ÉTAT PERMANENT

Les recherches les plus importantes sur la propagation de l’électricité dans les conducteurs médiocres sont dues à M. Gaugain (1). Ce physicien employait comme conducteurs des fils de coton, des rubans de soie, des colonnes d’huile. Les lois de la propagation dans les conducteurs médiocres étaient importantes à déterminer, car elles permettaient de vérifier les lois de Ohm dans le cas où l’on tient compte de la perte de l’électricité par l’air, vérification qui ne pourrait être faite avec les conducteurs métalliques. Quant à la loi des tensions, lorsque M. Gaugain dit : « qu’il est presque impossible de déterminer expérimentalement l’état des tensions dans les circuits métalliques », il ne songe pas aux recherches si concluantes de Kohlrausch qui datent de 1839, ni aux recherches théoriques et expérimentales de Kirchholï publiées en 1845 sur l’état de tension dans les plaques circulaires, de Quincke en 1856 dans les plaques carrées, de Smaasen enfin dans les conducteurs à trois dimensions. Ce sont ces vérifications successives qui ont fait admettre les lois de Ohm. Si l’on n’avait eu que la formule qui donne l’intensité d’un courant dans les conducteurs métalliques en fonction de la résistance et d’un facteur constant, formule qui se vérifiait par les expériences de Pouillet, les lois de Ohm seraient encore à démontrer, et on peut douter que la vérification de la loi des tensions dans les conducteurs médiocres faite par M. Gaugain eût été considérée comme suffisante pour admettre cette loi dans des circuits métalliques, et, par suite, toute la théorie de Ohm.

Quoi qu’il en soit, voici la marche suivie par cet auteur quand on a négligé la perte par l’air. Une des extrémités du conducteur dont on voulait déterminer la conductibilité était mise en communication avec le sol, et 1 autre avec un électroscope à feuilles d’or.

On employait la méthode des durées d’écoulement ; dans cette méthode, on charge l’électroscope, et l’on amène les feuilles dans une position deteiminée. Les feuilles se rapprochent graduellement et prennent, au bout d un certain temps, que l’on note, une seconde position.

Si l’on désigne par Q la quantité d’électricité dont la disparition produit

(I) Annales de physique et de chimie (3), t. LIX, 1860.

le changement de position des feuilles d’or dans un temps t, il est clair que y représentera la quantité enlevée dans l’unité de temps, soit par le conducteur, soit par les autres causes de déperdition.

En enlevant le conducteur, chargeant de nouveau l’électroscope et observant le nombre de secondes T que mettent les feuilles d’or pour repasser de

la première position à la seconde, y représentera la quantité d’électricité

qui se perd dans l’unité de temps par suite d’un isolement imparfait, et par suite j — ~ représente la valeur du flux électrique qui s’écoule par le conducteur dans l’unité de temps. La résistance étant inversement proportionnelle au flux électrique, aura pour valeur rjr—— c i u i se réduit sensiblement à l quand l’air est sec et la conductibilité très-grande, l étant alors négligeable par rapport à T.

La seconde méthode suivie par M. Gaugain est ce qu’il a nommé la méthode des décharges. Une des extrémités du conducteur dont on veut mesurer la résistance communique avec un éleclroscopc à décharges : c’est un électroscope à feuilles d’or, muni d’une boule de cuivre placée près des feuilles et communiquant avec le sol ; l’écartement des feuilles d’or ne peut donc dépasser une certaine limite sans que l’appareil se décharge, et quand l’électroscope est en rapport avec une source constante, on obtient une série de décharges successives. L’autre extrémité du conducteur est en rapport avec un électroscope à cadran, maintenu à un degré de tension constant ; pour cela, il suffit de toucher cet électroscope avec une aiguille isolée que l’on charge en la mettant en contact avec un électrophore.

La quantité d’électricité qui traverse le conducteur étant proportionnelle au nombre de décharges que l’on mesure dans un temps donné, on peut ainsi comparer la résistance des deux conducteurs.

Par l’un ou l’autre de ces procédés, M. Gaugain a vérifié que la loi des longueurs, des sections et des tensions s’appliquait aux conducteurs médiocres dans l’état permanent.

