De la résistance de l'air au mouvement des projectiles

i. Lorsque l'oû veut chercher à se rendre compte des divers mouvements des projectiles que lance l'artillerie, il importe d'abord de se fixer sur deux points : les conditions initiales du mouvement, et les forces qui viennent le modifier pendant le trajet du projectile.

La première question est toujours facile à résoudre. On a, en effet, à défaut d'une théorie parfaite sur les effets de la poudre, des appareils qui permettent de déterminer avec une exactitude suffisante la vitesse initiale de translation ; et s'il y a une rayure, la connaissance de son pas constant ou variable permet de déduire de là la vitesse de rotation.

Quant aux forces qui agissent sur le projectile après sa sortie de la bouche à feu, il en est une dont on a encore une connaissance complète ; c'est la pesanteur, force verticale appliquée au centre de gravité ; mais il en est d'autres qui proviennent de la résistance de l'air, et qui sont moins immédiatement connues.

2. Tant que l'on ne s'est servi que des projectiles sphériques lancés par les canons lisses, l'étudo dont cette résistance devait être l'objet pouvait être facilement circonscrite ; car, quelque idée que l'on se ht sur le mécanisme de l'action de l'air, comme on supposait le projectile animé d'une seule translation, on savait de suite par simple raison de symétrie que toutes les actions élémentaires

D,s,t,.,.d.i.CoOglc

Z JQUBNAL DBS SC1ENCB8 MIUT&IBKS.

du fluide avaient une résultante unique, que cette force était appliquée au centre de figure, et que sa direciion élait opposée k celle du mouvement de ce point confondu avec ie centre de gravité, si le projectile est plein et honiogène. La grandeur seule de celte force restait à déterminer, après quoi la question n'était plus qu'un problème d'analyse mathématique relativement simple, puisqu'il ne s'agissiit pins que du mouvement d'un point matériel soumis h des forces complètement déterminées.

3. C'est en effet sur ce terrain que la balistique a été presque exclusivement traitée avant l'adoption des bouches à. feu rayées.

On admit d'abord avec Newton que la résistance de l'air était proportionnelle au carré de la vitesse et à la projection du projectile sur un plan perpendiculaire à la direction du mouvement. Parlant de là, Jean Bernouilli trouva l'équation de la trajectoire au moyen des quadratures, et même en supposant la résistance proportion nelle à une puissance quelconque de la vitesse.

Après lui, bien des géomètres du siècle dernier se sont exercés sur ce sujet, en modifiant plus ou moins l'expression de la résistance; mais ils ne sont pas parvenus à des formules représentant avec une exactitude suffisante les résultats de la pratique.

Aussi, jusque dans ces derniers temps, les artilleurs ont-ils fait de nombreuses recherches pour obtenir une valeur exacte de la résistance de l'air dans le tir des boulets ibériques.

•4. D'abord le général Piobert, s'appuyant «ir des expériences de Hutton, a montré que la résist^ice croissait plus vite] que le carré de la vitesse, et l'a exprimée sous la forme :

KRïVd X aV).

Plus tard, le général Didion, à la suite de nombreuses expérienote faites à Hetz par la commission des principes de tir, crut lievoir admettre également cette formule, et il en détermiiia les coefficients avec soin ; c'est le point de départ de la seconde édition de sa Balistique. Mais pendant le temps mSme qu'il se livrait à cette discussion, la commission faisait de nouvelles expériences, et d'une manière plus précise, en se servant du pendule électro4>alistique du capitaine be]g« Navez, peur la déterminalioB des vitesses. Après un examen approfondi des résultais de ces expériences, on a trouvéque, dans les limites de la pratique, la résistance de l'aù* pouvait être regardée comme proporticmnelle au cube de k vitesse. Àfais il faut se faire une idée exacte de la valeur de cette loi, et ne pas l'employer 4aas des conditions tout aidres que telles dans lesqueUes elle a été établie ; ainsi, rien ae prouve (et même des expérienoeB pbis récentes font croire le coniriure) q«e œ eaii la lot g^^ale de la résistance de l'air, et qu'on finisse l'eBi^oyer toutes les fois qiw

DÈSISTAIfCB DB l'AIB AU UOUTEHBKT DXS PBOJECTILES. 3

i*on considère un solide se mouvant dans ce fluide; mais dans les condilions du lir pratique, et avec les vitesses ordinaires des projectiles sphériques, on peut la considérer comme suffisamment exacte, et par suite elle peut servir de base à la recherche analytique de la trajectoire.

S. La formule de Jean Bemouiili donnait l'équation de la courbe au moyen des quadratures ;'mais les artilleurs ne pouvaient s' arrêter El une équation aussi peu commode : aussi, en s'éloignanl un peu de l'extrême rigueur, dans des limites permises par les conditions pratiques du tir, ils ont cherché une formule plus simple, et sont ainsi arrivés à l'équation suivante :

Dans cette formule, ç est l'angle de projection, c'est-à-dire l'anglo de la vitesse initiale avec un plan horizontal ; V„ la vitesse de pro^ jection ou la projection horizontale de cette vitesse initiale ; c est un coefficient constant dépendant du poids et du rayon du projectile ainsi que de l'état de l'air, et qu'on appelle coefficient balistique j et est également une quantité constante et dont l'introduction est le caractère propre de la méthode employée pour arriver àcetteéqua* tion. C'est une quantité que l'on a substituée dans les calculs an

rapport variable -r- d'un arc infiniment petit de courbe à sa projection horizontale, et en lui donnant dans chaque cas pour valeur celle du rapport - relatif à la courbe entière. II est inutile de rappeler comment on calcule ce rapport; mais on voit bien que l'erreur i laquelle l'introduction de celte quantité conduit est d'autant plus petite que l'arc s est moins étendu et moins courbe. Aussi, l'usage de la formule est-il différent suivant les genres de tir : dans le cas d'un tir très-tendu, on peut, par un seul calcul, connaître le point de chute, et de plus, en prenant l'unité pour la valeur de a; dans le tir à feux courbes ou en bombe, il est nécessaire de diviser la trajectoire en plusieurs arcs, et de calculer les coordonnées de plusieurs points intermédiaires avant d'arriver, par plusieurs applications successives de la formule, à la détermination des éléments du point de chute.

On peut rfflnarquer que si, dans l'équatioh précédente , on supprime les deux derniers teimes, on retrouve l'équation dans le «de. Cette forme très-avantageuse de l'équation permet des comparaisons fociles entre les deux trajectoires, ce qui peut être utile pour se rendre bien compte de l'action de l'air.

