CHAPITRE I

ORIGINE DES ROTIONS GEOMÊTRigOES.

Examen de la théorie empirique : les notions géométriques ne sont le résultat ni de l'expérience brute, ni de l'abstraction, ni de la généralisation.— Examen de la théorie idéaliste : les notions géométriques ne sont pas l'œuvre de la pensée pure ; elles supposent une matière y l'espace. — La géométrie à n dimensions. — L'hyperespace. — loterprétation de la géométrie non euclidienne.

Géométrie veut dire mesure de la terre ; Tétymologie du mot, à défaut de témoignages historiques précis, nous apprend que la science de l'étendue fut d'abord un art empirique. Que cet art soit né , comme le raconte Hérodote , du besoin qu'éprouvèrent les Égyptiens de retrouver les limites de leurs champs effacées par les inondations du Nil , ou qu'il y ait, plus vraisemblablement, comme le pense Montucla, « une » certaine géométrie que la nature accorde à tous les » hommes, et dont l'origine est aussi ancienne que » celle des arts (1), j> il est permis de croire que les premiers arpenteurs considérèrent seulement les formes naturelles. Mais, selon la judicieuse remarque de Kant (2), une révolution profonde ne tarda pas à s'opé-

(1) Histoire des mathémaiiqueSf liv. I.

(2) Critique de la raison pure , préface de la seconde édition.

rer dans la géométrie , qui la fit passer de l'état d'art à rétat de science. Les plus anciens des travaux géométriques qui nous soient parvenus sont postérieurs à cette révolution, car ils portent l'empreinte d'une spéculation déjà fort avancée, et ils témoignent de l'emploi de procédés supérieurs à ceux de l'empirisme naissant. Il n'est personne aujourd'hui qui méconnaisse l'existence de cette révolution féconde dont l'histoire ne nous fait pas connaître l'auteur ; mais on discute encore pour savoir quel en fut le caractère essentiel. De là différentes théories sur Torigine des notions géométriques.

Suivant une école fort nombreuse de philosophes et de géomètres, ces notions dérivent de l'expérience et de l'abstraction travaillant sur une matière expérimentale. L'esprit ne saurait créer de toutes pièces , avec ses seules ressources , ni les données fondamentales de la géométrie, telles que les idées d'étendue, de forme en général et de situation , ni les formes particulières. L'existence de l'étendue et des trois dimensions de l'espace est un fait que je n'aurais jamais imaginé si j'étais réduit à la pure conscience de moimême. L'existence de la ligne droite , du triangle, du cercle, sont encore des faits de^même nature qu'un être dépourvu de sens ne connaîtra jamais. H y a dans toute figure des éléments dont on ne saurait trouver l'origine que dans l'expérience, à savoir le continu , la limite et la forme de ce continu , l'extériorité de la figure par rapport à la pensée , l'extériorité des diverses parties de la figure par rapport les unes aux

OBtGINË DES NOTIONS DÉFINIES. 21

autres. Toute forme ^ en un mot, est la forme de quelque chose, et la forme nous est donnée avec l'objet qui en est revêtu. Mais un objet naturel est un tissu de propriétés diverses que jamais nous ne considérons ensemble. L'œuvre intellectuelle consiste à séparer les unes des autres ces propriétés de différente nature , qui deviennent alors les objets de sciences différentes. C'est ainsi que le géomètre considère la forme des corps , sans tenir aucun compte des autres propriétés sensibles en compagnie desquelles elle nous est primitivement révélée. C'est cette abstraction qui constitue scientifiquement la géométrie, en rendant la démonstration possible : « Deux grandeurs géométriques, de » quelque espèce qu'elles soient, sont dites égales » lorsqu'on peut transporter l'une des deux en ne » changeant rien en elle, de manière qu'elle coïncide » complètement avec l'autre. Cette translation offrirait )) des difficultés et même des impossibilités dans le » cas des corps solides, si l'on n'avait pas fait abstrac- » tion de leurs propriétés matérielles , et particulière- » ment de leur impénétrabilité (1). »

