OC

(Chap. XIII, § 5)

Formule pour la valeur-capital dhine anmcilé temporaire

Supposons que a représente le payement annuel de l'annuité, t, sa durée ou terme, et V sa valeur présente. On nous demande de trouver V en termes de a, t et i, taux de l'intérêt. Nous avons fait remarquer qu'un homme qui possède une telle annuité temporaire possède la différence enire une annuité perpétuelle commençant à présent et une autre annuité perpétuelle différée t année. Par conséquent, la valeur de sa propriété est la différence entre les deux valeurs de ces deux annuités; c'est-à-dire qu'elle estégaleàla valeur d'une annuité perpétuelle commençant maintenant, moins la valeur présente d'une annuité perpétuelle commençant dans t années d'ici. L'annuité différée qui commence à la fin de t années vaudra alors, comme nous le savons, la somme

de -, et elle vaut ?naintena?ît la valeur présente de cet ^ quelle qu'elle soit. Bien entendu, on trouve cette valeur présente simplement en escomptant le - que l'on vient d'obtenir, et elle est

-. Celte expression doit être retranchée de la valeur de

l'autre annuité perpétuelle qui commence maintenant, annuité dont la valeur présente est-. Cette soustraction donne la for-

mule - J-. rr, .

(Chap. XIII, § 5)

Discussio7i des formules 'pour les annuités temporaires au moyen de diagrammes. « Escompte total ». « Intérêt total ». Dépréciât io?i

Dans la ligure 39, supposons que AB représente le lerme t de l'annuité; AD, la valeur d'une annuité perpétuelle commençant au moment précis A, et BE la valeur égale, prise à la fin du lerme, d'une annuité différée perpétuelle commençant à ce moment. Or, la valeur présente au moment A delà valeur BE au moment B est évidemment AC, que l'on trouve en menant la courbe d'escomp'e CE. Par conséquent, la valeur de l'annuité temporaire est égale à AD — AC, ou DC, qui est l'escompte total sur BE, c'esl-à-dire le moulant dont elle se trouve, comme dit Buhm-Ba\verl{, « diminuée dans la perspective de temps. »

De même, la valeur-capital de l'annuité, considérée à un moment ultérieur A' (immédiatement après un payement de reveau)

es4 égale à la plus pelile siotnine Gll. La valeur-capital décroît donc graduellement selon la distance qui sépare la courbe CE de la ligne DE.

Dans celte représentation, la courbe d'escompte était menée par E. Si une autre courbe était menée par D, on pourrait démontrer que EF est le <> montant » d'une annuité temporaire, ou sa valeur au moment où elle finit, si nous supposons que chaque article individuel est placé à intérêt à partir de sa date jusqu'au moment B. Ce a montant » EF est appelé !'« intérêt iolal » de ce capital durant cet intervalle.

De la même façon, à n'importe quel moment intermédiaire, immédiatement après un payement, Gl représentera la valeur de

l'annuité concLMitrée à ce point, et celle valeur se composera de deux parties, HG, qui est la valeur (escomptée) de la |)artie qui suit K et Hl.qui e.>t la valeur accumulée de la parlie qui précède K.

Le décroissement de la valeur-capital de l'annuité, décroissement qui a été représenté par l'approche de CE de la ligne horizontale DE qui se trouve au-dessus de CE, se trouve cependant mieux représentée, en faisant prendre à CE la position KB, afin que la valeur-capital puisse être représentée, comme dans les exemples précédents, par la distance de la ligne horizontale AB placée au-dessous d'elle. Ce changement est accompli dans la figure 40.

La valeur de l'annuité considérée après chaque payement de revenu est représentée par l'ordonnée, comme wA', de la courbe KB, et la valeur immédiatement avant un payement, est représentée par l'ordonnée, comme /lA" d'un point au-dessus de cette

courbe à une dislance égaie à ce payement. La valeur aux points inlermédiaires suit évidenrirncnt une courbe d'esconnpte, comme mn, enlre ces deux points. Le résultat c'est que la valeur-capital s'élèvera et baissera en suivant les degrés, ou dénis, indiqué dans le diagramme.

