CE QUE DOIT ÊTRE UNE CLASSIFICATION

Les règles ordinaires de la logique peuvent-elles être appliquées sans changement, dès que l'on considère des collections comprenant un nombre infini d'objets? C'est là une question qu'on ne s'était pas posée d'abord, mais qu'on a été amené à examiner quand les mathématiciens qui se sont fait une spécialité de l'étude de l'infini se sont tout à coup heurtés à de certaines contradictions au moins apparentes. Ces coû*radictions proviennent-elles de ce que les règles de la logique ont été mal appliquées, ou de ce qu'elles cessent d'être valables en dehors de leur domaine propre, qui est celui des collections formées seulement d'un nombre fini d'objets? Je crois qu'il ne sera pas inutile de dire ici quelques mots à ce sujet, et de donner aux lecteurs une idée des débats auxquels ce problème a donné lieu.

La logique formelle n'est autre chose que l'étude des propriétés communes à toute classification; elle nous apprend que deux soldats qui font partie du même régiment appartiennent par cela même à la même brigade, et par conséquent à la même division, et c'est à cela que se réduit toute la théorie du syllogisme. Quelle est alors la condition pour que les règles de cette logique soient valables? C'est que la classification adoptée soit immuable. Nous apprenons que deux soldats font partie du même régiment, et nous voulons en conclure qu'ils font partie de la même brigade ; nous en avons le droit pourvu que pendant le temps que nous mettons à faire notre raisonnement, l'un des deux hommes n'ait pas été transféré d'un régiment dans un autre.

Les antinomies qui ont été signalées proviennent toutes de l'oubli de cette condition si simple: on s'est appuyé sur i?ue classification qui n'était pas immuable et qui ùq pouvait pas l'être; on a bien pris la précaution de Idi proclamer immuable; mais cette précaution était insuffisante; il fallait la rendre effectivement immuable et ii v a des cas où cela n'est pas possible.

Qu'on me permette de reprendre un exemple cité par M. Russell. C'était contre moi d'ailleurs qu'il l'invoquait. Il voulait prouver que les difficultés ne provenaient pas de l'introduction de l'infini actu?l,

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puisqu'elles peuvent se présenter même quand on ne considère que des nombres unis. Je reviendrai plus loin sur ce point, mais ce n'est pas de cela qu'il s'agit pour le moment et je choisis cet exemple parce qu'il est amusant et qu'il met bien en évidence le fait que je viens de signaler.

Quel est le î-Ius petit nombre entier qui ne peut pas être défini par une phrase de moins de cent mots français? Et d'abord ce nombre existe-t-il?

Oui, car avec cent mots français, on ne peut construire qu'un nombre fini de phrases, puisque le nombre des mots du dictionnaire français est limité. Parmi ces phrases, ii y en aura qui n'auront aucun sens ou qui ne définiront aucun nombre entier. Mais chacune d'elles pourra définir au plus un seul nombre entier. Le nombre des entiers susceptibles d'être définis de la sorte est donc limité ; par conséquent, il y a certainement des entiers qui ne peuvent l'être ; et parmi ces entiers, il y en a certainement un qui est plus petit que tous les autres.

Non; car si cet entier existait, son existence impliquerait contradiction, puisqu'il se trouverait défini par une phrase de moins de cent mots français, à savoir par la phrase même qui affirme qu'il ne peut pas l'être.

Ce raisonnement repose sur une classification des ombres entiers en deux catégories, ceux qui

peuvent être définis par une phrase de moins de cent mots français et ceux qui ne peuvent pas l'être. En posant la question, nous proclamons implicitement que cette classification est immuable et que nous ne commençons à raisonner qu'après l'avoir établie définitivement. Mais cela n'est pas possible. La classification ne pourra être définitive que lorsque nous aurons passé en revue toutes les phrases de moins de cent mots, que nous aurons rejeté celles qui n'ont pas de sens, et que nous aurons fixé définitivement le sens de celles qui en ont un. Mais parmi ces phrases, il y en a qui ne peuvent avoir de sens qu'après que la classification est arrêtée, ce sont celles où il est question de cette classification elle-même. En résumé la classification des nombres ne peut être arrêtée qu'ajorè^ que le triage des phrases est achevé, et ce triage ne peut être achevé qu'après que la classification est arrêtée, de sorte que ni la classification, ni le triage ne pourront jamais être terminés.

Ces difficultés se rencontreront beaucoup plus souvent encore quand il s'agira de collections infinies. Supposons que l'on veuille classer les éléments de l'une de ces collections et que le principe de la classification repose sur quelque relation de l'élément à classer avec la collection tout entière. Une semblable classification pourra-t-elle jamais être conçue comme arrêtée? Il n'y a pas d'infini actuel,

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et quand nous parlons d'une collection infinie, nous voulons dire une collection à laquelle on peut sans cesse ajouter de nouveaux éléments (semblable à une liste de souscription qui ne serait jamais close dans l'attente de nouveaux souscripteurs). Or la classification ne pourrait justement être arrêtée que quand cette liste serait close; toutes les fois qu'on ajoute à la collection de nouveaux éléments, on modifie cette collection; on peut donc modifier la relation de cette collection ayec les éléments déjà classés; et comme c'est d'après cette relation que ces éléments ont été rangés dans tel ou tel tiroir, il peut arriver qu'une fois cette relation modifiée, ces éléments ne soient plus dans le bon tiroir et qu'on soit obligé de les déplacer. Tant qu'on a de nouveaux éléments à introduire, on doit craindre d'avoir à recommencer tout son travail ; or il n'arrivera jamais qu'on n'ait plus de nouveaux éléments à introduire ; la classification ne sera donc jamais arrêtée.