Un nouveau progrès de l'abstraction consiste à isoler les unes des autres les propriétés géométriques elles-mêmes. A parler rigoureusement, il n'y a pas de surface sans épaisseur, de ligne sans largeur, de point sans longueur ; mais, dans l'étude des formes géométriques , le savant considère la surface , la ligne et le point sans tenir compte de l'épaisseur, de la largeur

(1) Dubamel, Des Méthodes dans les sciences de raisonnement ^ â« partie.

iË2 DES DÉFINITIONS GÉOMÉTRIQUES.

et de la longueur dont la surface , la ligne et le point ne sauraient être dépouillés en réalité. De même encore , dans une forme déterminée , il considère telle ou telle propriété en négligeant les propriétés collatérales. La géométrie est donc la science des formes matérielles, vidées par Tabstraction de la matière qu'elles contiennent réellement.

Faut -il accepter cette théorie ? — Remarquons d'abord que l'abstraction proprement dite se borne à isoler les unes des autres les qualités que l'expérience nous montre réunies dans un même objet , et qu'elle ne saurait les modifier en aucune façon. Un corps est devant moi ; je puis en éliminer par la pensée toutes les propriétés physiques et chimiques , et n'en conserver que le moule ; mais le moule vide a la même forme que le moule plein. Qu'elle soit plongée dans « l'onde colorée de la perception , » ou dégagée des qualités sensibles qui l'accompagnent , une figure est toujours identique à elle-même. Or chacun sait que les corps naturels sont loiii de se plier aux formes pures et inflexibles de la géométrie ; dans la nature extérieure , aucune ligne n'est absolument droite , aucun cercle n'a des rayons absolument égaux, aucun triangle rectiligne n'a trois angles rigoureusement équivalents à deux angles droits ; la ligne droite des géomètres s'étend, au contraire, avec une rigi dite parfaite d'un point à un autre ; les rayons de leur cercle sont rigoureusement égaux , et les trois angles de leurs triangles plans sont absolument équivalents à deux angles droits. Dira-t-on que l'abstrac-

tion , détachant la forme des propriétés physiques et chimiques , en a rectifié les contours ? c'est alors supposer l'existence de modèles idéaux auxquels nous rapportons les formes réelles, pour en corriger les imperfections. Mais s'il en est ainsi , la notion du triangle, du cercle parfaits est antérieure à la perception des triangles et des cercles réels , et à quoi sert alors cette purification des formes matérielles , puisque les formes corrigées font double emploi avec les formes correctes ?

En second lieu, l'abstraction ne crée rien. Les propriétés abstraites ne sont pas réelles , en ce sens que le monde n'est pas un chaos de qualités sohtaires, flottant comme dans le vide ; mais elles sont réelles , en cet autre sens qu'avant d'être isolées les unes des autres, elles faisaient partie de touts naturels ; par conséquent, l'abstraction ne fournit qu'autant que fournit l'expérience. Or, d'une part, le nombre des formes géométriques réalisées par les corps est très-restreint , et, d'autre part , le nombre des figures géométriques possibles est indéfini. S'il est probable que les spéculations des premiers géomètres ne portèrent que sur les formes des corps , il est hors de doute que l'esprit humain était en possession d'un autre procédé que l'abstraction , lorsqu'il comprit que la liste des figures géométriques , courbes , surfaces , solides , n'était jamais close (1). Si donc l'abstraction est la source

(1) Quand Platon, Dinostrate, Nicomède) Dioclès inventèrent les sections coniques, la quadra triée , la conctiolde et la cissolde^ sans

unique des notions géométriques, pour découvrir une forme nouvelle il me faut attendre une révélation de Texpérience. Mais je sens en moi un pouvoir créateur sans limites^ dont les œuvres devancent et dépassent les résultats de Tobservation. Les sens ne m'ont pas encore montré un polygone régulier de dix mille côtés , et pourtant je ne laisse pas de concevoir cette figure avec une clarté parfaite. Il faut donc ou bien restreindre la géométrie à Tétude des seules formes réelles, ce que les géomètres ne souffriront pas, ou bien reconnaître aux notions géométriques une autre origine que l'expérience. On sait, en outre, que la quantité géométrique est infiniment variable , qu'une ligne donnée , par exemple , peut être accrue au-delà de toute limite assignable. Les objets de l'expérience, quelque grands qu'on les suppose, sont toujours finis; et l'on ne soutiendra pas que l'abstraction, en dégageant les formes de la combinaison de propriétés sensibles dont elles étaient un élément, puisse les étendre tout à coup au-delà des limites de la plus vaste expérience. Le nombre infini des figures possibles et des accroissements de la grandeur finie est donc un signe manifeste de Tinsuffisance des théories qui veulent faire dériver les notions géométriques de l'expérience et de l'abstraction.

