S 3. — LE IV;ÉM0IRE DE M. RUSSELL

M. Russell a publié dans VAmerican Journal of Mathematics, vol. XXX, sous le titre Mathematical logics as based on the Theory of Types^ un mémoire où il s'appuie sur des considérations tout à fait analogues à celles qui précèdent. Après avoir rappelé quelques-uns des paradoxes les plus célèbres chez les logiciens, il en cherche l'origine et il la trouve avec raison dans une sorte de cercle vicieux. On a été conduit à des antinomies parce qu'on a envisagé des collections, contenant des objets dans la définition desquels entre la notion de la collection elle-même. On s'est servi de définitions non prédicatives ; on a confondu, dit M. Russell, les mots ail et any, ce que nous pou-

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 113

Tons rendre en français par les mots (eus et quelconque.

Il est ainsi conduit à imaginer ce qu'il appelle la hiérarchie des types. Soit une proposition vraie d'un individu quelconque d'une classe donnée. Par un individu quelconque, nous devons entendre d'abord tous les individus de cette classe que Ton peut définir sans se servir de la notion de la proposition elle-même. Je les appellerai des individus quelconques du 1" ordre; quand j'affirmerai que hi proposition est vraie de tous ces individus, j'affirmerai une proposition du 1" ordre. Un individu quelconque du 2' ordre, ce sera alors un individu dans la définition duquel pourra intervenir la notion de cette proposition du 1" ordre. Si j'affirme la proposition de tous les individus du 2' ordre, j'aurai une proposition du 2* ordre. Les individus du 3' ordre seront ceux dans la défirition desquels peut intervenir la notion de cette proposition du 2* ordre ; et ainsi de suite.

Prenons l'exemple de l'Épiménide. Un menteur du l" ordre sera celui qui ment toujour? sauf quand il dit je suis un menteur du l" ordre; un menteur du 2* ordre sera celui qui ment toujours même quand il dit je suis un menteur du 1" ordre, mais qui ne ment plus quand il dit je suis un menteur du 2^ ordre. Et ainsi de suite. Et alors quand Epiménide nous dira : je suis un menteur, nous pourrons

114 DERNIÈRES PBKSÉBS

lui demander : de quel ordre ? Et c'est seulement après qu'il aura répondu à cette légitime question que son assertion aura un sens.

Passons à un exemple plus scientifique et envisageons la définition du nombre entier. On dit qu'une propriété est récurrente si elle appartient à ïéro, et si elle ne peut appartenir à n sans appartenir à n+l; on dit que tous les nombres qui possèdent une propriété récurrente forment une classe récurrente. Alors un entier est par défîmtioB un nombre qui possède toutes les propriétés récurrentes, c'est-à-dire qui appartient à toutes les classes récurrentes.

De cette définition peut-on conclure que la somme de deux entiers est un entier? Il semble que oui ; car si n est un nombre entier, donné, les nombres x qui sont tels que n-^ x est entier forment une classe récurrente. Le nombre x ne serait donc pas entier, si n-)- x ne Tétait pas. Mais la définition de cette classe récurrente dont nous venons de parler n'est pas prédicative, car dans cette définition (qui nous apprend que n'\- x doit être entier) entre la notion de nombre entier qui présuppose la notion de toutes les classes récurrentes.

D'où la nécessité d'employer le détour suivant : appelons classes récurrentes du l^*" ordre toutes celles que Ton peut définir sans introduire la notion

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 115

d'entier, et entiers du 1" ordre les nombres qui appartiennent à toutes les classes récurrentes du 1" ordre ; appelons ensuite classes récurrentes du 2* ordre celles que l'on peut définir en introduisant au besoin la notion d'entier du 1" ordre, mais sans faire intervenir la notion d'entier d'ordre supérieur; appelons entiers du 2' ordre les nombres qui appartiennent à toutes les classes récurrentes du 2» ordre, et ainsi de suite. Et alors ce que nous pouvons démontrer ce n'est pas que la somme de deux entiers est un entier, c'est que la somme de deux entiers d'ordre K, est un entier d'ordre K — 1.

Ces exemples suffiront, je pense, pour faire comprendre ce que M. Russell appelle la hiérarchie des types. Mais alors se posent diverses questions sur lesquelles l'auteur ne s'est pas prononcé.