Lorsque les articles de revenu deviennent plus nombreux, les dénis deviennent plus fréquentes et plus petites, et elles dispa- ^ai^sent lorsque l'afflux de revenu est coi;linu, comme le montre la figure 41, où la courbe KB représenle la valeur-capital à tous les points du temps.

La formule pour la valeur présen le ( V) de lannuilé immédiatement après chaque payement de revenu est la même, quels que soient les intervalles entre les payements. Cela est rigoureusement vrai, (pioique, cependant, à condition que le taux d^inlérêt i soit entendu comme se calculant conformément à la fréquence des |)ayemenls de revenu dans chaque cas — semi-annuellement, trimestriellement, etc. — au lieu d'être calculé annuellement, comme il a été entendu jusqu'ici.

La formule pour la valeur-capital, V, immédiatement avant un payement de revenu se trouve évidemment en prenant la formule précédente pour V et en ajoutant a Ce qui donne

Aux points intermédiaires, la valeur-capital est égale à la quantité que nous venons de nommer, escomptée pour l'intervalle couru entre le point de temps considéré au prochain payement de revenu.

(Chap. XIII, § 7)

Formules pour la valeur d'une obligation

Pour nous placer au point de vue général, supposons une obligalion dont le revenu est de a dollars par an, payable annuellement pendant t années, au bout desquelles, en outre du payement final a, un autre payement plus important P, appelé (( principal » est effectué. On nous demande de trouver la valeur présente, V, de ces payements attendus dans l'avenir pour un taux donné d'intérêt i.

La valeur escomptée de l'annuité temporaire a déjà été exprimée, savoir :

i (l + O'* La valeur escomptée de P différée t année a aussi été expliquée

et elle est évidemment :

(1 + iY

La somme de ces expressions nous donne la valeur de V que nous cherchons. En d'autres termes :

ou

i (1 -i- iy

On peut examiner quelques cas spéciaux. D'abord, si le revenu annuel a est l'intérêt du « principal » P — c'est-à-dire si a = Pf

(ou P = -j — le second terme disparaît, puisque son nomina-

teur est évidemment zéro et puisque le premier terme, -, est par hypothèse P, l'équation devient alors V ^ P.

Deuxièmement, si a est plus grand que zP, il est facile de démontrer que V sera plus grand que P ; el si a esl plus petit que zP, V sera plus petit que P.

La formule que nous avons donnée a une grande importance pratique, puisqu'elle nous permet de supputer le prix auquel une obligation doit se vendre afin de fournir un cerliiin taux d'intérêt.

Pour faire une application numérique de celte formule, il nous suffit d'assigner des valeurs particulières aux grandeurs qui s'y trouvent. Prenons l'exemple numériquedéjà examinéoù P= 100 S, a = 7) %, i = 0,04, et t = 10. Dans ce cas, la formule devient

ce qui se ramène à 108, comme nous l'avons vu auparavant.

De même, on peut démontrer que si les obligations sont vendues sur la base de 6 "/q, le prix de l'obligation en question sera de 92 2 S.

Nous avons évalué une obligation, V, immédiatement après un payement d'« intérêt ». Dans ce cas, les courtiers de bourse [brokers) disent qu'elle est vendue « ex-coupon » {ex-intevest). Si, au contraire, elle est vendue avec coupon {fiai), c'est-à-dire avec l'intérêt, sa valeur sera évidemment augmentée de « l'intérêt » a, et elle sera N -^ a. Son prix à un moment quelconque entre les

payements sera j-. r^, . où V représente la valeur qu'aura l'obligation après le prochain payement d'intérêt, et i' le temps qui s'écoulera jusqu'à ce payement. Ou encore, ce prix sera V (1 -h t)'% où V représente la valeur après le dernier payement d'intérêt, et t" , le temps qui s'est écoulé depuis ce payement. En pratique, cette dernière formule se ramène à V ~- \il\ formule qui, à son tour, est la même que V + al" ; car a et \i sont égaux en fait, chacun d'eux étant à peu près l'intérêt vrai pour une |)ériode de payement. Telle est la formule habituellement employée par les courtiers, al' étant désigné sous le nom d'« intérêt gagné » depuis le dernier coupon.

