VALEURS DE X
Les formules de Ohm sont donc vérifiées par l’expérience de la façon la plus satisfaisante. Mais ce qui est venu donner une nouvelle force aux idées de Ohm, c’est la théorie complète de la propagation de l’électricité dans les corps à deux ou trois dimensions, par Kirchhoff et Smaasen, théorie qui conduit à des résultats en tous points conformes à l’expérience.
surfaces. — Nous ne ferons qu’indiquer en quelques lignes l’application de la théorie de Ohm à la recherche de la distribution des tensions dans les surfaces planes.
Considérons une plaque d’épaisseur infiniment petite t et admettons qu’un électrode soit mis en contact avec celle-ci en un point quelconque A. Le fluide électrique fourni par l’électrode se répandra évidemment d’une façon uni-
forme tout autour du point de contact. Si l’on nomme u la tension à un moment donné sur une circonférence de cercle s, de rayon r, la quantité de flux qui, dans l’unité de temps, s’écoulera parla facette sels normale à r sera, d’après la théorie de Ohm,
— ke.ds —j dr
et celle qui s’écoule par la circonférence entière sera, par conséquent,
puisque s = 2 m. En nommant E la quantité d’électricité fournie par l’électrode dans l’unité de temps, on aura donc :
et en intégrant, il vient :
In lis. u = C — E.Iogr.
Supposons maintenant que sur la plaque il existe un nombre il d’électrodes A t , Aj,.... A n d’intensité E,, E 2 ,... E n . Si l’on considère un point situé à des distances respectives r,,r,,.... r n , il y aurait autant d’équations (1) que le point recevrait séparément du fluide des centres A,... A n . Si donc ces électrodes amènent simultanément des flux électriques, la tension résultante au point considéré sera donnée par la formule
2* hs.u = G — EJogrj - E,logr 2 ... - E n logr„,
avec l’équation de condition
qui exprime que l’écoulement est constant.
Dans le cas de deux électrodes, les équations précédentes se réduisent à
E, -f . E, = 0 27 Tks.u = C + Ej. log ->
et les courbes d’égale tension (u = const.) ont pour équation :
= const.
M. Kirchhoft' a vérifié expérimentalement ces relations en mesurant les tensions sur une plaque de cuivre.
TRAVAIL DES FORCES SUR L’ÉLECTRICITÉ QUI SE MEUT DANS UN CONDUCTEUR LINÉAIRE
Soit dq une masse infiniment petite d’électricité qui se meut suivant une droite perpendiculaire à la section « sous l’influence de l’électricité isolée à la surface du conducteur et agissant en raison inverse du carré de la distance.
dV
V étant le potentiel, la force résultante est représentée par — — » le travail
élémentaire sera donc — dq. ^ dx, pour un déplacement dx. Le travail correspondant à un déplacement fini (x — x„) sera :
- dq J* dx = — dq(\ l — V„).
Si dq est la quantité infiniment petite passant par la section e/w, la somme des travaux correspondants à l’électricité qui passe dans le même temps par la section « sera, en supposant que le potentiel reste constant pour un point quelconque de cette section : — q (V, — V,). Tel est le travail des forces qui agissent dans l’intervalle considéré (x — x„), s’il ne se produit dans cet espace ni action chimique, ni action mécanique, ni action inductrice, et s’il n’existe pas de force électromotrice. Cette expression du travail est, comme on sait, égale à l’accroissement de la somme des forces vives. Si l’on suppose négligeable la masse et la force vive des fluides électriques, il ne reste, comme correspondante à celte somme de forces vives, que la chaleur dégagée dans l’espace considéré. Soit Q celte quantité de chaleur, E l’équivalent mécanique de la chaleur, on aura :
Si l’on remarque que q n’est autre que la quantité totale d’électricité qui passe par la section u dans l’unité de temps, c’est-à-dire l’intensité du courant i , et si l’on se reporte à la valeur de cetle intensité , V, - v 0
il viendra, en remplaçant q par i et — (V, — V„) par la valeur que l’on déduit de la dernière relation, c’esl-à-dire par il,
QE = i\\.
