DES

ViiîTE est le premier qui se soit occupé de la résolution des équations numériques d'un degré quelconque. 11 fait voir dans le Traité de numcrosa potestatum adfectarum resolutionc , comment on peut résoudre plusieurs équations de ce genre par des opérations analogues à celles qui serrent à extraire les racines des nombres.

Harriot, Ouglred , Pell , &c. ont cherché à faciliter la pratique de celte méthode , en donnant des règles particulières pour diminuer les tâtonnemens , suivant les difTérens cas q\ii ont lieu dans les équations relativement aux signes de leurs termes. Mais la multitude des opérations qu'elle demande , et l'incertitude du succès dans un grand nombre de cas , l'ont fait abandonner entièrement avant la fin du siècle dernier.

En effet, il est aisé de se convaincre qu'elle ne peut réussir d'une manière certaine , que pour les équations dont tous les termes ont le même signe , à l'exception du dernier tout connu j car alors ce terme devant être égal à la somme de tous les autres } on peut , par des tâtonnemens limités et réglés , trouver successivement tous les chiffres de la valeur de l'inconnue , jusqu'au degré de précision qu'on aura fixé. Dans tous les autres cas , les tâtonnemens deviendront plus ou moins incertains , à cause des termes soustractifs.

a DE LA RÉSOLUTION

Il faudroit donc , pour l'emploi de cette méthode, qu'on put par une préparation préliminaire réduire toutes les équations à cellefortne : or on le peut toujours, pourvu qu'on ait deux limites d'une racine, l'une en plus, l'autre en moins > et qui soient telles que toutes les autres racines , ainsi que les parties réelles des racines imaginaires s'il y en a, tombent hors de ces limites} car on peut alors , par une substitution , transformer l'équation de manière que cette racine soit positive en même temps que toutes les autres racines réelles , ainsi que les parties réelles des racines imaginaires seront négatives j et il n'est pas difficile de s'assurer que, dans cet état , l'équation transformée aura la forme demandée , ou l'acquerra nécessairement en diminuant peu à-peu toutes ses racines d'une même quantité qu'on trouvera par quelques essais. Mais la difficulté de trouver ces limites est elle-même aussi grande , et peut être quelquefois plus grande que celle de résoudre l'équation. «*-

A la méthode de Vièle a succédé celle de Newton , qui n'est proprt-ment qu'une méthode d'approximation, puisqu'elle suppose que l'on ait déjà la valeur de la racine qu'on cherche , à «une quantité près moindre que sa dixième partie j alors on substitue cette valeur plus une nouvelle inconnue à l'inconnue de l'équation proposée , et l'on a une seconde équation dont la racine est ce qui reste à ajouter à la première valeur pour avoir la valeur exacte de la racine cherchée j mais à cause de la petitesse supposée de ce reste , on néglige dans la nouvelle équation le carré et les puissances plus hautes de l'inconnue j et l'équation étant ainsi rabaissée au premier degré , on a surle-champ la valeur de l'inconnue. Cette valeur ne sera encore qu'approchée $ mais on pourra s'en servir pour en trouver une autre plus exacte , en faisant sur la seconde équation la même opération que sur la première , et ainsi de suite. De cette manière , on trouve à chaque opération une nouvelle quantité à ajouter ou à retrancher de la valeur déjà trouvée , et oû

5", if. ^2,

a la racine d'autant plus exacte , qu'on pousse le calcul plus loin. s,

Telle est la méthode que l'on emploie communément pour résoudre les équations numériques ; mais elle ne sert, comme l'on voit , que pour celles qui sont déjà ù-pcu-près résolues. De plus, elle n'est pas toujours sûre j car en négligeant à chaque opération des termes dont on ne connoît pas la valeur, il est impossible de juger du degré d'exactitude de chaque nouvelle correction} et il peut arriver, dans les équations qui ont des racines presque égales , que la série soit très-peu convergente , ou qu'elle devienne même divergente après avoir été convergente. Enfin elle a encore l'inconvénient de ne donner que des valeurs approchées des racines mêmes qui peuvent être exprimées exactement en nombres , et de laisser par conséquent en doute si elles sont commensurables ou non.

Le problème qu'on doit se proposer dans cette partie de l'Analyse, est celui-ci: Etant donnée une équation numérique sans aucune notion de la grandeur ni de la nature de ses racines , en trouver les valeurs numériques , exactes s'il est possible , ou aussi approchées qu J on voudra. Ce problême n'a pas encore été résolu; et c'est l'objet des recherches suivantes.