On voit , par ce que noua venons de dire , que le cas

dont il s'agit doit avoir lieu toutes les fois que , dans la suite des

équations transformées (a) , (b) , (c), {d) , &c. du n°. 18, il

s'en trouvera deux qui auront les mêmes racines ; car si la

racine z , par exemple , de l'équation (c) étoit la même que la

racine x de l'équation (a ) , on auroit

ce qui est le cas que nous avons examiné ci- dessus ; et ainsi des autres. Donc , quand on voit que dans une fraction continue certain s nombres reviennent dans le même ordre , alors pour s'assurer si la fraction doit être réellement périodique à l'iniini , il n'y aura qu'à examiner si les racines des deux équations , qui ont la même valeur entière approchée , sont parfaitement égales, c'est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune j ce qu'on reconnoîtra aisément en cherchant leur plus grand commun diviseur, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations , s'il y en a : or , comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la racine d'une équation du second degré, il s'ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.

Supposons donc qu'on aitreconnu que, parmiles différent es équations transformées , il s'en trouve deux qui aient la même racine , alors la fraction continue cherchée sera nécessairement périodique à l'infini j de sorte qu'on pourra la continuer aussi loin qu'on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suitedes fractions convergentes du n°. a3 , sans être obligé de les calculer toutes l'une après l'autre par les formules données. Pour cet effet , nous supposerons que l'on ait en général

en sorte que x étant la racine cherchée , a", x" , &c. soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par y f z t u , &c. et l'on aura

Donc , faisant comme dans le numéro cité

/' r = x"7" + r L"" = k iv U" + L' &c &c.

on aura ces fractions convergentes vers *

L L L r lir

Maintenant l'équation x ta x' + ~ donnera