On demande enfin ce que devient , avec une pareille théorie, la certitude de la démonstration. Nous recher-

soupçonner peutrétre la fécoDdité inépuisable du procédé générateur des figures géométriques^ ils le possédaient cependant, et ne se bornaient pas à abstraire les formes réelles.

cherons plus tard quels sont les principes du raisonnement géométnque ; mais, sans qu'il soit besoin d'entrer ici dans une discussion prématurée , nul n'ignore que philosophes et géomètres sont unanimes pour accorder un rôle à la définition dans la démonstration. Si les notions, objets des définitions, sont des résultats de l'expérience , les propositions démontrées n'auront qu'une valeur empirique. Je puis , en mesurant un triangle, reconnaître que la somme de ses trois angles est égale à deux angles droits ; mais qui m'assure que tous les triangles sont dans ce cas ? qui me garantit la similitude parfaite de toutes les figures de ce genre ? Est-ce l'expérience ? mais les triangles réels sont loin d'être de forme absolument semblable. Est-ce l'abstraction ? mais, l'abstraction étant impuissante à modifier les propriétés qu'elle isole , les formes abstraites présenteront les mêmes différences que les formes réelles ; par conséquent, les propriétés constatées dans une figure auront toujours un caractère particulier.

Une modification , en apparence importante , a été faite par M. Stuart Mill à la théorie que nous venons d'examiner. Après avoir déclaré que « nous pensons ï> toujours aux obj ets tels que nous les avons vus et » touchés, et avec toutes les propriétés qui leur appar- » tiennent naturellement, » mais que, a pour la con- » venance scientifique, nous les feignons dépouillés de » toute propriété, excepté celles qui sont essentielles à » notre recherche et en vue desquelles nous voulons » les considérer, » le logicien anglais ajoute que les définitions géométriques doivent être considérées

» comme nos premières et nos plus évidentes généra- » lisations relatives aux lignes et à toutes les figures » telles qu'elles existent (1). » Pour expliquer l'origine des notions géométriques, M. Stuact Mill ; outre l'abstraction, fait donc intervenir la généralisation. On pensera peut-être que la chose n'est pas nécessaire, puisque ces deux procédés sont si intimement unis qu'ils s'accompagnent presque toujours, et que la propriété abstraite devient générale aussitôt qu'elle a été dégagée du groupe de qualités dont elle faisait partie. Pourtant l'abstraction peut aller sans la généralisation, car la propriété abstraite n'est qu'une propriété particulière, détachée d'une combinaison individuelle ; et pour que l'esprit en fasse un attribut commun à toute une classe d'objets, il faut qu'entre eux il ait saisi quelque ressemblance. Puis donc que généraliser est un acte de l'esprit postérieur à abstraire , nous sommes autorisés à voir dans les paroles de M. Stuart Mill rapportées plus haut une théorie distincte de la théorie exposée au début de ce chapitre.

Une distinction est d'abord nécessaire : on généralise des rapports observés entre des faits; on généralise des caractères et des idées. Je vois qu'à une même température les volumes d'une masse donnée de gaz sont en raison inverse des variations de la pression supportée par ce gaz. Généralisant ce rapport de succession, je dis : toutes les fois que la pression supportée par une masse donnée de gaz variera, le

(1) Système de logique, liv. II, ch. v.

