REMARQUE II L

Où l'on applique la théorie précédente aux équations du second, troisième et quatrième degré.

5j. Soit l'équation proposée du second degré, comme

l'équation des différences sera du degré - — = 1 j et on trouvera

par la méthode du n°. 8 que cette équation sera

w — a — o , où l'on aura o =• A* — 4 B.

Ainsi les racines seront toutes deux réelles ou toutes deux imaginaires, su'vant que l'on aura A* — 4B > °> ou < 03 et elles seront égales lorsque A* = 4 B.

58. Soit proposée l'équation générale du troisième degré * 3 — A + B * — C = o

l'équation des différences sera ici du degré — = 3 , et on trouvera par la même méthode

u 3 — au l + b v — c — q y

4 (A'- 5 B) (B'-5 AC) - ( 9 C — AB)« c = —

Donc , pour que les racines soient toutes réelles , il faudra que l'on ait ,

a 0 . 4 (A* — 3 B ) ( B* — 3 A C ) — ( 9 C — AB) 4 >o.

51 l'une de ces deux conditions manque , l'équation aura deux racines imaginaires.

Soit maintenant proposée l'équation générale du quatrième degré

* + B ** — C * + D = o dont le second terme est évanoui pour plus de simplicité j le

degré de l'équation des différences sera — = 6 j de sorte que

cette équation sera

v* — a w 5 + i v* — c v' + rf w* — e v + f =z o où l'on trouvera par la même méthode a = — 8B b— 22 B* + 8 D c = — i8B 3 + 16BD + a6 C' d= i 7 B 4 + 24B 1 D — 7-i6D 1 + 3.i6BC* e =— 4B — a.ayC'B' — 8.37CD + S.^BD*— a.^B'D 4<D 3 — a'.^B'D'+é'.S'C'BD + VB'D— 4OB 3 — 3 3 C<. Donc , i°. si la quantité

4 4 D 3 — a 3 . 4* B*D + 4*. 3* CBD + ^B^D — 4CB 3 — 3 s O est négative , la proposée aura nécessairement deux racines réelles et deux imaginaires $ mais si cette quantité est positive,

alors

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 5i

alors la proposée aura toutes ses racines réelles ou toutes imaginaires.

Or, toutes les racines seront réelles si les valeurs de tous les coefliciens a , b, c, r/, e sont positives; donc elles seront toutes imaginaires si le dernier coefficient / étant positif, quelqu'un des autres se trouve négatif.

Supposons donc le coefficient f positif, en sorte que l'on ait 4D 5 — a», 4 J B i D a + 4 1 . S'C'BD + ^B'D-^C'B'-^Oo et on trouvera que tous les autres coefliciens seront aussi positifs fi l'on a en même temps

B<o, et B 1 — 4 D > o, et qu'au contraire quelqu'un d'eux devierfdra nécessairement négatif si

B > o , ou B' — 4 D < o.

Ainsi, dans le premier cas, les quatre racines de l'équation seront toutes réelles, et dans le second elles seront toutes imaginaires. ^ On pourroit de même trouver les conditions qui rendent les racines des équations du cinquième degré toutes réelles, ou en parlie réelles et en partie imaginaires; mais comme, dans ce cas,

l'équat''on des différences monteroit au degré— — = 10, le calcul deviendroit extrêmement prolixe et embarrassant»