CONSIDÉRATIONS PRÉLIMINAIRES. — FORMULES ET APPLICATIONS

8 1. Considérations préliminaires.

Faire le jaugeage d'une eau courante, c'est évaluer le nombre de mètres cubes ou de litres d'eau quelle débite par seconde ; de manière a connaître, aussi exactement que possible, quel est le volume disponible qui peut être utilisé dans des circonstances données.

Si l'eau qui coule, soit dans un lit ordinaire , soit dans un tuyau, se mouvait tout d'une pièce comme un piston dans un corps de pompe, ou comme la moelle que l'on chasse dans une branche de sureau, il n'y aurait pas d'opération plus simple que celle du jaugeage; car elle se réduirait a multiplier la section du liquide par sa vitesse; vitesse unique,

qu'il serait toujours facile de constater. Mais cela n'a pas lieu ainsi; et dans la réalité des choses il est peu d'opérations aussi compliquées, autsi difficiles à bien faire. Cette assertion pourrait paraître étrange à beaucoup de personnes, qui, habituées à envisager comme tout ce qu'il y a de plus simple et de plus naturel, le mouvement des eaux courantes, opéré journellement sous leurs yeux, auraient peine à se rendre compte qu'il y ait là un phénomène compliqué. Examinons cependant ce qui se passe.

Une masse de petits corps spbériques, indépendants les uns des autres, abandonnés sur une suite de plans inclinés, se succédant sans interruption, y prendraient un mouvement tendant à s'accélérer sans cesse; car telle est la conséquence du principe fondamental de la gravité. Cependant, cela n'a pas lieu ainsi pour une masse liquide, encore bien que ses molécules soient douées en apparence d'une mobilité parfaite. L'expérience prouve que les eaux naturelles provenant soit des pluies, soit de la fonte des neiges, quoique coulant effectivement sur une suite de surfaces inclinées, au lieu d'y acquérir une vitesse accélérée, prennent au contraire, à quelques légères variations près , un mouvement uniforme et réglé qui, dans les différents états d'un cours d'eau , caractérise ce que l'on a appelé son régime.

Quelles sont donc les causes d'après lesquelles

un mouvement qui de sa nature devrait être accéléré, se trouve ainsi transformé en un mouvement uniforme? Elles ne peuvent résulter que de certaines résistances qui sont de nature à faire équilibre à la force accélératrice de la pesanteur.

Ces résistances sont de deux espèces : i° L'une provient de l'affinité des molécules liquides les unes pour les autres , d'une sorte de viscosité qui les empêche de se désunir, comme feraient, par exemple, des grains de millet; a° l'autre résistance est produite perle frottement que l'eau courante éprouve contre les parois du lit qui la renferme; et celle-ci peut varier considérablement, suivant que le lit est plus ou moins pourvu d'aspérités , de pierres , de broussailles , d'herbages , ou autres obstacles de la même nature ; suivant que sa direction est plus ou moins recliligne ou plus ou moins sinueuse. En un mot, les résistances qui rentrent dans cette seconde catégorie sont celles qui modifient presque à elles seules le mouvement des eaux courantes.

Il résulte de là que la masse liquide, loin d'avoir un seul et même mouvement , présente en quelque sorte autant de vitesses distinctes qu'on pourrait imaginer de filets d'eau différents. Ceux qui se trouvent immédiatement en contact avec les parois solides du lit ou du tuyau , y perdent une trèsgrande partie de leur vitesse naturelle, tandis que

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ceux qui en sont les plus éloignés doivent éprouver bien moins de résistance.

C'est exactement ce qui se vérifie dans la pratique , puisqu'il est parfaitement constaté que dans un tuyau la vitesse de l'eau décroit graduellement depuis le centre jusqu'à la circonférence ; tandis que dans un lit ordinaire, qui représente une des moitiés d'un tuyau, qu'on aurait partagé suivant son axe, cette vitesse maximum , qui constitue ce que l'on a appelé le fil de l'eau , se trouve effectivement à la même place, c'est-à-dire à la surface même du courant, où elle correspond presque toujours à sa plus grande profondeur, autrement dit à son thalweg.