Ces vérifications étaient d’autant plus importantes dans le cas des conducteurs médiocres que, Kirchhott' n’ayant pas étudié leur conductibilité pour l’électricité, la théorie de Ohm, satisfaisante pour les métaux, pouvait être mise en doute pour-les nouveaux circuits.

La loi de la longueur est immédiatement donnée par les expériences de M. Gaugain.

A cet effet, il déterminait le nombre de décharges que deux fils de coton

de longueur différente et de même section pouvaient transmettre en trois minutes, lorsque la communication entre l’électroscope à décharge et l’électroscope à cadran était établie avec un seul fil ou avec deux. Une moyenne de vingt expériences lui a donné en moyenne 25.45 décharges en trois minutes avec un seul fil de l m .54, et 25.50 décharges avec deux fils ayant chacun 3™.28 de longueur. Ainsi la même quantité d’éleclricité est transmise avec un seul fil de longueur simple ou avec deux fils de longueur double ; donc, les sections restant les mêmes, le flux transmis est en raison inverse de la longueur.

Voici comment M. Gaugain a constaté, par la méthode des décharges, que le flux d électricité est proportionnel à la différence des tensions qui existent aux deux extrémités du conducteur, ou simplement à la tension de la source, si 1 une des extrémités est en communication avec la terre. Il comptait le nombre de décharges dans deux séries d’expériences. Dans la première, deux fils égaux et parallèles établissaient la communication avecl’électroscope à cadran ayant une tension T, et dans la seconde série un seul fil, la tension étant 2 T. Si le nombre des décharges est le même dans les deux cas, on peut en conclure que le flux d'électricité est proportionnel à la tension de la source, puisqu’il est déjà proportionnel au nombre des fils. Or, dans quatre expériences, faites avec un seul fil, pour une certaine tension, la moyenne du nombre de décharges en trois minutes a été de 125, et dans trois autres, aAec deux fils, la tension étant moitié, le nombre moyen de décharges que 1 on a compte s est eleve à 128, nombres sensiblement les mêmes.

La loi de la section se démontre d’une manière analogue ; on trouve que le flux qui traverse les fils est proportionnel à leur section. Il faut citer à ce sujet une expérience qui prouve que les réactions mutuelles des fils en présence n ont aucune influence sur la propagation de l’électricité : 9 fils fins do coton, de 0"\60 de longueur, réunis en faisceau, ont donné 41.4 décharges en trois minutes, et 42.2 décharges lorsqu’ils étaient placés à 0 m . 10 de distance les uns des autres ; le résultat a donc été le même dans les deux cas.

( résumé, les expériences de M. Gaugain ont prouvé que les lois de Ohm s appliquent parfaitement aux conducteurs médiocres. Mais elles prouvent

aussi, comme nous allons le voir, que l’hypothèse des tensions existant dans 1 intérieur des conducteurs n’est pas soutenable.

A ce propos, M. Gaugain introduit sans nécessité les expressions de charge sialique et de charge dynamique. Supposons d’abord que le fil soit, par l’une de ses extrémités, en communication avec le sol, et par l’autre avec une source électrique; d’après la théorie de Ohm, confirmée par les expériences, les tensions qui s’établiront le long du fil seront représentées par les ordonnées d’une droite qui coupe le fil au point où il touche le sol ; la charge

du fil sera égale à Faire du triangle que cette droite forme avec la tension extrême et la ligne des abscisses (la longueur du fil). C’est cette charge que M. Gauguin appelle charge dynamique. Si le fil cesse d’être en communication avec lé'sol, tous ses points prendront la même tension, égale à la tension de la source ; la charge du fil sera, dans ce cas, représentée par lé rectangle dont le triangle considéré tout à l’heure-fo'rme la moitié; ce sera la charge sialique, et elle sera double de la charge dynamique.

Pour obtenir la valeur de cette dernière, on met un fil de coton de 2 m ,34 en communication avec l’électroscope à cadran et l’électroscopé à décharge ; lorsque l’état permanent s’est établi, on rompt la communication avec la source électrique, au moment précis où une décharge vient de s’effectuer à l’extrémité opposée. Si on commence à compter à ce moment les décharges que l’électricité distribuée sur le fil produit en s’écoulant dans le sol, on a la charge dynamique du fil.

