JOOBNAL DES SCIENCES MILITAIRES
définitive, la résultante des résistances normales se trouve comprise dam f angle formé par le méridien de la translation et le méridien du maximum. Pour une vitesse de rotation donnée, elle se rapproche d'autant plus du méridien de la translation que la translation est plus grande.
40. Quant à la grandeur de la résultante, elle est à peu près la même que si la translation existait seule. En effet, sur la génératrice antérieure que cette résultante rencontre, la vitesse normale est plus petite que sur la génératrice la plus avancée, mais la densité est augmentée par le fait de la rotation. Sur cette génératrice, les résistances élémentaires sont donc à peu près les mêmes que celles qui agissent sur la génératrice la plus avancée dans le cas d'une simple translation; en outre, les résistances diminuent de part et d<autre de cette génératrice avec des rapidités différentes, il est vrai, mais en passant par les mêmes valeurs que dans ce dernier cas; la grandeur de la résultante est donc à peu près la même dans les deux circonstances,
Nous savons bien que ces considérations ne sont pas absolument rigoureuses; mais nous pensons qu'elles sont suffisantes pour montrer que la grandeur de la résultante n'est pas notablement modifiée par l'existence d'une rotation coexistant avec le mouvement de translation. Cependant nous ajouterons que lorsque la vitesse de rotation est grande, elle peut avoir pour effet de diminuer d'une manière sensible la grandeur de la résultante, parce qu'alors les forces centrifuges qui en résultent produisent une dilatation de l'air en contact avec le corps dont l'effet n'est peut-être pas négligeable.
En résumé, nous sommes donc conduit è admettre, par ces diverses remarques, que Vexiitence du mouvemnnt de rotation a pour influence sur la résultante des résistances normales, de la faire tourner d'un certain angle vers la gauche en en diminuant tintemité d'une quantité d'autant plus grande que la rotation est plus rapide.
M. Occupons-nous maintenant des résistances langentielles. Ces résistances s'esercent sur la surface du cylindre et dépendent des vitesses tangentiettes ainsi que des densités.
Les vitesses tangentielles sont égales en deux points symétriques par rapport au méridien perpendiculaire à celui de la translation; comme la densité est plus grande en avant qu'en arrière, la résultante des résistances langentielles appliquée en ces deux points sera généralement dirigée en arrière et à droite du méridien de la translation. Je dis généralement, car si la translation est grande relativement à la rotation, il peut arriver que les résultantes partielles en quelques points symétriques soient dirigées vers la gauche. Il est facile de voir, en effet, que, dans ce cas, sur la partie du cylindre
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HÂSISTAMCE DE l'aIB AU MOQVXUBHT DIS FBOtBCniJtS. 23
située à rextrÈme gauche, les résistances tangentielles composées deux à deux, comme nous venons de l'indiquer, donneront des résultantes partielles dirigées à gauche ; car alors les vitesses tangentielles surcette partie ont le même sens que si la translation existait seule, et par suite c'est la résistance élémentaire au point situé en avant qui est dirigée à gauche, tandis qu'au point symétrique elle est dirigée à droite. Mais il faut observer que, même dans ce cas, la résultante totale des résistances tangentielles sera dirigée à droite, du méridien de la translation; car tant que la rotation ne sera pas nulle, la portion de surface pour laquelle les résistances composées deux i deux donnent des résultantes partielles dirigées & droite sera toujours plus grande que celle pour laquelle ces résultantes sont dirigées à gauche; de plus, les premières ont une plus grande intensité que les secondes, parce que sur la partie droite les composantes tangentielles de la translation et de la rotation s'ajoutent et qu'il y a condensation, tandis qu'à gauche elles se retranchent et qu'il y a dilatation. Ce sera donc l'action sur la partie droite qui sera prépondérante, et la résuUanle totale des résistances tangentielles sera dirigée à droite et en arrière du méridien de la translation
(fis- !)•
4â. Considérons maintenant les résistances élémentaires en deux points symétriques par rapport au méridien du maximum de densité. En ces points les densités sont les mêmes, et il est visible que les vitesses tangentielles sont plus grandes à droite qu'à gauche. Il en résulte que ces résistances donnent une tésullante partielle dirigée à gauche du méridien perpendiculaire à celui du maximum, et par suite qu'il en est de même de la direction de la résultante totale.
Nous voyons donc que la résultante des résistances tangentielles, toujour» perpendiculaire sjo- le milieu de V axe, est comprise dans I angle dièdre formé par le méridien de la translation et par le méridien perpendiculaire â celui du maximum de densité.
43. Cette résultante ne rencontre pas l'aie comme celle des résultantes normales ; à cause de cela il est nécessaire d'apprécier sa grandeur à un double point de vue : au point de vue de la force elle-même et au point de vue du couple qu'on engendre en la transportant au centre de figure.
Parlons d'abord de ce couple. On voit aisément que sa grandeur est sensiblement la même que si la rotation existait seule ; car si la translation a pour effet de diminuer les vitesses tangentielles sur quelques parties de la surface, et mCme, lorsque sa vitesse est assez grande, de les faire changer de sens, elle augmente d'autant ces vitesses sur les autres parties, et par suite elle ne change pas sensiblement la grandeur du couple résultant.
C'est, au contraire, de la translation surtout que dépend la gran-
tk JOUBHAI, DU BGUUiCBS HUITtlUS.
deur de la résultante elle-même ; car toutes les résistances tangentidles qui en proviennent s'ajoutent, tandis que celles que produit ta rotation se retranchent en deux points diamétralement opposés, et par suite leur composition donne une résultante k peu près négligeable.
On peut donc admettre d'après cela que Vinflumee de la rottUioR at de produire un couple et de faire tourner vers la droite la résvUanU que prodinraietit les résistances langentielles, $i la Inaisiatiou exittail seule ; en remarquant que cette résultante ae s'écartei-a jamais beaucoup dn méridieD de la translation, car elle en est très-i'approchée dans les deux cas extrêmes où la transblion est très-grande ou trèspetite. Il n'en est pas de cette force comme de la résultante des résistances normales qui, ainsi que nous l'avons vn, se déplace toujours dans le même sens pendant que la vitesse de translation croit.
Pour se rendre un compte exact de la grandeur et de la position de la résultante des résistances langentielles, on pourrait encore considérer, au lieu de la translation et de la rotation, le seul mouvement de rotation qui est capable de les remfdacer; mais oous croyons inutile d'entrer dans de nouveaux détails à ce sujet.
44. Par l'analyse précédente, nous avons donc réduit toutes les actions de l'air sur le cylindre à deux forces appliquées à son centre de figure, toutes deux perpendiculaires à son axe et à un angle dont le plan est aussi perpendiculaire à cet axe.
Si le cylindre est homogène, l'effet de ce couple est bien net : il n'a pas d'autre action que de ralentir la rotation. Même dans cette hypothèse, l'effet produit par les deux forces n'est pas aussi fadie à exprimer. L'une d'elles élanE dirigée vers ta gauche du méridien de la translation et l'autre vers la droile, on ne peut décider à priori de quel cOté sera dirigée leur résultante, puisque l'on ne connaît d'une manière exacte, d'après ce que nous en avons dit, ni leurs grandeurs, ni l'angk que chacune d'elles fait avec le méridien de la translaUon. Heureusement, indépendamment d'expériences propres à l'artillerie qui seraient capables de résoudre la question, M. Magsus a fait] fi cet effet, des expériences spéciales très-utiles pour résoudre la difficulté que nous venons de rencontrer. Ce n'est pas dans ce but que M. Magoua lésa faites, car il n'a nullement essayé d'examiner en détail les résistances élémentaires, soit normales, soit tangenlielles ; il avait seulement en vue de mettre en évidence le sens de l'action totale de l'air. Dans ces expériences on voit toajours ua cylindre qui tourne autour de son axe pendant qu'il reçoit le choc d'un courant d'air; mais en même temps ce cylindre est tellement suspendu qu'il peut se déplacer latéralement, et il est facile de constater ainsi qu'il se déplace, en effet, dans le sens du
r„s,i,.,.d.i.C00glc
BÉ8ISTANCE DK L'aIR AU MOUTEIONT SB3 PHOJBCTILES. 2$
mouvement de la partie antérieure du cylindre. La résultaate totale des résistances élémentaires transportées au centre de figure est donc dirigée en arrière et à gauche du méridien de la translation. Mais quelle direction au juste pournit-on lui assigner dans chaque cas d'une manière suffisamment approchée?
45. Pour nous faire quelque idée à cet égard, considérons seulement d'abord la résultante des résistances normales. Nous avons vu qu'elle occupe toujours une position Inlermédiaice entre le méridien de la translation et celui du maximum de densité. La position de ce demi»* étant définie par la formule :
il nous semble que celle de la résultante pourrait l'être par la formule :
(2) tgiy=K^
où y est l'angle du méridien qui la contient avec celui de la translation, ce qui revient %, supposer que l'angle y est la moitié de l'angle x.
Il est clair que cette hypothèse n'exprime pas rigoureusement la vérité ; car même en supposant la position du maximum de densité définie par la formule (1) et les densités distribuées comme nous l'avons supposé, la valeur Je y dépend de la loi de variation des résistances élémentaires en fonction des vitesses, et tout ce qui précède est indépendant de la nature de la fonction capable de l'exprimer. Or, il n'y a qu'une seule loi de résistance ou tout au plus un nombre déterminé, avec lesquels l'angle y puisse être la moitié de X.
