LE MEMOIRE DE M. ZERMELO

C'est dans une tout autre direction que M. Zermelo cherche la solution des difficultés que nous avons signalées. Il s'effo^-ce de poser un système d'axiomes a priori, qui doivent lui permettre d'établir toutes les vérités mathématiques sans être exposé à la contradiction. Il y a plusieurs manières de concevoir le rôle des axiomes; on peut les regarder comme des décrets arbitraires qui ne sont que les déunitions déguisées des notions fondamentales. C'est ainsi qu'au début de la géométrie, M. Hilbert introduit des « choses » qv'il appelle points, droites et plans, et que, jubliant ou paraissant oublier un instant le sens vulgaire de ces mots, il pose entre ces choses diverses relations qui les définissent.

Pour que cela soit légitime, il faut démontrer que les axiomes ainsi introduits ne sont pas contradictoires, et M. Hilbert y a parfaitement réussi en ce qui concerne la géométrie, parce qu'il supposait l'analyse déjà constituée et qu'il a pu s'en servir pour cette démonstration. M. Zermelo n'a pas démontré que ses axiomes étaient exempts de contradiction, et il ne pouvait le faire, car, poar

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 123

cela, il lui aurait fallu s'appuyer sur d'autres vérités déjà établies; or des vérités déjà établies, une science déjà faite, il suppose qu'il n'y en a pas encore, il fait table rase, et il veut que ses axiomes se suffisent entièrement à eux-mêmes.

Les postulats ne peuvent donc tirer leur valeur d'une sorte de décret arbitraire, il faut qu'ils soient évidents par eux-mêmes. Il nous faudra donc, non pas démontrer cette évidence, puisque l'évidence ne se démontre pas, mais chercher à pénétrer le mécanisme psychologique qui a créé ce sentiment de l'évidence. Et voici d'où provient la difficulté; M. Zermelo admet certains axiomes, et il en rejette d'autres qui, au premier abord, peuvent sembler aussi évidents que ceux qu'il conserve ; s'il les conservait tous, il tomberait dans la contradiction, il lui fallait donc faire un choix, mais on peut se demander quelles sont les raisons de son choix, et c'est ce qui nous oblige à quelque attention.

Ainsi il commence par rejeter la définition de Cantor : un ensemble est la réunion d'objets distincts quelconques considérés comme formant un tout. Je n'ai donc pas le droit de parler de l'ensemble de tous les objets qui satisfont à telle ou telle condition. Ces objets ne forment pas un ensemble, une Menge, mais il faut bien mettre quelque chose à la place de la définition qu'on rejette.

M. Zermelo se borne à dire : considérons un domaine (Bercich) d'objets quelconques; il peut arriver qu'entre deux de ces objets x et t/, il y ait une relation de la forme x t y] nous dirons alors que x est un élément de y, et que y est un ensemble, une Menge.

Évidemment ce n'est pas là une définition, quelqu'un qui ne sait pas ce que c'est qu'une Menge, ne le saura pas davantage quand il aura appris qu'elle est représentée par le symbole e, puisqu'il ne sait pas ce que c'est que e. Cela pourrait aller si ce symbole t devait être défini dans la suite par les axiomes eux-mêmes qui seraient regardés comme des décrets arbitraires. Mais nous venons de voir que ce point de vue était intenable. Il faut donc que nous sachions d'avance ce que c'est qu'une Menge, que nous en ayons l'intuition, et c'est cette intuition qui nous fera comprendre ce que c'est que e, qui ne ser&U sans cela qu'un symbole dépourvu de sens, et dont on ne pourrait affirmer aucune propriété évidente par elle-même. Mais qu'est-ce que cette intuition peut être si elle n'est pas la définition de Cantor que nous avons dédaigneusement rejetée?

Passons sur cette difficulté que nous chercherons plus loin à éclaircir et énumérons les axiomes admis par M. Zermelo; ils sont au nombre de sept:

1* Deux Mengen qui ont mêmes éléments sont identiques.

2® Il y a une Menge qui ne contient aucun élément, c'est la Nullmenge ; s'il existe un objet a, il existe une Menge [a) dont cet objet est l'unique élément ; s'il existe deux objets a et 6, il existe une Menge (a, b) dont ces deux objets sont^les seuls éléments.

