AVERTISSEMENT

La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse, à la résolution d'une ou de plusieurs équations, dont les coefficiens sont donnés en nombres, et qu'on peut appeler" équations numériques. 11 est donc important d'avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré qu'elles soient. Celle que l'on trouve dans le Recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1767, est jusqu'ici la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines réelles d'une équation numérique donnée , et d'approcher le plus rapidement et aussi près que l'on veut de chacune de ces racines. Plusieurs personnes ayant paru désirer d'avoir à part le Mémoire qui contient cette méthode , on le donne ici avec les Additions qui ont para dans le volume des Mémoires de la même Académie pour l'année 1768, et avec quelques Notes que l'auteur a cru devoir y joindre , et qu'on a rejetées à la fin pour ne pas interrompre l'ordre des matières.

Il faut bien distinguer la résolution des équations numériques de ce qu'on appelle en algèbre la résolution générale des équations. La première est, à proprement parler, une opération arithmétique, fondée à la vérité sur les principes généraux de la théorie des équations , mais dont les résultats ne sont que des nombres, où l'on ne reèonnoit plus les

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premiers nombres qui ont servi d'élémens , et qui ne conservent aucune trace des différentes opérations particulières qui les ont produits. L'extraction des racines carrées et cubiques est l'opération la plus simple de ce genre ; c'est la résolution des équations numériques du second et du troisième degré , dans lesquelles tous les termes intermédiaires manquent. Aussi conviendroit-il de donner dans l'arithmétique les règles de la résolution des équations numériques, sauf à renvoyer à l'algèbre la démonstration de celles qui dépendent de la théorie générale des équations.

Neuton a appelé l'algèbre arithmétique universelle. Cette dénomination est exacte «à quelques égards; mais elle ne fait pas assez connoîlre la véritable différence qui se trouve entre l'arithmétique et l'algèbre. Le caractère essentiel de . celle-ci consiste en ce que les résultats de ses opérations ne donnent pas les valeurs individuelles des quantités qu'on cherche , comme ceux des opérations arithmétiques ou des constructions géométriques , mais représentent seulement les opérations, soit arithmétiques ou géométriques qu'il faudra faire sur les premières quantités données ponr obtc nir les valeurs cherchées; je dis arithmétiques ou géométriques, car on connoît depuis Viète les constructions géométriques par lesquelles on peut faire sur les lignes les mêmes opérations que Ton fait en arithmétique sur les nombres.

L'algèbre plane pour ainsi dire également sur l'arithmétique et sur la géométrie ; son objet n'est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités cherchées, mais le système d'opératious à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs des quantités qu'on cherche, d'après

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les conditions du problème. Le tableau de ces opérations représentées par les caractères algébriques, est ce qu'on nomme en algèbre une formule ; et lorsqu'une quantité dépend d'autres quantités, de manière qu'elle peut être exprimée par une formule qui contient ces quantités , on dit alors qu'elle est une fonction de ces mêmes quantités.

L'algèbre prise dans le sens le plus étendu , est l'art de déterminer les inconnues par des fonctions des quantités connues, ou qu'on regarde comme connues ; et lu résolution générale des équations consiste à trouver pour toutes les équations d'un même degré ; les fonctions des cocflicicns de ces équations qui peuvent en représenter toutes les racines.

On n'a pu jusqu'à présent trouver ces fonctions que pour les équations du second, du troisième et du quatrième' degré ; mais quoique ces fonctions expriment généralement toutes les racines des équations de ces mêmes degrés , elles se présentent néanmoins, dès le troisième degré, sous une forme telle qu'il est impossible d'en tirer les valeurs numériques des racines par la simple substitution de celles des cocllicicns, dans les cas mêmes où toutes les racines sont essentiellement réelles ; c'est cette difficulté que les Analystes désignent par le nom de cas irréductible; elle auroit lieu à plus forte raison dans les équations des degrés supérieurs, s'il étoit possible de les résoudre par des formules générales.

Heureusement on a trouvé moyen de la vaincre dans le troisième et le quatrième degré , par la considération de la trisection des angles, et par le secours des tables triqonomclriques j mais ce moyen, qui dépend de la division des

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angles, n'est applicable dans les degrés plus élevés qu'à tine classe d'équations très-limitée; et on peut assurer d'avance que quand même on parviendroit à résoudre généralement le cinquième degré et les suivans, on n'auroit par-là que des formules algébriques, précieuses en elles-mêmes, mais très -peu utiles pour la résolution effective et numérique des équations des mêmes degrés, et qui, par conséquent, ne dispenseroient pas d'avoir recours aux méthodes arithmétiques qui sont l'objet de ce Traité.