Par conséquent la formule (2) ne peut être exacte d'une manière générale, si on la compare à la formule (1); mais il ne faut paft conclure de là qu'en ta considérant isolément et indépendamment de ses rapports avec la première, on ne puisse la conserver pour déterminer le méridien de la résultante. Et, eu effet, ce n'est que l'empirisme qui nous a conduit à la formule (1), et par un pareil procédé on aurait pu parvenir directement à la seconde ; et comne c'est l'angle y seul qui devra servir dans la recherche de la trajectoire, rien ne s'oppose à ce qu'on le suppose défini par la formule (2), surtout si l'on remarque qu'elle contiei^un coefficient K que l'expérience sera appelée à déterminer.
En agissant ainsi on n'introduira pas dans la recherche de la trajectoire l'hypothèse que y est la moitié de x, puisque ce dernier
36 JOURNAL DKS SUIincBS UILITAIBK.
angle n'y paraîtra pas. La foimule (3) nous semble donc pouvoir être admise ; mais il est bon de remarquer que si l'on se donne la distribution des densités ainsi que la loi de résistance, il est facile de déterminer rigoureusement l'angle y.
46. Supposons, par exemple, que le méridien du maximum de densité fasse arec le méridien perpendiculaire k la translation l'angle p, que les condensations et dilatations en chaque point soient proportionnelles à la densité naturelle / du fluide et au cosinus de l'angle du méridien de ce point avec celui du maximum. Supposons, de plus, que la résistance élémentaire soit proportionnelle à la densité et il une puissance m de la vitesse. Considérons l'action de l'air sur la partie antérieure d'un cylindre animé d'une vitesse u perpendiculaire à son axe, en ne nous occupant que d'une tranche d'une épaisseur infiniment petite dh. Au point M dont le méridien fait avec celui qui est perpendiculaire à la translation l'angle f, la vitesse normale est :
u sin <f, et la densité :
J' [1 -H K' cos (? — ?)] (K' constante)
la résistance normale :
dk. d».w" sin" <f. t.[i -(- K' cos {t — p)]
(ds arc infiniment petit du parallèle considéré). La composante de cette résistance parallèle à la translation est :
dh. ds. M» sin" * ' ç. S. [1 + K' cos {f — P)j
et suivant la perpendiculaire :
dk. ds. u". sin"' «p. cos ç. B [■! + K' cos {<p — ?)]
l'angle de la résultante avec le plan perpendiculaire à la translation sera donc donné par la formule :
Cot.y :
^ ds sin» * ' ç. [1 -I- K'.coB C? - p)] rfssin""p,cos'p[l+It'cos(¥— P)l
aÈSlSTANCK DK l'&IB AU MOUVEMENT DES PROJECTILES. 27
et comme ds = rd<f. (r rayon du cylindre)
J"*°rf T sin- + ' 9 [1 + K' cos {t - p)]
Col y = ■'-^^ • (3)
J^ d9sin"'?co5ç[1 + K'cos(?— p)]
Hais il faut remarquer maintenant que cette expression contient l'angle ^ qui définit le maximum de densité. Or, cet angle varie avec lès données du mouvement, et suivant quelle loi î L'expénence seule peut répondre à celte question d'une manière approchée. En en tenant compte, on se trouvera ramené à faire une hypothèse semblable à celle par laquelle nous voulons détenniner de suite l'angle y.
La question qui nous occupe n'est donc pas susceptible d'une solution rifîoureuse, à moins qu'on n'entende par rigoureuse une solution analytique reposant sur des hypothèses gratuites.
Nous ne cherchons donc la solution que dans les limites où elle est susceptible d'être obtenue ; et, dans ces conditions, il nous semble que ce que nous avons dit plus haut suffit à montrer que la formule "
est assez rapprochée de la vérité.
C'est elle, par conséquent, qu'il convient de choisir.
On sera encore confirmé dans cette opinion si l'on remarque que la formule (3) n'est établie qu'en tenant compte des résistances normales élémentaires. Or, les résistances tangentielles ont quelque influence sur la résistance totale. Pour en tenir compte, il faudrait donc ou bien corriger la formule (3) de manière à exprimer d'une manière approchée l'influence des résistances tangentielles, ou bien composer ces résistances directement par un calcul semblable à celui qui nous a conduit àla formule (3).
La considération des résistances tangentielles n'introduit au contraire aucun changement dans la formule (2), à cause de l'indétermination de la constante K.
En effet, dans cette formule, rien n'indique qu'il s'agisse des résistances normales plutdt que des résistances tangentielles, et en donnant une valeur convenable à la constante K, la formule
déterminera aussi bien la direction de la résultante totale que celle des résistances normales seules. Il est vrai qu'elle ne remplira cet objet que d'une manière moyenne, parce qu'une seule constante
28 JOtJBHAL DES
n'est sans doute pas suffisante pour que les particularités de cett« action soient mises en évidence ; mais ce sera là un résultat bien suifisanl. Remarquons encore, pour terminer cette discussion, que les hypothèses sur lesquelles on ferait reposer un calcul rigoureux n'ont pas plus de raison d'être admises que celles qui nous conduisent à la formule (2). Je dirai même qu'elles en ont beaucoup moins, car nous n'avons aucune donnée sur la distribution exacte des densités, ni sur la loi de résistance en fonction de la vitesse ; tandis que nous savons, par l'étude approfondie des expériences de M. Ha^us, comment l'air agit dans son ensemble, et la formule (3) ne suppose .pas autre chose.
Nous admettrons donc, en définitive, que lorsqu'un cylindre cir^ culaire droit, animé d'une translation perpendiculaire à son axe et d'une rotation autour de cet axe se meut dans l'air, toutes les actions de ce fluide sur le cylindre se trouvent réduites :
1° A un couple qui est k même que si la rotation ezitlail seule;
2° A une force appliquée au centre de figure, que fon peut considérer comme provenant des résistances normales seuks, dont la direction ett définie par la formuk
et dont la grandeur est la même que si la translation existait sevk. Ce sera, du reste, à l'expérience à faire connaître cette grandeur.
G&s d'une surface de révolution dont l'axe de fioube
EST PERPEUDIGULAIBE k LA TRANSLATION.
47. Considérons maintenant une surface de révolution quelconque se mouvant dans les mêmes conditions que le cylindre dont nous venuis de parler, c'est-à-dire animé d'une rotation autour de son axe de figure et d'une translation perpendiculaire à cet axe.
Au sujet des densités, nous dirons que sur un parallèle de la surface de révolution, elles sont distribuées à peu près comme dans le cas du cylindre, et par suite que le lieu du maximum de densité sur chaque parallèle est un méridien situé sur la partie antérieure droite et dont l'angle avec le méridien de la translation peut encore être défini par la formule
On OHiclnra de là que les résistances normales se composent ^n-
HâSISTANCB DE l'&IH AD HODVEilSKT DBS EROJBCTIl^S. 919
siblement es une seule force rencontrant l'axe de figure et située dans un méridien déterminé par la rotation
comme dans le cas du cylindre ; car sur chaque parallèle les vitesses normales sont rigoureusement réparties dans les mêmes rapports dans les deux cas; chacune d'elles est seulement multipliée par le cosinus de l'angle formé par la normale avec le plan du parallèle considéré.
48. Pour achever de connaître la position de la résultante des résistances normales, il faut déterminer l'angle qu'elle fait avec l'axe.
Nous allons voir que si la surface est convexe, on peut admettre que cet angle est le même que si la translation existait seule.
En effet, la rotation, ainsi que nous l'avons vu, a pour résultat d'accentuer les inégalités de densité; dès qu'elle existe, non-seulement le maximum n'est plus sur le méridien antérieur, mais en même temps qu'il se déplace sur la droite, il devient plus intenBe. Or, considérons l'action de l'air sur un parallèle situé au-dessus de l'équateur. Sur ce parallèle et dans le voisinage du m^dien déterminé par la formule
les résistances normales sont beaucoup plus grandes que sur les parties latérarles, et de p'us la différence est beaucoup plus grande que dans le cas d'une seule translation, parce que dans ce cas les inégalités de densité sont peu sensibles. Il résulte de là ^^ue, lorsqu'il y a rotation, l'angle avec l'axe .de la résultante partielle des résistances normales élémentaires qui s'exercent sur un parallèle situé au-dessus de l'équateur est plus grand que lorsque la translation existe seule. Sur toute la portion de surface qui se trouve andessus de l'équateur, la rotation a, donc pour effet d'abaisser la direction de la résultante ' ; mais pour une semblable raison elle a pour effet sur la partie inférieure de relever cette direction. Avec le degré d'approximation que nous mettons dans toutes ces considérations, nous pouvons donc admettre que la rotation ne change pas l'angle de l'axe avec la résultante totale des résistances normales. Il en sera de même aussi de la grandeur de cette résultante, et, du reste, cela a peu d'ùnportance, puisque cette grandeur ne peut
« relËTB, en Bi^Tpo»aitt l'ueds
30 lOUEUAL CES SCIKNCKS HIUTAIBKS.
être exprimée sans coeflicienU que l'expérience seule pourra déterminer.
Nous diroDs donc, en définitive, que la rotation n'a d'autre effet sur les résistances normales que de faire tourner leur résultante d'un angle déterminé par la formule
sans changer sa grandeur, ni son point d'application, ni l'angle qu'elle fait avec l'axe.
Dans l'énoncé de cette proposition, nous introduisons le point d'application sans en avoir parlé plus haut, par des raisons semblables à celles qui nous ont servi en traitant de la direction de la résultante.
49. Quoique les résistances tangentielles aient une importance moins grande que les résistances normales, nous pouvons cependant essayer de nous rendre compte de leur action dans le cas qui nous occupe.