C’est la loi de Joule : la chaleur dégagée Q est proportionnelle au carré de l’intensité i et à la résistance l du circuit. En déduisant la valeur de la con-
stante E de la mesure directe de la quantité de chaleur Q dégagée par un courant d’intensité i, la résistance étant A, Quintus-Icilius a trouvé E = 392 au lieu de 425. Mais si l’on considère tous les éléments que ce physicien a dû préalablement déterminer, la différence entre les deux résultats n’excède pas les limites d’incertitude des expériences. — La formule (6) établie à l’aide de considérations purement théoriques en partant de la formule de Ohm, peut donc être regardée comme une nouvelle forme de la loi de propagation de l’électricité dans les conducteurs parfaits, et peut être substituée à la loi d’Ohm. Le théorème de Joule peut encore être présenté sous une autre forme commode. On sait, en etfet, que la force électromotrice A d’un courant est liée à l’intensité par la relation A rr i.X ; on aura donc
en nommant Ii l’énergie mécanique équivalente à la chaleur dégagée.
DISTRIBUTION DE LA TEMPERATURE DANS UN CONDUCTEUR HOMOGÈNE TRAVERSÉ PAR UN COURANT
Puisqu’il se dégage, ainsi que nous venons de le montrer, dans une tranche quelconque d’un conducteur homogène, une quantité de chaleur proportionnelle au carré de l’intensité du courant électrique et à la résistance de la tranche, il est intéressant de déterminer la loi de distribution de la chaleur dans un tel conducteur. Cette recherche sera importante, car elle permettra de voir comment varie cette distribution lorsqu’on l’étudiera dans les conducteurs hétérogènes traversés par des courants électriques.
L’équation différentielle s’établit comme dans la théorie de la chaleur. — Supposons les deux extrémités du fil traversé par le courant maintenues à une température constante, qui sera, pour simplifier, celle de Y enceinte. Soit x la distance, positive ou négative , d’une section du fil au point milieu de ce fil, u l’excès de température de cette section, s son aire, p son périmètre, k la conductibilité calorifique de l’intérieur, et h la conductibilité extérieure du fil. Pendant un temps infiniment court dt, il passe par la section dont l’abscisse est x une quantité de chaleur égale, ainsi qu’il est facile de le voir,
— ks y* dt, et par
la section dont l’abscisse est x -+- dx, une quantité
de chaleur égale à
ks ( d £ + d ë d£ ) dL
la différence de ces deux quantités, qui s’ajoute à l’excès de température w, est donc
lis
(Pu
dx‘ x
dt.
La tranche comprise entre ces deux sections perd en meme temps, par conductibilité extérieure, une quantité de chaleur égale à hpudxdt, et le courant électrique dégage dans cette tranche une quantité de chaleur proportionnelle au carré de son intensité et à la résistance de la tranche, égale par conséquent à M étant une constante, y la conductibilité électrique du fil,
et I son intensité. L’équation différentielle do la propagation sera donc, en supprimant le facteur dxdt,
Si l’on pose :
et que l’on remarque que
fil!
üü,
hpys
const., l’équation diffrentielle devient:
r.Pv hpv
dx 1 ks
dont l’intégrale générale est, comme l’on sait :
en posant :
v = Me”” + Ne~“”,
h p ks *
On a donc :
u = /11- 4- Me"”- H- Ne"””hpys
Puisque, aux deux extrémités du fil, la température est égale à celle du milieu ambiant, on a u — 0, pour x — ± /, d’où les équations de condition :
-|- Me”' + Ne
j Me-"* Ne ui
hpyS hpyS
Substituant les valeurs de M et N que l’on tire de ces deux relations, on a généralement :
u ~ hpys ( l e"' 4- e-"*-)
Telle est la loi de la distribution de la chaleur dans un fil homogène tr aversé par un courant électrique d’intensité constante.
-sa¬
