POURQUOI L ESPACE A TROIS DIMENSIONS «O

avons vu plus haut quelle est l'importance de l'Analysis situs et j'ai expliqué que c'est là le véritable domaine de l'intuition géométrique. Cette intuition cxiste-t-elle? je rappellerai qu'on a essayé de s'en passer et que M. Hilbert a cherché à fonder une géométrie qu'on a appelée rationnelle parce qu'elle est affranchie de tout appel à l'intuition. Elle repose sur un certain nombre d'axiomes ou de postulats qui sont regardés, non comme des vérités intuitives, mais comme des définitions déguisées. Ces axiomes sont répartis en cinq groupes. Pour quatre de ces groupes, j'ai eu l'occasion de dire dans quelle mesure il est légitime de les regarder comme ne renfermant que des définitions déguisées.

Je voudrais insister ici sur un de ces groupes, le deuxième, celui des « axiomes de l'ordre ». Pour bien faire comprendre de quoi il s'agit, j'en citerai un. Si sur une ligne quelconque le point C est entre A et B, et le point D entre A et G, le point D sera entre A et B. Pour M. Hilbert, il n'y a pas là une vérité intuitive, nous convenons de dire que dans certains cas G est entre A et B, mais BOUS ne savons pas ce que cela veut dire, pas plus que nous ne savons ce que c'est qu'un point ou qu'une ligne. Nous pourrons, d'après nos conventions, employer cette expression entre pour désigner une relation quelconque entre trois points, pourvu que cette relation satisfasse aux axiomes

de l'ordre. Ces axiomes nous apparaissent ainsi comme la définition du mot entre.

On peut alors se servir de ces axiomes, à la condition d'avoir démontré qu'ils ne sont pas contradictoires, et on pourra construire sur eux une géométrie où Ton n'aura pas besoin de figures et qui pourrait être comprise d'un homme qui n'aurait ni vue, ni toucher, ni sens musculaire, ni aucun sens, et qui serait réduit à un pur entendement.

Oui, cet homme comprendrait peut-être, en ce sens qu'il verrait bien que les propositions se déduisent logiquement les unes des autres; mais l'assemblage de ces propositions lui paraîtrait artificiel et baroque et il ne verrait pas pourquoi on l'aurait préféré à une foule d'autres assemblages possibles.

Si nous n'éprouvons pas les mêmes étonnem-ents, c'est que les axiomes ne sont pas, en réalité, pour nous de simples définitions, des conventions arbitraire!, mais bien des conventions justifiées. Pour les axiomes des autres groupes, je tiens qu'elles sont justifiées parce que ce sont celles qui s'accordent le mieux avec certains faits expérimentaux qui nous sont familiers et qu'elles nous sont, par là, les plus commodes-, pour les axiomes de l'ordre, il me semble qu'il y a quelque chose de plus, que ce sont de véritables propositions intui-

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tives, se rattachant à l'Analysis situs ; nous voyons que le fait pour un point G d'être entre deux autres points d'une ligne, se rattache à la façon de découper un continu à une dimension à l'aide de coupures formées de points infranchissables.

Mais alors une question se pose; ces vérités, telles que les axiomes de l'ordre, nous sont révélées par l'intuition ; mais s'agit-il de l'intuition de l'espace lui-même, ou de l'intuition du continu mathématique ou physique en général? Ce qui pourrait faire pencher vers la première solution, c'est que nous raisonnons facilement sur l'espace et beaucoup plus difficilement sur des continus plus compliqués, sur des continus à plus de trois dimensions non susceptibles d'être représentés dans l'espace.

Et si cette première solution était adoptée, toute cette discussion deviendrait inutile; nous attribuerions à l'espace trois dimensions tout simplement parce que le continu à trois dimensions serait le seul dont nous aurions une intuition nette.

Mais il y a une Analysis situs à plus de trois dimensions ; je ne dis pas que ce soit une science facile, j'y ai consacré trop d'efforts pour ne pas m'être rendu compte des difficultés qu'on y rencontre; mais enfin cette science est possible et elle ne repose pas exclusivement sur l'analyse; on ne saurait la cultiver avec fruit sans de continuels

appels à l'inluition. Il y a donc bien une intuition des continus à plus de trois dimensions et si elle exige une attention plus soutenue que l'intuition géométrique ordinaire, c'est sans doute une affaire d'habitude, et aussi Teffet de la complication rapidement croissante des propriétés des continus quand augmente le nombre des dimensions. Ne voyons-nous pas dans les Lycées des élèves qui sont forts en géométrie plane et qui « ne voient pas dans l'espace »? Ce n'est pas que l'intuition de l'espace à trois dimensions leur fasse défaut, mais ils n'ont pas l'habitude de s'en servir et il leur faut pour cela un effort. Et d'ailleurs, pour nous représenter une figure dans l'espace, ne nous arrive-t-il pas à tous de nous représenter successivement les diverses perspectives possibles de cette figure?

Je conclurai que nous avons tous en nous l'intuition du continu d'un nombre quelconque de dimensions, parce que nous avons la faculté de construire un continu physique et mathématique; que cette faculté préexiste en nous à toute expérience parce que san^ aile, l'expérience proprement dite serait impossible et se réduirait à des sensations brutes, impropres à toute organisation, que cette intuition n'est que la conscience que nous avons de cette faculté. Cependant cette iaculté pourrait s'exercer dans des sens divers;