Elles ne sont plus alors perpendiculaires à l'axe; mais on peut en chaque point les décomposer en deux forces, l'une située dans le méridien passant par ce point, et l'autre perpendiculaire à ce méridien. Ces dernières se composeront comme dans le cas du cylindre, et l'on peut ne tenir compte que du couple perpendiculaire à l'axe que leur résultante engendre, en admettant comme dans le cas du cylindre que sa grandeur est la même que si la rotaUon existait seule. Quant k la force elle-même transportée sur l'axe, elle est dirigée en arrière et à droite, et perpendiculaire à l'axe; elle a donc pour effet de rapprocher la résultante des résistances normales du méridien de la translation et de l'éloigner de l'axe. Il n'y a pas lieu d'en- considérer l'effet sEparémenl, et l'on peut admettre que les modiâcatioDS qu'elles feront subir i la résultante des résistances normales sont de l'ordre de l'indétermination de celle-ci.
11 reste à considérer les résistances tangentielles contenues dans les méridiens.
On peut voir à ce sujet que la résultante de ces résistances se trouve sensiblement dans le même méridien que celle des résistances normales. En pffet, les vitesses tangentielles qui les produbent ont comme les vitesses normales leur maximum dans le méridien de la translation; elles donnent donc une résultante totale comprise entre ce méridien et celui du maximum de densité, c'est-à-dire dans un méridien voisin de celui de la résultante des résistances normales.
De plus, ces résultantes tangentielles sont surtout à considérer aux pAles de la surface; là leurs directions font avec l'axe des angles très-voisins d'un angle droit; les résistances normales, au
KâSISTANGB DE l'AIB AU UOnVEUEHT DBS PKOJBCTILBS. 31
contraire, ont leur maximam dans la région voisine de l'éqaaleur, et là leurs directions font aussi avec l'axe des angles très-voisins d'un angle droit. On peut donc considérer tous ces effets comme confondus et ne s'occuper que des résistances normales seules.
50. Nous arrivons donc pour une surface de révolution quelconque, mais convexe, k des résultats complètement analogues à ceux auxquels nous avons été conduit pour le cylindre. Gomme dans ce dernier cas, il est permis d'admettre encore ici que toutes les actions de l'air se réduisent à la résultante des actions normales, et à un couple perpendiculaire à l'axe de figure provenant des résistances tangentielles.
Ce couple ne peut avoir pour effet que de ralentir la rotation; mais sous l'ensemble des actions de l'air, l'axe même de cette rotation pourra êlre changé, car généralement la résultante des résistances normales ne passera pas par le centre de gravité de la surface. 11 n'en serait ainsi que si le corps était homogène et que la surface fût symétrique par rapport il l'équateur.
Lorsque l'on s'occupe des effets de la résistance de l'air sur un corps en mouvement dans ce fluide, c'est donc surtout de la résistance des résistances normales qu'il faut s'occuper, car c'est elle qui a une influence prépondérante aussi bien sur Le mouvement de rotation que sur celui du centre de gravité. Le couple des résistances tangentielles perpendiculaire à l'axe, qui ne peut que diminuer la vitesse de rotation primitive, ne fait par cela même que ■ faciliter l'action du couple qui peut provenir d'autre part en rendant t'axe de rotation plus instable.
D'après ce que nous venons de dire, nous voyons ce qu'il y aura a faire pour déterminer dans chaque cas la résultante des résistances normales.
On calculera cette résultante comme si la translation existait seule, et on la fera ensuite tourner d'un angle déterminé par la formule
sans changer aucun des autres éléments nécessaires pour en préciser la position.
Hais maintenant pour calculer la résultante dans le cas d'une translation seule, on remarquera que dans ce cas les inégalités de densité sont très-peu accentuées, que du reste leur effet est trèspeu sensible sur la direction de la résultante, et que par suite il est permis de la déterminer sans tenir compte de ces inégalités de densité.
51, On pourrait objecter il ces conclusions qu'après avoir montré.
dès le début de cette étude, la nécessité de tenir compte des résistances tsngentielles, nous arrivons, en dernier lieu, à condure que l'on en peut faire presque complètement abstraction dans l'expression de la résultante totale des actions de l'air; mais il serait aisé de répondre que si nous n'en tenons pas compte directement, nous le faisons en réalité d'une manière indirecte.
Nous avons montré, en effet, que ce sont ces résistances qui déterminait la distribution des densités, que c'est ensuite cette distribution qui détermine la direction de la résultante des résistances normales. Nous tenons cconpte, par conséquent, implicitement de l'effet des résistances tangenlielles, en exprimant que la résultante n'est pas comprise dans le méridien de la translation. Nous n'avons donc pas mis de c4té la difftculté qui provient de la considération des résistances tangentielles, mais nous l'avons réduite en la transfonnaot.
Et c'est là le point spécial de notre théorie, ce qui la distingue de tontes les antres. On avait bien remarqué que les résistances tangentielles étaient à considérer; mais devant la difficulté de les apprécier, on les avait complètement négligées. Ici, au contraire, nous avons tenu compte d'une manière suffisamment approchée, et sans compliquer l'expression totale, de la résistance de l'air.
En prenant pour base les résultats auxquels nous venons d'arriver, (m pourrait essayer d'expliquer les déviations des boulets sphériques lancés avec une rotation autour d'un axe perpendiculaire è la translation. Mais en remarquant que dans la pratique cette perpendicularité n'existe presque jamais, ou bien le plus souvent est détruite par l'action de la pesanteur, alors même qu'elle a beu au départ, on voit que pour que cette explication soit vraiment complète, il est nécessaire, avant de la tenter, d'examiner l'influence de l'inclinaison de l'a&e de âgare sur la direction de la translation. C'est cette qoestion q\n maintenant va fiaire l'objet de notre étude.
ttéSISTANOE DE L'AIB AU MOCVEMENT DB3 PROJBCTILBS.
52. Considérons d'abord un cylindi'e circulaire droit tournant toujours autour de sou axe dont la partie supérieure fait un angle aigu 8 avec la direction de la translation.
Dans ces conditions de mouvement, les densités sont réparties comme si la composante de la translation perpendiculaire k l'axe existait seule, et ii en est de même de la grandeur et de la direction de la résultante des résistances normales élémentaires qui agissent sur ta surface latérale du cylindre, La vitesse de translation étant M, la composante perpendiculaire à l'axe est u sin£; nous pouvons donc admettre que la direction de la résultante dont nous venons de parter est définie par la formule
Quant aux résistances tangentielles, on peut en chaque point les décomposer en résistance tangentielle perpendiculaire à l'axe et résistance parallèle. Les premières se composent encore comme dans le cas de la perpendicularité de l'axe de rotation, et d'après ce que nous avons dit, il n'y a lieu de considérer que le couple perpendiculaire à cet axe qu'elles engendrent. Les résistances tangentielles parallèles à l'axe donnent une résultante de même direction et égale à leur somme; cette lésultante est située dans le méridien de la résultante des actions normales par des raisons analogues à celles que nous avons données plus haut. Mais comme ces résistances agissent sur toute la surface, leur résultante est trés-voisine de l'axe, de sorte que le couple qu'on engendre en la transportant sur l'axe lui-même est très-petit. La force elle-même doit avoir au contraire une valeur sensible, parce que toutes les résistances qui ia produisent agissent dans le môme sens, et si l'angle 5 est petit, elle acquiert alors une valeur même supérieure à celle de la résultante des résistances normales. Dans tous les cas, elle a pour effet d'incliner cette résultante sur l'axe d'un angle d'autant plus grand que l'angle / est plus petit.
53. Nous ne tenons compte ici que de l'action de l'air sur la surface latérale du cylindre; dans le mouvement d'un cylindre réel formé, il y a de plus une résistance sur ta base supérieure et d'autant plus sensible que l'angle 8 est plus petit. Aussi, indépendamment du raisonnement, l'expérience montre-t-elle que lorsqu'un
34 lomuiju. DBS sciEnCËS luuTiisis.
courant d'air agit sur la surface d'un cylindre dont le centre de gravité est confondu avec le centre de figure et dont l'axe est incliné sur la direction du courant, cet axe prend bieDtdt celte direction si l'inclinaison primitive est plus petite que 23", tandis qu'il se relève si cette inclinaison est au contraire supérieure à 25".
Il faut conclure de là que dans le premier cas la résultante des actions de l'air est appliquée en arrière du centre de figure, tandis que dans le second elle est appliquée en avant. Or, il n'y a que les résistances tangeniielles qui puissent changer le point d'application; car, même dans le cas de l'inclinaison de l'axe, les résistances normales sur la surface latérale et la base supérieure peuvent bien donner une résultante inclinée sur l'axe, mais passant toujours par le centre de figure. Au conti'aire, la résultante des résistances tan gentielles ne passe jamais par ce point. Quand l'angle S est trèspetit, celles de ces forces qui agissent sur la base supérieure sont insensibles; tandis que celles qui agissent longiludinalement sur la surface latérale sont imporiantes à considérer. Ces dernières donnent une résultante parallèle à l'axe et située en avant; en se combinant avec la résultante des résistances normales, elles donnent une résultante totale qui rencontre l'axe en arrière du centre de figure, et c'est pour cela que le cylindre s'abaisse. Lorsque l'angle B est grand, au contraire, ce sont les résistances tangeniielles longitudinales qui sont insensibles, et celles qui s'esercent sur la base supérieure qui l'emportent; celles-ci donnent une résultante perpendiculaire à l'axe qui transporte le point d'application de la résultante totale en avant du centre de figure, et c'est pour cela qu'alors le cylindre se relève.
S4. Il semble donc résulter de l'expérience que nous rapportons, et qui est encore due à M. Magnus, qu'il soit utile de tenir compte des résistances tangeniielles dans le cas qui nous occupe, mais cela ne conti'edit nullement nos conclusions précédentes.