4 JOunilAL DBS SCIENCES KIUTAIBBS.

6. Tel était l'état de la balistique avant l'emploi des canons rayés. 11 est clair que l'équation que l'on avait obtenue ne représentait pas toutes les trajectoires de la pratique, puisque l'imperfection même de l'arme était la cause d'une foule d'irrégularités; mais on ne pouvait pas demander autre chose à la théorie; on peut dire qu'alors ce n'élait pas elle qui était en défaut, maïs les conditions de la pratique qui étaient mauvaises.

7. Le problème fut complètement ti'ansformé par l'adoption des canons rayés. Ces armes, comme ou le sait, lancent des projectiles qui sont des solides de révolution ; ils sortent de la bouche à feu avec un double mouvement de translation et de rotation ; la direction du premier et l'axe du second sont tout d'abord confondus avec l'axe de révolution du projectile. Si ces conditions subsistaient pendant tout le cours du trajet, la question serait la même qu'avec les projectiles sphériques lancés sans rotation ; ici encore, par simple raison de symétrie, on aurait la position de la résistance de l'air, elle passerait par le centre de gravité, et aprfes qu'on aurait déterminé sa grandeur, il n'y aurait plus qu'à trouver )e mouvement d'un point matériel soumis t des forces connues.

Mais on voit de suite que les conditions initiales ne peuvent sub- Eàster. En effet, la pesanteur change la direction du mouvement de translation sans avoir d'action sur celle de l'ase de rotation; la direction du mouvement va donc faire un angle avec l'ase du projectile, et celui-ci, animé de ses deux mouvements, va se présenter de flanc h la résistance de l'air.

On se trouve donc devant un problème complètement nouveau : aussi peut-on dire qu'avec l'emploi des canons rayés, l'élude de la balistique a dû Être reprise à son début.

Les actions de l'air sur chaque élément de surface ont-elles une résultante unique? Dans ce cas, quelle est sa direction, quel est son point d'application ?

8. Telles sont les questions qu'il importe de résoudre avant de chercher à expliquer les phénomènes du tir. II y aurait lien de se les poser alors môme que les canons rayés ne lanceraient que des projectiles sphériques ; car, même dans ce cas, dès que la direction de la translation n'est plus confondue avec l'axe de rotation, la symétrie qui donnerait une si grande simplification au problème n'existe plus.

C'est là une vérité que Robins, le premier, a discernée avec une profonde sagacité qui lui mérite l'admiration des artilleurs ; malheureusement, en faisant connaître ses idées sur la question, il trouva devant lui un adversaire célèbre, le géomètre Euler, qui prétendait que la rotation des projectiles sphériques n'avait pas d'influence sur la résistance qu'ils éprouvent de la part de l'air.

,..d:,i.Googlc

BÉSISTANCE DB l'&III AU XOCVEMBrfT DES FBOJECTILBÏ.

îl se passa ce qui arrive souvent à cpux qui sont trop au-dessus de leurs contemporains. Robins ne fut pas compris ; les idées d'Euler furent admises à cause de son grand nom scientifique. La balistique fut enrayée pour cent ans. Il y a trente ans, on en savait géaéralement moins que Robins, et aujourd'tui on trouve encore des disciples d'Euler. Les questions que nous venons de poser au sujet de la résistance de l'air ne furent pas traitées avec l'attention qu'elles^ méritent, parce qu'on les croyait résolues.

De là la cause d'une foule d'erreurs graves que l'on trouve dans la plupart des tentatives qui ont été faites pour expliquer les mou- ■vements des projectiles. Il en est cependant qui ont fait feire à la question des progrès considérables. Nous allons essayer d'exposer rapidement les idées qui ont été successivement admises. Ce sera la meilleure manière d'indiquer avec précision les progrès qu'il reste à obtenir.

APBBQU HlSTOaiQUE.

9. Tout d'abord un grand nombre d'auteurs n'ont pas hésité à admettre que, dans tous les cas, la résistance de l'air est une force parallèle à la tangente à la trajectoire du centre de gravité. Voyant cette hypothèse admise avec raison dans l'ancienne artillerie, il neleur est pas venu un instant l'idée que la forme du projectile et son mouvement de rotation ne lui donnaient plus aucune raisoodêtre.

Cependant elle n'était pas seulement gratuite, mais visiblement fausse, et en contradiction formelle avec les résultats du tir qu'on avait pour but d'expliquer. Comment, en effet, une pareille force pouvait-elle jamais produire un écart latéral du projectile? et cet écart normal, connu sous le nom de dérivation, n'était-il pas le phénomène le plus saillant du tir des nouveaux canons ?

Il est vrai que, par des raisonnements ad hoc, les auteurs dont jeparle ont cru en rendre compte. Ils remarquaient bien que la résistance telle qu'ils la supposaient, dès qu'elle n'est plus appliquée au centre de gravité, produit un mouvement conique de l'axe du projectile, et ils ont pensé que le corps allait tout entier à droite par cela seulement que la pointe était dirigée de ce côté; négligeant ainsi les lois de l'inertie et confondant complètement les causes capables de faire varier la rotation avec celles qui peuvent changer le mouvement du centre de gravité.

10. On a peine à s'expliquer comment une telle faute, qui froisse les premiers principes de la mécanique, a été commise par le physi-

9 JOURKAL DBS SCIE:tGB;3 MIUTAIIIBS.

«ien allemand Magnus et que tant d'autres l'aient suivi dans cette voie.

Cette erreur ^t d'autant plus surprenante chez l'anteur dont je

parle, qu'il avait fait lui-même des expériences trës-concluante» pour la solution de la question.

Elles lui ont servi k donner l'explication des projectiles sphériques animés de rotation; mais il n'a su en tirer aucun parti pour rendre compte de celles des projectiles oblongs.

11. U est un attire essai de théorie générale qui a été assez communément admis par ceux qui ont essayé d'expliquer les phénomènes du tir de la nouvelle artilleiie : c'était la manière de voir de la commission qui a présidé à l'étude des bouches à feu rayées k la Fère. On peut la dénommer la ikéorie dit frottement sur la partie antérieure. Voici en quoi elle consiste : Par suite du mouvement de rotation du projectile, il y a un frottement de ce corps sur l'air, et au début, à cause de la symétrie, ce frottement n'a d'autre effet que d'entraîner un ralentissement du mouvement de rotation. Mais dès que ta pesanteur a abaissé la tangente & la trajectoire, il se produit une condensation de l'air sur la partie antérieure (\n partie qui se trouve en avant d'un observateur placé sur l'axe de figure, la tête en avant et regardant la trajectoire) et nne dilatation sur la partie postérieure. Par suite, c'est le frottement sur la partie antérieure qui l'emporte. Or il est aisé de voir que sur cette dernière partie le frottement pousse le projectile à droite, tandis que sur la partie postérieure, il le pousse h gauche. Doue le projectile doit aller à droite,

. 12. Avec cette manière de voir, on assimile le phénomène dont nous nous occupons à ce qui se passe dans bien des circonstances du jeu de billard, ou, pour parler avec plus de précision, à ce qui se passerait si après avoir communiqué uu mouvement de rotation h. un cylindre circulaire droit autour de son axe placé horizontalement au-dessus d'une table de billard, on l'abandonnait sans vitesse initiale. On sait bien qu'au moment de !a chute sur la table et pendant tout le contact postérieur, le frottement de la génératrice inférieure sur le tapis produirait un roulement dans un sens opposé à ce flottement.

