f DE LA RÉSOLUTION

elle deviendra en faisant a = p , et / == y + £ &c.

et si Ton avoit la fraction

elle se changeroit d'abord en

et ensuite en

et ainsi des autres fractions semblables. Il est bon de remarquer qu'il peut arriver que dans ces sortes de transformations quelqu'un des dénominateurs devienne nu 1 , auquel cas la fraction deviendra plus simple.

En effet , supposons que la fraction à réduire soit

la transformée sera

c'est-à-dire

De même , si l'on avoit la fraction

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 85 elle se réduiroit à celle-ci

savoir z> — 1 + : i

et ainsi du reste. •

68. La formule que nous avons trouvée ci-dessus , et qu'on peut mettre sous cette forme

fait voir qu'une fraction continue dont tous les termes ont le

signe -+- peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des

signes — } c'est ce qui a lieu lorsqu'il y a des dénominateurs

égaux à l'unité j car soit , par exemple , la fraction

elle pourra se réduire par la formule précédente à celle-ci

p + 1 - rrr &*

qui a , comme l'on voit , un terme de moins j donc , si l'on avoit

la fraction

elle se réduiroit à celle-ci

et si l'on avoit celle-ci

DV VjOOQlfc.

gu

on la réduiroil d'abord à

et ensuite a

D'où il est facile de conclure en général que , si on a une fraction continue qui n'ait que des signes ■+- , et où il y ait des dénominateurs égaux à l'unité, on pourra loujours la changer en une autre qui ait autant de termes de moins qu'il y aura de pareils dénominateurs , pourvu qu'ils ne se suivent pas immédiatement } car , lorsqu'il y en aura deux de suite , on ne pourra faire disparaître qu'on seul terme j lorsqu'il y en aura trois de suite, on pourra faire disparoître deux termes; et en général, s'il yenaan,<îu2* + ide suite , on ne pourra faire disparoître que n ou n + i termes.

Ainsi, la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre étant , comme l'on sait ,

3 + ri 1

elle peut se réduire à une autre qui ait déjà trois termes de moins et qui sera »

6q. Pour pouvoir comprendre sous une même forme générale les fractions continues où les signes sont tous positifs , et celles

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 8; où il y a des signes négatifs, il est bon de transformer ces dernières, en sorte que les signes négatifs n'affectent que les dénominateurs j ce qui est très- facile j car ayant, par exemple, la fraction

il est clair qu'elle peut d'abord se changer en

ensuite en celle-ci P +

et ainsi des autre*.

De cette manière , la forme générale des fractions continues dont nous venons de parler ci-dessus , sera

les nombres p, q , r, &c. étant tous entiers, mais pouvant être positifs ou négatifs, au lieu que jusqu'ici nous les avions toujours supposés positifs.

Il faut cependant remarquer que , si quelqu'un des dénominateurs y, r, &c. se trouve égal à l'unité prise positivement ou négativement , alors le dénominateur suivant devra être de même signe } c'est ce qui suit de ce qu'un dénominateur positif, et égal à l'unité , ne sauroit jamais être suivi du signe — (n°.66).

70. 11 s'ensuit de-lâ que la méthode d'approximation donnée dans le chapitre III, peut être généralisée en cette sorte. Soit x la racine cherchée , on prendra d'abord pour p la

valeur entière approchée de x, c'est-à-dire qu'on fera p égal à l'un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de .r , et qu'on peut toujours trouver par la méthode

du chapitre I er j l'on supposera ensuite X = />+-, ce qui

donnera une transformée eny qui aura nécessairement une racine positive ou négative plus grande que l'unité ; on prendra de même pour q la valeur entière approchée de y , soit plus grande

ou plus petite que y , et l'on fera y = q -\ — j et ainsi de suite.

Si l'équation en x avoit plusieurs racines , on feroit sur les transformées en y , en z , &c. des remarques analogues à celles du n°. 19.

Ayant donc

on aura •

' + fa.

oùlcsdénominatcursç',/-, &c. pourront être positifs ou négatifs, comme nous l'avons supposé ci - dessus j et cette fraction pourra ensuite se réduire , si l'on veut , à une autre dont les dénominateurs soient tous positifs , et qui ne contienne que des signes + '(tf. 6».

L'avantage de la méthode que nous proposons ici consiste en ce qu'on est libre de prendre pour les nombres p, q,r, &c. les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les racines x ,y , z , &c. ce qui pourra souvent donner lieu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.

Au reste , si on veut avoir d'abord la fraction continue la

plus courte, et par conséquent la plus convergente qu'il soit

possible ,

possible, il faudra prendre toujours les nombres p, y, r, &c. plus petits que les racines x,j , s, &.c. tant que ces nombres seront différens de l'unité j mais , dès que l'on en trouvera un égal à l'unité , alors il faudra augmenter le précédent d'une unité , c'est-à-dire qu'on le prendra plus grand que la racine correspondante ; cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet ( n°. 68 ).

7 1 • Maintenant , si on fait comme dans le n*. 23 a sa p a.' -— 1

fi 1 — * q + \ fi' = *' /

y = fi r + * y 1 = /r* r + *'

on aura , en ajoutant au commencement la fraction £ qui est plus grande que toute quantité donnée , les fractions

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la valeur de x.

