Nous avons trouvé en général (n°. 72) que si ~ et -y

sont deux fractions consécutives convergentes vers la valeur

de*, on aura* = ^ - ~ donc, si on substitue cette expres-

sion de x dans l'équation en x dont on cherche la racine , on aura une transformée en / , qui sera nécessairement la même que celle /u'on auroit eue par les substitutions successives'

de p + - à la place de x, de q + - à la place de y , &c. et y *

pour avoir la fraction suivante -p- , il faudra trouver la valeur

entière approchée de t t laquelle étant nommée k y on aura

t = h t + w ft ✓ sa h f ' +

De celte manière , connoissant les deux premières fractions

— et — , qui sont toujours et - (n°. 71 ), on pourra trou-

ver successivement toutes les autres, à l'aide de la seule équation en x.

78. Au reste , soit qu'on emploie les substitutions successives de p + - à la place de x, de q -1 — à la place de^, &c. soit qu'on

fasse usage de la substitution générale de à la place

de x , la difficulté se réduira toujours à trouver dans chaque équation transformée , la valeur entière approchée de la racine

positive ou négative , mais toujours plus grande-que l'unité que cette équation contiendra nécessairement ( n°. 70 ). Or , si la première valeur approchée p ne convient qu'à une seule racine , alors toutes les équations transformées en y, en z, &c. n'auront chacune qu'une seule racine plus grande que l'unité j de sorte qu'on pourra trouver les valeurs entières approchées de ces racines par la simple substitution des nombres naturels (n°. 19). Mais si le même nombre appartient à plusieurs racines , les transformées auront nécessairement plusieurs racines plus grandes que l'unité , soit positives ou négatives , jusqu'à ce que l'on arrive à une de ces transformées qui n'ait plus qu'une pareille racine $ car alors toutes les suivantes n'en auront plus qu'une seule de cette qualité , comme nous l'avons démontré dans le numéro cité.

Avant d'être parvenu à cette transformée , \l arrivera souvent que la simple substitution des nombres naturels ne suffira pas pour faire trouver les valeurs entières approchées dont on aura besoin , parce que l'équation aura des racines qui différeront entr'elles par des quantités moindres que l'unité. Dans ce cas donc , il semble qu'il faudroit avoir recours à la méthode générale que nous avons donnée dans le chapitre 1 er j mais, ayant déjà employé cétte méthode pour trouver les premières valeurs approchées des racines x de l'équation primitive , on pourra se dispenser de faire un nouveau calcul à chaque équation transformée j c'est ce qu'il est bon do développer. .

y Q« En faisant usage de la méthode dont nous parlons , on trouvera d'abord les limites entre lesquelles chaque racine réelle de l'équation proposée sera renfermée , en sorte qu'entre deux limites trouvées , il n'y ait qu'une seule racine ( n°. i3 ).

Soient a et A les limites de la racine cherchée j l'expression * = ' * + donne t = * * ~~, * \ donc la valeur de t sera

renfermée

renfermée entre les limites ~~^~p~~i ~~~^> donc, si ces

dernières limites diffèrent l'une de l'autre moins que de l'unité , on aura sur-le-champ la valeur entière approchée de t -, mais si elles différent l'une de l'autre d'une quantité égale ou plus grande que l'unité , alors ce sera une marque que la racine cherchée t différera des autres racines de l'équation transformée en / par des quantités égales ou plus grandes que l'unité ; de sorte qu'on sera sûr de pouvoir trouver la valeur entière approchée de cette racine , par la simple substitution des nombres naturels à la place de / j et la même chose aura lieu à plus forte raison dans les transformées suivantes.

O. La formule / = peut être aussi très-utile pour

réduire en fraction continue toute quantité x qui sera renfermée entre des limites données , au moins pour trouver les termes de cette fraction qui pourront être donnés par ces limites j car nommant , comme ci-dessus, k et A les deux limites

de jf, on aura 7— et ~ pour celles de/: de sorte

que , tant que la différence entre ces dernières limites ne sera pas plus grande que l'unité , on pourra trouver exactement la

valeur entière de / : ainsi, prenant £ et ~ ( p étant la valeur

entière approchée de x ) pour les deux premières fractions , on pourra pousser la suite des fractions convergentes , et par conséquent la fraction continue jusqu'à ce que les limites dont nous parlons diffèrent entr'elles d'une quantité plus grande que l'unité j alors il faudra s'arrêter , parce que les limites données x et A ne comporteront pas une plus grande exactitude dans la valeur de x.