§ 9 ;Chap. XIII, § 7)

Méthode alternative an moyeii de laquelle la <.<■ Prime » est déterminée séparément dans le prix de l'ohligalio7i

L'obligation dite 5 "/q remboursable dans dix ans, et vendue sur la base de 4 "/o» peut êlre considérée coiunae se composant des deux droits de propriété suivants : 1) le droit à 4 $ par an pendant dix ans et 100 S à l'échéance, et 2) le droit à un dollar par an pendant dix ans. Il est évident que la valeur présente de la première propriété est 100 $ auxquels, par conséquent, il nous sufQt d'ajouter la valeur de la deuxième propriété, c'est-à-dire

, l'annuité de 1 $ par an pendant 10 ans.

C'est donc la valeur B' présente de cette petite annuité, qui consiste, pouvons-nous dire, en la différence entre l'intérêt réel et l'intérêt nominal de 100 $, qui constitue la « prime » sur le prix de l'obligation.

Cette valeur présente est de 8 $, et il se trouve, comme cela a déjà été expliqué au sujet des annuités temporaires, qu'elle est l'escompte total sur 25 $ à la fin des dix ans, 25 $ étant la valeur-capital d'une annuité perpétuelle de 1 $ par an lorsque Tintérêt est calculé à 4 "/q. Par conséquent, l'obligation vaut en tout 108 $. Cette valeur est représentée graphiquement dans la figure 42.

Supposons que AA' représente la période de dix ans, avec les

Fis:. 42

payements d'intérêt de 3 S indiqués par les dix lignes verticales qui se trouvent à une unité d'intervalle. A'B' représente les 100 $ de « principal » dus en 10 ans, et AB représente ce que vaudrait l'obligation (100 S) si les payements d'intérêt étaient de 4 S au lieu de 5 $. A cette valeur il faut donc ajouter la valeur présente de 1 $ par an pendant 10 ans. Cette valeur est l'escompte total sur B'C (menée égale à 23 S), capitalisation d'une annuité perpétuelle de l S par an. L'escompte total sur ces 23 S est indiqué par la ligne BD, qui est, par consétjuent, la prime dans le prix de vente de l'obligation. Le prix total est AB h- BD = AD. Le prix à des dates ultérieures (chacune d'elles prise avant une échéance de payement) est représentée par des points sur la courbe d'escompte DB' menée, par rapport à CC, comme axe horizontal. Si l'on ajoute à chacun de ces points de payement une ligne égale à 3 S, on aura la valeur immédiatement avant 1rs payements d'intérôl, et en reliant les sommets de ces lignes avec les intervalles d'intérêt i)récédenls par des courbes d'escompte calculé à 4 "/q, on aura une série de dents représentanis le cours normal du prix de l'obligation du ntoment présent jusqu'à l'échéance.

Dans le cas où une obligation est vendue sur la base de 6 Yo»nous avons la courbe IVD' au lieu de BD, avec les dents superposées comme auparavant, sauf cependant que les courbes dentées ont, dans ce cas, une pente de 6 '^/q.

(C.HAP. XllI, § 7)

Formule pour une obligation lorsque l'ititérét est calculé plus qxi annitellemeyit

La formule dans le cas de revenu semi-annuel lorsque l'intérêt est calculé semi-annuellement est évidemment :

qui s'applique immédiateinent après un payement d'inlérét ; immédialement avant, elle eïl évidemment V -h ^; et à des intervalles intermédiaires, elle est cette valeur escomptée, ou, dans la pratique, la simple formule V 4- al' , où V est la valeur considérée après le dernier |)ayement d'intérêt, et t le temps qui s'écoulera jusqu'à cette date. Dans le cas où l'intérêt est continu, si nous supposons, comme dans le chapitre précédent, que o représente l'intérêt continu, nous aurons :

formule qui demeure invariable durant toute la périoile de l'uldigalion.

