement replacées, la justification de l'impôt sur les sommes qui se trouvent dans la première colonne, au lieu de celles qui se trouvent dans la troisième, ne repose absolument que sur un expédient. Théoriquement, le revenu effectif de cette forme particulière de capital, tel que ce revenu est représenté dans la troisième colonne, devrait être imposé, et, dans la suite, tout ce qui est replacé, sous n'importe quelle autre forme, devrait bénéficier d'une remise d'impôt. Cette méthode, tout en n'étant pas susceptible d'une application si détaillée, pourrait être appliquée avec avantage à l'impôt du revenu d'un individu pris dans son ensemble. Après que l'on a réuni tous les composants individuels — tous les éléments de revenu, grands ou petits, et fous les éléments de dépense y compris les replacements — on aura comme résultat un revenu net potir l'individu qui devrait être imposé et qui seul devrait l'être. Un système qui voudrait arriver à ce résultat, devrait imposer,. pour cet individu, toute diminution nette de son capital, car une telle diminution serait l'indice d'un revenu considérable ; mais, d'un autre côté, si cet individu, au lieu de sortir du capital, en mettait de côté, ce système exempterait l'augmentation, car elle ne ferait pas partie du revenu. Un semblable système introduirait une parfaite justice dans l'impôt sur le revenu. C'est là, en fait, ce que l'on appelle le système de l'impôt sur la « consommation ».

§ l (Chap. XVI, § 6)

Coefficients mathématiques de Probabilité, de Prudence et de Risque.

Désignons par V la valeur sans risque riskless value), par V la valeur malhémalique, par V" la valeur commerciale, par P, le coefficient de probabililé, par C le coefficient de prudence, et par R l'entier coefficient de risque. Nous aurons :

D'où il suit que R = PC.

C'esl-à-dire que retlet total du risque sur la valeur est double : il agit d'abord par pure probabilité, ce qui donne lu valeur mathématique ; et, deuxièmement, par la prudence {caution), ce qui donne la valeur commerciale. En pratique, il est d'ordinaire impossible de séparer P et C. L'objet de celle analyse est moins d'introduire explicitement le facteur de prudence, que d'établir une distinction générale entre R et P, et de faire voir que la valeur de marché réelle des titres n'est pas leur valeur de comptabilité, ou simple valeur « mathématique » ; ou, en d'autres lermes, que R n'est pas la même chose que P.

§ 2 (Chap. XVI, § 7)

Formule looiir la valeur malhémalique de l'obligation avec risques

Désignons par pi la probabilité de recevoir le premier terme, Oi, de revenu dû dans un an, el par p^ la probabilité de recevoir le deuxième terme de revenu, a.,, pourvu que le terme de In première année ait été touché, et encore par pi la probabilité de recevoir ai dans trois ans, pourvu que les deux premiers termes aient été reçus, et ainsi de suile pour p.,.,. pn, où n représente le nombre d'année jusqu'au dernier payement. La chance de recevoir le premier payement esl pi ; d'où il suit que la « valeur mathématique )) du premier payement lorsqu'il est dû est aip^,

dont la valeur présente est . Mais la chance de recevoir le

deuxième payement est évidemment non pas p^, mais p^pi. En elTel, un des premiers principes de la théorie des probabilités, c'est que la chance de deux événements successifs est le produit

de leurs probabilités successives. Ainsi, si la chance àe face,

quand on jette une pièce de monnaip, est .^, la chance d'amener

successivement deux fois face est ô X « ou r, el la chance de

l'amener successivement trois fois est „ x g X 2» ^^ s ®^^" ^'*^^

la valeur mathématique du deuxième payement, a-,, lorsqu'il esl

dù,esta.}ni»),dont la valeur présente est ^ — . De même, la va-

" ' aiPiPi

leur malhématifiue présente du troisième pavement est —.

^ ^ ' a^piPiPi

et ainsi de suite. La somme des expressions ainsi obtenues pour la valeur présente est la valeur présente mathématique totale de la propriété. Si nous désignons cette valeur mathématique par V,„, nous aurons :

Si nous supposons que toutes les probabilités sont égales, nouspounons désigner loutes les probabilités de p simplement par p et simplifier en remplaçant ^ipo par p^ e[ pip-,p.^ par ;>^ etc.