Par ce moyen , on n'aura jamais à craindre de se tromper en poussant la fraction continue plus loin qu'on ne doit, comme

cela arriveroit facilement si , pour avoir cette fraction , on se çontentoit de prendre nn des nombres a. ou A , et d'y pratiquer la même opération dont on se sert pour trouver la plus grande commune mesure , conformément à la manière usitée de réduire les fractions ordinaires en fractions continues.

Pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté , il faudroit faire la même opération sur les deux nombres a et a, et n'admettre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations ; mais la mélhod* précédente parait plus commode et plus simplet

8l. Voyons maintenant d'autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans les différentes équations transformées. Soit

/• — a r 1 -' + b C— — &c. = o une quelconque de ces équations , dans laquelle il s'agit de trouver la valeur entière approchée de t , que nous désignerons en général par Z*j cette équation étant dérivée de l'équation proposée en x, sera du même degré que celle-ci , et aura par conséquent le même nombre de racines que nous supposons égal à n.

Or nous avons trouvé en général (n°. 79 ) t — — , ce

f — sx

qui se réduit à * = — X — = — x ( f — — 1)1

mais -, — — =fc yp, le signe supérieur étant pour le cas

où le quantième de la fraction - est pair , et l'inférieur pour

celui où ce quantième est impair ; donc on aura

Donc , si on dénote par x la racine cherchée , et par x' , x° 1 &c. les antres racines de l'équation en * , qui sont au nombre de /z, et qu'on dénote de même par t , if , t" , &c. les valeurs correspondantes de *, on aura

Mais on a , comme l'on sait ,a = # + l r + <* + &c. donc substituant les valeurs de t" , &c. que nous venons de trouver , et qui sont au nombre de n — 1, on aura.

Or nous avons trouvé ( n°. 73 ) - = * ± , , , , , rr ,

bien en faisant p' * + = 4 p' , - = * ± 1 — jz , où l'on remar-

quera que + étant renfermé entre les limites <r' et 2', qui sont l'une et l'autre plus grandes que p', la quantité 4 sera nécessairement plus grande que l'unité. Donc , faisant cette substitution dans la formule précédente , on aura

roo DE LA RÉSOLUTION

Mais les quantités x' — x , x — x" , &c. sont données , et ta quantité f' va toujours en augmentant j donc , puisque la fraction ~ est toujours moindre que l'unité , il est clair que chacune des quantités

ira nécessairement en diminuant , et que par conséquent la somme de ces quantités , qui sont au nombre de n — 1, ira en diminuant aussi ; de sorte qu'elle deviendra nécessairement moindre que

Donc on parviendra nécessairement à une équation transforrnce telle, que sa racine t sera, à 7 près, égale à a + -

( a étant le coefficient du second terme pris négativement ) , c'est-à-dire que cette racine sera contenue entre les limites

a + i -r-*— + 7 et a + * —4 i,

et la même chose aura lieu à plus forte raison pour toutes les

transformées suivantes.

Donc , dès qu'on sera parvenu à une pareille transformée , il

n'y aura qu'à prendre le nombre entier qui approchera le plus

de la quantité a H ; , c est-a-dire celui qui sera

contenu entre les mêmes limites

et ce nombre sera nécessairement un des deux consécutifs, entre lesquels se trouvera la vraie valeur de / , de sorte qu'il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée k ( n*. 77). Ainsi on pourra continuer l'approximation aussi loin qu'on voudra,saus le moindre tâtonnement.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. roi

$2. Puisque o = * + + t'\ &c. en substituant les valeurs de /, f', &c. ( n°. 81 ) on aura

Or soit

l'équation proposée j qu'on fasse le premier nombre de celte équation égal à X , et il est facile de voir , par la théorie des

équations , que la quantité deviendra, en y mettant - à la

place de x , après la dilTérentiation ,

à cause que x , x' , &c. sont les différentes racines de

1 équation X = o. Donc on aura a — =±= - - . —, et

1 • • ( n — 1 ) 1 • 1 par conséquent la quantité a + ï — - — deviendra

p"Xd* p'

Donc , si on fait

n p'-' — ( n— 1) Af-/+ (n — 2 ) B p-y* — &C.

la quantité dont il s'agit sera ; ; par conséquent les

limites dont nous avons parlé dans le numéro précédent seront

=fc R — =fc R — »'

Ainsi on pourra trouver ces limites indépendamment de l'équation transformée en t., et par le seul moyen de l'équation proposée en xj ce qui pourra servir à abréger le calcul.