1° Dans cette hiérarchie s'introduisent sans difficulté des propositions du 1", du 2* ordre, etc., et en général du n* ordre, n étant un nombre entier fini quelconque. Est-il possible de considérer de même des propositions d'ordre a, a étant un nombre ordinal transfini? C'est ainsi que M. Kônig a imaginé une théorie qui ne dilTère pas essentiellement de celle de M. Russell ; il g'y sert d'une notation spéciale, il y désip:ne par A(NV) les objets du l»' ordre, par A(NV)« ceux du 2* ordre, etc., NV étant 1©« initiales de l'ex-

il($ DERNIÈRES PENSÉES

pression ne varietur. Quant à lui, il n'hésite pas à introduire des A(NV)« où a est transfini, sans d'ailleurs expliquer suffisamment ce qu'il entend par là.

2° Si l'on répond oui à la première question, il faudra expliquer ce qu'on entend par des objets d'ordre w, co étant l'infini ordinaire, c'est-à-dire le premier nombre ordinal transfini, ou par des objets d'ordre «; « étant un ordinal transfîni quelconque.

3° Si au contraire on répond non à la l'* question, comment pourra-t-on fonder sur la théorie des types la distinction entre les nombres finis ou infinis, puisque cette théorie est dénuée de sens si on ne suppose cette distinction déjà faite.

4* Plus généralement, qu'on réponde oui ou non à la 1" question, la théorie des types est incompréhensible, si on ne suppose la théorie des ordinaux dé^"à constituée. Comment pourra-t-on " fonder alors la théorie des ordinaux sur celle des types ?

|4. — L'AXIOME DE RÉD(.>CTIBILITÉ

M. Russell introduit un axiome nouveau qu'il appelle axiom of reducibility . Comme je -ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris sa pensée, je vais lui laisser la parole. « We assume, that ever)' function is équivalent, for ail its value to

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 117

some predicative function of the same argument. » Mais, pour comprendre cette assertion, il faut remonter aux définitions données au début du mémoire. Qu'est-ce qu'une fonction, et qu'est-ce qu'une fonction predicative? Si une proposition est affirmée d'un objet donné a, c'est une proposition particulière; si on l'affirme d'un objet indéterminé J7, c'est upe fonction piopositionnelle de x. La proposition sera d'un certain ordre dans la hiérarchie des types, et cet ordre ne sera pas le même quel que soit a:, puisqu'il dépendra de l'ordre de x. La fonction sera alors dite predicative, si elle est d'ordre K-|-l, quand x est d'ordre K.

Après ces définitions le sens de l'axiome n'est pas encore très clair et quelques exemples ne seraient pas superflus. M. Russell n'en a, pas donné, et j'hésite à en donner de mon cru, parce que je crains de trahir sa pensée, que je ne suis pas certain d'avoir entièrement saisie. Mais, sans l'avoir saisie, il y a une chose dont je ne saurais douter, c'est qu'il s'agit d'un nouvel axiome. Grâce à cet axiome, on espère pouvoir démontrer le principe d'induction mathématique; que cela soit possible, je voudrais d'autant moins le nier que je soupçonne cet axiome d'être une autre forme du même [)rincipe.

Et alors je ne puis m'empêcher de penser À tous les gens qui prétendent démontrer le postu-

iatum d'Euclide, en s'appuyant sur une de ses conséquences, et en regardant cette conséquence comme une vérité évidente par elle-même. Qu'ontils gagné? Cette vérité, quelque évidente qu'elle soit, le sera-t-eile plus que le postulatum luimême?

Nous ne gagnons donc rien sur le nombre des postulats; gagnons-nous au moins sur la qualité?

En quoi le nouvel axiome l'emporte-t-il sur le principe d'induction?

1** Est-il susceptible d'un énoncé plus simple et plus clair? C'est possible, car celui que M. Russell nous donne peut sans doute être amélioré; mais ce n'est pas probable.

2° L'axiome de réductibilité est-il plus générai que le principe d'induction? de sorte que l'on ne puisse démontrer cet axiome en partant de ce principe?

3° Ou bien au contraire l'axiome est-il moins général en apparence que le principe, de sorte qu'on n'aperçoive pas immédiatement que le second est contenu dans le premier, bien qu'il le soit?