3" L'ensemble de tous les éléments d'une Menge M qui satisfont à une condition x forme un sousensemble, une Unterme7ige de M

4^ A chaque Menge T correspond une autre Menge UT, formée de toutes les Untermengen de T.

5° Considérons une Menge T dont les éléments sont eux-mêmes des Mengen ; il existe une ife/î^e ST, dont les éléments sont les éléments des éléments de T. Si par exemple T a trois éléments A, B, G, qui sont eux-mêmes des Mengen; si A a deux éléments a et a', B deux éléments b et b', G deux éléments c et c', ST aura six éléments a, 6, c, a', f, c'.

6° Si on a une Menge T dont les éléments sont eux-mêmes des Mengen, on peut choisir dans chacune de ces Mengen élémentaires un élément^ et l'ensemble des éléments ainsi choisis forme une Uniermenge de ST.

7» Il existe au moins une Menge inlinie.

Avant de discuter ces axiomes, je dois répondre

à une question ; pourquoi, dans leur énoncé, ai-je conservé le nom allemand Menge au lieu de le traduire par le mot français ensemble? C'est parce que ie ne suis pas sûr que le mot Menge conserve dans ces axiomes son sens intuitif, sans quoi il serait difficile de rejeter la définition de Cantor; or le mot français ensemble suggère ce sens intuitif d'une façon trop impérieuse, pour qu'on puisse l'employer sans inconvénient quand ce sens est altéré.

Je n'insisterai pas beaucoup sur le 7* axiome ; j'en dois cependant dire un mot pour faire remarquer la façon très originale dont M. Zermelo l'énonce; il ne se contente pas en effet de l'énoncé que j'ai donné; il dit : il existe une Menge M qui ne peut contenir l'élément a, sans contenir également comme élément la Menge (a), c'est-à-dire celle dont a est l'unique élément. Et alors si M admet l'élément a, elle en admettra une série d'autres, à savoir la Menge dont a est l'unique élément, la Menge dont l'unique élément est la Menge dont l'unique élément est a et ainsi de suite. On voit assez que le nombre de ces éléments doit être infini. Au premier abord, ce détour paraît bien bizarre et bien artificiel, et il l'est en effet; mais M. Zermelo a voulu éviter de prononcer le mot infini, parce qu'il considère ses axiomes comme antérieurs à la distinction du fini et de l'infini.

Passons aux six premiers axiomes; ils peurent

être regardés comme évidents, dès qu'on donne au mot Menge son sens intuitif et si on ne consi^ dère que des objets en nombre fini. Mais ils ne le sont pas plus que cet autre axiome que l'auteur rejette expressément :

8° Des objets quelconques forment une Menge.

Et alors nous devons nous poser une question ; pourquoi l'évidence de l'axiome 8 cesse-t-elle dès qu'il s'agit de collections infinies, tandis que celle des six premiers subsiste?

Si, pour résoudre cette question, nous nous reportons à l'énoncé des axiomes, nous aurons un premier étonnement; nous constaterons que tous ces axiomes sans exception ne nous apprennent qu'une chose, c'est que certaines collections, formées d'après certaines lois, constituent des Mengen; de sorte que ces axiomes ne nous apparaîtront plus que comme des règles destinées à étendre le sens du mot Menge^ comme de pures définitions de mots. Et cela est vrai aussi bien du 8° axiome que nous rejetons, que des sept premiers que nous acceptons.

Nous sommes avertis pourtant bien vite que cette première impression est trompeuse; de semblables définitions de mots ne nous exposeraient pas à la contradiction; celle-ci ne serait à craindre que si nous avions d'autres axiomes affirmant que certaines collections ne sont pas des Mengen ; et nous

n'en avons pas. Cependant si nous rejetons le 8' axiome, c'est pour éviter la contradiction : M. Zermelo le dit explicitement.