Puisque les probabilités de p représentent la probabilité de recevoir les payements, il est clair que la cbance, ou risque, de ne pas les recevoir est la difTérence entre ce risque et l'unité. Désignons ce risque de défaut par la lettre q. Alors ^ = 1 — /),,etc., et, par conséquent p^ ^=i — ^,, etc. Si tons les risques de q sont' égaux, nous devrons les désigner par q et nous pourrons alorsévidemment exprimer la valeur de la propriété par :

V «i(^ - 9) , «2(1 — qy , a^H—qy , , «.(i -?)"'

- — 1 + j -^ (i ^^ iy ^ (1 + i)'' "^ ••• "^ (l 4- iy "

Dans le cas où le risque de défaut, q, est très faible, il est évi-

dent que la fraction -, -. est approximativement égale à -, ; .

^ 1 +^ ^' '^ tn-i + ç

C'est ce que l'on peut voir en divisant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 1 — q, ce qui nous donnera

l'unité pour le nouveau numérateur, et 1 + / -t- ç H- . — -.

Dans cette expression, le terme fractionnaire devien!. négligeable lorsque q est faible, parce que le dénominateur 1 — q, est approximativement l'unité, tandis que le numérateur, q- -+- iq, s&compose de deux termes chacun desquels est le produit de deux quantités très petites. Ainsi, si q est foô ®' ^ lOÔ' ''* valeur du terme fractionnaire devient approximativement 0,0005, ce qui est une quantité négligeable (si on la compare èi \~-i-^q = = 1 +0,04-1-0,01). D'où il résulte que lorsque y est petit, la formule pour la valeur mathématique devient approximative-ment :

V fl-l (1-2 , «3 , , «"

i-Y-i+q {l+i^qy {\-hi-hqy ' (t + Z-f- ?)"''

En d'autres termes, lorsque le risque de défaut est faible, soneffet est substantiellement le même que celui qui résulte d'unie hausse du taux d'intérêt. Si le taux de l'intérêt, lorsque le risqpe est absent, est de 4 Vo' "" risque de 1 " (, ne fera donc qu'auge

menler l<i « base » sur laquelle le prèl p^ul être consenti jusqu'à environ 5 " q. Ain-^i, ?i nous revenons à l'obligation de dix ans dite 5 Vo' ^^ s' "ous supposons que la probabilité de cha-

que payement successif est de ,qç,, et que le risque de défaut q,

est T7TK, la valeur mathématique présente de l'obligation, si l'intérêt est à 4 "/o, sera approximativement :

„ Qi a-i a-i

^'" — i +i + ^ ^ (1 + i + qY "^ (l -\- i^qy ^

Autrement dit, la valeur présente est approxiiTialivement la même que la valeur présente d'une obligation 5 " „ sur une base de 5 •'/,), ce qui est, bien entendu, égal au pair, ou 100.

Mais, si le risque est grand, la formule approximative que nous avons donnce ne pourra plus être appliquée. Ainsi, si le risque de défaut est de t^, ou, en d'autres termes, si la chance

de payement n'est que de t?., la formule, pour la valeur mathématique de la propriété, devient :

etc.

Dans ce cas, il est évident que tous les termes qui viennent après le pre-nier sont négligeables si on les compare avec le premier (à moins que les articles successifs a,, 03, etc., n'augmentent avec assez de rapidité pour compenser les fractions décroissantes ÎOÔ' rôOO' ^^^O- Dans le cas où il s'agit d'une obligation de 100 $ à 5 ° ,, pour dix ans, dans laquelle le risque de défaut est à n'importe quel moment de rn, la valeur approximative de l'obligation, valeur que l'on obtient en omettant tous les termes après

ie premier, serait . ,., , ou approximativement 50 cents. Cette 1 ,04

« valeur mathématique » pourrait être encore plus réduite par un coefficient de prudence. En d'autres termes, l'obligation n'a