Ces préliminaires doivent suffire pour faire concevoir le but et les difficultés d'une opération de jaugeage ; car, de ce qu'il existe toujours dans une même masse d'eau en mouvement plusieurs vitesses différentes, on doit d'abord en conclure que, quand il s'agit de calculer son volume, on ne doit employer ni la plus forte ni la plus faible; mais un terme moyen entre l'une et l'autre. Or, cette quantité intermédiaire, sur la recherche de laquelle repose toute la solution du problème des jaugeages, est-elle simplement une moyenne arithmétique entre les deux vitesses extrêmes, dont l'une est la vitesse maximum qui s'observe à la surface, et l'autre la vitesse de fond ; ou bien doit-elle se calculer d'après l'observation d'un certain nombre de vitesses, prises en divers points du lit?

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Rien de bien fixe n'existe à cet égard; et tout ce que Ton peut répondre de certain, c'est que la véritable vitesse moyenne d'un cours d'eau, en un point donné, est celle qui, multipliée parla section, donne pour produit son débit réel. Mais comme de ces trois choses : la section, la vitesse et le débit d'un cours d'eau, la troisième est presque toujours, dans la pratique, celle que l'on cherche à connaître, au moyen des deux autres, la seule manière de résoudre cette difficulté consistait donc à tâcher de réduire en préceptes les résultats d'un certain nombre d'expériences comparatives , faites dans le but de découvrir, au moins approximativement, les relations qui peuvent exister entre la section , la pente et la vitesse moyenne. Tel est le but des formules de jaugeage.

S II. Premièret formules.

C'est une science encore récente que celle qui conduit à connaître les relations existant entre la section, la pente et la vitesse moyenne d'un cours d'eau. On avait étudié d'abord l'écoulement des liquides à travers des orifices , et il y a deux cents ans que Torricelli découvrit le principe théorique d'après lequel la vitesse de cet écoulement augmente en raison de la profondeur de l'orifice au-dessous du niveau du réservoir. Pendant longtemps on avait cru, en Italie comme ailleurs, que les choses de-

vaient se passer ainsi dans le mouvement des eaux courantes, et que les couches inférieures étant soumises à une plus grande pression devaient avoir plus de vitesse que les couches superficielles. Mais cette opinion était tout a fait inexacte.

Cest seulement vers la fin du siècle dernier que les ingénieurs français Dubuat , Cbezy, Girard et Prony, le premier officier du génie militaire ; les trois autres membres du corps des ponts et chaussées, se livrèrent successivement à des recherches et à des expériences qui conduisirent à des résultats dignes d'attention , sur le mouvement de l'eau courante dans les canaux et les rivières. Ils s'aperçurent bientôt que la théorie seule, déjà très-insuffisante d'ailleurs, sur la question des résistances , ne pourrait jamais conduire à une solution quelconque. Ils prirent donc le parti de se livrer à des observations directes sur un certain nombre de cours d'eau ; puis de composer des formules capables de représenter, très-approximativemeut , les résultats de ces expériences , afin de généraliser autant que possible les relations trouvées entre la section, la pente et la vitesse moyenne, et de faire connaître la loi des résistances qui modèrent la marche des eaux courantes, de manière à réduire à l'état d'uniformité un mouvement qui , de sa nature, tendrait à s'accélérer indéfiniment.

C'est ainsi que procédèrent les premiers astronomes, en commençant par dresser, à l'aide d'une

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longue série d'observations préalables , des tables indicatives du mouvement des corps célestes ; car c'est au moyen de ces précieux recueils que les Kepler et les Newton nous firent ensuite connaître les lois physiques qui président au système du monde.

La circulation des eaux courantes, surtout dans des lits naturels, plus ou moins accidentés, ne se prêtait pas, à beaucoup près, à des appréciations mathématiques aussi précises que celles que l'onapu faire des mouvements astronomiques; aussi tandis que leurs lois ont été formulées avec une justesse et une précision telles qu'on explique complètement les grands phénomènes qui semblaient devoir rester pour jamais hors de notre portée , la simple étude de la quantité d'eau que débite une rivière est demeurée dans un état imparfait. Car on peut dire que les formules les plus complètes que l'on pourra donner sur cet objet laisseront toujours beaucoup à désirer, pour la généralité de leurs applications.