Il faut donc bien qu'il n'ait pas considéré ses axiomes comme de simples défmitions de mots, et qu'il ait attribué au mot Menge un sens intuitif préexistant à tous ses énoncés, quoique différant quelque peu du sens habituel. Il n'est pas impossible de l'apercevoir en recherchant l'usage que l'auteur en fait dans ses raisonnements. Une Menge c'est quelque chose sur quoi l'on peut raisonner ; c'est quelque chose de fixe et d"im:nuable dans une certaine mesure. Définir un ensemble, une Menge, une collection quelconque, c'est toujours faire une classincation, séparer les objets qui appartiennent à cet ensemble de ceux qui n'en font pas partie. Nous dirons alors que cet ensemble n'est pas une 'Menge, si la classification correspondante n'est pas prédicative, et que c'est une Menge, si cette classification est prédicatire ou si on peut en raisonner comme si elle l'était.

Si nous rejetons le 8' axiome, c'est parce que des objets quelconques formeront sans doute une collection, mais une collection qui ne sera jamais close, et dont Tordre pourra à chaque instant être troublé par l'adjonction d'éléments inattendus. C'est une collection qui n'est pas prédicative et au contraire, quand nous disons par exemple qu'à

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 129

chaque Menge T correspond une autre Menge UT ou ST définie de telle ou telle manière, nous affirmons que cette définition est prédicative, ou que nous avons le droit de faire comme si elle l'était. Et c'est ici le lieu de parler d'une distinction qui joue un rôle essentiel dans la théorie de M. Zermelo : « Eine Frage oder Aussage E, ueber deren Gûltigkeit oder Ungûltigkeit die Grundbeziehungen des Bereiches vermôge der Axiome und der allgemeingûltigen logischen Gesetze ohne Wilikûr unterscheiden, heisst définit. » Le mot définit semble ici sensiblement synonyme de prédicatif. Mais l'usage qu'en fait M. Zermelo montre que la synonymie n'est pas parfaite. Ainsi supposons par exemple que cette question E soit la suivante : tel élément de la Menge M possède-t-il telle relation avec tous les autres éléments de la même Menge, et que nous convenions de dire que tous les éléments pour lesquels on doit répondre oui forment une classe K? Pour moi, et je crois aussi pour M. Russell, une pareille question n'est pas prédicative; parce que les autres éléments de M sont en nombre infini, qu'on pourra sans cesse en introduire de nouveaux, et que parmi les nouveaux éléments introduits, il pourra y en avoir dans la définition desquels entre la notion de la classe K, c'est-à-dire de l'ensemble des éléments qui possèdent la propriété E. Pour M. Zermelo, cette

130 BBRNièRES PENSÉES

Question serait définit sans que je sache exactement où est la démarcation exacte, entre les questions qui sont définit et celles qui ne le sont pas. Il lui semble que, pour savoir si un élément possède la propriété E par rapport à tous les autres éléments de M, il suffit de yérifîer s'il la possède par rapport à chacun d'eux. Si la question est définit par rapport à chacun de ses éléments, elle le sera ipso facto par rapport à tous ces éléments.

Et c'est ici qu'apparaît la divergence de nos vues. M. Zermelo s'interdit de considérer l'ensemble de tous les objets qui satisfont à une certaine condition parce qu'il lui semble que cet ensemble n'est jamais clos ; qu'on pourra toujours y faire entrer de nouveaux objets. Au contraire il n'a aucun scrupule à parler de l'ensemble des objets qui font partie d'une certaine Menge M et qui satisfont de plus à une certaine condition. Il lui semble qu'il ne peut posséder une Menge. sans posséder du même coup tous ses éléments. Parmi ces éléments, il choisira ceux qui satisfont à une condition donnée, et il pourra faire ce choix bien tranquillement, sans crainte qu'on vienne le troubler en introduisant des éléments nouveaux et inattendus, puisque ces éléments, il les a déjà tous entre les mains. En posant d'avance sa Menge M, il a élevé un mur de clôture qui arrête les gêneurs qui pourraient venir du dehors . Mais il ne se demande pas s'il ne peut