AU CHAPITRE XVI 4d7

ai'cune valeur. Lorsqu'il s'agit d'un risque aussi élevé, nous ne pouvons donc pas appliquer la règle très simple qui consiste à ajouter au taux d'intérêt le taux de risque pour obtenir la « valeur mathémalique » ; et la « valeur commerciale » sérail, cela va sans dire, encore au-dessous de la c valeur mathémalique ». Autrement dit, il est pratiquement impossible de compenser un placement hasardeux en augmentant le taux d'intérêt comjne si ce laux constituait une prime d'assurance. Dans la pratique ordinaire, une telle «obligation » serait absolument sans valeur; car, étant donné que les calculs ci-dessus sont corrects en ce qu'ils indiquent une chance de pavement sur dix, cette chance en pratique, serait zéro. Non seulement un grand risque rend onéreuses les conditions du prêt, mais encore ces conditions onéreuses augmentent l'incertitude du paj'emenl et on se trouve ainsi dans un cercle vicieux. Un prêteur qui s'imagine de pouvoir compenser un risque allant jusqu'à tt. en ne prêtant que 50 cetiis au lieu de 100 $ pour un capital remboursable de 100 $, s'apercevra que, au lieu de compenser ce risque, il n'a fait que l'accroître.

Dans les calculs qui précèdent, nous avons admis qu'un défaut dans un payement entraînait à sa suite un défaut dans tous les payements subséquents. Cependant, il nous est facile d'étendre notre formule au cas général eu désigr.ant les < hances de payement dans les années successives, (ju'elles soient interdépendantes ou non, par pi pour la première année, par p., pour la deuxième (au lieu de désigner celle-ci par p,/?..> comme auparavant), par p:j pour la troisième, etc., et en modifiant en conséquence l'équation qui est au l)as de la page 454.

§3 (Chah. XV[, § 10)

Variabilité relative à une moyenne, si on la mesure par la « Déviation Jiormale »

Pour une analyse plus détaillée du rapport de chance, il est préférable de mesurer la variabililéen se référant à une moi/enne. C'est ainsi que, dans l'exemple cité, où les dividendes sont successivement 5»;, 5«'o, 6»/o, 5 "0,5 V„, 4 «/o, 5^o^ 70/0, ^ " 0' ^ " 0' ^ '*/o) 5 °/o' ^u '*6" ^^- mesurer la variabilité des dividendes en se référant à 5 "g, nous devrions la mesurer en nous référant au taux 7noyen qui est 4,9 ° '„. Les déviations de cette moyenne durant les douze années successives, étaient donc : + 0,1 +0,14-1,1+0/1+0,1 — 0,9-4-0,1 + 2,1 +0,1 — 1,9 — 0.9+0,1.

Une mesure simple de l'étendue de la variabilité qui se manifeste dans une telle série de déviations de la moyenne est ce que l'on appelle la « déviation normale » [Standard déviation). C'est une sorte de moyenne des déviations — non pas la moyenne arithmétique ordinaire, mais la moyenne que l'on obtient en prenant la moyenne arilhnjétique des carrés des déviations et en extrayant la racine carrée. La déviation normale qui représente les douze déviations particulières sus-énoncées sont donc :

(.1)^+(-.9)-^+(— ■9)^+(.l)^ ce qui donne 0,95.

Celte « déviation normale » est employée au lieu des autres moyennes pour plusieurs raisons. La moyenne arithmétique des déviations par rapport à la moyenne est tout à fait inutilisable, parce que, à moins que cette moyenne ne soit calculée en négligeant tous les signes négatifs (auquel cas le résultat n'est qu'un pis-aller logique), elle est égale à zéro; la déviation normale se-