On peut mesurer la charge statique d’une manière analogue. Le fil étant en contact avec la source, on supprime toute communication de l’autre extrémité avec l’électroscope à décharges. Lorsque la tension est devenue la même dans le fil après un temps convenable, on supprime le contact du fil et de la source, et l’on rétablit la communication avec l’électroscope à décharges; le nombre d’étincelles que l’on compte alors fait connaître la charge statique du fil. Celle-ci est double de la charge dynamique comme on peut le voir. M. Gaugain a obtenu, en effet, dans le cas d’une charge dynamique, 5.4 étincelles, et dans le cas d’une charge statique 11.0.

Nous venons de voir plus haut que les conducteurs conduisaient également l’électricité, qu’ils soient séparés ou réunis en faisceaux. Mesurons la charge dynamique dans les mêmes conditions. Alors que 10 fils en faisceau ont une charge dynamique représentée par 0 décharges, les mêmes fils séparés, toutes choses égales d’ailleurs, auront une charge dynamique égale à 12. Ainsi, alors que le flux électrique ne dépend que de la section du système, la charge dynamique varie avec ia forme de la section, la grandeur de celle-ci restant la même. M. Gaugain a également constaté ce rôle joué par la forme de la section, en mesurant la charge d’un ruban de soie blanche, tantôt roulé en tube, tantôt développé en surface plane : la charge a varié dans le rapport de 8 à 10. « Non-seulement, dit M. Gaugain, dans son Mémoire de 1860 (1), la charge dynamique d’un conducteur peut varier avec la forme de la section, sans que la grandeur de cette section varie, on peut ajouter que la charge dynamique dépend exclusivement, comme la charge statique, de la

(1) Mémoire sur la propagation de l'électricité dans les conducteurs médiocres. Annales de chimie et de physique, série 3, t. LIX.

grandeur et de la. fdrme de la surface, extérieure dû conducteur. » Il a encore confirmé ! cette conclusion par d’autres expériences, qui démontrent avec évidente que la tension électrique n’existe qu'à la surface des conducteurs. Mais nous avons déjà vu que la difficulté qui résulte de cette remarque, au point de vue'de la théorie de Ohm, disparaît dès que l’on introduit à la place de là tension le potentiel.

Il était intéressant de. rechercher si les formules de Ohm se vérifiaient dans l’état permanent, lorsque l’on tenait compte de la perte par le contact de llair. C’est ce qu’a fait M, Gaugain dans un second mémoire (2).'

INFLUENCE' DE' L’ACTION DE l’AIR DANS L’ÉTAT PERMANENT

La formule générale se réduit ici ^puisque dans letat permanent = Oj

Si l’on pose

l’intégrale de l’équation différentielle précédente sera :

u = Mel*.; -f Ne-P*. :

Or, dans les procédés de vérification de la loi de tension, M. Gaugain ainsi que Kohlrausch ont mis constamment un point du circuit en communication avec le sol, tandis que l’autre extrémité du fil communique avec une source constante d’électricité. Supposons que l’origine des coordonnées soit mise en communication avec le sol, on a alors u — 0 pour x = 0, et si l est la longueur du circuit, a la tension constante à cette distance de l’origine des coordonnées, l’intégrale générale sera alors :

— e ~ px u a ep l — e ~ P*

D’après cela, la tension correspondant à la distance x = | sera en simplifiant :

Telle est la formule que M. Gaugain a vérifiée expérimentalement. Il

(1) Annales de chimie et de physique , série 3, t. LXIII.

prenait deux conducteurs de même nature, de même section et de longueurs différentes. Il les mettait successivement en communication, par l’une de leurs extrémités, avec le sol, par l’autre avec une source constante, et déterminait la tension limite correspondante au point milieu de chacun d’eux. L’une des tensions limites ainsi obtenues permet de calculer le coefficient j3, l’autre fournit une vérification de la formule. Il a opéré ainsi avec deux cordonnets de soie bien homogènes dont les longueurs étaient de 4 et de 8 mètres.

La tension de la source étant représentée par 52, M. Gaugain a trouvé que les tensions des points milieux étaient 18.7 pour le fil de 4 mètres et 9 pour le fil de 8 mètres, tandis que si l’influence de l’air eût été nulle, la tension du point milieu eût été la moitié ou 9.08, au lieu de 9 pour la tension médiane dans le fil de 8 mètres. C’est donc une vérification très-remarquable de la loi de Ohm.