LA LOGIQUE DE l'lNFINI 131

y avoir des gêneurs du dedans qu'il & enfermés avec lui dans son mur. Si la Menge M a une infinité d'éléments, cela vfeut dire non que ces éléments puissent être conçus comme existant, d'ayance tous

la fois, mais qu'il peut sans cesse en naître de nouveaux ; ils naîtront à l'intérieur du mur, au lieu de naître dehors, voilà tout. Quand je parle de tous les nombres entiers, je veux dire tous Ie« nombres entiers qu'on a inventés et tous ceux qu'on pourra inventer un jour ; quand je parle àe tous les points de l'espace, je veux dire ions les points dont les coordonnées sont exprimables par des nombres rationnels, ou par des nombres algébriques, ou par des intégrales, ou de toute autre manière que l'on pourra inventer. El c'est ce « Von pourra » qui est l'infini. Mais on pourra en inventer que l'on définira de bien des façons, et si nous reprenons comme tout à l'heure notre que«tion E et notre classe K, la question E se pose de nouveau chaque fois qu'on définira un nouvel élément de M ; or, parmi ces éléments que nous pourrons définir, il y en aura dont la définition dépendra de cette classe K. De sorte que le cercle vicieux n'aura pu être évité.

Voilà pourquoi les axiomes de M. Zermelo ne sauraient me satisfaire. Non seulement ils ne me semblent pas évidents, mais quand l'on me demandera s'ils sont exempts de contradiction, je ne

132 DERîflèRES PExXSÉES

saurai que répondre. L'auteur a cru éviter le paradoxe du plus grand cardinal, en s'interdisant toute spéculation en dehors de l'enceinte d'une Meng/s bien close; il a cru éviter le paradoxe de Richard, en ne posant que des questions définit, ce qui, d'après le sens qu'il donne à cette expression, exclut toute considération sur les objets qui peuvent être définis en un nombre fini de mots. Mais s'il a bien fermé Ml bergerie, je ne suis pas sûr qu'il n'y ait pas enfermé le loup. Je ne serais tranquille que s'il avait démontré qu'il est à l'abri de la contradiction; ie sais bien qu'il ne pouvait le faire, puisqu'il aurait fallu s'appuyer par exemple sur le principe d'induction, qu'il ne révoquait pas en doute, mais qu'il se proposait de démontrer plus loin. Il aurait dû passer outre ; cela aurait été au prix d'une faute de logique, mais du moins nous en serions sûrs.

§6. — L'EMPLOI DE L'INflNI

Est-il possible de raisonner sur des objets qui ae peuvent pas être définis en un nombre fini de mots? Est-il possible même d'en parler en sachant de quoi l'on parle, et en prononçant autre chos^ que des paroles vides? Ou au contraire doit-on les regarder comme impensables? Quant à moi, je n'hésite pas à répondre que ce sont de purg néants.

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 133

Tous les objets que nous aurons jamais à enyisager, ou bien seront définis en un nombre fini de mots, ou bien ne seront qu'imparfaitement déterminés et demeureront indiscernables d'une foul^ d'autres objets ; et nous ne pourrons raisonner congrument à leur endroit, que quand nous les aurons distingués de ces autres objets avec lesquels ils demeurent confondus, c'est-à-dire quand nous serons arrivés à les définir en un nombre fini de mots.

Si nous considérons un ensemble, et que nous voulions en définir les différents éléments, cette définition se décomposera naturellement en deux parties; la première partiede la définition, commune à tous les éléments de l'ensemble, nous apprendra à les distinguer des éléments qui sont étrangers à cet ensemble; ce sera la définition de l'ensemble; la seconde partie nous apprendra à distinguer les uns des autres les différents éléments de l'ensemble.

Chacune de ces deux parties devra se composer d'un nombre fini de mots. Si on parle de tous les éléments d'un ensemble Ibnt on donne la définition, on veut parler de tous les objets qui satisfont à la première partie de la définition et qu'on pourra achever de définir par telle phrase d'un nombre fini de mots que l'on voudra. On ne vous donne que la moitié de la définition, vous pouvez

134 DEBNièBES PENSÉES

ensuite la compléter, en choisissant la seconde moitié comme il vous plaira ; mais il faut que vous la complétiez. Si j'affirme une proposition au sujet de tous les objets d'un ensemble, je veux dire que si un objet satisfait à la première partie de la définition, la proposition en ce qui concerne cet objet restera vraie, quelle que soit la manière dont vous énoncerez la seconde partie ; mais si vous pouvez l'énoncer comme vous voulez, il est nécessaire que vous l'énonciez, sans quoi l'objet serait impensable et la proposition n'aurait aucun sens.

