LA LOGIQUE DE L*INFINI

évidenl concernant les nombres infinis; toute propriété des nombres infinis n'est que la traduction d'une propriété des nombres finis ; c'est cette dernière qui pourra être évidente, tandis qu'il faudra démontrer la première en la comparant à la dernière et en montrant que 'a traduction est exacte.

i. 7.;— RESUME

Les antinomies auxquelles certains logiciens ont été conduits proviennent de ce qu'ils n'ont pas pu éviter certains cercles vicieux. Cela leur est arrivé quand ils considéraient dés collections finies, mais cela leur est arrivé bien plus souvent quand ils avaient la prétention de traiter des collections infinies. Dans le premier cas, ils auraient pu éviter aisément le piège où ils sont tombés ; ou plus exactement ils ont eux-mêmes tendu le piège où ils se sont amusés à tomber, et même ils ont été obligés de faire bien attention pour ne pas tomber à côté du piège ; en un mot, dans ce cas les antinomies ne sont que des joujoux. Bien difi'érentes sont celles qu'engendre la notion d^ l'infini ; il arrive souvent qu'on y tombe sans le faire exprès, et même quand on est averti, on n'est pas encore bien tranquille.

Les tentatives qui ont été faites pour sortir de

ces difficultés sont intéressantes à plus d'un titre ; mais elles ne sont pas entièrement satisfaisantes. H. Zermelo a voulu construire un système impeccable d'axiomes; mais ces axiomes ne peuvent être regardés comme des décrets arbitraires, puisqu'il faudrait démontrer que ces décrets ne sont pas contradictoires, et qu'ayant fait entièrement table rase on n'a plus rien sur quoi Ton puisse appuyer une semblable démonstration. Il faut donc que ces axiomes soient évidents 'par eux-mêmes. Or quel est le mécanisme par lequel on les a construits? on a pris les axiomes qui sont vrais des collections finies; on ne pouvait les étendre tous aux collections infinies, on n'a fait cette extension que pour un certain nombre d'entre eux, choisis plus ou moins arbitrairement. A mon sens, d'ailleurs, ainsi que je l'ai dit plus haut, aucune proposition concernant les collections infinies ne peut être évidente par intuition.

M. Russell a mieux compris la nature de la difficulté à vaincre, il ne l'a cependant pas entièrement vamcue, parce que sa hiérarchie des types suppose la théorie des ordinaux déjà faite.

Ûuant à moi, je proposerais de s'eo tenir aux régies suivantes :

1" Ne jamais envisager que des objets susceptibles d'être définis en un nombre fini de mots;

2° Ne jamais perdre de vue que toute proposi-

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tion sur l'infini doit être la traduction, l'énoncé abrégé de propositions sur le fini ;

3° Éviter les classifications et les définitions non prédicatives.

Toutes les recherches dont nous avons parlé ont un caractère commun. On se propose d'enseigner les mathématiques à un élève qui ne sait pas encore la différence qu'il y a entre l'infini et le fini; on ne se hâte pas de lui apprendre en quoi consiste cette dilTérence ; on commence par lui montrer tout ce qu'on peut savoir de l'infini sans se préoccuper de cette distinction; puis dans une région écartée du champ qu'on lui a fait parcourir, on lui découvre un petit coin où se cachent les nombres finis.

Cela me paraît psychologiquement faux; ce n'est pas ainsi que l'esprit humain procède naturellement, et quand même on devrait s'en tirer sans trop de mésaventures antinomiques, cela n'en serait pas moins une méthode contraire à toute saine psychologie.

M. Russell me dira sans doute qu'il ne s'agit pas de psychologie, mais de logique et d'épistémologie; et moi, je serai conduit à répondre qu'il n'y a pas de logique et d'épistémologie indépendantes de la psychologie; et cette profession de foi clora probablement la discussion parce qu'elle mettra en évidence une irrémédiable divergence de Yues*

Il y a quelques années, j'ai eu l'occasion d'exposer certaines idées sur la logique de l'infini; sur l'emploi de i'infîni en Mathématiques, sur l'usage qu'on en fait depuis Cantor; j'ai expliqué pourquoi je ne regardais pas comme légitimes certains modes de raisonnements dont divers mathématiciens éminents avaient cru pouvoir se servir*. Je m'attirai naturellement de vertes répliques; ces mathématiciens ne croyaient pas s'être trompés, ils croyaient avoir eu le droit de faire ce qu'ils avaient fait. La discussion s'éternisa, non pas que l'on vît sans cesse surgir de nouveaux arguments, mais parce qu'on tournait toujours dans le même cercle, chacun répétant ce qu'il venait de dire, sans paraître avoir entendu ce que l'adversaire avait dit. A chaque instant, on m'envoyait une nouvelle démonstration du principe contesté, pour se mettre, disait-on, à l'abri de toute abjection; mais cette démonstration, c'était toii-