Les premières formules adoptées par les savants dont je viens de parler ont établi des relations déjà précises entre la section , la pente et les diverses vitesses d'une eau courante; elles ont fourni de plus, une détermination ingénieuse de la résistance totale à laquelle est due l'uniformité du mouvement des rivières.

Cette expression est composée de deux termes

variables , proportionnels , l'un à la vitesse, l'autre au carré de cette même vitesse. Et, en effet, le mouvement de l'eau qui coule sur un lit incliné est d abord retardé par la cohésion propre des molécules , force que l'on peut supposer proportionnelle à la vitesse qui tendrait à les désunir. Mais quant à la seconde cause de résistance, à celle qui résulte de l'action de la surface solide du lit sur la masse du liquide , soit qu'on l'assimile à un simple frottement , soit qu'on l'envisage comme résultant des chocs successifs que l'eau éprouve contre une suite d'aspérités , il résulte des recherches de Coulomb , qu'une telle résistance est toujours proportionnelle au carré de la vitesse.

La formule de Prony, qui est déjà un perfectionnement de celles qu'avaient données Dubuat et Girard, est présentée sous cette forme:

U représente la vitesse moyenne , I la pente par mètre , et R le rapport de la section au périmètre mouillé : c'est ce rapport que Dubuat avait désigné sous le nom de rayon moyen, expression détournée dont on ne voit pas l'utilité.

Prony a donné plusieurs autres formules représentant le rapport qui existe entre la vitesse à la surface et la vitesse moyenne, dans les canaux et rivières. Il en a déduit , à l'aide d'un assez grand nombre d'expériences des tableaux montrant que

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la valeur de ce rapport s'écartait peu de 0,8 ou de |. De sorte que Ton pourrait considérer d'après cela que dans le plus grand nombre de cas la vitesse moyenne, si difficile à observer, peut s'obtenir d'une manière au moins très-approximative en prenant simplement les 0,8 de la vitesse à la surface. Mais ceci ne peut être regardé comme un principe démontré ; et ainsi que le remarque d'Aubuisson, on est loin d'avoir une telle connaissance ; puisque l'on n'a pas même encore celle du rapport qui peut exister entre ces deux vitesses, pour une même perpendiculaire.

Néanmoins beaucoup d'ingénieurs, et je suis du nombre , ont été à même de reconnaître que la justesse de ce rapport moyen se vérifie fréquemment dans la pratique. J'en cite à la fin du chapitre suivant un exemple remarquable.

Les premières formules de jaugeage n'étant pas basées sur un assez grand nombre d'expériences n'offraient pas les garanties désirables , et ont fait commettre beaucoup d'erreurs à ceux qui ont cru pouvoir se fier aux résultats qu'elles donnaient , en dehors du petit cercle d'observations sur lesquelles elles étaient basées. Aussi elles ont été successivement critiquées et démontrées inexactes.

Prony, dans ses Recherches Physico-Mathématiques , n° 1 34 y reproche à la formule de Dubuat d'être compliquée, et surtout d'être affectée d'une quantité logarithmique qui semble y avoir été in-

traduite plutôt par la nécessité de satisfaire à des nombres donnés que par des considérations immédiates sur la nature des phénomènes. — Ibid. t n° 206, le même ingénieur dit , en parlant des formules qui doivent représenter le mouvement des eaux , tant dans les tuyaux de conduite que dans les canaux découverts : « Ces rapprochements portent sur des phénomènes hypothétiques qui sont censés avoir lieu , dans de très-petites vitesses , et qui fournissent des conclusions affectées des erreurs possibles des principes systématiques par lesquels on explique la résistance. » — Il dit plus loin , n° 1 70, qu'il faut chercher à faire une juste répartition des anomalies; et elles varieraient, selon lui, n° 170, de 0,08 à 0,39 dans la formule de Dubuat, et de 0,16 à 0,18 dans celle de Girard.

