REMARQUE PREMIÈRE

Sur les fractions continues périodiques,

45. Nous avons déjà remarqué dans le n°. 18 que lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable,*Ia fraction continue doit nécessairement se terminer j de sorte que l'on pourra avoir l'expression exacte de la racine j mais il y a encore un autre cas où l'on peut aussi avoir l'expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille à l'infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique , c'est-à-dire telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours*dans le même ordre à l'infini j par exemple, si ou avoit la fraction

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. S7 il est clair qu'en nommant x la valeur de cette fraction , on auroit

ce qui donne cette équation :

q x* — P Ç * — P — Oj par laquelle on pourra déterminer il en seroit de même si la période étoit d'un plus grand nombre de termes , et l'on trouvcroit toujours pour la détermination de x une équation du second degré. Il peut aussi arriver que la fraction continue soit irrégulière dans ses premiers termes , et qu'elle ne commence à devenir périodique qu'après un certain nombre de termes j dans ces cas , on pourra trouver de la même manière la valeur de la fraction , et elle dépendra pareillement toujours d'une équation du second degré j car soit , par exemple , la fraction

nommons toute la fraction x , et y la partie qui est savoir :

on aura

d'où l'on tire .y = ■ p — r $ mais l'on = r + — ■ 1

ce qui donne a y* — rsy — r=oj donc , substituant pour,y sa valeur en x , on aura

5 ( x __p). rs(x—p)(i — q{x— p))~ r(i— q{ x — p)Y=0, équation qui , étant développée et ordonnée par rapport à * , montera au second degré.