PROPAGATION DE i/ÉLECTRICITÉ DANS L’ÉTAT VARIABLE DES TENSIONS

M. Gaugain, le premier, eut le mérite d’appeler l’attention des physiciens sur ce nouveau problème, implicitement renfermé dans les formules de Ohm, mais qu’on avait négligé de traiter.

C’est au sujet de la propagation de l’électricité dans les conducteurs médiocres, que M. Gaugain a montré que ce genre de conducteurs convenait surtout à la détermination de la grandeur du flux et de la distribution des tensions dans l’état variable. Cette détermination eût été difficile avec des circuits métalliques dont les longueurs n’auraient jamais été très considérables. Au contraire, la propagation dans les conducteurs médiocres était favorable pour la vérification des lois de Ohm dans l’état variable.

On a, sur ce sujet, des recherches théoriques de MM. Gounelle, Blavier, Lagarde, et d’autres savants.

Lorsqu’on suppose négligeable la perte par le contact de l’air, le problème se traite aisément; mais lorsque l’on veut tenir compte de cette correction, la solution devient plus difficile. C’est ce qui rend si délicate la recherche de la propagation de l’électricilé pour l’état variable, dans les lignes télégraphiques ; les longueurs étant ici considérables, on peut aborder cette recherche ; mais il est impossible de négliger la perte due à l’action de l’air, ce qui rend la solution moins nette.

La tension dans l’état variable, lorsqu’on suppose nulle l’action de l’air, soit h = 0, est donnée par la formule générale (1) qui se réduit à :

J. tfu __ du dx* ~ dt'

Elle permet de calculer comment, en un point donné, varie la tension, en fonction du temps, avant d’atteindre une valeur constante.

Au point de vue théorique, la question se traite exactement comme dans la théorie de la chaleur, lorsqu’on recherche la distribution de la chaleur dans un mur indéfini et à un instant quelconque, c’est-à-dire la propagation par conductibilité dans l’état variable des températures. L’équation différentielle est la même.

Sans entrer dans des considérations analytiques sur la détermination de 1 intégrale générale de cette équation différentielle, il est indispensable d’insister sur les conditions aux limites, auxquelles elle doit satisfaire. L’analyse montrera en même temps la marche qu’il faut suivre dans la vérification expérimentale de la formule précédente.

Dans les recherches de M. Gaugain, la tension était toujours invariable aux deux extrémités du conducteur, qui communiquait d’un côté a - * ec l’électroscope à cadran dont nous avons parlé précédemment, et de l’autre côté avec le sol.

Considérons dans le conducteur un point situé à une distance x de l’origine des coordonnées où la tension est a. A l’origine du temps, l = 0, la tension initiale u 0 de ce point était une fonction quelconque de la distance seulement, c’est-à-dire que l’on avait :

(1) u 0 = f(x) pour t = 0.

Cette relation, jointe à l’équation aux différentielles partielles, que l’on obtient en posant :

à savoir :

(Pu

dx-

permettra de résoudre le problème de l’élat variable des tensions, telles que :

l étant la longueur du conducteur qui, à une de ses extrémités, possède une tension a, et à l’autre une tension nulle. Nous admettons implicitement que la tension dans l’état variable doit tendre vers la valeur de la tension

a l’état permanent ; ceci a lieu évidemment, car, la durée augmentant, devient nul, et l’équation se réduit à

pi = 0 ,

dx'

dont l’intégrale est : •

La relation (3) est donc rationnelle, et v désigne une fonction de x et de-J, qui s’annule quand t est très-grand.

Au système (1) et (2), Qn pourra donc, en vertu de (3) , substituer le suivant :

*v — fi*) — « +

du s æv

dt — 6 ' dx*

en mêmé temps que : .

