POURQUOI L ESPACE A TROIS DIMENSIONS

lois par d'autres équations où figureraient, cette fois, d'autres points matériels ayant quatre coordonnées? Ou bien cela serait-il possible, mais les équations ainsi obtenues seraient-elles moins simples ? Ou bien enfin, seraient-elles tout aussi simples et les rejetterions-nous simplement parce qu'elles choquent nos habitudes d'esprit ?

Que voulons-nous dire quand nous parlons d'exprimer les mêmes lois par d'autres équations ? Supposons '^eux mondes M et M'; nous pouvons établir entie les phénomènes qui se passent ou qui pourraient e passer dans ces deux mondes, une correspondance telle qu'à tout phénomène <î> du premier corresponde un phénomène parfaitement déterminé $' de l'autre qui en soit pour ainsi dire l'image. Alors, si je suppose que l'effet nécessaire du phénomène 4), en vertu des lois qui régissent le monde M soit un certain phénomène <î>j, et que l'effet nécessaire du phénomène <î>', image de <î>, en vertu des lois qui régissent le monde M', soit précisément l'image <ï>'|, du phénomène <î)|, nous pourrons dire que les deux mondes obéissent aux mêmes lois. Peu nous importe la nature qualitative des phénomènes 4> et <ï>', il nous suffît que le « parallélisme » soit possible.

Et, en effet, cette nature qualitative des phénomènes n'intéresse que nos sens, et nous sommes convenus de nous placer à un point de vue extra-

psychologique, de faire abstraction, par conséquent, des données des sens et de ne faire attention qu'aux rapports mutuels des phénomènes. C'est là, en effet, ce que fait le physicien quand il substitue, par exemple, aux gaz que nous réyèle l'expérience, et qui nous procurent des sensations de pression et de chaleur, les gaz de la théorie cinétique, où l'on ne Toitplus que des points matériels en mouvement, ou bien à la lumière de l'expérience, et aux sensations colorées qu'elle engendre, les vibrations du milieu éthéré.

Il nous suffira de considérer un cas simple, celui des phénomènes astronomiques et de la loi de Newton. Ce que nous observons, ce ne sont pas les coordonnées des astres, mais seulement leurs distances ; l'expression naturelle des lois de leurs mouvements, ce sont donc des équations différentielles entre ces distances et le temps. Maintenant la distance de deux points de l'espace est une fonction connue et simple des coordonnées de ces deux points. Transformons nos équations différentielles en y substituant cette fonction à la place de chaque distance; nous aurons alors ces équations sous leur forme habituelle, forme où figurent les coordonnées mêmes des astres.

Mais nous aurions pu remplacer ces distances par d'autres fonctions et nous aurions obtenu ainsi d'autres formes de ces équations ; toutes ces formes

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auraient été également légitimes au point de tuô qui nous occupe, puisqu'elles auraient respecté le « parallélisme » entre les phénomènes. Représentons-nous les astres comme placés dans T^space à quatre dimensions de telle façon que la position de chacun d'eux soit définie, non plus par trois, mais par quatre coordonnées ; remplaçons ensuite dans nos équations la quantité que nous considérions jusqu'ici comme représentant la distance de deux astres par une fonction quelconque des huit coordonnées de ces deux astres ; il n'est nullement nécessaire que cette fonction soit celle qui représente la distance de deux points dans l'espace ordinaire à quatre dimensions ; elle peut être tout à fait quelconque puisque le « parallélisme » n'en sera pas altéré.

Nous obtiendrons ainsi une forme de nos équations où figureront les coordonnées des astres dans l'espace à quatre dimensions ; ce sera une expression nouvelle des lois astronomiques fondée sur l'hypothèse d'un espace à quatre dimensions et cette expression ne sera pas illégitime puisque la condition de « parallélisme » est respectée. Seulement, il est clair que les équations ainsi obtenuet seront beaucoup moins simples que nos équations habituelles.

Et il en serait sans doute de même avec les lois de la Physique. Y a-t-il une raison générale

pour qu'il en soit ainsi, pour que dans toutes lec parties de la Physique, ce soit l'hypothèse des trois dimensions qui donne aux équations leur forme la plus simple ? Cette raison a-t-elle quelque rapport avec celle qui a été développée dans la première partie de ce travail et qui obligeait impérieusement les êtres vivants à croire aux trois dimensions ou à faire comme s'ils y croyaient sous peine d'infériorité dans la lutte pour la vie?

Ici, une courte digression est nécessaire. Revenons, pour un instant, à notre vieil espace ordinaire. Nous disons qu'il est relatif et cela veut dire que les lois de la Physique sont les mêmes dans toutes les parties de cet espace, ou dans le langage mathématique, que les équations différentielles qui expriment ces lois ne dépendent pas du choix des axes de coordonnées.

Si on considère un système parfaitement isolé, cela n'a aucun sens, on ne pourra observer les coordonnées des points de ce système, mais seulement leurs distances mutuelles, l'observation ne pourra pas nous apprendre si les propriétés de ce système dépendent de la position absolue du système dans l'espace, puisque cette position est inobservable.

Si le système n'est pas isolé, cela ne marchera pas non plus (si l'on veut raisonner en toute rigueur) , puisqu'il deviendra impossible d'exprimer les lois

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qui régissent ce système, sans tenir compte de l'action des corps extérieurs. Mais il y a des systèmes à peu près isolés, environnés de corps assez rapprochés pour qu'on puisse les voir, trop éloignés pour que leur action soit sensible ; c'est ce qui arrive pour notre monde terrestre vis-à-vis des étoiles. Nous pouvons alors énoncer les lois de ce monde terrestre comme si les étoiles n'existaient pas, et pourtant rapporter ce monde à un système d'axes de coordonnées parfaitement défini et invariablement lié à ces étoiles. L'expérience nous montre alors que le choix de ces axes n'intervient pas, que les équations ne sont pas altérées quand on fait un changement d'axes. L'ensemble des changements d'axes possibles forme, comme on le sait, un groupe à six dimensions.

Renonçons maintenant à notre espace ordinaire, remplaçons nos équations par d'autres qui seront équivalentes, en ce sens qu'elles respecteront le « parallélisme » des phénomènes. Toutes les fois ■que nous aurons affaire à un système à peu près isolé, il y aura un fait extrêmement général, une propriété d'invariance qui subsistera ; il y aura un groupe de transformations qui n'altérera pas les équations-, ces transformations n'auront plus la signification d'un changement d'axes, leur signification pourra être quelconque, mais le groupe "formé par ces transformations devra toujours rester

isomorphe au groupe à six dimensions dont nous Tenons de parler ; sans quoi il n'y aurait plus de parallélisme.

Et c'est parce que ce groupe joue dans tous les cas un rôle important, parce qu'il est isomorphe au groupe des changements d'axes dans l'espace ordinaire, parce qu'il est ainsi étroitement apparenté à notre espace à trois dimensions, c'est pour cette raison que nos équations prendront leur forme la plus simple quand^on mettra ce groupe en évidence de la façon la plus naturelle, c'est-à-dire en introduisant un espace à trois dimensions.

Et comme ce groupe est isomorphe lui-même à celui des déplacements de chacun de nos membres regardé comme un corps^solide, comme cette propriété des corps solides de se mouvoir en obéissant au:^ lois de ce groupe, n'est, en dernière analyse, qu'un 'cas particulier de cette propriété d'invariance sur laquelle je viens d'attirer l'attention, on voit qu'il n'y a pas de différence essentielle entre la raison physique qui nous porte à attribuer à l'espace trois dimensions, et les raisons psychologiques développées dans les premiers paragraphes de ce chapitre.