calcule très rapidement, non pas en efîectuanl les opérations indiquées ci-dessus, mais en ayant recours à un théorème d'après lequel la moyenne des carrés des déviations par rapport à la moyenne est égale à la moyenne des carrés des déviations relatives à n'importe quelle autre grandeur, moins le carré de la différence entre la moyenne et celte autre grandeur. La démonstration de ce théorème est très simple et se trouve dans les ouvrages qui traitent des probabilités. Ap{)liquaiit ce théorème au cas que nous venons d'expliquer, nous prendrons d'abord les déviations non relativement à la moyenne, mais relativement à quelque autre grandeur, par exemple, o " „. Ces déviations sont : 0, 0, l 0 0 — 1, 0, 2, 0, — 2, — 1, 0. Les carrés de ces déviations sont : 0, 0, 1, 0, 0, i, 0, 4, 0,4, 1, 0, dont la moyenne arithmétique est rg ou 0,902. Ce nombre e?t la moyenne des carrés des déviations par rapport à la grandeur 5. De celte moyenne, il nous faut déduire le carré de la différence entre la moyenne 4,9 et l'autre grandeur 5, j)ar rapport à laquelle les déviations furent mesurées. La dilTérence est 0,1, son carré est 0,01. Déduisant ce carré de 0,902, nous avons 0,892 comme moyenne des carrés des déviations par rapport à la moyenne. La racine carrée de ce nombre est 0,95 qui est donc la déviation normale cherchée. Calculée d'après cette méthode, la déviation normale peut ordinairement être obtenue en moins de temps qu il faudrait pour l'obtenir par la méthode directe.

La « déviation normale » joue un rùle important dans l'examen de toutes les statistiques qui impliquent une variation par rapporta un homme. Un de ses emplois les plus simples, c'est de transformer une déviation donnée quelconque en une déviation relative à la déviation normale (ou à une portion fixe de cette déviation). C'est ce que l'on fait habituellement en divisant la déviation absolue par la déviation normale. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, où la déviation normale est 0,95 " „, une déviation absolue d'une moyeruie de, par exemple, 2 "y. est une déviation relative de 2 — 0,95, soit environ 2,1.

Une telle transition do la déviation absolue à la déviation relative introduit dans les différentes distributions ou courbes de

probabilité un élément commun, de sorte que l'on peut rendre les tables de probabilité applicables à tous les cas. Dans un cas, les déviations peuvent indiquer quelques pouces de pluie tombée, dans un autre, quelques millimètres de pression barométrique, dans nn autre encore, le pourcentage annu?l des dividendes •comme dans le cas ci-dessus. Ces diverses grandeurs sont incommensurables. Mais si chacune d'elles est comparée avec la déviation normale applicable à ce cas particulier, et qui peut, par suite, se mesurer respectivement en pouces, en millimètres ou en pourcentages annuels, nous obtiendrons trois rapports, qui sont simplement des nombres indiquant l'étendue de la déviation par rapport à la déviation normale.

Si nous consultons maintenant une table de probabilité, nous pouvons trouver immédiatement la probabilité de n'importe -(|uelle déviation relative. En efîet, la chance que, dans le cas dont s'agit, les dividendes s'écarteront, dans une année future donnée, de 2 " „ du taux moyen de 4,9 ^ „, est, d'après les tables de t sur 20 ; car nous avons vu que la déviation mesurée relativement est le nombre 2,1 et, dans les tables (1), la probabilité

<jui correspond à cette déviation est^. Ce rapport exprime la

-chance que la déviation ne sortira pas des limites de 2 ** q, c'està-dire que les dividendes seront entre 2,9 ° \ et 6,9 " „.

Plus sera étendue la sphère de la déviation que l'on a en vue, et moins il y aura de chance pour que, dans une année quel- •eonque, les dividendes se trouvent en dehors des limites de cette sphère. De plus, la chance décroit beaucoup plus vite que ne croit cette sphère. Ce rapport qui résulte de la théorie de la probabilité, a des conséquences très importanles dans la théorie de la distribution. Il suit de là comme corollaire que plus un individu est riche et n>oins il court de risque en assumant des

(i) Ainsi à la p. 55 des Statistical Melhods de Davenport, New-York,

Wiley, 1899, nous trouvons, pour une déviation relative de 2,1, le nombre

0,4822 lorsque la chance de déviatioD ne prend (\\x'une direction. D'où il

résulte que la chance de déviation dans Vune ou dans Vautre direction

est double, ou 0,9644, environ ^.