D'après l'explication dont nous parlons, ce serait une cause du même genre qui produirait la dérivation.

Il est bien vrsi que pendant le mouvement du projectile, celui-ci ne frotte pas sur l'air par une seule génératrice ; mais à cause des variations de densité de l'air en contact dont nous avons parlé plus haut, la résultante de tous les frottements élémentaires est la m€ms que si cette action ne s'exerçait que sur une seule génératrice.

13, £n voyant là l' explication de la dérivation des obus oblooga»,

RfCStSTAMCE DE L'AIB ÀB MOUVSmNT ftsa FHOJECTltAS. 7

ileat clair que les auteurs de cet essai de thitcrie n'ententiaient pas exprinieF ainsi l'action totale de l'air.

A ce frottement, résultat spécial du mouTement de rotation, ils joignaient la résistance proprement dite, c'esl^-dire la résistance que le corps éprouverait b'il pc»sédait un simple mouvement de translation.

En supposant cette derniëre force parallèle i la tangente â la trajectoire, ils ne faisaient plus une hypothèse manifestement erronée, puisqu'ils voyaient autre part la cause dérivalrice; mais en admettant que son point d'application était en arrière du centre de gravité, ils faisaient une hypothèse au moins gratuite. Ils croyaient cette (disposition nécessaire pour ramener à chaque instant l'axe du projectile sur la tangente, ne remarquant pas que l'action du couple pnoduit par la résistance n'a pas simplement pour effet d'abaisser ou de relever cet axe, mais, k cause de la rotation initiale, de lui faire décrire un cône dans un sens qui dépend de celui de cette polatioD et aussi de la position du point d'application, . i4. Malgré cela, on doit reconnaître qu'avec cette manière de concevoir le phénomène de la résistance, on explique les effets constatés dans le ttr des canons rayés au moins dans leur ensemble. Hais e^t-ce bien là l'expression du mécanisme de l'action de l'air? Uae seule remarque conduit à penser, sans le moindre doute, qu'iî n'en est pas ainsi. En effet, d'après cette théorie, le sens de la dérivation ne dépendrait absolument que du sens de la rotation du projectile, c'est-à-dire du sens des rayures ; la forma extérieure du projectile, sa constitution intérieure n'auraient aucune influence ; quelle que soit la position du centre de gravité, le pi-ojectile devrait toujours s'écarter à droite.

Or, de nombreuses expériences prouvent le contraire. On sait bien aujourd'hui, et du reste Robins l'avait déjà affirmé, que les projectiles sphériques animés de rotation dévient dans le sens du mouvement de l'hémisphère antérieur.

Que l'on tire, par exemple, dans un canon rayé de 12 un projectile sphénque muni d'ailettes, il déviera à gauche, tandis qu'un projectile oblong lancé par le même canon sera porté vers la droite.

Ge n'est donc pas dans le frottement qu'il faut chercher la cause de la dérivation des projectiles animés d'^un mouvement de rotation.

15. On voit, en somme, que ce qu'il y a de caractéristique dans tous ces essais , c'est le manque de solidité dans les hypothèses

i naanque

ces manières de voi

dues parmi ceux qui

igueur dans les raisonnements. D'ailleurs , se sont trouvées assez communément répansans vouloir approfondir le phénomène, ont

cherché à s'en rendre compte d'une manière simple et assez v

,..d:,i.Googlc

8 JOURNAL DBS SOUNOES UILlfAIBES.

semblable, je ne crois pas qu'elles aient été reproduites d'une façon bien nette dans aucune étude sérieuse. Un examen un peu attentif de la question aurait vite montré combien elles étaient insuffisantes. On ne pouvait vraiment les considérer que comme des essais d'eïplîcation h l'usage des gens du monde.

16. D'autres auteurs ont essayé de traiter le phénomène d'une manière plus complète et plus savante. Ils ont considéré l'acUon de l'air sur chaque élément de surface du projectile, lui ont supposé en chaque point une certaine direction et une certaine grandeur, et composant ensuite toutes ces forces élémentaires pour avoir l'action totale, ils sont partis de là pour étudier les circonstances du mouvement,

La méthode était bonne; mais malheureusement, en agissant ainsi, les auteurs de ces recherches n'ont fait en réalité que transporter sur un autre terrain la gratuité des hypothèses.

n. Ainsi, Poisson, qui le premier a employé cette méthode, décompose l'action de l'air sur chaque élément de surface en deui parlies : l'une normale, qu'il appelle résistance proprement dite; l'autre tangentielle, qui constitue le frottement. Il admet que la résistance normale qui s'exerce sur la partie antérieure seulement est proportionnelle au carré de la vitesse normale du point considéré et à la densité du fluide en contact; quant au frottement, il le suppose proportionnel à la vitesse tangentielle et aussi à la densité. Restait à apprécier celte densité, qui, par suite du mouvement, n'est pas la même en tous les points. Poisson la regarde comme composée elle-même de deux termes, l'un égal à la densité naturelle du fluide, l'autre variable, positif en avant du projectile oùl'air est condensé, négatif en arrière où l'airest dilaté et ayant pour valeur une quantité proportionnelle à la densité naturelle et îi la vitesse normale.

Telles sont les bases de- la théorie de Poisson ; partant de là il établit les équations différentielles du mouvement d'un solide lancé dans des conditions quelconques. Il les intègre ensuite en supposant que le solide soit une sphère homogène et arrive à des résultats qui sont en complète contradiction avec les faits. Ils énoncent que le projectile doit dévier dans un sens opposé à celui du mouvement de l'hémisphère antérieur. Du reste, le calcul n'était pas nécessaire pour faire voir que les hypothèses de Poisson conduisaient à cette conclusion.

En effet, dès que les densités ne dépendent que des vitesses normales, i! en est de même des résistances normales; par suite, celles-ci sont symétriques par rapport au plan de l'axe de rotation et de la translation, et par conséquent elles donnent par leur composition une force résultante comprise dans ce plan.

Celte résultante ne pourra donc pas écarter le projectile du plan

BâsiSTAMCB IW l'aIB AU HOnVEKBHT DBS PROJECTILES. 9

de tir, et la déviation, si elle a lieu, ne pourra proTeiiir que de l'action du frottement. Poisson fait lui-même ce raisonnement, et retombe ainsi, dans le cas particulier delà sphère, sur la théorie que Dous avons examinée plus haut. Les idées de Robins étaient si pea en honneur, ses expériences si peu connues, que rien n'a fait soupçonner au géomètre français que sa théorie était a)mplétement erronée.

