REMARQUE III

Généralisation de la théorie des fractions continues,

65. Nous avons supposé dans le chapitre III que les nombres />, q , r, &c. étoient les valeurs entières approchées des racines x , y, &c. mais plus petites que ces racines, c'est-àdire que/>, q, r, &c. étoient les nombres entiers immédiatement plus petits que les valeurs de x y y t z, &c. cependant il est clair que rien n'empêcheroit qu'on ne prît pour p , y , r, &c. les nombres entiers qui seroient immédiatement plus grands que les racines x,y,z, &c.

66. Imaginons donc qu'on prenne pour p le nombre entier , qui est immédiatement plus grand que x, en sorte que p > jc,

et p — i < * , il est clair qu'il faudra faire dans ce cas * = p — - ,

c'est-à dire qu'il faudra prendre^ négativement , et comme * <p

î , , et > p — 1 1 on aura - > o et < t , et par conséquent y > î ,

comme dans le cas où l'on auroit pris p plus petit que x ( n°. 18 ). Ainsi on pourra prendre de nouveau pour q , le nombre entier qui seroit immédiatement plus petit que y , ou celui qui aeroit immédiatement plus grand, et l'on fera dans le premier

cas^y = q + et dans le second y = q — - , et ainsi de «uite.

De cette manière on auroit donc

* = /? =fc - , y = q + ~ , z — r zàz - &c.

•ce qui donneroit la fraction continue x — p dtz - — ; i

r =fc -

où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs q , r, &c. qui sera suivi d'un signe — devra nécessairement être = 2

bu > 2 j car , puisque y > 1 , si on fait y — q — ~ , on

aura q — - > 1 , donc q > 1 + - j donc , q devant être un s s

nombre entier sera nécessairement = a , ou > 2 ; et ainsi des

autres.

07 « J'observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction , peuvent toujours facilement se changer en d'autres qui ne soient formées que par la simple addition.

En effet , supposons en général

a , et A devant être des nombres entiers , et t , T des nombre»

lit

plus grands que l'unité j on aura donc a — A = - + 7=- j donc,

puisque ^ < 1 , et y < 1 , j + y sera < 2 j donc on ne pourra supposer que a — A = ï , ce qui donne A = a — 1 j on aura donc a — - = a — 1 + -^i donc Y ~ 1 ~~ 7 •

ct t = t -— 1 ~ 1 + t — 1 9 de sorle c * uon aura cn S én ^ ra * «-! = «, + \-

et cette formule servira pour faire disparoi tre tous les signes dans une fraction continue quelconque.

Soit , par exemple , la fraction