volume occupé par ce gaz variera dans un rapport inverse; de la succession empirique, je passe ainsi à la succession rationnelle ; je m'élève du fait à la loi. Les définitions, qui , d'après M. Stuart Mill , sont les premières généralisations de l'expérience, ne sauraient être des généralisations de cette espèce ; elles n'énoncent pas en effet des relations découvertes entre deux ou plusieurs faits. Dans la définition , le sujet est identique à l'attribut ; le premier est l'expression abrégée du second, et le second, la formule analytique du premier. Mais on généralise aussi des idées. Un homme est devant moi : c'est un groupe individuel de propriétés ; je les détache l'une de l'autre par abstraction. La combinaison de ces propriétés ne pouvait être affirmée que du sujet soumis à mon examen ; mais chacune de ces propriétés constitutives , une fois sortie de la combinaison individuelle, peut être affirmée d'un nombre indéfini de sujets semblables ; de particulière, l'idée est devenue générale. Or, la forme étendue est une de ces propriétés données primitivement dans l'intuition totale ; une fois abstraite et généralisée, on peut l'affirmer non-seulement de l'être individuel duquel on l'a extraite, mais d'un nombre illimité d'êtres semblables, quels que soient le lieu et le temps où ils apparaîtront. Voilà comment les notions de triangle , de cercle ou de toute autre forme, particulières à l'origine , deviennent les éléments des propositions générales de la géométrie.

Personne ne contestera l'existence des idées générales ; elles entrent comme sujet et comme attribut

dans presque tous nos jugements. Mais pour décider si les notions géométriques sont « nos premières et nos plus évidentes généralisations de l'expérience , » nous devons nous demander quelle est au juste l'œuvre de la généralisation. Elle augmente indéfiniment l'extension de l'idée , mais elle n'en modifie pas la compréhension; elle rétend, telle que l'abstraction la fournit, à tous les individus d'une même espèce. Mais nous savons que l'abstration dégage la propriété de la combinaison dont elle faisait partie , sans la modifier en rien ; par conséquent, le contenu d'une idée ne varie pas quand celle-ci , de particulière , devient générale. Il résulte de là que l'idée généralisée de triangle ou de cercle ne diffère pas de la représentation sensible d'un triangle ou d'un cercle individuel. Mais M. Stuart Mill reconnaît lui-même « qu'il n'y a » dans l'espace ni dans la nature aucun objet exacte- » ment conforme aux définitions de la géométrie (4). » Alors, ou bien la géométrie a pour objet des formes pures et rigides, et la généralisation des données expérimentales ne peut en expliquer la parfaite rectitude , ou bien elle porte sur les formes des objets matériels, et la généralisation est inutile.

La généralisation des idées particulières entraîne implicitement une proposition générale. L'abstraction, en isolant les unes des autres les propriétés d'un individu , n'aurait aucun résultat scientifique ; tout au plus servirait-elle à la connaissance des objets indi-

(1) SyMme.de logique, liv. 11^ ch. v.

viduels. Mais en étendant à tous les individus d'une même espèce les caractères extraits de quelques-uns d'entre eux, nous passons du jugement empirique au jugement scientifique ; les individus situés dans un point déterminé de l'espace , et se manifestant à un instant pailiculier du temps» disparaissent à nos yeux; nous ne voyons plus que des propriétés sans rapport avec l'espace et le temps. Mais ces idées générales sont un matériel qu'il faut mettre en œuvre ; isolées les unes des autres , elles forment une fantasmagorie ondoyante et sans ordre. Et que nous servirait, si les choses restaient ainsi, d'avoir substitué aux intuitions précises des sens ces fantômes voltigeant dans le vide ? Mais eirtnême temps que l'esprit extrait une qualité d'une combinaison particulière, il en extrait un rapport; en même temps qu'il généralise une idée, il généralise une relation. Les êtres naturels sont, comme nous le verrons plus tard , un tissu de propriétés combinées entre elles et subordonnées les unes aux autres , de telle sorte que , l'une étant donnée , l'autre est donnée en même temps. Aussi nos idées générales forment-elles des couples dont les termes sont indissolublement unis , sans quoi la généralisation serait un jeu de l'esprit se dupant lui-même , et non une œuvre de la pensée. Par exemple , j'ai dégagé de quelques individus soumis à mon observation les caractères propres à leur espèce ; j'étends à tous les individus possibles de cette même espèce les résultats de l'expérience ; l'idée ainsi généralisée , sous peine de rester un être de raison sans emploi scientifique, im-

plique que, les caractères de l'espèce étant donnés, les caractères du genre , de la classe , de Tembranchement sont aussi donnés ; de telle sorte que les premiers sont les indices infaillibles des seconds , et qu'il me suffit de constater la présence des uns pour être assuré que les autres ne sont pas absents. L'idée générale renferme donc implicitement une relation constante entre les caractères qu'elle exprime et d'autres caractères sousentendus.