18. Depuis cette époque, les expériences de Magnus ont mis de nouveau sa fausseté en évidence. Elles ont montré d'une manière bien nette que lorsqu'un corps animé d'un double mouvement de translation et de rotation se ment dans l'air, les densités du fluide ne sont pas égales en deux points symétriques par rapport au plan parallèle à la translation mené par l'axe de rotation, et par suite qu'elles ne dépendent pas seulement des vitesses normales.

Cependant, dans ces derniers temps, un nouvel auteur, reprenant la méthode de Poisson, n'a tenu aucun compte des expériences de Magnos. Je veux parler des recherches que M, Gautier, ancien élève de l'Ecole normale, a exposées soit dans une thèse de doctorat en 1867, soit dans un mémoire présenté à l'Académie des sciences en 1869.

Dans l'un et l'autre travail, M. Gantier admet que la compression on la dilatation en chaque point ne dépend que de la vitesse normale, et que la résistance élémentaire de l'air diffère de la pression ordinaire d'une quantité proportionnelle aune certaine puissance de la vitesse normale. Déplus, l'auteur met complètement de côté le frottement : aussi ses conclusions, comme cela devait être, s'accordent avec les idées d'Euler. M. Gautier n'hésite pas à affirmer qu'un projectile sphérique plein, animé de rotation, ne doit pas s'écarter du plan de tir.

On ne peut s'empêcher d'être frappé de l'influence désastreuse que les pnrs géomètres ont eue sur les progrès de la balistique. C'est encore parmi les artilleurs qu'il faut chercher pour trouver des théories qui, sans être parfaites, mettent cependant en lumière tes principales causes des mouvements des projectiles lancés par les canons rayés.

A leur tête nous n'hésitons pas à placer le général russe Mayewski. Plusieurs auteurs en France se sont aussi occupés de la même question ; mais en même temps que leurs travaux sont postérieurs à ceux de M. Mayewski, ils s'en rapprochent tous plus ou moins. C'est donc lui que nous devons considérer comme ayant fixé les idées généralement admises par ceux qui ont étudié la question avec quelque succès.

19. M. Mayewski a publié la principale partie de ses recherches dans làJtevue de technologie militaire, en 1866. Depuis, il les a com-

10 lOEtHNAL DB». SGŒNCBS UILITÂIBKS.

plétéee et réunies dans un Traité de baiùtiqui dont tue édition française a paru en 187S.

L'auteur commence par faire justice de tous les essais d'esplicatioa où l'on prétend démontrer la dérivation en partasi At l'hypothèse de la résistance parallèle à la trajectoire.

11 semblera peut-être que ce soit là un faible mérite; cependant la faute avait été assez souvent commise, même par des esprits non étrangers aux principes de la science, pour qu'on tiennit compte à M. Majewski de l'avoir relevé d'une manière bien précise.

Il énumère ensuite les diverses forces auxquelles le projectile est funimis pendant son mouvement. Ce sont : i" la gravité ; 3° la résistance de l'air qui s'exerce normalement sur la partie aidérieure dfr la surface; 3" le frottement, qu'il regarde commâ négligeable; 4" l'excès de pression sur certaines parties de la surface et la d^resaion sar d'autres, provenant de la coïncidence de la translation et de la rotation (fait prouvé par H. Magnusj et que l'auteur néglige de méni€, tant parce qu'il les croit peu in&uentes, qu'à cause de la difBculté de les exprimer analytiquement.

30. Ces éliminations faites, il ne reste plus à considérer que La pesanteur et les résistances normales.

H. Mayeswki regarde ces dernières comme fonctions seulement d^ vitesses normales complètes, et ceci n'est pas exact, ainsi que nous l'avons déjà remarqué; mais l'auteur était naturellement conduit à cette hypothèse après avoir commencé par négliger les variations de pression; déplus, à cause de la petitesse del'angle de l'axe de figure et de l'axe de rotation pendant toute la durée du Okouvement, il croit pouvoir admettre que ces vitesses proviennent seulement du mouvement de translation. Dès qu'il en est ainsi, il est clair que la résultante des résistances élémentaires se trouve située dans le plan de l'axe de figure et de la tangente à la trajectoire.

Il reste à fixer les idées sur la direction de la résultante et sur son point d'application. A cet égard l'auteur conclut du calcul que, pour l'obus oblong de 4 à manchon de plomb, le point d'application est en avant du centre de gravité, et que l'angle de la résistance avec la tangente est plus grand que l'angle de celte tangente avec l'axe de figure tant que ce dernier ne dépasse pas 83°.

31. Partant de Là, l'auteur remarque r que la force ainsi dé&ni« produit un couple, dès que la pesanteur a abaissé !a tangente à la trajectoire ; que ce couple engendre un mouvement conique de l'axe de figure, qui se trouve ainsi déplacé vers la droite; et que la résistance, qui reste toujours dans le plan de l'axe et de la tangente, tournant en même temps que cet axe, fournit bientdt une composante perpendiculaire au plan de tir, ce qui entraîne la d^ivation du projectile vers La droite.

,..d:,i.Googlc

BÉSISTANGE U l'aUI AU UOUVXWtflT DU PBOJaCTlLES. 11

Mais une objection se présente immédiatemeitl. Soiis Vactios persistante du couple de la résistance, l'axe de figure ne pouira-titpafc se trouver h gaoehe, après avoir passé au-desaoua de la tangente? et s'il en est ainsi, la composante perpendicnlaire an plan de tir se trouvant elle-mifiiae dirigée à gai^be, ne détruira-I-^e pas, pendant la seconde période du mouvement, l'effet qu'elle avait produit, pmdast la iweoù^e ?

Dans ses premiètes recherches, M. Mayewski avait répondu à ces questions qu'en effet L'axe de â^ure passait à gauche, et qu'il pouvait mé»e exécuter autouD de la tangente plusieurs révolutions pendant la durée- du. trajet du projectile; mais il avait observé que pendant une révolution compfôte, l'axe restait beaucoup plus longteaips à droite qa'h gauche, parce que l'abaissement de la tangente due à la pesanteur retarde ie mouvement relatif de Taxe tant qu'il est à droite et l'accélère au contraire tant qu'il est à ganche. Il résullut biea de là une force dérivattico agissant alternativement vers la droite et vers- la gauche ; mais l'action vers la droite était prépondérante; ta projection horizontale de la trajectoire présentait des pointa d'inâexion, mais le projectile ne cessait de rester h droite du plan de tir.