Ces diverses formules peuvent, bien entendu, être quelque peu transformées et simpliQées en pratique. De plus, elles peuvent toutes être transformées en ternies des divers taux d'intérêt. Certains comj)tab'es, semble-l-il, préfèrent n^employer comme taux d'intérêt, que le taux « effectif » i, qui est ce que nous appelons « le taux d'intérêt calculé annuellement. » Les formules précédentes, dans lesquelles on emploie les taux d'intérêt semi annuels, trimestriels et autres, peuvent être transformées en substituant leurs valeurs en termes de i, conformément aux rapporls indiqués dans l'Appendice au cliii|iitre XII, ïj 2.

§ H (Chap. XIII, i; 8)

formule pour la valeur-capital d'une série quelconque de payements de revenu

Nous pouvons exprimer comme il suit, on formules générales, la valeur-capital d'un courant quelconque de revenu. Supposons que ai, a^, «3, représentent les payements succe^si'"» de revenu se

produisant à diverses époques séparées du moment présent par les intervalles /i, t.,, ^J, elc. qui peuvent ùlre égaux ou inégaux, entiers ou fractionnaires, ou même positifs ou négatifs selon que le revenu est dans l'avenir ou dans le passé. Supposons que i représente le taux d'intérêt. La valeur présente d'un tel courant de revenu sera :

V = — ' ■ H ^-—r -^ —r + etc.

(l + 0'' (1 + if^ [\ + if-^

Ou, en une formule plus brève :

où X est pris dans son sens usuel de sommation des séries de termes du type de celui qui le suit.

§ 12 (CirAp. Xlil, § 8)

Dinf/rmnvie et formule pour dégager la valeur- cap i lai d'un courant de revenu continu

Pour un courant de revenu fjuelcon(|ue affluant d'une manière continue, et représenté dans la ligure 43 par la surface au-dessous de MN, la valeur-capital sera représentée par la couihe NO, L'ordonnée du courant de revenu à un point quelconque, telle que RS, représente le taux de son afflux à ce point; et une surface, telle que RSS"R'', représente son afflux toUil pendant la période RK'. Les ordonnées de la courbe NO représenteront la valeur-capital de ce courant de revenu. NO est tracé à partir deN en rétrogradant comme il suit : la courbe commence à \ sur le courant de revenu et elle est engendrée par un pdint qui se meut de telle sorte qu'à une position quelconque 0 la directiun de son mouvement est la résultante de deux tendances. Pour représenter ces deux tendances, nous menons par 0 la courbe d'escompte OP.

Nous menons OH tangente à cette courbe de façon à rencontrer la ligne QH menée verticalement et éloignée à gauche d'une unité de OK. 011 représente une des deux tendances ivienlionnées, celle qui est due à l'escompte de l'avenir. OK menée verlicalomont en s'élevanl à partir de RS et égale à celle dernière, taux du revenu à ce moment, représente l'autre tendance. La résultante, OQ, menée conformément au principe du parallélogramme des forces, représentera la direction réelle selon laquelle la courbe sera en mouvement au point 0. En d'autres termes, un point se mouvant sous l'influence de deux forces, OK et OH, engendrera la courbe demandée NO.

Afin de démontrer que c'est là une représentation exacte, prenons d'abord le cas du revenu ?emi-annuel.

RR' représente une année, Rr représente une demi-année. Menons l'ordonnée rh.

De h menons verticalement de bas en haut hq pour représenter un payement de revenu d'une demi-année, c'est-à-dire de la moitié de Rs. Pour éviter de compliquer la figure, nous omettons hq\ si nous menions cette ligne, le point q se trouverait sur la ligne 00'. Alors, selon notre p;écédenle représentation, la valeur-capital suivra la courbe Ohq qui forme une « dent ». La ligne O7 est donc une ligne menée par les sommets de deux dents voisines. Sa direction est une première approximation à la direction OQ de la courbe tracée pour le cis do revenu continu. Celt^ direction Oq est la diagonale d'un parallélogramme formé en prolongeant Oh jusqu'à la rencontre de l'ordonnée qui va de R" à H', prolongeant OQ jusqu'à Q' et complélaiit le parallélogramme.

Puisf|ue H'Q' est deux fois plus éloignée de 0 qu.? liq (c'est-àdire que RR" = 2(rR) par hypothèse), il en résulte, à la sui!e de

Ja siinililude des Iriangles, (0^*7 et OH'Q') que celle ligne est aussi deux fois plus longue. Mais hq représente un payemenl d'une demi-année de revenu. U'où II Q représenle deux de ces payements, ou lelaux annuel de revenu. C'est pourquoi OK ayanl la même longueur représenle aussi ce taux annuel de revenu.