Dans le cas actuel, en effet, les résistances tangentielles longitudinales agissent toutes dans une même direction, et il eu est de même de celles qui s'exercent sur la base supérieure; ces forces s'ajoutent au lieu de se détruire en partie, comme cela avait liea dans le cas que nous avons examiné jusqu'ici. De plus, comme ce sont les seules forces capables de changer la direction de l'axe, quelque petites qu'elles soient, elles produiront toujours son -déplacement dès qu'aucune autre force ne s'y oppose. Il ne faut donc pas oonclui'e de là qu'il soit nécessaire d'en tenir grand compte, quand elles sont adjointes aux forces normales pour faire varier seulement la grandeur de leur effet sans en changer la nature. Autresnent dit, les résistances taogentielles sont à considérer au point de vue du couple qu'elles engendrent, parce que les résistances
RÉSISTANCB DE h'ilB AU HOGTBMENT DES PH0JECTILE3. 38
normales n'en fournissent pas; tandis que la force elle-même disparaît devant la résultante des actions normales, même lorsque l'angle 6 est très-petit, parce qu'alors si ces actions sont presque nulles sur la surface latérale, elles sont au contraire très-grandes sur la base supérieure (on pourrait dire plutôt animeure) et sont dans cette partie parallèles aux résistances tangentielles longitudinales.
5o. En résumé, ceque l'on peut conclureavec précision des considérations que nous venons de présenter, c'est que V influence de ^inclinaison de taxe de figure est d'augmenter Sangle de Ut résullante des actions de r air avec te méridien de la tramlalion,csx l'angle^ défini par la relation
^ * H sine
est plus grand que celui que donne la formule
tg2y = K^.
Cet angle augmente donc toujours avec l'angle S. Il doit en être ainsi puisque la composante « cos i parallèle à l'axe n'a pas d'influence sur la distribution des densités, qu'augmenter 8 c'est diminuer la vitesse perpendiculaire à l'ase, et que nous savons que plus cette vitesse diminue, plus le méridien de la résultante s'approche de l'extrême droite.
Un autre effet de l'inclinaison de l'axe de figure, c'est de produire un couple capable de déplacer taxe de figure, ce qui n'a pas lieu dans le cas de la perpendicularité. Mais à ce sujet il faut remarquer que dans les expériences de M. Magnus dont nous avons parlé, le cylindre ne tournait pas, et que dans le mouvement d'un cylindre animé d'une translation et d'une rotation, le couple qui déplace l'axe n'est pas compris dans le plan du méridien de la translation, mais dans un méridien voisin de celui de la résultante des résistances normales, ainsi que nous l'avons déjà remarqué; que par conséquent l'effet de ce couple n'£st pas seulement d'abaisser ou de relever Taxe de figure, mais de l'abaisser en l'inclinant à gauche ou de le relever en le portant ^ droite.
56. L'inclinaison de l'axe de figure sur la direction de la translation a encore un autre effet sur l'ensemble des actions de l'air. En même temps qu'elle augmente l'angle de la résultante avec le méridien de la translation, elle incUne cette résullante sur [axe de figure. On ne peut dire d'une manière générale si cette résullante fait avec l'axe un angle -f plus grand que »; cela dépend des dimensions relatives du cylindre et aussi de l'angle S.
36 lOUBNU, DBS 3CTBNCES MlUTAIBES.
Si cet angle est grand et que le cylindre soit Irës-allongé, ce sont les actions normales sur la surface latérale qui l'emportent, alors 7 doit être plus grand que S ; si B est petit et que le cylindre soit trèscourt, ce sont les actions normales sur la hase supérieure qui sont prépondérantes, alors t doit être plus petit que 8.
On ne peut exprimer à priori ce qui se passe dans les cas intermédiaires ; mais, en ne tenant compte que des résistances normales, on peut au moyen du calcul déterminer dans quel cas l'angle ï est plus grand ou plus petit que B,
Appelons r le rayon du cylindre et h sa hauteur, supposons que les résistances normales soient en chaque point proportionnelles à la puissance m de la vitesse normale du point, et ne tenant pas compte des inégalités de densité, ce qui est permis, ainsi que nous l'avons fait remarquer.
En désignant par « la vitesse de translation, la résistance de l'air sur toute la surface de la base supérieure sera ;
R, = K Tt r* uin cos" S (K constante).
Celte force a la direction de l'axe.
La résistance élémentaire sur un élément d s" de la surface latérale situé dans un méridien faisant avec celui de la translation l'angle f sera :
Kd^«"sin"î cos" y,
et la composante de cette résistance parallèle à ce dernier méridien :
Kds'«°'sin"Scos'°*' ç.
Les composantes perpendiculaires se détruisent deux à deux, et par suite, comme ds = rd f. dk, l'action totale de l'air sur la surface latérale sera :
R,= 2Ru»sin'"Sr / / cos= + <?d?.rfA.
= 2Kr. Au" sin"S / cos"*'^*'?-
Qu'il y ait ou non rotation, cette force, comme nous l'avons vu, a toujours la même grandeur et reste perpendiculaire à l'axe; l'angle Y de la résultante totale avec l'axe sera donc donné par la formule
COS" * ^ Ç. rf ç
Supposons m = 2, cette formule devant :
,..d:,i.Googlc
RËS13TAKCB H L*AIfi AU HODTSHENT DES PltOJBCTlLES. 37
,j / COSȍ. df
. T serait égal à 8 si :
pour une valeur plus petite de !, le cylindre étant donné, y est plus petit que 8; c'est le contraire lorsque S aupienle.
Cette formule donnera aussi le rapport 1 t ) des dimensions du
cylindre qu'il faudra choisir afin que if soit égal h 8 pour une valeur donnée de ce dernier angle.
Mais il est clair que les résultats d'un tel calcul ne sont qu'approximatifs, puisque la loi du carré n'est pas celle de la résistance réelle et que, de plus, nous n'avons tenu compte que des résistances, normales.
Si l'oQ supposait m = 3, la formule ci-dessus deviendrait :
tg-|.= —iL
tgY=g;;tg»8, la valeur de S qui ferait f = 5 serait donnée par la formule
La solution positive serait seule bonne,
CAS PARTICULIER d'uNE SPHÈRB.
S7. Considérons maintenant une sphère tournant autour d'un de ses diamètres PP" {fg. 2), qui fait un angle aigu S avec la direction OA de la translation. Nous supposons la rotation directe pour un observateur placé sur t'axe la tète du c6té de la partie du diamètre qui
38 MRIKMAL Dl* SCOKCBS MIUT&IBBS.
fait l'angle S avec la translation et regardant dans la direction du mouvement.
En décomposant la vitesse de translation u suivant l'axe PP' et suivant une perpendiculaire k cet axe, on voit qu'à cause de la vitesse u cos i les drasités sont plus grandes sur la partie supérieure que sur la parlie inférieure. (Ces dénominations sont relatives à la position de l'observateur, et les deuK parties sont limitées par le grand cercle perpendiculaire à PF.) D'autre part, sur chaque petit ©ercle perpendicnlnire ô PP les densités sont distribuées comme si la vitesse composante u sin S seulement coexistait avec la rotation. D'après cela te lieu géométrique du maximum de densité sur chacun de ces petits cercles est un demi-grand cercle du méridien passant par PP, et ce méridien fait avec celui de ia translation un angle que Ton peut encore supposer défini par la relation
Mais cela ne suffit pas pour bien connaître la distribution des densités. En efTet, il n'en est plus ici comme dans le cas du cylindre oit l'on peut admettre que la densité est la même en tous les points d'une même générali'ice. Nous savons comment la densité varie sur chaque parallèle, mais dans le cas de la sphère nous ne savons pas au juste comment elle varie sur chaque méridien. Tout ce que nous pouvons conclure de ce qui précède, c'est que sur chacun d'eux le maximum de densité est au-dessus du grand cercle perpendiculaire àPF.
58. Pour nous éclairer davantage à ce sujet, nous allons décomposer le mouvement de la sphère d'une nouvelle manière. Nous conserverons la translation totale w et nous décomposerons la rotation autour de PP' en deux autres, ayant pour axes respectifs OA et OB mené perpendiculairement sur OA dans le méridien de la translation.
Si la translation u existait sans rotation, il y aurait un maximum . absolu au point A (fig. 4). Ces densités seraient uniformément distribuées autour de ce point. Sur chaque petit cercle dont il est !& pôle, les densités seraient partout les mêmes.
Supposons maintenant que la vitesse de rotation • cos B autour de OA existe seulement avec la translation. La symétrie de la distribution des densités autour du point A subsistera. Il arrivera seulement que, les forces centrifuges étant moindres aux pôles A et A' qu'en tout autre point, la condensation sera accentuée en A et la dilatation atténuée en A'.
Si, au contraire, la rotation composante autour de OB existait seule^ i,vec la translation, ce serait aux pfÀes B et B' que les densité»
BÂStSTAHCK DB l'uB iO HOUVEIISHT DES FROJBCTILES. 39
seraient augmentées par les forces centrifugea. Et d'ailleurs on se retrouverait alors dans le cas de la perpendicularité de l'axe de rotation sur la translation. I! y aurait, comme nous le savons, condensation à droite, dilatation à gauche. Ce diamètre AA' ne serait plus un axe de symétrie, mais il subsisterait une symétrie par rapport au plan ACA' mené par AA' perpendiculaire sur le plan AOB. Si, de plus, on admet que de chaque côté du méridien du maximum les densités varient de la même façon, ce méridien BDBT)' sera encore un plan de symétrie, le maximum de condensation aura lieu en un certain point D, et le maximum de dilatation au point D* diamétralement opposé au point D et situé comme lui dans le plan ACA'. De sorte que le diamètre DD' jouerait alors à peu près le même rôle que le diamètre AA' dans le cas d'une translation seule. On pourrait admettre que ce diamètre est un axe de symétrie par rapport à la distribution des densités, et en particulier que sur le grand cercle EBE' perpendiculaire à DD' les densités sont partout les mêmes, comme cela a lieu sur le grand cercle GBC perpendiculaire & la translation, lorsque celle-ci existe seule. L'inter\-ention d'un axe perpendiculaire à la translation n'aurait ainsi pour effet que de déplacer la symétrie en en faisant tourner l'axe vers la droite et en accentuant les condensations et dilatations à ses extrémités. El encore ce dernier efl'el serait faible, parce que si le frottement tend à le produire comme dans le cas du cylindre, d'autre part les forces centrifuges inégales aux pôles et à l'équateur tendent h l'atténuer, du moins en ce qui concerne la condensation.