Dans son Traité de balittique, M. Mayevtski a repris cette question de beaucoup plus près, et il est arrivé à conclure définitivement que le mouvement de révolution ne s'exécute pas, que l'ase de figure reste toujours à droite, que l'abaissement de la pesanteur est assea rapide pour l'empêcher de passer à gauche, et que le moovement de cet axe ne se compose que d'une série d'oscillations d'amplitudes variables. Dès lors la force dértvatrice agit toujours vers la droite, I» projection horizontale de la trajectoire n'offre plus de points d'inflexion, et le projectile ne cesse pas de s'écarter de plus en plus vers la droite d'une manière régulière.

23. Telle est, en résnmé, la théorie du général Mayewski. Le simple aperçu que nous venons d'en présenter suffit, croyonsnous, à montrer tout le mà'ite que l'on doit j attacher-

L'explication est simple et lumineuse, et l'on suit, pour ainsi dire, des yeux l'axe du projectile et son centre de gravité se déplaçant dan» l'espace sous l'action de la résistance de l'air définie d'une manière précise.

C'est sans contredit au général Mayewski qu'il faut attribuer le plus grand pas qu'ait fait la balistique depuis Robins; car avant lui personne n'avait donné une théorie même approchée du mouvement des projectiles lancés par les canons rayés.

Malheureusement, le rapprochement même de ces deux noms nous oblige à reconnaître que la théoHe que nous venons d'exposer dans son ensemble n'est pas à l'abvi de tout reproehe; et aprèB

a lOmiNAL DES SCIENCES MI1.1TA1B83.

avoir essayé d'en montrer tous les mérites, nous croyons qu'il est permis d'en indiquer les imperfections.

23. D'après cette théorie, quel serait le mouvement d'un projectile sphérique animé de rotation ? Il est clair qu'il ne devrait pas sortir du pian du tir. Or, nous l'avons déjà dit à plusieurs reprises, l'expérience prouve qu'il n'en est pas ainsi. On retomberait donc ainsi dans les erreurs d'Euler et de M, Gautier. Cependant nous nous garderons de confondre avec eux le général Mayewski. A conp sur cet auteur sait que la rotation des projectiles sphériquesa une influence sur leur mouvement de rotation. Il sait aussi par tes espé* riences de Magnus que la coexistence des deux mouvements engendre des inégalités de pression à droite et à gauche du plan del'axe et de la tangente. On demandera alors pourquoi il n'en a pas tenu compte; la réponse, croyons-nous, est simple : c'est qu'il n'a pas trouvé le moyen de le faire avec quelque rigueur.

24. Maintenant il faut bien reconnaître qu'en recherchant à la fois l'explication des déviations des projectiles sphériques et decelles des projectiles oblongs, on se Irouve devant une véritable difficulté, puisque, dans des conditions de tir toutes semblables, lesuns s'écartent à gauche tandis que les autres dévient k droite. En ne considérant que l'un des deux phénomènes, on a pu trouver assez facilement quelque hypothèse rendant assez bien compte des effets que l'on avait spécialement en vue, mais impuissante à expliquer l'autre série de phénomènes pour lesquels elle n'était pas faite. Ainsi que nous venons de le montrer, la théorie de M. Mayewski elle-même n'échappe pas à ce reproche : tout en réalisant de trèsgrands progrès sur les essais antérieurs, elle n'est en somme qu'une approximation.

25. Eu la faisant connaître avec ses qualités et ses imperfections, nous avons justement déterminé le terrain sur lequel il convient de traiter la question. Ce qu'il s'agit de faire, c'est de trouver une expression générale de la résistance qui rende compte aussi bien des écarts des projectiles sphériques que de ceux des projectilesoblongs. Il est d'autres phénomènes que ceux que nous avons déjà: signalés dont il faudra aussi faire connaître la cause.

L'expérience montre que les projectiles oblongs, avant d'être portés vers la droite, restent quelque temps à gauche du plan de tir. A quoi tient cet écart primitif, connu sous le nom de conire-dérivalionî

Dans certains cas, les projectiles oblongs restent et tombent k gauche d'une manière normale. Pourquoi cette dérogation à ce qui semble la règle ordinaire de la dérivation ?

Telles sont les questions auxquelles une théorie complète doit aussi être en mesure de répondre.

BfiSlSTANCB DE l'AIB AU UOnVBHEHT DBS PROJECTILES.

26. On voit par le simple aperçu historique et critique que noua venons de présenter, que les erreurs ou imperfections que nous avons relevées ont une cause commune, i'étude insuffisante de la résistance de l'air.

11 est clair cependant que l'on ne pourra pas espérer rendre compte de toutes les circonstances du tir, si l'on n'a pas une coenaissance complète du mode d'action de ce fluide, puisque cette action est la seule cause première de tous les faits que l'ou a en vue d'expliquer.

La connaissance approfondie du phénomène physique dé la résistance et indépendamment des effets qui en résultent, tel doit donc être le premier objet de l'étude de la balistique.

Il nous semble, en effet, que cette étude doit être nécessairement divisée en deux parties d'une manière bien nette, et que l'on ne devra rechercher les lois du mouvement par l'analyse que quand la première partie du problème aura été complètement résolue.

Bès que l'on croira avoir obtenu une connaissance exacte du mode d'action de l'air, il faudra essayer, en ta prenant pour point de départ; de se rendre compte, d'une manière générale, des principaux mouvements des projectiles, par quelques considérations simples et directes, et en réservant le calcul pour préciser et mesurer les détails.

27. C'est ainsi qu'ont procédé les premiers auteurs qui ont traité de la balistique. Mais en constatant qu'ils ont divisé le problème, il est juste de reconnaître que pour eux la solution de la première partie était si simple qu'ils ne pouvaient guère agir autrement. La forme sphérique des projectiles, le seul mouvement de translation qu'on leur supposait, ne laissaient pas de doute sur la direction et le point d'application de la résistance, et cela par de simples raisons de symétrie, et sans avoir besoin de se faire aucune idée sur le mécanisme de la résistance.