Et pour pouvoir juger de la nature de ces fractions , nous remarquerons ,

i°. Que l'on aura toujours

* o — 1 «' = — 1 A — « f = 1 y fl' — fi y* = — 1

d'où l'on voit que les nombres *, 0 , fi' , &c, n'auront aucun dite j8

viseur commun , et que par conséquent les fractions — , -rr,&c.

* fi

seront déjà réduites à leurs moindres termes.

a°. Que les nombres *, fi y >, &c et &c. pourront

être positifs eu négatifs j lorsque la valeur de x est positive, les

5 o DE LA RÉSOLUTION

deux termes de chaque fraction seront de même signe , mais ils

seront de signes différens lorsque la valeur de x sera négative î

et qu'abstraction faite de leurs signes , ces nombres iront en

augmentant.

3°. Que l'on aura, à cause de x = p + -,y^q + - » &c-

J 2» Donc, en général, si t , •", sont trois termes consécutifs quelconques de la série * , d , y , &c. et ir* , t' , «r%les termes

correspondans de la sene * , &c. en sorte que -7, —, -7

soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur

de x , on aura

f - T f ' = ± i, et v t' — f ✓ sss- qp 1 , les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la

fraction est impair , et les inférieurs pour celui où ce quan-

tième est pair , à compter depuis la première fraction £ j de plus , on aura ( abstraction faite des signes )

f > », 9 > f, f' > «S et «r' > f ';

enfin , si on dénote par t le terme correspondant dans la série x , y ,z , &c. on aura rigoureusement

Et si * est la valeur entière approchée de t , soit plus grande ou plus petite que f , on aura

r=fi+t, s» f' * + *'

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 9 i

7 5» Cela posé, considérons la fraction ~ t et voyons de com-

bien elle diffère de la vraie valeur de x ; pour cela, nous aurons x f f * + *■ f f' * * i

donc .r = —

Ainsi l'erreur sera q= rTTT ~r; » or , si 9 et 9 + i sont les

deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de / , il est clair que la quantité t't + w' tombera entre ces deux/ 9+»',

ett ( 9 -f i ) -f t' , et qu'ainsi Terreur de la fraction — sera renfermée entre ces deux limites

^f' + etq= f' (*'.(« + 0 + O'

Or , on peut prendre j& — 9, ou £ = 9 + ijde sorte que l'on aura r' = t ' 9 V , ou = f ' ( 9 + i ) -r' - 3 d'où je conclus que si, pour distinguer les deux cas, on nomme <r' le dénomma-

tcur de la fraction qui suit -y , lorsqu'on prend la valeur approchée de t en défaut , et s' le dénominateur de la même fraction , lorsqu'on prend la valeur approchée de t en excès , l'erreur de

la fraction — r sera nécessairement renfermée entre ces deux f

limites =f et qp

D'où l'on voit que l'erreur ira toujours en diminuant d'une fraction à l'autre , à cause que les dénominateurs f ' , *' ou s', &c. vont nécessairement en augmentant. On voit aussi , à cause de / > p ' et 2' > t ' , que l'erreur sera toujours moindre

que =+= 77; ; c'est-à-dire que l'erreur de chaque fraction sera

moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de

cette fraction. D'où il est facile de conclure que la fraction -y

approchera plus de la valeur de x % que ne pourroit faire aucune autre fraction quelconque qui seroit conçue en termes plus

simples ; car supposons que la fraction — approche plus de x

que la fraction -~, n étant < t' , comme la valeur de x est

contenue entre ~ T et —r + -rr ou entre — et — 7 , ilfau-

dra que la valeur de — soit contenue aussi entre ces limites :

donc la différence entre et — devra être < ^- -, mais celte

différence^jrst " f , ™ f , dont le numérateur ne peut jamais

être moindre que l'unité , et dont le dénominateur sera nécessairement plus grand que f'*, à cause de g ' > n; donc, &c.

7^' On doit remarquer, nu reste, que si les dénominateurs a , j8', >', &c. sont tous de même signe ou de signes alternatifs, les erreurs seront alternativement positives et négatives $ de

sorte que les fractions —,-7, — , &c. seront alternativement

plus petites et plus grandes que la véritable valeur de x, comme nous l'avons dit dans le n°. 23 j mais cela cessera d'avoir lieu lorsque les nombres /3', &c. ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes différens j c'est ce qui arrivera nécessairement lorsque , parmi les dénominateurs q , r , s , &c. de la fraction continue , il y en aura de positifs et de négatifs , c'està-dire lorsqu'on prendra les valeurs approchées de x ,y , z , &c. tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. , g3 "JO. Si , au lieu des fractions convergentes — , &c. oa

<L ft f

aimoit mieux avoir une suite de termes décroissans , on remarqueroit que -7 — -7 = = -j- > et de même

*' V * fi

et ainsi de suite j d'où l'on tire , à cause de *' = i ,

' T - * + VJ'-~jT? + *' *

et en général

7 " * + ô? -fT + 7^ " &c - * 77

Ainsi on aura pour la valeur de * la série * + — i- — + &c.

laquelle en approchera doutant plus qu'elle sera poussée plus loin; et si après avoir continué cette série jusqu'à un terme quelconque =t —~ , on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de a?, on sera assuré que l'erreur se trouvera entre ces deux limites =fc -V^j et^= j r ^ 7 (n°.73)}desorte

qu'elle sera nécessairement moindre que — .