Voilà donc, selon nous, ce qui se passe lorsqu'une sphère est animée d'un mouvement de translation et de plus d'une rotation soit autour d'un axe perpendiculaire h la translation, soit autour d'un axe parallèle. Ce que nous allons essayer de montrer maintenant, c'est que lorsque les deux rotations • cos E autour de OA, <» cos autour OB coexistant, c'est-à-dire dans le cas d'une rotation effective autour de l'axe incliné PP', la symétrie dont nous venons de parler est détruite et qu'il n'en existe même plus par rapport au plan ACA' perpendiculaire au méridien de la translation PAP'; que non-seulement il y a condensation à droite du plan POA, mais aussi au-dessus du plan ACA'.
59. Pour le montrer, il est nécessaire d'entrer dans le détail du phénomène physique et de considérer attentivement l'action du frottement aux divers points de la surface ; car c'est ce mode seul de l'action de l'atr qui peut produire une dissymétrie que les actions normales seules ne sauraient amener. C'est par l'intervention du frottement que l'on se rend compte des expériences de Magnus, en remarquant que d'un côté il s'opoose à l'écoulement de l'air, tandis que de l'autre il le facilite. Eh bien, par une sorte d'induction et
40 JOURNAL DKS SCIENCES MILITAISBS.
d'analogie, nous pouvons transporter ce l'aisonnement sur le terratit où nous sommes actuellement placé.
Supposons d'abord que la translation u {fig. S) et la rotation autour de OA existent seules. Sur tout le petit cercle MM'M" dont le point A est le pdle, les densités sont les mêmes et, en particulier, aui deux points M et H' symétriques par rapport au méridien de la translation A B.
Ima^nons maintenant que la rotation autour de OB intervienne. Elle a lieu dans le sens de la flèche, c'est-à-dire de droite-è gauche pour un observateur placé les pieds en 0, la tête en B, Le frottement qui e.i résulte au point M, situé à droite, tend à transporter l'air dans un espace plus condensé par suite des mouvements antérieurs, et au point M', situé à gauche, il tend k le transporter dans un espace, au contraire, plus dilaté. Il résulte de là que le second mouvement se fera beaucoup plus facilement que lepremter, et c'est pour cela qu'il y a condensation à droite et dilatation à gauche. Il en sera ainsi, soit qu'au moment de l'intervention de la rotation OB la translation existe seule, soit qu'au contraire la rotation A existe déjà avec elle. Du moins, nous supposons qu'il en est ainsi, c'est là le fait précis que nous adcueltons, vi, en agissant de la sorte, nous faisons déjà une extension du raisonnement qui permet d'expliquer les eipériences de Magnus. Mais allons plus loin et, si je puis m'exprimer ainsi, considérons le phénomène par une autre face. Supposons que ce soit la rotation B qui coexiste d'abord avec la translation et la rotation OA (c'est-à-dire autour de OA) qui intervienne ensuite. Avant l'existence de cette dernière, les densités sont distribuées, comme nous l'avons dit, symétrique* ment autourdu diamètre DD'. Cela n'est pas absolument rigoureux, mais ce qui l'est, c'est d'admettre la symétrie de la distribution par rapport au plan ACA'avec une condensation à droite. Gela posé, faisons intervenir la rotation A et examinons l'action du frottement qu'elle engendre en deux points M, M" symétriques par rapport au plan ACA'. Si ces deux points sont situés dans l'angle dièdre EOBA (fig. 5), l'action au point M, situé au-dessus du plan ACA', sera d'entraîner l'air dans un espace plus condensé , l'action en H' sera, au contraire, de l'entraîner dans un espace plus dilaté. Il y aura donc condensation au-dessus, dilatation au-des-sous. Il en-sera de même dans le dièdre opposé par le sommet, parce qu'alors sur le grand cercle ACA', il y avait avant l'intervention de ta rotation A, non plus des condensations, mais des dilatations. Enfin, dans les dièdres supplémttntaires AOBE', A'OBE, et surtout dans le voisinage du grand cercle EBE', les densités sont peu variables; le nouveau mouvement ne les fera guère varier davantage; aux points E, E' les densités resteront à peu près ce qu'elles étaient.
BÉSISTANGB DB l'aIR AtT UOUVBHEKT DBS FHOIEGTILBS. 41
D'après cela, il nous semble qu'on se ferait une idée assez exacte de la distribution des densités défînilives, en admettant que l'intervention de la rotation OA a eu seulement pour eifet de faire tourner l'axe de symétrie DD" autour du diamètre EE', mais en laissant s'établir une symétrie nouvelle autour d'un axe F F, situé toujours dans le plan B D au-dessus du plan A C A' du côté des condensations, c'est-à-dire du côté du point D, au-dessous de ce plan du côté des dilatations, c'est-îi-dire du côté du point D'.
60, En faisant ainsi usage d'une image géométrique pour représenter la distribution des densités, nous ne voudrions pas que l'on se méprit sur la valeur que nous y attachons. Cette image, considérée d'une manière absolue, voudrait dire qu'il y a un point de maximum de densité et un point de minimum, tous les deux diamétralement opposés, et que sur chaque petit cercle ayant pour pôles ces points, les densités sont partout les mêmes. Il est clair que nous ne prétendons pas qu'il en soit rigoureusement ainsi; ce que nous avons voulu seulement mettre en lumière, ce sont les effets successifs d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire à la translation, et ensuite de l'inclinaison de cet axe. La première cause a pour effet d'amener les condensations à droite, la seconde d'en produire dans la partie supérieure.
Et quant aux considérations qui nous ont conduit è ces conclusions, nous ne nous dissimulons pas qu'elles échappent aux règles de la déduction pure. Nous avions remarqué que l'on expliquait les expériences deMagnus en disant r que les condensations avaient lieu à droite, parce que de ce côté le frottement tend à transporter l'air dans un espace plus condensé; qu'au contraire, la dilatation avait lieu à gauche, parce que là le frottement transporte l'air dans un espace plus dilaté ; et nous avons admis que dans des circonstances qui nous paraissent analogues le frottement produit le même résultat. C'est qu'en effet, c'est dans ce fait que nous paraît résider le principe d'où découle la distribution des densités dans un cas quelconque, et c'est lui qu'il faut appliquer lorsque l'on veut connaître cette distribution dans des conditions de mouvement complexes. On décomposera alors le mouvement en d'autres plus simples que l'on fera inter\'enir successivement, et l'on verra ainsi comment la distribution déterminée par l'un d'eus se modifie peu à peu pour arriver à la distribution finale.
C'est là la marche que nous avons suivie dans le cas particulier qui nous occupe. Elle tient à la fois de l'induction, de l'analogie, ou, pour mieux dire, de cette simple faculté de l'esprit que l'on appelle le bon sens, qui n'est pas à dédaigner même sur le terrain scientifiqu'i, lorsqu'elle est mûrie par la réflexion, et qui, dans le cas actuel, vaut peut-être bien l'emploi du calcul. Elle consiste, en
42 JODBNAL DBS SCSHCES IIIUTAIBBS.
somme, à chercher simplement k voir ce qui se passe en le regardant, au lieu de demander au calcul de nous le montrer.
Et, d'ailleurs, rien ne s'oppose maintenant h ce que nous traduisions par une formule les résullats auxquels nous venons d'arriver.
61. Par notre première manière d'envisager la question, en décomposant la translation, nous avons été am''né à conclure que le maximum de densité se trouvait dans un méridien passant par l'aie de rotation P P' et faisant avec le méridien de la translation un angle X défini par la relation
(î) tga;=ft— t-j.
D'autre part, d'après ce que nous venons de dire, il doit se trouver sur un grand cercle mené par 6B' et faisant avec le méridien de la transladon un angle z déterminé par la formule :
Car le grand cercle ainsi déterminé serait celui du maximum si la rotation «sinS autour de OB existait seule avec la translation, et nous avons admis que l'intervention de la rotation « cos S autour de A ne faisait pas sortir le maximum de ce grand cercle. Le diamètre qui contient les maximum de condensation et de dilatation serait donc l'intersection des deux grands cercles définis par les formules (1) et (2).
On peut voir, du reste, qu'en le définissant de la sorte, sa partie antérieure se trouve au-dessus du grand cercle A C A', ce qui est une condition que les formules doivent exprimer essentiellement.
Or, cette condition est remplie, parce que
et que OH étant l'intersection du méridien (i)aveclecercle AC A', on a dans le triangle spbérique A H P.
tgAOH = sinBtgx=ft-,
et par conséquent DOA<AOH.
Remarquons, d'ailleurs, que cette détermination du maximum par une formule précise a peu d'importance, et que c'est surtout en parlant de la résistance qu'il faudra exiger d'arriver h. quelque conclusion précise. C'est sur ce sujet que nous allons maintenant porter notre attention.
62. Occupons^ious d'abord des résistances normales. Ce qui caractérise la surface sphérique, c'est que toutes les résistances nor-
SËSISTUfCE DH l'AIR AU MOtTVEUKM DKS PR0)KCTILE3. 43
malcs passent par le centre et que par suite il en sera de même de leur résultante.
De plus, les vitesses normales proviennent de la translation seule, par conséquent elles sont égales en deux points symétriques par rapport au plan AGA'. Or, les densités sont plus grandes au-dessus de ce plan qu'au-dessous. Donc les résistances normales sur la partie supérieure l'emportent, et par suite la résultante est dirigée audeagous du plan A C A'.