Malgré cela on a cherché, dès le début, à approfondir le phénomène physique, et ce n'est qu'ainsi que l'on est arrivé à ce que l'on appelle la loi théorique de la résislance. Cette loi, qui exprime que la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse et à la projec- Uon du projectile sur un plan perpendiculaire à la direction de son mouvement, n'a pu être obtenue que par l'application du théorème du travail et des forces vives. Or, la rechercher ainsi, c'est se faire une idée sur la manière dont l'air agit, c'est supposer que quand un projectile se meut dans l'air, ce fluide se trouve simplement re-

44 JOUnlUL BBB aCIBIKBS HILITAOIS.

foulé dans la direction du mouvemeni, comme lorsqu'un piston se meut dans un tuyau d'une longueur indéfinie. Pour plusieurs raisons, cette manière de voir n'est vraie dans aucun cas, et c'est pour cela que la loi du carré n'est pas exacte même avec les boulets sphé* Tiques. Alais c'est sans doute aussi parce qu«, admise an début, alors i!|u'eUe n'avait aucune miluence sur la direction et le point d'afiplication de la résistance, cette manière de voir a subsisté dans l'esprit de tous ceux qui se sont occupés de la question, qu'il s'ea est trouvé de nos jours qui ont admis sans hésitation que la résislaitoe de l'air était une force parallfcle à la tangente h la trajectMTe, quelle que soit la forme des projectiles, et quelles que soient les coo* ditions initiales de son mouvement. Il est vrai que les résultats -da tir de l'artillerie rayée pouvaient suffire h leur montrer combien leur fajpothèse était fausse ; naais s'ils n'ont pas fait de suite «ette remirque, cela tient sans doute à ce qu'ils n'ont pas songé an seul instant à douter de l'exactitude d'une hypothèse généralement admise.

28. Quoi qu'il en soit, ils ont tenu à fixer leurs idées sur la résistance, & résumer l'ensemble des actions de i'air, avant de s'occuper de la recherche de la trajectoire. Si aujourd'hui l'étude de la première partie du problème est bien autrement complexe, ce n'est qu'une raison de plus de suivre la même méthode, et de diviser l'étude de la balistique en deux parties. En agissant de la sorte, on pourra souvent s'épargner une peine inutile, et c'est \k un avantage que l'on n'obtiendrait pas si, après avoir acquis quelques notions plausibles sur la loi de variation des résistances élémentaires, on confondait les calculs destinés à la composition de ces résistances avec ceux qui ont pour objet la détermination de la trajectoire. En svivant une pareille marche, si les données d'où l'on est parti sont inexactes, on n'en sera averti qu'après avoir terminé les derniers calcols. En cherchant, au contraire, à exprimer d'une manière simple la résistance de l'air par la composition des résistances élémentaires, on swa conduit, par les résultats mêmes de cette première étude, à l'explication sommaire des principaux mouvements des projectiles, et si les résultats de cette étude rapide ne concordent pas avec les faits, ce aéra une preuve qu'avant de traiter la seconde partie de la question, il faut revenir sur l'étude de la première.

29. De plus, ce n'est vraiment qu'à cette condition que l'on pourra être conduit & la véritable explication du phénomène; je veux dire que, quand l'antre méthode aura domié tous les résultats qu'elle est susceptible de produire, on saura trouver à chaque instant la position dn projectile, mais qu'on ne «aura pas comment il y est «nivé.

Or, si ce résultat semble suffisant, il me paraît indubitable que la

sâsiSTANCB DB l'AIH 1D UOUTBHBNT DES PROJECTILES. 1S

méthode la plus capable d'y conduire soit, non pas un calcul fondé sur des hypothèses plus ou moins exactes, mais bien !a recherche d'une formule empirique d'aprÈs les données du lir. Et si l'esprit veut aller plus loin et comprendre les causes du phénomène, il est bien certain que l'équation de la trajectoire ne les lui montre pas, qu'elle provienne de l'empirisme ou d'un pur calcul établi dans d'autres conditions. Cette méthode, que je critique, ne serait même pas exempte de reproche, alors qu'interprétant les résultats du calcul on parviendrait à donner une image géométrique du mouvement; car on verrait bien par là comment le projectile se meut, mais on ne verrait pas comment c'est l'action de l'air qui le déplace ainsi.

C'est parce que le général Hayewski a suivi une tout autre marche qu'il a fait faire un si grand pas à la balistique, et pour use raison inverse que M, Gautier, partant d'hypothèses assez semblables, aurait appris peu de chose sur la vraie théorie du mouvement des projectiles, alors m^me que ses formules seraient conformes aux résultats du tir. Mais je ne veux pas insister plus longtemps sur les avantages de cette méthode que l'illustre Poinsot a si bien décrite, dont il a donné de si beaux exemples, et que l'on pourrait s'étonner de voir si peu suivie depuis que la France a eu l'honneur de le produire, si l'on ne savait tout ce qu'elle exige de persévéraooc et de Irates réflexions pour Être employée avec quelque succès.

30, L'objet du travail qui va suivre est l'étude approfondie de la résistance de l'air. Or, nos connaissances sur la physique moléculaire ne sont pas capables de fixer nos idées é priori sur le mécanisme de l'action de ce fluide; c'est donc à l'expérience qu'il faut s'adresser, si l'on veut acquérir queâqiaes notions esacAes de ce phénomène. En prétendant rencontrer les vrais principes de la résistance de l'air, nous appuierons notre assertion par deux genres de preuves : d'abord en montrant que nos idées reposes! sur des expériences ée physique bien nettes; en monto-ant ensuite qu'elles expliqueitf tous les faits.

Du reste, nous avons déjà publié le fond de notre théorie daas une brochure parue en 1870 à la librairie militaire Corréard, et dans plusieurs articles insérés daas la Rewe mititaire française. €e qne nous nous proposons de faire ici, c'est de réunir ces divers éléments épars, en les déveloi^aot et les counplétant de qudques aperçus oeuveaax.

D,g,t,.,.d.i.GOOglC

THÉORIE DE LA ItÉSISTANCE DE L'AIR.

CONsmàBATIONS GâHËBALKS.

31. De quelque manière que l'on conçoive le mécanisme de l'action que l'air exerce sur les corps qui le traversent, on peut toujours, avec Poisson, regarder cette action sur un élément quelconque de la^ surface du corps en mouvement comme composée de deux parties :

L'une, dirigée suivant la normale à l'élément considéré et que j'appellerai la résistance normale élémentaire; l'autre, suivant la tangente comprise dans le plan nonnal qui contient la direction de la vitesse totale de l'élément; je l'appellerai la résistance tangentielk élémentaire.

La résistance sur un élément de surface dépend de la vitesse normale complète de ce point, c'est-à-dire de la vitesse normale qui résulte des mouvements de translation et de rotation que le corps possède ). elle dépend aussi de la densité de l'air en contact avec l'élément de surface dont il s'agit.

De même la résistance tangeotielle dépend de la vitesse tangentielïe complote et aussi de la densité de l'air en contact.

lia densité est donc une variable commune aux deux fonctions capables de représenter les variations des deux résistances élémentaires; il convient, par suite, de chercher tout d'abord à se faire quelque idée exacte de la manière dont elle-même peut varier.

32. Lorsqu'un corps de révolution est animé d'un simple mouvement de translation, il est clair que, quelle que soit la distribution des densités de l'air en contact provoquée par le mouvement du corps, ces densités sont symétriques par rapport au méridien parallèle à la translation. Dès que te corps possède de plus un mouvement de rotation, il n'en est plus du tout ainsi.