Ce n'est pas qu'on ne puisse faire et qu'on n'ait fait quelques objections à cette façon de voir. Les phrases d'un nombre fini de mots pourront toujours être numérotées, puisqu'on peut par exemple les classer par ordre alphabétique. Si tous les objets pensables doivent être définis par de semblables ■phrases, on pourra aussi leur donner un numéro. Il n'y aurait donc pas plus d'objets pensables que de nombres entiers; et si l'on considère l'espace, par exemple, si l'on en exclut les points qui ne peuvent être définis en un nombre fini de mots et qui sont de purs néants, il n'y restera pas plus de points qu'il n'y a de nombres entiers. Et Cantor a démontré le contraire.

Ce n'est là qu'un trompe-l'œil ; représenter les points de l'espace par la phrase qui sert à les définir 3 classer ces phrases et les points correspon-

LA LOGIQUE DE l'iNFINI 135

danls d'après les lettres qui forment ces phrases, c'est construire une classification qui n'est pas prédicative. qui entraîne tous les inconvénients, tous les paralogismes, toutes les antinomies dont j'ai parlé au début de ce chapitre. Qu'a voulu dire Cantor et qu'a-t-il réellement démontré? On ne peut trouver» entre les nombres entiers et les points de l'espace définissables en un nombre fini de mots, une loi de correspondance satisfaisant aux conditions suivantes : 1° Cette loi peut s'énoncer en un nombre fini de mots. 2° Étant donné un entier quelconque, on peut trouver le point de l'espace correspondant, et ce point sera entièrement défini . sans ambiguïté ; la définition de ce point qui se compose de deux parties, la définition de l'entier et l'énoncé de la loi de correspondance, se réduira à un nombre fini de mots, puisque notre entier peut se définir, et notre loi s'énoncer en nombre fini de mots. 3° Étant donné un point Pd l'espace que je suppose défini en un nombre fini de mots {sans mHnterdire de faire figurer dans cette définition des allusions à la loi de correspondance elle-même, ce qui est essentiel dans la démonstration de Cantor) il y aura un entier qui sera déterminé sans ambiguïté par l'énoncé de la loi de correspondance et par la définition du point P. 4° La loi de correspondance doit être prédicative, c'est-à-dire que si elle fait correspondre un point P à un entier,

136 OBBNièRES PBNSéBS

elle ne devra pas cesser de faire correspondre ce point P à ce même entier, quand on aura introduit de nouveaux points de l'espace. Voilà ce que Cantor a démontré et cela reste toujours vrai ; on voit quel est le sens compliqué enfermé dans cette brève proposition : le nombre cardinal des points de l'espace est plus grand que celui des entiers.

Et alors que devons-nous conclure? Tout théorème de mathématiques doit pouvoit être vérifié. Quand j'énonce ce théorème, j'affirme que toutes les vérifications que j'en tenterai réussiront ; et même si l'une de ces vérifications exige un travail qui excéderait les forces d'un homme, j'affirme que, si plusieurs générations, cent, s'il le faut, jugent à propos de s'atteler à cette vérification, elle réussira encore. Le théorème n'a pas d'autre sens, et cela est encore vrai si dans son énoncé on parle de nombres infinis ; mais comme les vérifications ne peuvent porter que sur des nombres finis, il s'ensuit que tout théorème sur les nombres infinis ou surtout sur ce qu'on appelle ensembles infinis, ou cardinaux transfinis, ou ordinaux transfinis, etc., etc., ne peut être qu'une façon abrégée d'énoncer des propositions sur les nombres finis. S'il en est autrement, ce théorème ne sera pas vérifiable, et s'il n'est pas vérifiable, il n'aura pas de sens.

Et il s'ensuit qu'il ne saurait y avoir d'axiome