io2 DE LA RÉSOLUTION

. II reste maintenant à yoir comment on pourra rcconnoîtrc si la racine t est renfermée entre les limites dont il s'agit j or cela est facile dès qu'on connoît les deux nombres entiers consécutifs 0,9 + i, entre lesquels se trouve cette racine ; car, soit a + j et h — - ; les deux limites données , il est clair que , pour que t se trouve entre ces deux limites, il faudra que a tombe entre les mêmes nombres 0, 9 + i , et même plus près de celui de ces deux nombres , dont t approchera davantage. On examinera donc , i°. si a tombe entre 6 et 9 + 1 j a 0 , cela étant , on prendra celui de ces deux nombres dont * approche davantage pour la valeur approchée de t , que nous nommerons k , et fait

sant / = k + — , on verra si 1 équation transformée en w a une

racine positive ou négative plus grande que i j si cette seconde condition a lieu, on sera assuré que la racine / tombera réellement entre les limites * + 7 et a — ~ j et on pourra poursuivre le calcul , comme nous l'avons dit dans le n°. 81.

8 1. On pourroit s'y prendre encore de la manière suivante , pour s'assurer si la racine t tombe entre les limites a -j- 7 et x — Il est facile de voir par le n°. 81 que la difficulté se réduit

à savoir si la somme des quantités — - — , — - — &c. divi-

sée par t' % , est moindre que 7 ; ainsi il ne s'agira que de trouver une quantité qui soit plus grande que celte somme , et de voir

ensuite si cette quantité est moindre que — .

Or, soient • &c. les racines réelles de l'équation

proposée , que nous supposerons au nombre de /* , et

les racines imaginaires que nous supposerons au nombre de 2 r,

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. io3

en sorte que f* + 2 f = n j comme la fraction — diffère de la

racine x d'une quantité moindre que — (n°. 70) , il est clair

que si a est une quantité égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de la même équation ,

chacune des quantités réelles *- , ' &c. sera

nécessairement moindre que - , et par conséquent la

somme de ces quantités, qui sont au nombre de m — 1 , sera moindre que —

Considérons ensuite les quantités imaginaires , lesquelles seront deux à deux de la forme

de sorte qu'on aura r quantités de la forme

or je remarque que , quels que soient les nombres — , Ç et 4 , la

effet , si on considère la quantité . — t > et qu'on fasse, ce

roi DE LA RÉSOLUTION

qui est toujours possible , y = 4 tang. ? , elle deviendra a sin 9 cos 9 sin 2 ?

or la plus grande valeur de sin 1 9 est l'unité ; donc , &c. Donc , si on dénote par n une quantité égale ou moindre

que la petite des quantités 4, 4', &c. la quantité — sera nécessairement plus grande que la somme des quantités imaginaires dont nous parlons.

Donc , en général , la quantité 1 sera plus

grande que la somme de toutes les quantités

Donc , si Ton a

FT=-, + " ou < *•

a et n étant prises positivement , on sera sûr que la racine t tombera entre les limites proposées.

Or , pour avoir les nombres a el n, lorsqu'on ne connoît pas d'avance les racines de l'équation proposée , il n'y aura qu'à chercher dans l'équation des différences (D) du n°. 8 la limite / des racines positives , et la limite — h des racines négatives ,

et on pourra prendre pour & nn nombre quelconque = ou < -j-^,

et pour n un nombre quelconque = ou < -^—^ j cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l'endroit cité,

85. Si l'on avoit ^ ^ ■ + ~ < ± , alors la condition requise

auroit lieu dès le commencement de la série j de sorte qu'on

pourroit

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. io5

pourroit approcher de la valeur de x sans aucun tâtonnement j Voici le procédé du calcul.

Ayant trouvé la première valeur entière approchée de x y qu'on pourra prendre plus petite ou plus grande que x à volonté j et nommant cette valeur p , on aura les deux premières

fractions - , -.

On fera donc, i»,tss t, m* =» O, f =J>j f' = I j et substituant ces valeurs dans l'expression de R ( n°. 82 ) , on prendra

le nombre entier qui approchera le plus de ; , c'està-dire de — R , lequel étant nommé k , on aura la frac-

tion tL+JL = LL±JL.

k t' + * k 2 0 . On fera * — p t t' — \ ^ ? — k p -j- 1 , f ' = Z* , et substituant dans R , on prendra le nombre entier qui approchera le

plus de — -, — , c'est-à-dire de — j — , et ce nombre étant nommé k' , on aura la fraction 7 , f , = - ^d^r~r ^ + ~ «

3°. On fera » = l p + 1 , t' = k t t — k' (k p + 1 ) + />, f ' == £ + î , et on prendra la valeur entière la plus approchée de -—-7- — — ou — r™ — , laquelle étant nommée k",

on aura la fraction WJt . , — ; = &c. et ainsi de suite.

De cette manière , la valeur de * sera exprimée par la frac tion continue

+ iEr' +