Peut-il en être ainsi des notions géométriques, expérimentales à l'origine , et généralisées ensuite ? Je vois un corps dont la surface plane est terminée par une ligne dont tous les points sont également distants d'un point fixe ; j'abstrais cette forme , et, dit-on, je la généralise. Qu'est-ce que généraliser ? c'est étendre à tous les individus d'une même espèce le caractère constaté dans quelques-uns d'entre eux. A quels objets étendrai-je la propriété d'avoir une surface plane terminée par une circonférence ? aux cercles apparemment, puisqu'il n'y a aucune relation familière entre les propriétés physiques ou chimiques et la forme géométrique d'un corps. J'aboutis donc à une proposition de cette sorte : les corps terminés par une surface plane circulaire seront toujours terminés par une surface plane circulaire , et je demande ce que la généralisation a ajouté à l'expérience. On se ferait peut-être illusion sur l'inanité du résultat eh songeant que les propriétés géométriques sont tellement unies entre elles , que la présence de l'une dénote la présence des autres, et on pourrait croire que généraliser les notiQus géomé-

triques expérimentales , c'est affirmer une liaison constante entre telle et telle propriété. Mais ce serait confondre la notion d'une propriété avec la notion d'une figure, le théorème avec la définition. L'aire du triangle plan s'obtient en multipliant sa base par la moitié de sa hauteur : voilà un théorème ; le triangle rectiligne est une portion du plan limitée par trois lignes droites : voilà une définition. Le théorème énonce une relation entre une figure et une propriété géométrique ; la définition nous fait connaître l'essence d'une forme déterminée. Quand on dit que les définitions sont des généralisations de l'expérience, il s'agit de la généralisation non pas de rapports découverts entre des grandeurs différentes , mais des notions de figure et de forme.

Il résulte de ce qui précède qu'après la généralisation nous sommes toujours en présence de figures imparfaites , non rectifiées , et que nous ne sommes pas plus assurés qu'auparavant de la similitude rigoureuse de toutes les figures de même espèce. On doit donc déclarer illusoire la nécessité attribuée d'ordinaire aux jugements mathématiques, ou bien faire de ceux-ci des généralisations de l'expérience. Le premier parti est inacceptable , car il est la négation de la science ; le second peut d'abord faire illusion et séduire. « Les sciences » mathématiques , a-t-on dit , sont des sciences d'ex- )) périence et d'observation , uniquement fondées sur » rinduction des faits particuliers , de même que l'as- » tronomie, la mécanique, l'optique et la chimie (1). »

(1) D' Beddoes. Observât, sur la nai, de Vévid. démonstrat.

Mais , SOUS peine de faire rentrer Y a priori que Toii voulait proscrire à tout jamais , on s'aperçoit vite qu'une telle généralisation n'a aucune valeur apodictique. Je crois que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne est équivalente à deux angles droits sur la foi d'une expérience répétée , et parce que je ne puis concevoir le contraire de cette proposition sans faire violence à un souvenir habituel et sans défigurer une image familière tracée dans mon esprit par une observation de chaque jour. Mais le passé est-il donc une garantie infaillible de l'avenir ? Qui m'assure , si je ne crois pas à l'existence d'un ordre universel, que demain je ne trouverai pas le monde bouleversé et les figures de la veille altérées ? et même , si, contraint de rendre à l'a priori ses droits méconnus, je fais reposer ma croyance à la similitude constante des figures de même espèce sur la croyance rationnelle à l'existence de l'ordre dans l'univers, les rapports empiriques généralisés ne vaudront pas pour l'avenir. L'induction étend à tous les êtres de même espèce les rapports observés dans quelques cas particuliers ; or aucune des formes matérielles n'est absolument parfaite ; par conséquent, pour que les propositions généralisées fussent d'une application constante, il faudrait que les formes futures reproduisissent exactement les incorrections des formes observées.