Considérons maintenant les résislances normales sur tout le contour d'un petit cercle perpendiculaire à l'axe de rotation PP'. Si la translation existait seule, la résultante partielle de ces résistances élémentaires serait comprise dans le plan POA. Dès que la rotation existe, le méridien de cette résultante est dévié adroite; mais ce n'est pas là le seul effet de la relation; en effet, d'après ce que nous avons dit, la rotation, en même temps qu'elle déplace le maximum de densité, en accentue l'intensilê. 11 résulte de là que l'angle de la résultante partielle, dont nous parlons, avec l'axe OP sera plus grand que si la translation existait seule. Il en sera ainsi, non-seulement pour les petits cercles situés tout entiers sur la partie antérieure, c'est-à-dire en avant du grand cercle BGB', mais aussi pour tous ceux qui se trouvent au-dessus du grand cercle KCK' perpendiculaire à l'axe, quoique pour un certain nombre de ceux-là les résistances normales ne s'exercent que sur une portion de leur contour. {Fig. 5.)
Sur les petits cercles situés de l'autre cflté de l'équateur KCK', l'effet de la rotation sera inverse; mais on doit remarquer que sur ces derniers les résistances normales sont très-petites, et, par conséquent, que l'effet de la rotation sur la partie supérieure sera prédominante. Or, quand la translation existe seule, la résultante est dirigée suivant OA; donc, dans le cas de la rotation, la résultante fait avec taxe P F un angle plus grand quê S.
Nous venons de reproduire ici une forme de raisonnement que nous avons déjà employée dans le cas de la perpendicularilé de la translation sur l'axe de la rotation (48); mais, comme on vient de le voir, elle nous a conduit dans les deux cas à des conclusions toutes différentes.
Dans le cas de la perpendicularilé, l'ensemble des effets que nous venons de signalerest insensible, car ces effets se compensent sur toute la surface, parce que les actions normales sont également intenses sur la partie supérieure et sur la partie inférieure. Il n'en est plus aimi dès que l'axe est incliné, ainsi que nous venons de le montrer.
Enfin, en répétant les raisonnements que nous avons déjà plusieurs fois présentés, on verrait que le méridien de la résultante est compris entre le méridien de la translation et celui du maximum.
44 JOURNAL DBS SOlBIfCBS UILITAIRBS.
et que, par conséquent, on peut encore admettre ici que ce méridien est déterminé par la formuk :
63. En résumant ces diverses conclusions, on voit donc que la résultante se trouve dans un méridien déterminé, de plus, au-dessus du plan A C A', et enfin en dehors d'un cône circulaire droit ayant pour axe P P' et dont A serait une génératrice,
La position de la résultante se trouve ainsi circonscrite dans un espace très-restreint ; nous avons pu arriver à ce résultat en considérant seulement le phénomène dans son ensemble.
Nous allons montrer maintenant qu'on y est conduit également en partant des idées précises que nous avons acquises sur la distribution des densités; et ce sera une nouvelle manière de faire voir que l'image géométrique que nous avons donnée est très-approchée de la vérité.
En effet, si le diamètre F F" est un axe de symétrie au point de vue des densités, tout grand cercle passant par cet axe, et en particulier le grand cercle A F A', est un plan de symétrie; pour une raison semblable, ce grand cercle passant par A est un plan de symétrie par rapport aux vitesses normales. Donc, c'est un plan de symétrie par rapport aux deux variables dont dépendent les résistances élémentaires; donc, leur résultante est comprise dans ce plan. EUe s'y trouve absolument comme elle se trouve dans le plan A G A', lorsqu'il n'y a qu'une rotation autour de l'axe B. Si l'on admet de plus que cette résultante est contenue dans ie méridien déterminé par la formule (3), elle se trouvera donc exactement à l'intersection de ce méridien et du grand cercle A F A'.
64. Pour faire voir que toutes ces considérations se tiennent et qu'elles n'impliquent pas contradiction, il faut donc démontrer que la droite intersection de ces deux plans fait avec OP un angle plus grand que fi.
Pour cela (fig. 6), menons le méridien de la résultante défini par la formule (3). C'est le plan bissecteur du dièdre APOF; prenons sur ie grand cercle qu'il détermine un axe PR, = 8, menons le grand cercle AR,, qui rencontre le méridien du maximum de densité en F, et, enfin, menons le grand cercle BF,. Soit ^, le dièdre P A R., t, l'arc AF' et z, le dièdre PBOF,, les trois triangles sphériques BF.A, FF, A, PR,A donnent :
cott, = sin^,cotî,.
coti,sinB=cosficos^-|-siû;*cotx.
cosS=cos6co$^-4-sin^cot(i.
Kt3I3TANCB DB L'aIR AU UOUTBKBNT DES PROJECTILES.
Si l'on élimine t et /i entre ces trois équations, on a :
ît comme
cos'S(1-
mSsiny
Donc,
COtïi > cotz, et par suite
Il résulte de là que F est au-dessous de F„ R au-dessous de R„ que par suite PR > S, el, enfin que RO peut être choisi pour la direction de la résultante. En faisant un calcul inverse du précédent, on pourrait calculer l'angle j = POR déterminé par l'intersection du grand cercle AFA' avec le méridien de la résultante POR; mais on aurait. ainsi pour j une expression trop compliquée. Il vaut mieux en chercher une plus simple où se trouvent seulement exprimées les conditions essentielles à la détermination de la résultante. Or, si nous désignons par > l'angle de celte résultante avec PF, on peut poser
où M est une fonction de 8 qu'il faut déterminer par deux conditions ; la première que M soit plus petit que I, parce que j doit être plus grand que ; la seconde, que M soit plus grand que cos y, parce que pour M ;= cosy la résultante se trouverait dans le plan ACA', et nous savons qu'elle traverse la partie antérieure de la
sphère au-dessus de ce plan, M = cos | satisfait à ses deux conditions.
D'après cela, la position de la résultante serait déterminée par deux formules simples; la première :
fiùt connaître le méridien dans lequel elle se trouve ; ta seconde :
détermine sa position dans ce méridien.
48 lOUHKAL DBS SCIBNCES HIUTA1BE3.
65. Pour terminer cette étude de la résistance de l'air sur une sphÈre animée d'un mouvement quelconque, il nous reste à parler des résistances tangentietles.
Considérons d'abord celtes qui proviennent de la rotation. Elles ne fournissent que des forces perpendiculaires à l'axe, et qui se composent toutes, comme dans le cas de la perpendicularité, en une seule force dirigée vers l'arrière et vers la droite. Mais encore ici l'inclinaison de l'ase de rotation produit un effet spécial : c'est de faire sortir cette force" de l'équateur, parce que les densilés ne sont pas symétriques par rapport à ce plan. Il résulte de là qu'en transportant cette force au centre de figure, on engendre un couple dont l'ase n'est plus confondu avec l'axe PF et qui. pur conséquent, aura pour effet non plus seulement de ralentir le mouvement de rotation, mais déplus de déplacer taxe.
Quant à la force elle-même, en se composant avec la résultante des résistances normales, eUe aura pour effet de diminuer l'angle y et d'augmenter l'angle > ; mais ce que nous avons dît dans le cas de la perpeudicularilé sufSt h montrer que l'action de cette force est à peu près négligeable.
66. Il nous reste à considérer les résistances tangenliellea qui proviennent de la translation.
Nous pouvons répéter à leur sujet ce que nous avons dit des résistances normales. Le plan AFA' est un plan de symétrie par rapport aux densités et par rapport aux vitesses tangentielles qui proviennent de la translation. Donc, leur résultante est comprise dans ce plan.
D'autre part, sur le contour d'un petit cercle ayant A pour pôle, les résistances dont nous parlons forment un cône et la résultante pariielle qu'elles fournissent, toujours diiigée vers l'arrière, pousse à droite sur la partie antérieure et à gauche sur la partie postérieure, La résultante totale sera donc dirigée à droite et faisant un petit angle avec la direction opposée à celle de la translation. EUe aura pour effet de diminuer les deux angles y et >, et comme rigoureusement elle ne passe pas par le centre de la sphère, en l'y transportant on produira un couple qui se combinera avec celui qui provient de la rotation pour déplacer l'ax^ ioitial. Il est ajsé de voir que le mouvement conique qui en résultera se fera par la droite. C'est un des caractères ife la surface sphérique que nous étudions, que de subir d'une manière bien nette l'action des résistances tangentielles. Quelque petit que soit le couple qui en résulte, si la sphère est homogène, il produira son effet, parce qu'il est la seule cause capable de faire varier le direction de l'axe.
C'est une propriété que la surface sphérique possède aussi bien que la surface cylindrique que nous avons étudiée précédemment.
R&SISTANCB Bt l'aIB AU HODVEMGnT DBS PBOIBCTILKS. 47
C'est là le seul effet des résistances tangentielles dont il faille tenir compte; car, quant à la force elle-même qui en résulte, on peut admettre qu'elle est négligeable devant la résultante des résistances normales, ou, plutôt, qu'avec notre manière de traiter la question, cette force peut être cousidérée comme comprise implicitement dans l'expression de cette résultante, parce qu'elle n'en modide les éléments que d'une manière insensible.
67. Résumons mainteuant toutes ces considérations, qu'on pourrait peut être encore développer davantage, mais qui, cependant, nous paraissent suffisantes pour établir les points importants de cette théorie.
En somme, l'inclinaison de l'axe de rotation sur la translation B pour effet :
X" D'écarter leméridiende la rémlUaUe du méridien de la iranslaUon d'ataant pbis que l'angle i est plus petit, ainsi que f exprime la formule
tg2w = *— ï-ç;
2» De rendre tangie de la réevKante avec taxe pka grand que 6, ee quiett indiqué par la seconde relation
tgî=:tgB
^ ^ cos^;
3" De fournir un couple capable, non-seulement de changer la grandeur de la rolalùm, mats aussi de faire varier la direction de taxe.