risques. Etant en possession d'un capital, il a une plus vaste sphère dans laquelle il peut opérer en toute sécurité, et, par conséquent, il a une plus grande probabilité do rester dans les limites do cette sécurité que ses compétiteurs moins fortunés. Le professeur Norton a aussi soutenu que l'avantage est encore aug- I' mente par la tendance au monopole. « Le résultat est un cercle curieux, une association constante au sommet afin de faire baisser le prix commercial du risque, et le monojjole du champ supérieur d'action, monopole qui donne des profils monstrueux, d'où résulte encore un plus grand accroissement du pouvoir financier des entrepreneurs de risque (1). »

Une application importanle de ces diverses méthodes, c'est celle qui est relative au calcul de la chance qu'ont les bénéfices de descendre au-dessous du quanluvi nécessaire pour payer les intérêts des obligations. Celte chance est obtenue au moyen des tables de probabilité. C'est la probabilité qui correspond à la déviation relative obtenue en divisant la différence entre les bénéfices moyens attendus et l'intérêt par les deux tiers de la déviation normale. C'est de cette façon et d'autres encore que les hommes d'afîaires pourraient, comme l'a montré le professeur Norton, faire un meilleur usage qu'ils ne font de leur expérience passée. Se contenter de jeter simplement un coup d'œil sur les bénéfices passés et en recueillir l'impression, ce n'est pas là une méthode véritablement scientifique d'utiliser les faits que nous révèlent ces bénéfices. En faire la moyenne, n'a pas beaucoup plus de valeur. Cependant, s'il est important de connaître la moyenne, il est lout aussi important de connaître les différences autour de cetle moyenne. Ces différences nous sont indiquées par la déviation normale. I^e meilleur procédé à adopter, ce serait donc, semble-t-il, de calculer d'abord la moyenne de l'expérience passée en ce qui regarde les bénéfices ; deuxièmement, de calculer la déviation normale par rapport à cetle moyenne ; troisièmement, de calculer les chances de fiuctuations qui se révèlent

(1) Extrait d'une lettre à l'auteur. Cpr. aussi Theory of Loan Crédit, du professeur Norton [Publications of the American Economie Association, 1904, p. 51).

ainsi (par exemple, 1t chance que les bénéfices tombent au-dessous de la ligne de payement des intérêts) ; el, quatrièmement, de corriger les résultais ainsi obtenus en tenant compte du degré de certitude que l'on a que l'avenir ne marchera pas sur les traces du passé La dernière de ces quatre opérations n'exige qu'une certaine approximation. Mais, actuellement, toutes, sauf la première, et encore quelquefois la première elle-même, sont abandonnées à la pure impression.

11 fut un temps où les hommes d'afTaires ne faisaient pas usage des tables d'obligations, un temps où ils ne calculaient pas les étals de frais [cost sheels), et où, même en matière d'assurance sur la vie, ils n'avaient que du dédain pour les tables de mortalité. De ménie que ces méthodes par trop insouciantes ont fait place au travail de comptables et de teneur de livres compétents^ de même la pure conjecture en ce qui concerne les conditiuns du revenu futur devraient être remplacées par l'usage des applications modernes du calcul des probabilités (1).

§ 4 (Cil A p. XVI, .i< 20)

Méthode pour calculer une Prime uniforme d'assurajice sur la vie

La principale particularité de l'assurance sur la vie, c'est que tes primes de cbaque année, dans les compagnies d'assurance bien organisées, sont calculées non sur la base de la chance de mort pour l'année de la prime, comme lorsqu'il s'agit d'une assu-

fiy Cpr. The Put and Call, par L.-R. tliggins, Londres, 1902, p. G5, 0)6, Pour certaines indications sur ce point, cpr. i<]dgeworth, Mathematieal Theory of Banking {Jour. Roy. Statis. Soc), mars 1888; pour un exposé de la méthode statistique moderne, cpr. Cari Pearson, Grammar of Science, et son journal Bionietrica ; pour une ap{)lication de cette méthode aux problèmes financiers et industriels, cpr. J. P.-N. Norton, Statistical Studies tn the New-York Money Market, New-Haven iTuttle. Morehouse et Taylor), 1903.