Entre ces deux extrêmes qui sont, l'un, une négation ouverte , et l'autre , une négation dissimulée de la science géométrique, M. Stuart Mill a pris un moyen terme : « Le caractère de nécessité assigné aux vé-

ORIGINE DES NOTlOKâ DÉFINIES. 33

9 rites mathématiques ^ et même la certitude parti- D culière qu'on leur attribue, sont une illusion, laquelle « ne se maintient qu'en supposant que ces vérités se » rapportent à des objets et à des propriétés d'objets j> purement imaginaires (1) ; » et pour tirer de ces principes hypothétiques des assertions applicables à la réalité , nous feignons que les notions géométriques correspondent aux choses , bien qu'en fait elles n'y correspondent pas rigoureusement (2) . Il y aurait donc une science des formes pures et une application de cette science à la réalité sensible. Mais cette substitution des formes pures et rigides aux figures incorrectes et variables, que l'abstraction et la généralisation réunies sont impuissantes à expliquer, est précisément l'indice d'une intervention créatrice de l'esprit à l'origine de la géométrie. Ce n'est donc pas l'expérience et ses auxiliaires accoutumés qui transformèrent la mesure de la terre en science de l'étendue.

Une théorie diamétralement opposée à la théorie empirique est celle qui voudrait faire sortir les notions géométriques de la pure action de la pensée. Toute démonstration géométrique , a-t-on dit , est « comme un acte de perpétuel dédain relativement à l'espace. » L'objet de la géométrie , comme celui de toute autre science, « se ramène à des déterminations de la pensée » et de l'activité ; c'est quelque chose de rationnel et » de dynamique , irréductible à la quantité pure (3). »

(1) Système de logtque,\\y» H, ch. v.

(2) Ibid.

(3) A. Fouillée : La Philos, de Platon, 3® part., liv, I, chap. il,

34 DES DÉFINITIONS GÉOMÉTBIQUES.

Nous sommes loin de contester que, dans la genèse des notions géométriques , le principe actif et fécond ne soit Tesprit lui-même 5 mais on ne doit pas conclure de là que la seule action de penser suffit à engendrer les notions mathématiques. Toute opération d'arithmétique ou d'algèbre revient, en dernière analyse, à une addition de parties identiques. L'esprit possède le pouvoir de faire varier indéfiniment les grandeurs données, qui, par elles-mêmes, n'opposent aucun obstacle aux opérations dont elles sont l'objet; en ce sens l'esprit est indépendant de l'espace et de la quantité ; mais pourtant cet espace , cette quantité indéterminés sont la matière sans laquelle l'activité mentale serait inféconde. Que cette matière disparaisse, et la moindre opération arithmétique ou géométrique est désormais impossible. L'unité de la conscience nous fait concevoir l'unité numérique; mais si une matière multiple n'est pas donnée à la pensée , nous serons à tout jamais confinés dans cette unité isolée , incapable de se doubler ou de se diviser elle-même ; jamais nous ne formerons le nombre iî , le plus simple des nombres. D'où nous viendraient, en effet, les idées de la duplication et de la pluralité? Dira-t-on que nous les trouvons dans la conscience de nos différents pouvoirs intérieurs, ou dans celle de nos divers états psychologiques ? Mais comment ces pouvoirs distincts nous seraient-ils révélés si des objets divers ne les sollicitaient à sortir du sommeil de la puissance? comment aurions -nous conscience d'une succession d'états intérieurs si la pensée ne se portait sur des

