Si l'on n'a pas d'abord - + - < î , il n'y aura

qu'à chercher la fraction continue par la méthode ordinaire, jusqu'à ce que l'on arrive à une fraction dont le dénominateur f'

soit tel que l'on ait f ,, ^ t + ~ < 7, ou bien jusqu'à ce

que l'on vienne à une transformée qui soit dans le cas du n°. 83; alors on pourra poursuivre le calcul par la méthode précédente.

Au reste , comme en augmentant toutes les racines d'une équation dans une raison quelconque , on augmente aussa dans la même raison les différences entre ces racines , il est clair que

si , dans l'équation proposée , on met^,à la place de x , ce qui

en augmentera les racines en raison de 1 : les nombres a et n qui conviendront à la nouvelle équation , en seront augmentés dans la même raison , et par conséquent deviendront f a ety n ; donc on pourra faire en sorte que la condition du n°. 85 soit vérifiée , eu donnant à f une valeur telle que

fT=l + fn -. » < *

Alors on pourra toujours se servir de la méthode du numéro cité pour approcher sans tâtonnement de la valeur cherchée de x j il faudra seulement diviser ensuite cette valeur par y pnur avoir la véritable racine de l'équation proposée : il est vrai que , de cette manière , on n'aura plus celte racine exprimée par une simple fraction continue} mais on pourra néanmoins en approcher aussi près qu'on voudra ; ce qui suffit pour l'usage ordinaire.

87 • Soit l'équation proposée

' *' " — A = o ; tn sorte que l'on demande la racine n fa " du nombre À. Soit , i°. n pair , et = a ot, l'équation aura > comme l'on

Digitize

sait , deux racines réelles -f y/ A et — y/ A , et « — 2 racines imaginaires qui seront exprimées ainsi

(cos — =i= 6in — 1/ — 0 1/ A n n /

c étant la circonférence ou l'angle de 36o* , et s étant successivement = 1,2,3, &c. jusqu'à m — 1 j donc on aura dans ce cas ( n°. 84 ) /* = 2 , » = m — 1 , et on pourra prendre

A=2V / A,n=sin-X \/ A , à cause que sin - est le plus

petit de tous les sin — j donc la condition du n°. 85 aura lieu si

— + ; = ou < i -,

2 1/ A — 1 sin - + t/ À

donc elle aura lieu sûrement toutes les fois que l'on aura

sin

Soit , 2 0 . n impair et = 2 m + 1 , l'équation n'aura qu'une

seule racine réelle t/ A , et elle en aura 2 m imaginaires de la forme

(se . se \ »

cos — =fc sin — %/ — 1 ) y/ A

en faisant successivement * = 1 , 2 , &c. jusqu'à m ; donc on aura

dans Q9 cas p = 1 } f = m, et comme le plus petit des sin —

. rnc ... , . . 180 0

est sin = ( a cause de n = 2 m + 1 ; sin — — , on pourra

prendre n = sin x y' A j de sorte que la condition du

numéro cité aura lieu ici , si

= ou <

ein — x V A

io8 DE LA RESOLUTION

c'est-à-dire si l'on a

sin '

Donc , lorsque le nombre A ne sera pas au-dessous des limites que nous venons de trouver , on pourra toujours , en faisant usage de la méthole du n°. 85 , trouver directement et sans tâtonnement la racine 7i rrac de ce nombre j et s'il est plus petit que ces limites , on pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par uu nombre quelconque qui soit une puissance exacte du môme exposant n ; en sorte qu'après avoir trouvé la racine de ce nombre composé , il n'y aura plus qu'à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de A.

Au reste , il est bon de remarquer que la valeur de R du n°. 81 sera , pour l'équation .r" — A = o,

f B - Af"'

88 . Puisque le cas de n == i peut se résoudre par la méthode de la Remarque II , nous en ferons abstraction ici j soit donc

i°. n = 4 , on aura sin — -— = i j donc

A as ou > 4*.

a*, n = 6, on aura sin = ; donc

A = ou > 3\4».

3°. n = 8, on aura sin — — = - — ; doue

A = ou > 3 4 .4\

et ainsi de suite.

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 109 De même , si on fait

i*. n = 3, on aura sin = - — jdonc

A = ou > 43

a\ n es 5 , on aura sin = 72° j et faisant le calcul

par les logarithmes , on trouvera

A ^= ou > i3i5,

et ainsi de Suite.

89. Supposons , par exemple , qu'on demande la racine cubique de 1 7 j puisque 1 7 est > - — — , à cause de 3 \/ 3 > 4 ,

on pourra employer d'abord la méthode du n°. 85. On aura donc ici , à cause de n = 3 et A = 1 7 ( n°. 87 ) ,

Or le nombre entier le plus proche de 17 , est 2 ou 3 j de sorte qu'on pourra faire à volonté p = a , ou p — 3.

Faisons p — 2 , et les deux premières fractions seront 7 ; donc ,

i°. v — 1 , = o , s = a , f' = 1 , donc

et le nombre entier qui approche le plus de -, = *

sera i j donc h = 1 , ce qui donne la fraction ■ ' =

2 °. *■ = 3 , ^ = i , t = 3 , f ' = 1 , donc R = et ; = ~ } le nombre entier qui approche le plus de £

étant 2 , on fera*' = 2 , ce qui donnera la fraction -p -p g = }.

1 1 o DE LA RÉSOLUTION, &c.

5°. w sa 3 , V as i , f = 8 , f ' = 3 ; donc

* - 8' - i 7 .5 3 iJ » et ,' ll " le nombre entier qui approchera le plus de cette fraction sera — aj

donc h" = — - 2 , et la fraction ,,/, "j" \ sera — ^.

4°. t = 8, V = 3, f = — i3, P ' sb — 5j

De cette manière, on aura les fractions convergentes vers / 17 x 2 I 3 8 — 13

et la fraction continue sera