4* L'emploi de cet axiome est-il plus conforme aux tendances naturelles de notre esprit; peut-on le justifier psychologiquement?

Je me borne à poser ces questions ; les éléments me manquent pour les résoudre puisque je n'ai pu

LA LOGIQUE DE l'iNFIM 119

arriver même à comprendre complètement le sens de cet axiome.

Mais si je ne puis, avec les indications trop sommaires données par M. Russell, espérer de pénétrer entièrement ce sens, il m'est permis au moins de faire quelques conjectures. Voilà une proposition comme par exemple la défmition du nombre entier; un entier fini est un nombre qui appartient à toutes les classes récurrentes ; cette proposition n'a pas de sens, par elle-même; elle n'en aurait un que si on précisait l'ordre des classes récurrentes dont il s'agit. Mais il arrive heureusement ceci ; tout entier du 2* ordre est a fortiori un entier du l" ordre, puisqu'il appartiendra à toutes les classes récurrentes des deux premiers ordres, et par conséquent à toutes celles du i^^ ordre; de même tout entier du K* ordre sera a fortiori un entier du K — !• ordre. Nous sommes ainsi amenés à définir une série de classes de plus en plus restreintes, entiers du l", du 2% ..., du n" ordre, dont chacune sera contenue dans celle qui précède. J'appellerai entier d'ordre w tout nombre qui appartiendra à la fois à toutes ces classes; et cette définition de l'eïitier de l'ordre co aura un sens et pourra être regardée comme équivalente à la définition d'abord proposée pour le nombre entier et qui n'en avait pas. Est-ce là une application correcte

120 DERNIÈRES PENSBB8

de l'axiome de réductibilité, tel que l'entend M. Russell? Je ne propose cet exemple que timidement.

Admettons-le pourtant, et reprenons le théorème à démontrer au sujet de la somme de deux entiers. Nous avons établi que la somme de deux entiers du K" ordre est un entier d'ordre K — 1, et nous voulons en conclure que si x et n sont deux entiers d'ordre co, la somme n-f-x est aussi un entier d'ordre co. Et en eii'et il suffît pour cela d'établir que c'est un entier d'ordre K quelque grand que soit K. Or si n et a? sont des entiers d'ordre oj, ce seront a fortiori des entiers d'ordre K-}-!, donc en vertu du théorème déjà établi, n-\-x est un entier d'ordre K...

Est-ce de cette façon qu'on peut se servir de l'axiome de M. Russell? Je sens bien que ce n'est pas tout à fait cela et que M. Russell donnerait au raisonnement une tout autre forme, mais le fond demeurerait le même.

Je ne veux pas discuter ici la validité de ce mode dt démonstration.

Je me bornerai pour le moment aux observations suivantes. Nous avons été conduits à introduire à côté de la notion des objets du n' ordre, celle des objets d'ordre co et nous croyons avoir réussi en ce qui concerne les entiers, à déHnir

cette notion nouvelle. Mais cela ne réussirait pas toujours; pour Epiménide par exemple, cela ne marcherait pas du tout. Ce qui a assuré le succès, c'est la circonstance suivante. La classification étudiée n'était pas prédicative, et l'adjonction d'éléments nouveaux obligeait à modifier le classement des éléments antérieurement introduits et classés. Toutefois cette modification ne pouvait se faire que dans un sens ; on pouvait être obligé de transférer des objets de la classe A dans la classe B (à savoir de celle des entiers dans celle des non-entiers), mais jamais de les transférer de la classe B dans la classe A. Il faudrait une convention nouvelle pour définir les objets d'ordre co dans les cas où la modification devrait se faire tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre.

En second lieu, la définition des entiers d'ordre w nest pas la même que celle des entiers d'ordre K, K étant fini. On définit les entiers d'ordre K par récurrence en déduisant la notion d'entier d'ordre K, de la notion d'entier d'ordre K — 1. On définit les entiers d'ordre oi, par patsage à la limite, en faisant dépendre cette notion nouvelle d'une infi^ riité de notions antérieures, celles des entiers de tous les ordres finis. Les deux définitions seraient donc incompréhensibles pour quelqu'un qui ne saurait pas déjà ce que c'est qu'un nombre fini ; elles présuppoient ia distincLion des nombres finis

et des nombres infinis. Ce n'est donc pas «ur ellei qu'on peut espérer fonder cette distinction.