REMARQUE I

Sur la manière d'avoir les racines imaginaires des équations.

Nous avons vu dans la remarque II e que chaque couple <Ie racines imaginaires correspondantes * + — 1 , « — j8 |/ — 1 donne nécessairement dans l'équation des différences une racine réelle négative — 4 jS* j d'où il s'ensuit qu'en cherchant les racines réelles négatives de cette équation , on trouvera nécessairement

les valeurs de — 4 g 1 , d'où l'on aura celles de /3 , àl'aide desquelles on pourra ensuite trouver les valeurs correspondantes de «, comme nous l'avons enseigné dans le n°. 17; de sorte qu'on aura , par ce moyen , l'expression de chaque racine imaginaire de l'équation proposée j ce qui est souvent nécessaire , sur-tout dans le calcul intégral. Voici seulement une observation qui peut servir à répandre un plus grand jour sur cette théorie , et à dissiper en même temps les doutes qu'on pourroit se former sur son exactitude et sa généralité.

4 1 . Lorsque les parties réelles * , y , &c, des racines imaginaires

«ont inégales tant entr'elles qu'avec les racinesréelles a y b,c, &c. il est évident , par la table de la remarque précédente , que l'équation des différences n'aura absolument d'autres racines réelles négatives que celles-ci : — 4 £*, — 4 &c. de sorte que le nombre de ces racines sera le même que celui des couples de racines imaginaires dans l'équation proposée.

Mais s'il arrive que , parmi les quantités « , y , &c. il s'en trouve d'égales entr'elles ou d'égales aux quantités a , £ , c , &c. alors l'équation des différences aura nécessairement plus de racines négatives que la proposée n'aura de couples de racines imaginaires.

En effet , soit a = a. , les deux racines imaginaires ' ( * — a + fiV — « )',(* — « — * t/ — «)% deviendront — jB* , et — iS* , et par conséquent réelles négatives.

De sorte que si l'équation proposée ne contient , par exemple, que les deux imaginaires * -f £ y — 1 , et * — $ y/ — 1 , l'équation des différences contiendra , dans le cas de * = a , outre la

racine réelle négative — 4 , encore ces deux-ci : — |S* , — £' , égales enlr'elles.

D'où Ton voit que lorsque l'équation des différences a trois racines réelles négatives, dont deux sont égales enlr'elles , alors la propoi>ée peut avoir ou trois couples de racines imaginaires, ou une seulement.

Si la proposée contient quatre racines imaginaires * -f # •/ — 1 > * — J0 V 7 — i,7 + l y> — J> \ / — 1 > alo, *s l'équation des

différences contiendra d'abord les deux racines réelles négatives

— 4 , — 4 ensuite si * = a , elle aura encore ces deux-ci : — /3*, — ,a' j si > = elle aura de même ces deux autres-ci :

— /*, — i* j enfin , si on avoit * = > , alors les quatre racines imaginaires

(•-> + (H + /) l/-0*> (*->-(* + 0 /-i)', deviendroient

c'est-à-dire réelles négatives, ou égales deux à deux.

4 2. De-là il C5t facile de conclure ,

i°. Que lorsque toutes les racines réelles négatives de l'équation des différences sont inégales enlr'elles , alors la proposée aura nécessairement autant de couples de racines imaginaires qu'il y aura de ces racines.

Et , dans ce cas , uommaul — w une quelconque de ces racines ,

on aura d'abord jS = — — : cette valeur étant ensuite substituée

dans les deux équations (M) du n°. 17, on cherchera leur plus grand commun diviseur, en poussant la division jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où * ne se trouve plus qu'à la première dimension j et faisant ce rcsîe égal à zéro, on aura la valeur de * correspondante à celle de 0 j par ce moyen , chaque racine négative — adonnera deux racinet imaginaires * \- jS v — / , et * — 0 V — !.

a 0 . Que si, parmi les racines réelles négatives de l'équation des différences , il y en a d'égales entr'elles , alors chaque racine inégale) s'il y en a, donnera toujours, comme dans le cas précédent, une couple de racines imaginaires j mais chaque couple de racines égales pourra donner aussi deux couples de racines imaginaires , ou n'en donner aucune; ainsi deux racines égales donneront ou quatre racines imaginaires ou aucune ; trois racines égales donneront ou six ou deux racines j quatre racines égales donneront ou huit ou quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

45 . Ôr soient , par exemple, — w, et — w deux racines égales

1/ fi>

négatives de l'équation des différences, on fera £ = — — comme

ci- dessus; et substituant cette valeur de j8 dans les équations (II) du numéro cité , on cherchera leur commun diviseur en ne poussant la division que jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où * ne se trouve qu'à la seconde dimension , à cêuse que la valeur de jS est double, comme nous l'avons déjà remarqué dans l'endroit cité.

Ainsi , faisant ce reste égal à zéro, on aura pour la détermination de * une équation du second degré , laquelle aura , par conséquent , ou deux racines réelles ou deux imaginaires.

Dans le premier cas , nommant ces deux racines *' et *" , on aura les quatre racines imaginaires *' -f # \/ — 1 , « — /3 j/ — 1 , *" + J8 \S — 1 , *" — # V — 1 ; dans le second cas , les valeurs " de * étant imaginaires contre l'hypothèse , ce sera une marque que les deux racines égales — w , — w , ne donneront point de racines imaginaires dans la proposée.

44. s'il y avoit dans l'équation des différences trois racines

1/ ti>

égales et négatives — «/, — «», w , alors faisant & s= ,

on poussera seulement la division des équations jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où * se trouve à la troisième dimension ; de sorte que ce reste étant fait = o, on aura une équation du troisième degré en * , d'où l'on tirera , ou trois valeurs réelles de * , ou une réelle et deux imaginaires : dans le premier cas , on aura six racines imaginaires; dans le second 9 on n'en aura que deux , les valeurs imaginaires de * devant toujours être rejetées comme contraires à l'hypothèse , et ainsi de suite.