objets distincts ? Réduits à la possibilité abstraite de la pensée, ou, si Ton aime mieux, à la conscience pure de l'unité spirituelle , il nous serait absolument impossible de penser la pluralité. Et même , pour parler en toute rigueur, comme Tunité n'a de sens que comme contraire d'une pluralité, dans cet état imaginaire nous pourrions avoir la conscience d'un être un , sans avoir la notion de l'unité ; à plus forte raison n'aurionsnous pas la plus simple des notions géométriques. Soit, par exemple, la notion d'une ligne ; elle renferme plusieurs choses étrangères au pur fait de penser : d'abord l'extériorité de la ligne par rapport à l'esprit ; puis une pluralité de parties juxtaposées dont nous ne trouvons pas le type dans l'unité de notre pensée , supposée abstraite de toute pluralité extérieure. Quand il s'agit de nombres, nous pouvons faire toutes les opérations de l'arithmétique sans sortir de nous-mêmes, à la condition qu'une pluralité d'états successifs soit donnée à la conscience ; mais toute notion géométrique, si élémentaire qu'on la suppose, implique une représentation objective. Que la génération des figures soit le résultat d'un acte intellectuel, c'est ce que nous constaterons bientôt ; mais cette figure, engendrée par mon esprit, est quelque chose hors de moi ; c'est une détermination d'un espace qui m'est extérieur. Réduits à la pure action de penser, en supposant même donnée à la conscience une succession d'états intérieurs , nous pourrions, à la rigueur, créer l'arithmétique et l'algèbre, en un mot la science de la quantité discrète, mais jamais nous n'engendrerions la science

36 DES DÉFINITIONS GÉOMÉTHIQtJES.

de la quantité continue, c'est-à-dire la géométrie. L'espace est aussi indispensable au géomètre que le marbre au statuaire.

On pourrait invoquer en faveur d'une origine purement intellectuelle de la géométrie les récents progrès et l'extension nouvelle de cette science. La géométrie, telle que nous l'ont transmise les anciens , telle que l'ont transformée les modernes auteurs de l'analyse, ne considérait que les lignes , les surfaces et les solides. Tant qu'elle n'était pas sortie de l'espace à trois dimensions, on pouvait soutenir avec vraisemblance que l'intuition de la quantité continue étalée hors de nous était indispensable aux spéculations géométriques ; mais voilà que, par une révolution profonde, et dont les résultats peuvent encore à peine être prévus, le domaine de cette science s'est élargi dans tous les sens ; la géométrie des lignes, des surfaces, des solides n'est plus qu'un fragment d'une géométrie universelle , qui ne s'astreint pas à la seule considération des trois dimensions de notre étendue sensible, mais qui raisonne sur quatre , cinq , et n dimensions ; voilà qu'à l'espace s'est ajouté l'hyperespace ; voilà que le contraire de vérités vraies dans notre espace a été démontré (i). N'est-ce pas une preuve que c'est seulement par occasion, et non par suite d'une nécessité invincible ,

(1) Le onzième axiome d'Euclide est le sulTant : Deux droites per* pendiculaires à une troisième ne se renconlrent jamais, quelque loin qu'on les prolonge. Voici la seizième proposition de Lobatchewski : « Toutes les droites tracées par un même point dans le plan peuTent I» se distribuer^ par rapport à une droite donnée dans ce plan, en

que Tesprit, en créant la géométrie, s'attache à l'intuition de l'espace ?

Nous ferons remarquer d'abord que la prétendue géométrie à 4, à 5, à n dimensions est une extension de l'analyse algébrique , et non pas de la géométrie proprement dite. Dans la géométrie analytique , une équation à deux variables représente une ligne ; une équation à trois variables, une surface; si je fais entrer dans les équations 4, 5, n variables, et que je les traite par les procédés ordinaires de l'algèbre , j'appellerai cette analyse , plus complexe que l'analj^se ordinaire, géométrie à 4, à 5, à n dimensions, bien qu'elle ne soit pas susceptible d'une interprétation géométrique; mais c'est seulement pour ne pas compliquer le langage que je conserve, par analogie, le nom de géométrie, qui ne s'applique rigoureusement qu'à l'analyse à 2 et à 3 variables. Ainsi parle Sylvester, un de ceux qui les premiers ont conçu cette pseudo-géométrie, qui ne saurait recevoir d'interprétation géométrique (1).