Pour x = 0, v = 0 puisque u = a Pour x. = l, v = 0 puisque u = 0

On a une solution de l’équation aux différences partielles, en posant :

(/i) v — e~ mH iv

w étant fonction de x seul, il suffit que w satisfasse à l’équation différentielle

dont l’intégrale générale est :

iu — A.lsîn — x -f- Iîcos — x \

La condition des limites w — O pour x = O donne B = O, et iv = O pour

x = l donne sin — l =0, d’où — l — un, n étant un nombre entier. L’éc c

quation (4) devient alors :

et l’on aura autant de solutions particulières semblables, dont la somme sera encore une solution particulière, savoir :

v =3 ^?A.e sin.^r-Æ

11 faudra alors choisir les constantes arbitraires A, de manière que pour t = O, v — v 0 , c’est-à-dire que l’on ait :

f(x) - a + ^ As:n T X '

Ce qui est toujours possible. La tension u sera donc donnée par la relation : u = a — j'x -f ^ Ac ~ sin

On voit que le temps augmentant indéfiniment, les termes ^ diminuent indéfiniment; par suite, au bout d’un temps indéfini, il n’y a pas de différence appréciable entre l’état variable des tensions et l’état stationnaire.

Or, tous les termes compris sous le signe somme ont pour facteur commun :

et si ce facteur est suffisamment petit pour une valeur de t égale à.0, on pourra regarder l’état stationnaire comme établi après ce temps 6. D’après cela, si l’on considère deux conducteurs qui arrivent à l’état stationnaire après des temps différents 0, 9', et que l’on suppose en outre que, pour les deux, les coefficients A aient des valeurs sensiblement égales, on pourra regarder comme évident qu’au moment oit l’état stationnaire sera établi :

d’où :

Si l’on fait 9'

1, c' — 1, V =z 1, il vient :

k étant le coefficient de conductibilité et « la section. On en déduit les lois suivantes :

Le temps de propagation, c'est-à-dire le temps nécessaire pour obtenir , en un point donné , une tension déterminée, varie :

1° Comme le carré de la longueur du conducteur ; 2° En raison inverse de sa conductibilité;

3° En raison inverse de sa section.

Telles sont les lois que la théorie nous fait prévoir dans le cas des tensions variables.

M. Gaugain a résumé l’ensemble de ses recherches dans la formule empirique suivante :

où 9 est toujours la durée de propagation, C le coefficient de charge (c’està-dire la charge qui, dans l’état statique, existerait sur le conducteur considéré, s’il avait une longueur 1, s’il était isolé, et en rapport avec une source dont la tension fût égale à l’unité) ; q est une constante qui dépend du rapport qui doit exister entre la tension que l’on veut atteindre au point considéré, et la tension limite du même point ; elle exprime le temps qu’il faudrait pour obtenir la fraction de la tension limite, déterminée par ce rapport, si l’on C / 1

avait j— = 1. Les autres lettres ont la même signification que précédemment.

Les trois lois théoriques se vérifient immédiatement, comme on voit. Mais l’on peut remarquer que le coefficient de charge défini et mesuré plus haut entre dans la formule empirique de M. Gaugain, tandis que la théorie de Ohm ne prévoit pas ce coefficient.

Nous avons démontré l’exactitude de la proposition en vertu de laquelle le flux échangé entre deux tranches consécutives est directement proportionnel à la différence de leurs tensions, et inversement proportionnel à la longueur réduite d’une tranche. Mais l’expérience contredit l’hypothèse d’après laquelle toutes les molécules d’une même tranche , sont à la même tension. Nous avons vu en effet que, si le flux est proportionnel à la section du conducteur, il n’en résulte pas moins que la quantité d’électricité qui constitue la charge dépend au contraire de la grandeur et de la forme de la surface, comme le veut d’ailleurs la théorie du potentiel.

INFLUENCE DE l’àCTION DE l’AIR DANS L’ÉTAT VARIABLE

La théorie de Ohm nous donnera dans ce cas l’équation différentielle du problème :

dhi

dx ï

Nous obtiendrons une intégrale de cette équation, en suivant une marche analogue à celle que nous avons indiquée précédemment lorsque l’on supposait h = 0, c’est-à-dire l’action de l’air nulle. C’est ainsi que pour des

valeurs de temps très-grandes, ~ devient nul, et l’équation précédente se réduit à

en posant

dx*

On a donc un terme de Informe + Ne~“, indépendant du temps. D’un autre cote, quand h — 0, l’équation aux dérivées partielles présente, comme nous l’avons vu, une infinité de solutions particulières dont la somme

V e ~ mH s:n “ x + B cos ” x j

est encore une solution ; on aura de même pour intégrale particulière de l’équation (1)

u = + -f V e - (m*+ «’«')</Asin + Beos ? x'j

dans laquelle on introduira les conditions des limites.