Mais Prony lui-même donne lieu , dans ses propres calculs, à des observations analogues. Ainsi il indique dans son Mémoire sur les jaugeages , page 7 , une expression de la vitesse dans laquelle il dit qu'il faut négliger un terme , pour en mettre les résultats d accord avec ceux de l'expérience. Dans le n° 1 9a de ses Recherches , en traitant de la relation qui existe entre les différentes vitesses , il arrive à une certaine formule qu'il reconnaît être « en pleine contradiction avec les phénomènes observés, tant sur la vitesse que sur la résistance due au frottement et à la cohésion ; car si l'on admettait les valeurs qu'elle donne , on serait forcé d'en con-

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dure que dans certains cas la vitesse peut décroître du fond à la surface. »

On pourrait trouver à faire encore d'autres citations analogues dans les différents écrits publiés par le savant Prony , sur les questions relatives aux eaux courantes. Or, dès que quelque chose pèche dans une théorie où tout s enchaîne , on est bien en droit de concevoir des doutes sur l'ensemble dù système. C'est précisément ce qui est arrivé, et ce qui a donné lieu de reconnaître que les formules de Dubuat, Girard et Prony, basées sur un trop petit nombre d'expériences , faites exclusivement sur des canaux réguliers , tout en étant présentées sous une forme bien en rapport avec les conditions théoriques de l'écoulement, n'avaient qu'une utilité pratique très-restreinte , attendu que leurs coefficients se trouvaient inexacts dès qu'on voulait généraliser un peu l'emploi desdites formules.

Je ue suis pas le seul ingénieur qui ait remarqué les imperfections inhérentes à toutes les formules de jaugeage. Voici comment s'exprime à ce sujet M. l'inspecteur Minard, dans son ouvrage sur la navigation des canaux et rivières publié en 1841 :

« Dans ces formules, les coefficients de résistance sont supposés avoir les mêmes valeurs que dans le mouvement uniforme; lesquelles valeurs ont été déduites d'expériences faites sur des cours d'eau à lits réguliers , ou presque réguliers. Mais la résistance, ou pour mieux dire les causes retarda- 11. 2

triées 9 augmentent avec l'irrégularité du lit. Dans ce cas, il y a des remous, des tournoiements, des contre-courants qui n'existent pas dans le mouvement uniforme, et qui absorbent une certaine quantité d action. Dès lors, les coefficients ordinaires cessent d'êtres applicables aux lits réguliers. C'est pour cela qu'en général, si on regarde la vitesse comme inconnue, on trouve par les formules une valeur plus grande que celle de l'expérience.

» La formule du mouvement uniforme, quoique clans plusieurs cas d'accord avec l'expérience , est cependant d'une application difficile par les raisons suivantes : 1* Cette formule, comme toutes les autres, suppose le produit constant; or, une rivière n'est presque jamais dans cet état ; elle est en crue ou en baisse ; ce qui modifie les éléments du calcul. Ainsi, le produit de la Moselle, qui est de 1 8 mètres à l'étiage , à son entrée dans le département dece nom, de 20 m ,^o au-dessous de Metz, et de 24 m f 5o à la frontière, devient à peu près quatre fois plus grand à chacun de ces points, quand la rivière a monté seulement de o m .5o au-dessus de l'étiage. En supposant l'accroissement proportionnel à l'exhaussement, le produit augmenterait ou diminuerait de o,o4 à chaque o m ,o5 de crue ou de baisse. Or, les observations journalières de i834 apprennent que pendant les deux tiers de cette année la Moselle a varié de o m ,o5 au moins par jour, et Ton n'aurait pu appliquer la formule du

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mouvement uniforme que du i5 au 27 juillet, et du 20 septembre au 20 octobre; époques auxquelles la rivière était à l'étiage.

» 2° Cette formule contient deux éléments bien délicats à établir ; à savoir , la pente et le périmemètre mouillé. Lorsque la pente d'une rivière varie, elle ne peut être appréciée pour chaque section que sur une petite longueur. Et en effet, l'uniformité de pente sur une grande longueur supposerait aussi une grande régularité sur cette même longueur. Si Ton obtient la pente par deux coups de niveau, elle peut être affectée de Terreur possible dans cette opération ; erreur à laquelle s'ajoutera peut-être celle que Ton fait dans la détermination de la surface de l'eau. Il est donc très-possible de commettre une erreur totale de 4 ou 5 millimètres dans un nivellement de 100 mètres de longueur ; erreur qui aura d'autant plus d'influence que la pente de la rivière sera plus faible. Et d'ailleurs , on détermine la pente sur les bords, tandis que c'est au milieu qu'il serait plus rationnel d'aller la chercher.