En d'autres lermes, la direction de 0 à 5- se Irouve le long d'un parallélogramme dont le côlé OK représente le taux annuel de revenu el le coté OH' une corde de la courbe d'escompte OP.

Or il est évident que si, au lieu d'un payement semi-annuel, nous supposons des payements plus fréquents, la représentation sera la même, si ce n'est que le point h sera plus près de 0. En procédant de celte manière, la corde Oh\{' se rapproche de la tangente 011 comme de sa limite, el le parallélogramme OH'Q'K devient à la limite le parallélogramme OHQIv tel qu'il a été pri-j' mitivemenl décrit. C'est-à-dire que ses côtés sont OK, le taux annuel de revenu, el OH, la tangente à la courbe d'escompte décrite de 0 jusqu'à une ligne verticale située une année à gauche.

Il est évident que celle théorie et sa démonstration ofîrenl une grande analogie avec la théorie et la démonstration qui s'appliquent à l.i composition des forces ou mouvements. Profitant nousmêmes de celte analogie, nous pouvons dire que dans le cas où il s'agitde revenu discontinu, le point 0 décrit la courbe de capital (en sens rétrograde) en obéissant alterna ti veulent à deux tendances — l'une, ])oiir suivre Ja courbe descompte à des moments où il n'existe pas de revenu, el l'autre, pour s'élever verticalement toutes les fois que l'on est en présence d'un revenu. Dans le cas de revenu continu, ces mouvements se produisent simultanément

FlSIlEU 88

Fijr. 44

au lieu de se produire alternativement et la résultante est une courbe unie au lieu d'être une série de dents.

Les mêmes principes s'appliquent lorsqu'une partie de la courbe de revenu est au-dessous de l'axe horizontal, représentant du revenu négatif. Si au commencement le coût en perspective contrebalance le revenu en perspective, la valeur-capital, à ce moment sera zéro, et elle s'élèvera à partir de ce point pour, à la fin, tomber de nouveau à zéro, comme l'indique la figure 44.

Dans le cas où il s'agit d'un courant de revenu continu, la formule de la valeur-capital sera :

/da

Fig. 45

dans laquelle da peut être considérée comme représentant le revenu infinitésimal qui affiue pendant la quantité dilTérentielle infinitésimale de temps dt. En d^'autres termes da représente un élément infinitésimal de la surface ABC (fig. 45), élément dont la

base ou la largeur représente le temps infinitésimal dt. En vue de l'intégration, nous pouvons remplacer da par l'expression f(J) dt, où fit) représente CB, c'est-à-dire l'ordonnée du courant de revenu prise comme fonction du temps t. Si la forme spéciale de la fonction f{t) est connue, il est évident qu'il est possible d'intégrer l'expression et d'obtenir sa valeur pour n'importe quelles limites données.

§ 13 (Chap. Xlll, § 8)

Diagramme montrant le « mo7ita7it » accumulé d'un courant de revenu donné

Nous reproduisons dans la figure 46 le diagramme par lequel nous commençâmes l'étude du cas général où le revenu se capi-

talise. Nous voulons maintenant obtenir la valeur accumulée \"'Q, à Id fin de la période OA ", des articles de revenu AB, A'B', A"B" et A"'B'". Cette valeur consiste en : 1) A'"B'" lui-même ; 2) B"'E, qui est le montant de C'"ï)" (ou de son égal A"B"), et que l'on trouve en continuant la courbe d'escompte CD jusqu'à E ; 3) EF, qui, de la même manière est le montant de CD' (ou de son égal A'B'); et 4) FQ, qui est le montant de CD (ou de son égal AB). Donc, tandis que OP représente le prix du ^ courants'ileslpayé d'avance, A"'(J représente le prix s'il est payé à la fin. On peut démontrer, par un raisonnement semblable que le prix à n'importe quel point intermédiaire de la série entière est la hauteur de ce point au-dessus de la courbe unie