De là une distinction entre deux espèces de classifications, applicables aux éléments des collections infinies; les classifications prédicativeSy qui ne peuvent être bouleversées par l'introduction de nouveaux éléments; les classifications 7ion prédicatives que l'introduction des éléments nouveaux oblige à remanier sans cesse.

Supposons par exemple que l'on classe les

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nombres entiers en deux familles suivant leur grandeur. On peut reconnaître si un nombre est plus grand ou plus petit que 10 sans avoir à envisager les relations de ce nombre avec l'ensemble des autres nombres entiers. Quand on aura défini, je suppose, les 100 premiers nombres, on saura quel? sont ceux d'entre eux qui sont plus petits et ceux qui sont plus grands que 10; quand on introduira ensuite le nombre 101, ou un quelconque des nombres suivants, ceux des 100 premiers entiers qui étaient plus petits que 10 resteront plus petits que 10, ceux qui étaient plus grands resteront plus grands ; la classification est prédicative.

Imaginons au contraire qu'on veuille classer les points de l'espace et que l'on distingue ceux qui peuvent être définis en un nombre fini de mots et ceux qui ne le peuvent pas. Parmi les phrases possibles, il y en aura qui feront allusion à la collection tout entière, c'est-à-dire à l'espace, ou à des parties de l'espace. Quand nous introduirons de nouveaux points dans l'espace, ces phrases changeront de sens, elles ne définiront plus le même point ; ou bien elles perdront toute espèce de sens ; ou encore elles acquerront un sens alors qu'elles n'en avaient pas auparavant. Et alors des points qu' n'étaient pas définissables deviendront susceptibles d'être définis; d'autres qui l'étaient cesseront de Pètre. Ils devront passer d'une catégorie dans une

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autre. La classifîcaliori ne sera pas prédicalWe.

îl y a de bons esprits qui considèrent que les seuls objets dont il est permis de raisonner sont ceux qui peuvent être définis en un nombre fini de rriots, et j'aurais d'autant plus mauvaise grâce à ne pas les regarder comme de bons esprits, que je vais bientôt moi-même défendre leur opinion. On peut donc trouver que l'exemple précédent est mal choisi, mais ii est aisé de le modifier.

Pour classer les nombres entiers, ou les pointe de l'espace, je considérerai la phrase qui définît chaque nombre entier, ou chaque point. Gomme il peut arriver qu'un même nombre ou un même point puisse être défini par plusieurs phrases, je rangerai ces phrases dans l'ordre alphabétique et je choisirai la première d'entre elles. Cela posé, cette phrase finira par une voyelle ou par une coih sonne, et on pourrait faire la classification d'après ce critère. Mais cette classification ne serait pas prédicative ; par l'introduction de nouveaux entiers, ou de nouveaux points, des phrases qui n'avaient aucun sens pourront en acquérir un. Et alors au tableau des phrases qui définissent un entier ou un point déjà introduit, il deviendra nécessaire d'ajouter de nouvelles phrases, qui étaient jusqu'ici dénuées de sens, qui viennent d'en acquérir un, et qui définissent précisément ce même point. Il pourra se faire que ces phrases nouvelles prennent îa

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tête dans l'ordre alphabétique, et qu'elles finissent par une voyelle, tandis que les phrases anciennes finissaient par une consonne. Et alors notre entier oa notre point qui avait été provisoirement rangé dans une catégorie, devra être transféré dans l'autre.

Si au contraire nous classons les points de l'espace d'après la grandeur de leurs coordonnées, si nous convenons de classer ensemble tous ceux dont l'abscisse est plus petite que 10, l'introduction de nouveaux points ne changera rien à la classification ; les points déjà introduits qui répondaient à la condition ne cesseront pas d'y répondre après cette introduction. La classification sera prédicative.

Ce que nous venons de dire des classifications s'applique immédiatement aux définitions. Toute définition est en eïïei une classification. Elle sépare les objets qui satisfont à la définition, et ceux qui n'y satisfont pas et elle les range dans deux classes distinctes. Si elle procède, comme dit l'École, per proximum genus et differentiam specificam, elle repose évidemment sur la subdivision du genre en espèces. Une définition comme toute classification peut donc être ou ne pas être prédicative.

Mais ici une difficulté se présente. Reprenons l'exemple précédent. Les nombres entiers appartiennent à la classe A ou à la classe B, suivant qu'ils «ont plus petits ou plus grands que 10,5. J'ai défini