» Par exemple, sur la Marne, en admettant une erreur de o m ,oo6 sur ioo mètres de longueur dans le nivellement, selon qu'elle est commise dans le sens de la pente de la rivière ou dans le sens contraire, le produit donné par la formule augmente d'un quart ou diminue d'un tiers.

» L'autre élément, non moins difficile à déterminer, est le périmètre mouillé. Jusqu'à quel point

doit- on prendre le contour des aspérités du fond , celui des pierres, etc.? »

A cette citation des opinions du savant ingénieur qui a professé pendant plusieurs années le cours de navigation intérieure à l'école des ponts et chaussées, j'ajouterai encore quelques réflexions dans le même sens. Et d'abord , je ferai remarquer que la plupart des expériences qui ont servi à établir les anciennes formules de Dubuat , Girard et Prony, ont eu lieu sur des canaux artificiels; de sorte que pour pouvoir les appliquer, dans des circonstances comparables, à l'évaluation de la vitesse d'une rivière, il faut nécessairement qu'une portion considérable de celle-ci soit assez régulière pour pouvoir être assimilée à un canal fait de main d'homme.

Dans son Traité (Thydraulique , M. d'Aubuisson estime que cette régularité du lit devrait exister sur 1000 mètres au moins, en présentant de plus une pente assez uniforme pour qu'on pût admettre une section moyenne; il ajoute qu'au-dessus et au-dessous d'une telle longueur, le mouvement ne doit éprouver aucune perturbation notable. On voit dès lors combien il est rare que l'on puisse opérer dans de telles circonstances.

Cependant les jeunes ingénieurs, et d'autres personnes peu expérimentées dans l'hydraulique, se persuadent assez souvent que du moment où il existe des formules pour cet objet, on peut les employer

comme infaillibles dans tous les cas particuliers.

La seule présence des herbes aquatiques, qui croissent abondamment dans le lit des canaux et de certaines rivières, suffit pour y exercer, sur les différentes vitesses de l'eau, une influence perturbatrice, et les formules ne sont jamais applicables dans ce cas. Les broussailles qui existent souvent sur les rives et plongent en partie dans l'eau, peuvent produire à peu près le même effet.

Si le cours d'une rivière, au lieu d'être entièrement libre comme le supposent les susdites formules, est modifié par des ouvrages d'art, tels que barrages, pertuis, usines , il ne faut plus penser à recourir à leur application.

A une époque où je faisais beaucoup d'opérations sur les cours d'eau , j'ai été à même de remarquer, par exemple , que les relations admises entre la vitesse moyenne et la vitesse à la surface pouvaient être totalement interverties par les raisons suivantes : i° Si l'on observe la marche de l'eau en amont d'un barrage, dans lequel il s'opère un certain écoulement au moyen d'un pertuis ou déchargeoir de fond , il arrive que , même à une très-grande distance, aux approches de ce barrage , les vitesses intérieures des filets d'eau correspondant à l'orifice ouvert surpassent la vitesse superficielle observée dans le fil de l'eau , là où dans l'état normal on devrait la trouver à son maximum ; 2° si l'écoulement de part et d'autre du barrage s'opère par

le moyen d'un déversoir , alors les vitesses superficielles se trouvent augmentées dans une proportion plus ou moins forte; tandis que les vitesses intérieures se trouvent au contraire diminuées. De là encore proviennent , dans la valeur respective des vitesses , des modifications très-grandes, ne résultant plus de l'influence naturelle de la pente et du volume d'eau. Dès lors ces vitesses n'ont plus aucun rapport avec celles qui sont envisagées dans les formules.

Cependant il n'est pas rare de voir donner, même par des ingénieurs , comme résultat valable desdites formules, le fruit d'observations ainsi faites aux abords des barrages, martellières, etc.