68. Considérons d'abord un projectile formé d'une partie cylindrique surmontée d'une autre partie hémisphérique, et supposons que ce corps soit animé d'une rotation autour de son axe de figure PP', et d'une translation suivant une direction faisant un angle aigu S avec la partie de l'axe de figure située du côté de l'hémisphère. Pour nous rendre compte de l'action de l'air sur un pareil projectile, il suffit d'appliquer les résultats auj^quels nous sommes arrivé en considérant séparément le cylindre et la sphère.
Nous devons admettre évidemment que le méridien de la résultante que l'on peut encore considérer comme une force unique sera toujours déterminé par la formule
tg 2 y = A — !%.
^ " MSinB
l,.Silirrx..i.COOglC
48 JOUBNAL DBS SCIENCES MILITAIBBS.
Mais, au sujet de l'angle y, il est nécessaire d'introduire quelque modification dans l'énoncé des résultats précédents.
On ne doit plus dire que > soit plus grand que S, mais à ce dernier angle on doit substituer l'angle y„ qui ferait la résistance si la translation existait seule. La rotation augmente >, et l'on a : » > ?,.
La proposition concernant la sphère n'est qn'un cas particulier de ce qui arrive pour un projectile de révolution quelconque, et l'angle î n'intervient dans son énoncé que parce que dans le cas de la sphère, >. = B.
Les considérations que nous avons présentées a ce bujet s'appliquent aux projectiles cylindro-spbériques. On peut même remarquer qu'en général l'augmenlation de l'angle y est moins accentuée avec une sphère qu'avec le projectile oblong.
En etfet, dans ce dernier cas, la partie inférieure de la sphère n'existe plus. Or, en ne considérant d'abord que les résistances normales, nous avons vu que sur cette partie la rotation a pour effet de diminuer l'angle y, tandis que sur la partie supérieure, elle produit l'effet inverse. Ce dernier effet était cependant prédominant; mais maintenant il existe seul, il n'y a plus aucune compensation, et, par conséquent, il doit être plus intense.
D'autre part, la rotation n'empSche pas la résultante des résistances normales sur la partie cylindrique de rester perpendiculaire à l'axe de figure.
Donc, la résultante totale des résistances normales fera avec l'axe un angle plus grand que si la translation existait seule.
Et l'on pourra encore supposer cet angle déterminé par la formule :
69. Toutefois, avant de s'arrêter à cette formule, il faut encore avoir égard aux résistances tangentielles. Or, parmi celles-là, il en
est qui agissent sur la partie cylindrique et dans le sens de l'axe de figure. Toutes ces résistances de frottement s'ajoutent et tendent à diminuer l'angle y. Leur effet est d'autant plus marqué que l'angle 8 est plus petit, et lorsque cet angle a une très-petite valeur, il est possible que l'angle de la résultante de toutes les actions de l'air normales ou tangentielles avec l'axe ne soit pas plus grand que l'angle y, déterminé dans le cas d'une seule translation et en ne considérant que les résistances normales.
Il n'en sera plus ainsi dès que l'angle S augmentera, non-seulement parce qu'alors ces frottements longitudinaux diminuent, mais aussi parce que les résistances normales sur la partie cylindrique augmentent, et que les frottements disparaissent devant elles.
HâSISTANCE DE l'AIB AU MOUVEMENT DES PROJECTILES. 49
Ces frottements, uomme ceux qui sont perpendiculaires à l'axe, fournissent encore un couple, lorsqu'on les transporte au centre de gravité. Mais ce que l'on doit remarquer, dans le cas qui nous occupe, c'est que ce couple n'est à considérer qu'au point de vue du ralentissement de la rotation initiale, et qu'il est permis de négliger l'effet qu'il peut avoir sur la direction de l'axe de rotation. Ce n'est pas que ce couple, s'il était seul, ne puisse faire varier cet axe; mais il en est un autre qui provient des résistances normales et qui, en général, est beaucoup plus grand. Cela tient h ce que, dans le cas des projectiles oblongs, la résultante des résistances normales ne passe pas par le centre de gravité. Ce sont alors ces résistances qui ont une influence prépondérante, aussi bien sur le mouvement conique de l'axe de rotation, que sur le mouvement du centre de gravité; et c'est ce qui n'a pas lieu lorsqu'il s'agit d'une sphère homogène ; le frottement seul peut alors faire changer la direction de l'axe de rotation.
70. Nous venons de considérer un projectile cylindro-sphérique, parce qu'il se compose rigoureusement de deux surfaces que nous avons étudiées précédemment; mais il est clair que tous les résultats auxquels nous venons d'arriver s'appliquent , au moins dans leur ensemble, à un projectile oblong quelconque, que sa partie antérieure soit conique, ogivale ou paraboloïdale.
Lorsqu'un tel projectile est animé d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation autour de son axe de figure faisant avec la translation un angle S, on doit donc, pour exprimer' d'une manière suffisante l'ensemble des actions de l'air ;
1" Déterminer la résultante des résistances normaks comme si la translation existait seule, faire tourner cette force vers la gauche, et augmenter l'angle qu'elle fait avec taxe, sans changer son point d'application ;
S" Tenir compte du couple que produiraient les résistances tangentielles si la rotation existait seule.
C'est là le résultat capital de toute cette théorie, et c'est ce qui nous permettra aisément d'expliquer les mouvements de tous les projectiles en partant d'un même principe.
Quant à la grandeur de la résistance proprement dite, il n'y a pas lieu de dire si la relation l'augmente ou la diminue, parce que son expression contiendra toujours une constante que l'expérience seule pourra déterminer. C'est surtout l'influence de la rotation sur la di- . rection de cette force qu'il faut préciser, et c'est ce que nous croyons avoir fait avec une exactitude suffisante.
DES SGIBNGES HILITtlBBS.
■^ mPLoencB d» l'excbhtbicité de la rotation.
71. Nous avons toujours supposé, jusqu'à présent, que la rotation avait tieu autour de l'axe de figure ; il nous reste maintenant, pour terminer cette étude de l'action de l'air sur les surfacesde révolution, à examiner commenï les résultats auxquels nous sommes parvaiu doivent {!tre modifiés quand la rotation est excentiiquB, c'eït4trdire a Ueaautour d'un axe qui n'est pas l'axe de ^ure. Pour fÏKer les idées, nous allons foire cette recherche, en considérant un sdide ayant Ifi forme d'un ellipsoïde de révolution allongé; nous le. supposecons de phis homogène, afin de faciliter l'expression des concUiaions.
Soit son centre (fig. 3),. et OT 1» direetien de la tranalatioR, PP" celle de l'axe de rotation dont la direction supérieure OP Êiit «ai angle aigu avecOT. Supposons d'abord l'axe de figure situé dans le plan POT et faisant avec OP un angle plus petit que POT. Bans ces conditions, les densités sur la partie supérieure droite sont plus petites que si l'axe de figure était confondu avec l'axe de rotation, parce que, si je puis m'exprimer ainsi, cette partie du corps échappe & l'air en contact, tandis que lorsque les deux axes sont confondus, le corps ne fait que tourner sur lui-même. Il y a bien toujours dans les deux cas les inégalités de densité produites, par la coexistence du mouvement de tran^ation et de rotation ; mais, d^ns le cas de la rotation excentrique, ces inégalités seraient produites par la rotation seule, et dans le sens que nous indiquons. Sur la partie supérieure gauche, au contraire, les densités sont augmentées par le fait de rexcentrieité de la rotation. Quant aux vitesses normales, dtes sont de part et d'autre modifiées dans le même sens ; ri en sera, par conséquent, de même des résistances normales.
i'effet inverse se manifestera dans la partie inférieure, mais il sera beaucoup moins sensible, parce que dans cette région l'air agit beaucoup plus obliquement que dans la région opposée. Donc, l'effet de l'excentricité sera de faire tourner la résultante des résistances nonnales d'un certain angle vers la droite, et peut-être même de ta diriger vers la droite du plan POT. Quant à la grandeur de la résultante, elle sera dimiouée, parce que la projection de la surface sur un plan perpendiculaire à OT est plus petite que si XY était confondu avecPP*, et que toutes choses égales^ d'ailleurs, cette résultante croît avec l'étendue de cette projection. E^fin, il est visible que l'angle de cette résultante avec l'axe de rotation est augmenté par l'inclinaison de l'axe de figure.
En résumé, dans l'hypothèse où nous nous sommes mis, diminu-
,..d:,i.Googlc .
RÉSISTANCE DB l'aIR AU HOCTBliraiT BBS PBOISGTILES. 5f
tion de R {grandeur de la résultante), diminution de y qui peut mêmeêtre changé de signe, augmentatien de >.
Or, maintenant, supposons que PP' et OT restant les mêmes, lasurface exécute une demi-révolution autour de PP'. Il est aisé de voir que le demi-tour exécuté , les modifications provoquées par l'excenlricité auront lieu en sens inveree : augmentation de R, augmentation de y et dinûnntion de y.
Enfin', supposons l'axe de figure dans un plan perpendiculaire au plan POT, et la partie supérieure OX dirigée vers la droite.
Dans cettp hypothèse, il se produit sur la partie ant^ro-supérieure «ne augmentation de densité, et c'est le contraire sur la partie antéro-inférieure; par suite, la grandeur de la résultante des résistances normales est augmentée ainsi que l'angle qu'elle fait avec- Taxe de rotation.
C'est le contraire si la partie OX de l'axe est située à gauche du' plan POT.