rance contre l'incendie, mais sont calculées comme « primes uniformes » (level premhcms) dépassant celle chance pendant les premières années de la police et restant au-dessous pendant les dernières années. La sagesse d'une semblable disposition se juslitie très bien par l'altrail exercé par le fait que tous les « risques » restent assurés, tandis que si l'on n'exigeait que la prime « naturelle », comme celle prime augmente avec l'âge, il y a tendance pour les plus grands risques à se retirer, opérant par là même une sélection défavorable aux compagnies. Une conséquence qu'entraîne une prime c uniforme », c'est que la police acquiert une valeur mathématique croissante avec le temps,. de sorte que le détenteur de la police, après quelques années, possède quelquefois une propriété d'une très grande valeur, qu'il peut, s'il le désire, vendre ou utiliser comme garantie collatérale pour des emprunts, etc. La valeur d'une semblable police, calculée sur la base mathématique, est, bien entendu, la valeur de la chance de toucher le montant de l'assurance, moins la valeur présente du risque de payer les primes. Ainsi, pour un homme âgé de .30 ans, qui s'dssura dix auparavant, le risque de mort à l'âge de .35 ans sera d'environ or^m), ou 0,86 ' „, puisque sur 8i.720 personnes en vie à l'âge de 30 ans, environ 732 meurent avant leur trentesixiètne année. D"où la valeur présente de la chance de toucher son assurance de 1.000 $ dans cette année particulière est de

1.000(0,0086) .... j ,, , , , „• .' M / . A / ■ ' OU /,07 5, en admettant (lue le taux d mleret

soit 4 o/o- •

Xuus pourrons de la même manière déterminer la valeur présente de la chance similaire pour toute autre année de vie possible, et le total de ces valeurs présentes sera la valeur présente totale de la chance de toucher l'assurance, 287,66 $. De cette somme, il convient de déduire la valeur présente du risque de payer les primes. Ainsi, la chance de payer la prime dans Tannée ci-dessus choisie, lorsque cette personne sera âgée de 35 ans, sera la chance qu'elle a d'être en vie à cet âge, c'est-à-dire 0,958. Celte somme multipliée par sa prime et escomptée nous donnera la valeur présente de ce payement possible de la prime; celle va-

leur ajoutée aux sommes analogues pour chacune des autres années, nous donnera la valeur présente de son obligation de payer les primes, 222,86 S ; celte somme, à son tour soustraite de la valeur présente de l'assurance future, telle qu'elle vient d'être obtenue, à savoir de 287,66 S, nous donnera la valeur mathématique présente de sa propriété, soit 64,80 $. C'est ce que l'on appelle la valeur de son assurance, ou la « réserve » de sa police.

• La véritable « valeur commerciale » ou la valeur qu'il consentira à payer sera un peu plus élevée. Car, dans ce cas, le coefficient de prudence agit dans le sens d'une augmentation et non dans le sens d'une diminution, la valeur de la propriété, tend comme assurance, non à créer un risque, mais à le réduire.

Le calcul des valeurs malhéiuatiques de l'assurance sur la vie a été élaboré avec le plus grand soin. Le lecteur qui s'y intéresse trouvera les explications les plus complètes dans le Inslitute of Actuaires' Text-Book, 2 vol., Londres (Layton), 1901.

Préface.

^ 1 . — Définition de la richesse 5

^ 2. — Classification de la richesse 7

§ 3 . — Mensuration de la richesse 11

§ 4 . — Prix de la richesse -. 13

J 5. — Prix de marché ; prix de demande ; prix de prisée . 15

I 6 . — Valeur de la richesse 17

§ 7. — Comparaison entre la quantité, le prix et la valeur. 18 § 8. — Exactitude dans la mesure de la quantité, du prix

et de la valeur 20

§ 1 . — Définition de la propriété 24

§ 2. — Définition des services 25

§ 3. — Définition des droits 27

§ 4 . — Corrélation entre la richesse et le droit de propriété. 29

§ 5. — Tableau montrant cette corrélation 31

§ 6. — Moyen de trouver la richesse qui se cache sous les

droits de propriété 31

§ 7. — Deuxième moyen : Droit de propriété recouvert

par un autre droit de propriété 39

FrsHER 30