S 2. — LE NOMBRE CARDINAL

On ne doit pas oublier les considérations précédentes quand on définit le nombre cardinal. Si nous considérons deux collections, on peut chercher à établir une loi de correspondance entre les objets de ces deux collections, de façon qu'à tout objet de la 1" corresponde un objet de la 2* et un seul, et inversement. Si cela est possible, on dit que les deux collections ont le même nombre cardinal.

Mais, ici encore, il convient que cette loi de correspondance soit prédicative. Si l'onaatTaire à deux collections infinies, on ne pourra jamais concevoir ces deux collections comme épuisées. Si nous sup

posons que nous ayons pris dans la première un certain nombre d'objets, la loi de correspondance nous permettra de définir les objets correspondants de la 2«. Si nous introduisons ensuite de nouveaux objets, il pourra arriver que cette introduction change le sens de la loi de correspondance, de telle façon que l'objet A' de la 2« collection, qui avant cette introduction correspondait à un objet A de la l", n'y correspondra plus après cette lutroduction. Dans ce cas'la loi de correspondance ne sera pas prédicative.

Et c'est ce que nous allons expliquer par deux exemples opposés. Je considère l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombres pairs. A chaque entier p je puis faire correspondre le nombre pair 2n. Quand j'introduirai de nouveaux entiers, ce sera toujours le même nombre 2n qui correspondra à n. La loi de correspondance est prédicative, et il en est de même de toutes cel] « qu'envisage Cantor pour démontrer par exemple que le nombre cardinal des nombres rationnels est égal à celui des nombres entiers, ou celui des points de l'espace à celui des points d'une droite.

Supposons au contraire que l'on compare l'ensemble des nombres entiers à celui des points de l'espace susceptibles d'être définis par un nombre fini de mots et que j'établisse entre eux la correspondance suivante. Je ferai le tableau de toutes

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 111

les phrases pos-^jibles, je les ordonnerai d'après le nombre de leurs mots, en rangeant dans l'ordre alphabétique celles qui ont le même nombre de mots. J'effacerai toutes celles qui n'ont aucun sens ou qui ne définissent aucun point, ou qui définissent un point déjà défini par l'une des phrases précédentes. Je ferai correspondre à ehaque point la phrase qui le définit, et le numéro qu'occupe cette phrase dans le tableau ainsi émondé.

Lorsque j'introduirai de nouveaux points, il pourra arriver que des phrases qui étaient dépourvues de sens en acquièrent un ; on devra les rétablir dans le tableau d'où on les avait d'abord effacées ; et le numéro de toutes les autres phrases se trouvera modifié. Nos correspondances seront entièrement bouleversées ; notre loi de correspondance n'est pas prédicative.

Si l'on ne faisait pas attention à cette condition dans la comparaison des nombres cardinaux, on serait conduit à de singuliers paradoxes. 11 convient donc de modifier la définition des nombres cardinaux en spécifiant que la loi de correspondance sur laquelle cette définition se fond^ <^oit être prédicative.

Toute loi de correspondance repose sur un3 double classification. On doit classer les objets des deux collections que l'on veut comparer; et les deux classifications doivent être parallèles ; si par

exemple les objets de la i" se répartissent en classes, qui se subdivisent en ordres, ceux-ci en familles, etc., il devra en être de même des objets de la 2*. A chaque classe de la l""' classification devra correspondre une classe de la 2* et une seule, à chaque ordre un ordre et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive aux individus eux-mêmes. Et l'on voit alors quelle doit être la condition pour qu'une loi de correspondance soit prédicative. Il faut que les deux classifications sur lesquelles cette loi repose soient elles-mêmes prédicatives.