Pour fixer nos idées à cet égard, reportons-nous aux expériences de M. Magnus, dont nous avons déjà parlé plusieurs fois [fig. 1).

M. Magnus prend un cylindre circulaire droit qu'il fait tourner autour de son axe placé verticalement, en même temps qu'un courant d'air vient en frapper la partie antérieure. De petites girouettes sont placées sur les deux côtés du cylindre, et M. Magnus

RÉSISTANCE DE l'aIB AU HOUVEHERT DBS PB0JBCT1LB3. iT

constate que si la rotation est directe' pour un observateur placé sur l'axe et voyant venir le courant d'air, la girouette de droite est écartée du cylindre, tandis que la girouette de gauche en est rapprochée. Il en conclut avec raison qu'à droite il y a condensation, c'est-à-dire augmentation de densité de l'air en contact avec le cylindre^ tandis qu'à gauche il y a dilatation, c'est-à-dire diminution de densité.

Le physicien allemand donne, du reste, une explication bien simple des résultats qu'il a constatés, en remarquant, après Robins, que sur le côté droit le mouvement de rotation du cylindre s'oppose à l'écoulement de l'air qu'il r.îfoule, tandis qu'à gauche il le facilite en l'entraînant ; que de là il doit résulter à droite une condensation, à gauche une dilatation, ainsi que l'expérience le prouve.

On admettra sans hésitation que si le cylindre, au lieu de recevoir le choc du courant d'air, était animé lui-même d'une translation en sens inverse , les effets produits seraient à peu près les mêmes dans leur ensemble. Or, dans de pareilles conditions de mouvement d'un cylindre, la rotation ne prodnit aucune vitesse composante normale, et celles qui proviennent de la translation sont symétriques par rapport au méridien parallèle à la translation; la densité de l'air ne dépend donc pas seulement de la vitesse normale de l'élément en contact, et par conséquent elle dépend nécessairement aussi de sa vitesse tangentielle. H n'est pas douteux maintenant que si, au lieu d'un cylindre se mouvant dans les conditions que nous venons de définir, il s'agissait d'un corps quelconque, il y aurait pour l'air en contact des densités variant suivant les éléments de surface et d'après les mêmes causes. Il faut donc conclure de là que, lorsqu'un corps est en mouvement dans l'air :

10 La densité de l'air en contact acquiert des valeurs notablement différentes d'un élément à l'autre de la surface, ce dont peu d'au-, tenrs ont tenu un véritable compte jusqu'à présent:

2" Que cette densité variable dépend non-seud normale de f élément en contact, mais aussi de lavitt que personne n'a supposé parmi ceux qui ont tra et ce qni a été la cause des résultats erronés et M. Gautier sont arrivés, ainsi que nous l'a

t Nom enteadans par rotation directe, celle qui «'exécute de' dnnte à ganctu pour un obararateur plac^ sut l'axe. C'est la dénominatioii emplojrda en aitn>'

D,g,l,.,.d.i.COOglC

18 JOUHKAL

33. Parlons mainlenant des résistances normales éiémenlaires. Par cela seulement qu'un corps est plongé dans l'air, il est soumis sur toute sa surface à des pressions de la part de ce fluide; ce 6onl ces pressions qui, lorsque le corps est en repos et que la densité est partout la même, produisent par leurs compositions la force verticale que l'on appelle la poussée. De pareilles pressions s'exercent encore lorsque, pour des causes quelconques, les densités ne sont pas uniformément distribuées, el, dans l'état de repos du corps, ce 60nt toujours les seules forces normales auxquelles il soil soumis.

Il nous semble que, dès que le corps est en mouvement, on ne doit plus considérer les choses de la même façon ; non-seulement les pressions dont nous venons de parler ne sont plus alors les seules forces normales qui proviennent de l'air, mais nous pensons de plus que leur action est tout à fait insensible vis-à-vis de celle qui l'ésulte du déplacement de l'air que le mouvement du corps provoque. Il y a, par suite de ce mouvement, un véritable choc normal de l'air ■en chaque point de la partie antérieure, c'esl-â-dire de celle qui sort de l'espace occupé par le corps à l'instant précédent, et par suite ■une perte de force vive. La force qui en est cause est la seule que l'on puisse, à proprement parler, appeler la résistance normale élémentaire, et c'est la seule dont nous croyons qu'il soit nécessaire ■de tenir compte. C'est ainsi que Poisson et le général Mayewski envisagent la question, et nous ne croyons pas qu'il y ait lieu de modifier ieur manière de voir à cet égard.

34. -Cependant tous les auteurs ne sont pas unanimes à concevoir ainsi le phénomène physique de la résistance. Pour quelques-uns, les actions de l'air sur les corps qui le traversent ne sont pas d'une ■autre nature que celles qui produisent la poussée, lorsque le corps est au repos dans un milieu homogène; ces actions élémentaires sont bien rendues inégales par le fait du mouvement qui modifie les densités en chaque point, mais la résistance ne provient d'aucune autre cause. Autrement dit, ces auteurs admettent que la vitesse n'intervient pas directement pour produire la l'ésislance , mais qu'elle ne joue un rôle que par l'intermédiaire des densités qui en ■dépendent et qui sont proportionnelles aux pressions. Aussi tiennent-ils compte de résistances élémentaires s' exerçant sur toute la surface du corps, sur la surface postérieure où la vitesse est négative aussi bien que sur la partie antérieure. C'est là entièrement la manière de voir de M, Gautier. Mais admettre ainsi que la résistance ne provient que des pressions élémentaires considérées comme pressions statiques, c'est admettre que cette résistance subsisterait sans modifications, si à un moment on arrêtait le corps en mouvement et que la distribution des densités autour du corps restai la même. Or, il est clair qu'il ne peut en être ainsi et que l'état de

BËS18TANCB DE l'aIR AD MOUVEMENT DES PBOIBGTILBS. 19

mouvement du corps change la nature des forces auxquelles il est soumis de la pari de l'air.

El, du reste, qu'enlend-on au juste par pression d'un fluide qui n'est pas en équilibre 1 Comment en apprécier et en mesurer k grandeur? Toutes ces observations nous conduisent à repousser la maniÈre de voir de M. Gautier. Nous admettrons donc que les résistances normales élémentaires ne s'exercent que sur la partie antérieure du corps, et qu'en chaque point elles sont proportionnelles à la densité de l'air en contact et à une certaine fonction de la vitesse normale. Remarquons, du reste, que par cela même nous tiendrons compte implicitement des inégalités de pressions sur la partie antérieure, puisque ces pressions croissent avec les densités ; et quant à celles qui peuvent exister sur la partie postérieure, on ne commettra qu'une iégfcre erreur en les négligeant, car celle partie, c'est-à-dire celle qui entre dans l'espace occupé par le corps à l'instant précédent, se dérobe pour ainsi dire k leur action.