T2, Sans chercher à exprimer avec plus de précision l'influencede l'excentricité sur la grandeur et la direction de la résultante des actions de l'air, nous pouvons conclure des observations que nous, venons de faire, que si pendant un certain temps la rotation subsiste autour du même axe et la translation dans la même direction, l'action moyenne de l'air pendant la durée d'une révolution de l'axede figure sera sensiblement la même que si pendant ce temps l'axe de figure était confondu avec l'axe de rotation, puisque, dans deux positions de cet axe symétriques par rapport à l'axe de rotation, cette action est modifiée en sens contraire.
Si le mouvement se continue pendant quelque temps dans les mêmes conditions, l'action de l'air pourra bien varier à chaque instant d'une manière notable, mais d'une manière périodique; pendant une partie de la révolution de l'axe de figure, le choc de l'air sera beaucoup plus grand que pendant l'autre partie, mais sa valeur moyenne sera sensiblement la même que si l'excentricité n'existait pas. Si l'excentricité est grande, ces variations de l'action de l'air devront se manifester à l'oreille par une sorte de sifflement périodique ; un bruit presque nul lorsque l'axe OX est en arrière de PP, parce qu'alors la partie antérieure ne fait presque que glisser sur l'air ; un bruit très-sensible, au contraire, lorsque la partie supérieure de OX passe de droite a gauche, parce qu'alors le corps frappe l'air avec violence.
Gisons de suite que ce n'est pas là ce qui se passe dans le tir réel des obus oblongs que lance l'artillerie raj^ée ; l'observation des faits montre que le bruit que font entendre les projectiles pendant leurpassage dans l'air n'est nullement intermittent, mais continu, du moins il très-peu près. Ce qu'il faut conclure de là, c'est que pendant le
52 JOUaNAL DBS
mouvement l'excentricité est toujours très-petite, et c'est, du reste, ce que montre l'étude rationnelle de la question, ainsi que H. Hayewski l'a prouvé.
73. Les diverses modifications que l'excentricité fait sublir à la résistance de l'air seraient encore de la nature de celles que nous venons d'indiquer, si l'on supposait que l'axe de rotation ne rencontrât pas l'axe de figure, et c'est ainsi qu'il faudrait décomposer le mouvement d'un corps dont le centre de gravité ne serait pas sur l'axe de révolution. Il se passe aussi quelque chose d'analogue dans le tir des projectiles sphériques excentriques, c'est-à-dire des projectiles sphériques dont le centre de gravité n'est pas confondu avec le centre de figure. Dans les bombes que lancent les mortiers, la distance de ces deux centres est trfes-sensible. l'axe de rotation passant par le centre de gravité est toujours bien différent d'un diamètre, et c'est là qu'il faut chercher l'explication du sifflement périodique que celte fois on entend d'une manière très-distincte pendant le tir de ces projectiles.
Dans tout ce que nous venons de dire au sujet de l'inSuence de l'excentricité, nous n'avons parlé que des résistances normales. Nous ne voyons pss d'observations bien importantes à faire au sujet des résistances tangenticlles. Si l'excentricité est petite, le couple qui tend à ralentir la rotation n'est pas sensiblement modifié. Si elle est grande, les mouvements de l'air sont très-complexes et nous paraissent peu susceptibles d'être analysés avec quelque exactitude.
Ce que l'on peut dire seulement, c'est que l'excentricité de la rotation augmente la quantité d'air qui est déplacé par ce mouvement, et, par suite, la dilatation due aux forces centrifuges.
La conclusion que nous croyons pouvoir tirer de toutes ces remarques, c'est que lorsque l'on étudie les mouvements des projectiles oblongs dans l'air, on peut h chaque instant exprimer l'aclion de ce fluide, comme si l'excentricité n'existait pas, c'est-à-dire comme si l'axe de figure était toujours confondu avec l'axe de rotation.
Vin
RâSUHi: ET CONCLUSION.
74. Par l'étude précédente de toutes les actions élémentaires de l'air, nous sommes donc parvenu à ramener le cas le plus général du mouvement d'une surface de révolution aux cas les plus simples où l'un des deux mouvements de translation et de rotaUon existe seul.
Nous avons fait voir, en effet, que dans tous les cas on peut admettre que l'aclion de l'air se réduil Ji une seule force et à un couple;
RÉSISTANCE DB L'AIK AU HOUVBUENT DBS PROJECTILES. 53
Que pour détermiaer les éléments de la force, on pourra supposer que la translation existe seule, en faisant subir ensuite aun r^ultats obtenus certaines modifications qui dépendent des données d'une manière simple; >
Que pour connaître la grandeur du couple, au contraire, on pourra supposer que c'est la rotation qui existe seule.
Nous avons montré, de plus, que pour calculer cette force dans le cas d'une seule translation, il est permis d'admettre qu'elle ne provient que des résistances normales élémentaires, que les inégalités de densités de l'air en contact avec la surface du corps sont négligeables, et que l'axe de figure est confondu avec l'axe de rotation, tant que ces deux axes font un petit angle.
Cette force une fois déterminée en grandeur et en direction, pour en déduire la résistance de l'air dans le cas réel d'un double mouvement de translation et de rotation, il suffira de la faire tourner h gauche si la rotation est directe, h droite si elle est inverse, de façon que le méridien qui la contienne fasse avec celui de la translation un angle y déterminé par la formule :
et cela sans charger son point d'application et en augmentant un peu l'angle qu'elle fait avec l'axe de rotation.
Ecarter la résistance du méridien de la translation, augmenter Cangk qu'elle fait avec taxe de rotation, tels sont donc les effets constants de la rotation, et cela, quelle que soit la forme du projectile, pourvu qu'il soit convexe; quelle que soit aussi, il faut bien le remarquer, la loi qui exprime la grandeur de la résistance de l'air en fonction de la vitesse.
15. Cette loi , on le sait, est fort variable suivant les circonstances. D'après M. Mayewski, si l'on voulait exprimer la résistance par un seul terme depuis les plus faibles vitesses jusqu'aux plus grandes, il faudrait choisir la loi du cube pour les projectiles sphériques, la quatrième puissance pour les projectiles oblongs.
Mais on n'aurait pas ainsi une approximation suffisante; pour l'obtenir, i! faudrait prendre tantôt un monôme, tanldt un binôme, suivant la grandeur de la vitesse.
Ce sont là des considérations auxquelles il faut avoir égard, si l'on veut rechercher la trajectoire par le calcul, et retrouver ainsi toutes les particularités du tir.
Mais n'ayant en vue, pour le moment, que l'explication des effets saillants du tir des canons rayés, nous n'aurons besoin, pour y parvenir, que de connaître les effets constants de la rotation que nous venons d'essayer de mettre en évidence.
S4 JOUUUI. BIS SOIBNCBS MlLlTAaSS.
La formule simple qui bobs semble )M-opre à définir r«B{|^e y n's éÊé lobtemie qu'empiriquement; mais dans le cas relativement peu compliqué du mouvement lâ'un «^Imdpe, nous avons feit voir qu'il serait illusoire de chercher à le calculer avec une rigueur géométrique. Nos obs^vations à ce stqet ine prenrkaàeoti^e plus de fondement en s'appliquant à nue suitoe quEfteoaqve.
Du rerte, cette <fonn^ oe ibous sera pas nécessaire pour l'explication des moMTemeoits généraux des projediles. L'important est de savccr que oetuBgle existe «t^el est son sens.
Quant aux autres éléments de la r^istance, c'esVWire son point d'application «t son angle avec l'axe de figure, le calcul seul peut les faire connaître avec précisioii.
U importe 4e connaître ces 'éléments jsi l'on veut trouver i priori le anonwement d'un projectile donné. Mais nous suivrons use marche inverse. Nous esamufierons tous les cas posâbles, nous verrons q«el est cetid tfii conduit à un minivemeiit que l'expérience permet d« oonstaler. Nous serons amené ainsi i suppofier que c'est œiui-là qui est le cas des projectiles réels, et nous con&tatermis que c'est, en effet, ce que prouvent les calculs faits jusqu'à présent sur ce sujet.
76. Nous allons donc entrer dans la seconde partie de ce travail. Preunt pour ba&e les résultats de la théorie que nous venons de développer, nous allons reodre compte des déviations des projectiles '^éiâques aussi bien -que de celles des projectiles oblongs. Il jiouB .sera facile aussi d'<expliqu^ quelques particularités dont on n'-R^t pas dfloné la cause jusqu'à présent, et, par exemple, la contredé^tion.
£n teraûnant cette première partie, convenons, pour la simiplicité du langage, de désigner toujours la force et le couple auxquels se néduisent toutes les actions de l'air : la première sous le nom spécial de rémtaace de loir, le couple sous le nom de co^^tk du fmitenent. Ces dénomjnatimis nous paraissent d'autant plus convenables que, d'après ce que nous avons dit, la force ne provientque des résistances élémentaires nonnales, c'est-à-dire des résistances proprement -dites; le couple, au contraire, seulement des résistances tasgeolielles engendrées par la rotation.
II était utile de faire explicitement cette convention, afin que l'on sache bien .qu'en employant le terme régistance de l'air, nous n'entfflidcms pas parler d'une force capable de remplacer toutes les actions de ce fluide.
- Imprimerie 4* I. DmuMt. rue Cbritiiiic, f.
■I\ECHET\CHES ■ THEO(\lQUt:S ■ SU[\- LA- F\ES1STAMGE l^E-L'AIR^' AU ■ MOUVEMENT ■ DES ■ PROJECTILES,
Journal des Scicnci» M'!'.Aràl.lA74.
,/ Daiaair.e,Eiilear.
I^ECHEl^eHES THEOf^IQUES SUR^ LA I^ESISTANCE DE L'AIR^ ■ AU MOUVEMENT DES ■ PI^OJECTILES
Fi^. 4.
Journal <1u!< Sciences M''!* !i«ptenbre 1874.
r„s,i,.,.d.i.C00glc