Enfin , les uns continuent de se servir, dans les opérations de jaugeage, de la formule de Prony ; tandis que d'autres emploient pour le même objet la formule d'Eytelwein, qui offre beaucoup plus de garanties. Or il suffit de jeter les yeux sur ces deux expressions pour reconnaître qu'ayant identiquela même forme, mais des coefficients très-différents, elles ne peuvent jamais être exactes en même temps.

Faudrait-il conclure de ces objections que l'on doive renoncer à l'emploi des formules de cette espèce , comme n'étant pas suffisamment exactes ? Non sans doute ; car le temps des ingénieurs, chargés de l'étude ou de la direction de grands travaux hydrauliques, rst assez précieux pour qu'il y ait un

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grand avantage à recourir à leur usage, lors même que Ton devrait se résoudre à n'y chercher que des approximations. La formule à l'examen de laquelle est consacré le paragraphe suivant , est d'ailleurs beaucoup plus satisfaisante que toutes celles qui Font précédée.

S III. Formule d'Eytelicein.

Cette formule, publiée pour la première fois en France, en i8i5, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin , est présentée sous la forme suivante :

278)899 D g cos.

u représente la vitesse moyenne cherchée , D le rapport que Ton obtient en divisant la section du cours d'eau par son périmètre mouillé ; et enfin cos. q>, le cosinus de l'angle formé par l'inclinaison du lit avec la verticale. Ce cosinus qui se calcule en divisant la pente totale entre deux points du courant par la distance qui les sépare, n'est autre chose que la pente par mètre , ou plus généralement, si l'on veut, il représente la pente sur l'unité de longueur.

En prenant le mètre pour unité, on aura £=9 m ,8o88 et la formule générale devient

(B) ... m=— 0,03319+1/(0,0011 -f 2735,66 D cos .?)

qui donne, en mètres par seconde, la vitesse moyenne que Ton veut obtenir.

On voit surtout par cette dernière expression que la formule nouvelle a conservé la même disposition que celle de Prony, mais avec des coefficients très-différents.

La formule (A) peut-être mise aussi sous cette forme:

D cos. f = 0,00717- + 0,0000 2* u

ou sous celle-ci :

D'après cela , comme cos. <p qui représente la pente par mètre , peut être regardé comme la mesure de la force accélératrice à laquelle la résistance totale provenant du lit et de la cohésion du liquide doit faire équilibre, on retrouve exactement ici la loi déjà établie pour cette résistance dans les anciennes formules de Girard et de Prony ; et Ton voit quelle a bien pour expression deux termes porportionnels , l'un à la vitesse , l'autre au carré de cette vitesse. Ces deux termes croissent d'ailleurs en raison inverse du rapport D qui s'y trouve en dénominateur ; de sorte que , toutes choses égales d'ailleurs, la résistance du lit est d'autant moins sensible que la section est plus grande, et

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qu elle est au contraire d autant plus forte que le périmètre a plus de développement; ce qui est exactement vrai.

La formule de Prony déjà plus précise que celles de Dubuat et de Girard n'était appuyée que de 3 1 expériences, et portait généralement sur de petits cours d eau dont la section maximum ne dépassait pas 29 mètres carrés; de sorte que Ton ne pouvait l'appliquer, sans crainte d'erreurs, au jaugeage des grandes rivières.

La formule d'Eytelwein est basée sur plus de cent expériences dont les principales furent faites en Allemagne par les ingénieurs Brùnings , Funck et Woltmann, sur le Rhin et sur le Weser, ainsi que sur divers canaux. Elle cadre également avec plusieurs des expériences anciennes de Dubuat, et avec les expériences récentes qui furent faites en Italie sur de très-petites , comme sur de très-grandes sections, allant depuis o m ,i5 jusqu'à plus de 3.ooo mètres carrés.

Les pentes y ont varié depuis o m ,oooo3 jusqu'à o m ,oi par mètre , et les vitesses depuis o m , 12 jusqu'à 2"»,4o par seconde.

Cette formule est donc à la fois la plus simple et la plus complète que l'on connaisse aujourd'hui ; elle est par conséquent la seule que l'on doive employer dans la pratique. C'est pour cette raison que je donne ici une table , qui sert à en faciliter les applications.