35. Pour terminer ces considérations générales, il ne reste plus qu'a parler des résistances tangentielles élémentaires. Puisque la densité dépend de la vitesse tangentieile. c'est que celle-ci concourt avec la vitesse normale à déplacer l'air en contact avec le corps. En vertu de ces vitesses, le corps communique à l'air des mouvements dans le même sens, mais dont les vitesses sont moindres que celles que le corps possède, parce que l'air» les molécules voisines ne peut céder complète que le corps tend h produire ; k cause de la d du corps et de celle qu'il communique, il y a ti sur l'air. Le corps est donc l'objet, de la pari tance au mouvement qu'il tend à lui imprimer langeniieiiemeni.

C'est cette force qui constitue en chaque point la résistance tangentieile élémentaire ou frottement. Elle est dirigée dans le sens opposé à celui de la composante tangentieile de la vitesse totale de l'élément considéré. Nous admettrons qu'elle est proportionnelle k la densité et à une certaine fonction de cette vitesse tangentieile.

CAS PARTICULIEIt D UN CTLINDRE CtBCULAIRE OnorT.

36. Après avoir présenté les considérations générales qui précèdent, nous allons essayer maintenant de préciser le mode d'action de l'air dans un cas simple et de nous rendre un compte assez exact des forces qui en résultent.

Nous considérons le mouvement d'un cylindre circulaire droit animé d'une rotation autour de son axe et d'un^ translation perpen-

5 SCIENCES MILITA IREH.

diculaire à cet axe. Outre que ce cas est le plus simple que l'on paisse concevoir, et par suite le premier à étudier, que d'ailleurs il se rapproche des cîrconstaoces dans lesquelles ont été faites les expériences de M. Magnus, son étude est de plus un achemioement direct vers la solution du problème que nous nous proposons de résoudre comme dernier i-ésultat, c'est-à-dire la connaissance du mode d'action de l'air sur les projectiles de l'artillerie et en particulier sur les obus oblongs.

En étudiant ce cas particulier, nous commencerons naturellement par nous occuper de la distribution des densités.

37. Dans les conditions où M. Magnus a fait ses expériences, il est acquis par les phénomènes qu'il a constatés qu'il se produit une condensation sur la partie droite du cylindre, et de plus que le maximum de condensation a lieu sur la génératrice qui est à l'extrÈrae droite {fig. 1).

Il nous semble que lorsque le cylindre est animé lui-même d'une translation, au lieu de recevoir le choc d'un courant d'air, il ne doit plus en être absolument de même. Le vide qui tend à se produire sur ta partie postérieure doit faciliter le mouvement de l'air sur les parties latérales, et par suite diminuer la condensation îi l'extrême droite.

Cette circonstance ne se présente pas dans les expériences que nous venons de rappeler; d'après cela, nous croyons que, dans le cas d'un mouvement effectif de translation du cylindre, le maximum de densité n'a pas lieu .1 Vextrôme droite, mais sur une certaine génératrice située sur la partie antérieure droite et dont la position dépend du rapport de grandeur des vitesses de translation et de rotation. Pour une vitesse de rotation donnée, cette génératrice doit être d'autant plus rapprochée de la génératrice la plus avancée que la vitesse de translation est plus grande.

■Quant à la grandeur de ta condensation, on peut s'en Taire une idée en considérant d'abord ce qui arrt\'e dans les cas extrêmes où le cylindre n'a qu'un seul dos deux mouvements de translation et de rotation. Lorsqu'il n'y a que rotation, il peut bien y avoir sur toute la surface latérale une légère dilatation due aux forces centrifuges ; mais les densités, en diminuant partout, ne cessent pas d'être égales. Lorsqu'au oontraire la translation existe seule, il n'y a ni condensation ni dilatation sur les parties latérales, c'est ce qu'éta- "blissent encore les expériences de M. Magnus; mais on doit penser qu'il existe une légère condensation sht la partie antérieure et une 'légère dilatation sur la 'partie postérieure. D'Rprès cela, lorsque l'une des deux vitesses est très-petite, le maXitnum des 'Condensations doit être très-petit, et il doit acquérir sa plus ^ande valeur iwutd^ taleiltii mbyemies de chacune d'dles.

BiSISTAMCB DS l'&IB AU UOUVSIIENT DIS FBOJICTILES. 21

38. En résumé, avec une vitesse de rotation donnée, lorsque la vitesse de translation est relativement très-petite, le maximun) de condensation a lieu sur une génératrice très-voisine de l'extrÊme droitej à mesure que la vitesse de translation augmente, le maximum s'éloigne de l' extrême droite et devient plus grand. U atteint sa plus grande valeur pour une certaine vitesse de translation au delà de laquelle il décroît, mais toujours en s'élolgnant de l'extrême droite pour se rapprocherde la génératrice la plus avancée. D'après cela, la position de la génératrice du maximum serait assez bien définie par la formule :

tg X = k-r

où X est l'angle du méridien qui la contient avec celui de la translation, k une constante, > la vitesse de la rotation, u celle de I9 translation. Quant au minimum de densité, on peut admettre qu'il a lieu sur la partie postérieure gauche, et même qu'il se trouve sur la génératrice diamétralement opposée à celle du maximum. Enfin, entre ces deux valeurs extrêmes on peut représenter les condensations et dilatations sur chaque génératrice par des quantités proportionnelles au cosinus de l'angle du méridien de chacune d'elles avec celui de la génératrice du maximum.

En dehors de ces idées spéciales, qui ne sont pas absoluniont rigoureuses, ce que l'on peut conclure des considérations que nous venons de présenter, c'est l'influence précise de la rotation sur la distribution des densités. On peut dire, d'une manière générale que si la rotation est directe, elle a pour effet de déplacer le moicimum de densité vers la droite en en accentuant fintensité.

39. Occupons-nous maintenant des résistances normales élémentaires. Ainsi que nous l'avons dit plus haut, nous ne considérons ces résistances que sur la partie antérieure du cylindre. Elles dépendent en chaque point de la vitesse normale complète de ce point et de la densité de l'air en contact. Le mouvement de rotation ne donnant pas de vitesses normales, celles-ci sont syméti'iques par rapport au méridien de la translation (le çiéridien parallèle k la translation); nous venons de voir d'autre part que les densités sont plus grandes à droite qu'à gauche : donc la résîdtante des résistances normales élémentaires, qui nécessairement est une perpendiculaire sur le miheu de l'axe, est dirigée vers la gauche et vers l'arrière {fig. \). D'un autre cAté, nous avons admis que des densités étaient symétrique par rapport au méridien du maximum; comme à gauche de ce méridien les vitesses nonnales sont plus grandes qu'à droite, la résidante est dirigée vers la droite du méridien du maximum. Donc, en