Mais il semble difficile de reconnaître par expérience si les perturbations qui résultent de l’action de l’air sont exactement représentées par l’équation (1). Du moins, on n’obtient que des résultats incomplets, dans le cas des conducteurs médiocres. Ils sont dus à M. Gaugain.

Il prit des fils de soie de 4 et 8 mètres de longueur, dont la conductibilité est assez faible pour qu’ils éprouvent, sous l’influence de l’air, une déperdition considérable. La durée de propagation relative fut de4 m . 5P pour les fils de 4 mètres, et de 12'“. 26 s pour ceux de 8 mètres. Si l’action de l’air eût été négligeable, les deux durées eussent été dans le rapport du carré de la longueur des fils, et l’on eût trouvé, pour le fil de 8 mètres, une durée de propagation quadruple de celle du fil de 4 mètres. Or, on voit que, sous l’influence des causes perturbatrices, la durée de propagation croît moins vite que le carré de la longueur, et c’est effectivement ce que la théorie fait prévoir.

En résumé, nous avons pu, grâce aux travaux de M. Gaugain, vérifier les équations générales données par Ohm, dans le cas des conducteurs médiocres, soit pour l’état constant, soit pour l’état variable des tensions.

Dans le cas des conducteurs métalliques, avons-nous dit, il elait impossible de chercher à étudier l’état variable des tensions, en admettant que les fils sur lesquels on expérimentait devaient avoir des longueurs restreintes. La question est tout autre, si l’on opère.avec les fils de lignes télégraphiques, comme M. Guillemin l’a fait pour la première fois en 1860. On conçoit en effet que, la longueur des conducteurs devenant du même ordre de grandeur que la conductibilité électrique, il soit possible d’étudier l’état variable et transitoire des tensions qui précède l’état permanent, absolument comme M. Gaugain 1 a fait pour les conducteurs médiocres. Les recherches de M. Guillemin sur ce sujet difficile offrent un grand intérêt. Mais devons-nous admettre, avec

cet auteur, que ses expériences aient fourni une vérification de l’équation générale de Ohm? Sur ce point, M. Gaugain a exprimé des doutes assez fondés.

Dans ses expériences, faites à Nancy, en 1859, sur une ligne de 5T0 kilomètres, M. GuiUemin a tenté de mesurer la durée de l’état variable qui précède l’état permanent, et les intensités successives du courant. Quand le contact du fil et de la pile est établi, le flux électrique présente, dans les premiers instants, une intensité décroissante dans la partie du fil qui est voisine de la pile, et une intensité croissante dans la partie qui touche la terre. La période d’intensité variable des tensions et du flux dure à peu près 0’,02 pour un fil de 570 kilomètres, et 60 éléments Bunsen ; elle diminue lorsqu’on augmente le nombre des éléments. Cette durée représente aussi le temps qu’il faut pour que le fil prenne sa charge maximum. Elle est (quoi qu’en dise M. Gaugain, dont les critiques nous semblent ici porter à faux), nettement accusée par les déviations du galvanomètre.

Il est vrai que les calculs auxquels s’est livré M. Filippo Keller, sur les nombres observés par M. Guillemin, n’ont pas donné des résultats très-concordants. En différentiant la formule de Ohm, relative à l’état variable, on peut obtenir l’intensité i du courant pour un temps donné t; et lorsqu’on a mesuré i et t, la même relation peut servir à calculer le coefficient de conductibilité k . Or, les valeurs de i et de t fournies par les expériences de M. Guillemin, donnent des valeurs de k assez peu concordantes, car elles varient de 20.7 à 36.7. Il est possible que ces variations soient dues à l’influence de l’air et des autres causes perturbatrices, dont il est difficile de tenir compte dans ce calcul. En effet, si l’on veut tenir compte de l’influence perturbatrice de l’air, il faut d’abord examiner si la formule de Ohm est applicable dans ce cas. Celle-ci suppose que l’action perturbatrice est uniforme dans toute l’étendue du circuit, ce qu’on ne saurait admettre dans les expériences de M. Guillemin. Enfin, il est douteux que les formules dont M. Keller a fait usage permettent d’obtenir les valeurs du coefficient k avec une grande précision.