La conception de l'hyperespace est différente ; mais nous allons voir qu'elle implique une induction impossible sans l'intuition de l'espace à trois dimensions.

Supposons un être linéaire astreint à se mouvoir,

» deux classes, savoir : en droites qui coupent la droite donnée , et en » droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle- à la droite donnée. » Il résulte de là que les parallèles, au sens euclidien du mot, peuvent se rencontrer, et se rencontrent en effet.

(1) Dans un récent mémoire publié dans les Comptes rendus de V Académie des sciences (1872), M. Jordan considère la géométrie à plus de trois dimensions comme une pure extension de l'analyse algébrique.

sans se déformer, sur une ligne , c'est-à-dire sur un espace à une dimension. Il est évident qu'un tel être n'aurait que la notion de l'avant et de l'arrière ; mais il ne serait pas réduit à suivre toujours la ligne droite ; il pourrait se déplacer sur toutes les lignes dont une portion quelconque peut être superposée à une autre portion quelconque sans duplicature , c'est-à-dire sur les lignes de courbure constante. Mais la science des espaces à une dimension qu'il peut parcourir lui serait interdite ; en effet , on ne saurait la faire qu'en se plaçant au point de vue d'un espace à deux dimensions.

Supposons maintenant un être superficiel astreint à se mouvoir, sans se déformer, sur une surface, c'està-dire sur un espace à deux dimensions ; il est encore évident qu'un tel être n'aurait que la notion de l'avant et de l'arrière, du gauche et du droit. Mais il est plusieurs surfaces sur lesquelles il pourrait se déplacer sans déformation. On en connaît trois ; ce sont les surfaces de courbure constante , la sphère , le plan et la surface pseudo-sphérique , qui sont telles qu'une portion quelconque peut en être superposée à une autre portion quelconque sans duplicature ni déchirure; seulement l'être superficiel que nous imaginons ici ne saurait faire la géométrie de ces surfaces ; il faut, pour cela , se placer au point de vue d'un espace à trois dimensions.

Dans l'espace où nous nous mouvons , nous ne percevons que trois dimensions; mais est-ce en vertu d'une nécessité des choses ou de notre nature? ne sommes-nous pas dans une situation analogue à celle

de l'être linéaire ou de Vêtre superficiel, qui ne sauraient percevoir qu'une ou deux dimensions, par suite des conditions imposées à leur déplacement ? ne peut- on pas concevoir un hyperespace dans lequel serait notre espace , comme les lignes sont dans la surface , et les surfaces dans l'espace à trois dimensions ? De plus , de même qu'il existe plusieurs lignes et plusieurs surfaces sur lesquelles l'être linéaire et l'être superficiel peuvent se mouvoir sans déformation , ne peut-on pas, en se plaçant au point de vue d'un espace à quatre dimensions, concevoir et étudier plusieurs espaces à trois dimensions, jouissant de propriétés communes, que l'on appellerait , par analogie , espaces de courbure constante , et parmi lesquels l'espace physique dont nous faisons la géométrie , et qui est défini par l'axiome de la ligne droite et par le postulatum d'Euclide , serait analogue au plan dans les surfaces de courbure constante ? — On le voit , c'est par une généralisation progressive de la géométrie à une , à deux , à trois dimensions , qui suppose l'intuition de l'espace, que l'on s'élève à la conception d'une géométrie plus générale , qui se refuse à toute représentation objective.

Pour ce qui est de la géométrie, en apparence paradoxale , de Lobatchewski , nous ferons observer d'abord que son auteur ne se passe nullement de l'espace. Il commence par poser quinze propositions sur les lignes droites, les triangles rectilignes et les triangles sphériques, qui peuvent être démontrées sans

l'intervention du célèbre postulatum d'Euclide (1); puis , quand il aborde ses théorèmes originaux , il se sert de figures et fait , par conséquent , appel à la faculté d'intuition aussi bien que les géomètres euclidiens. Ce sont ces théorèmes originaux qui semblent de nature à dérouter les philosophes et à justifier pleinement la thèse que nous combattons. En fait, la géométrie euclidienne est réalisée autour de nous; mais le contraire du postulat sur lequel elle repose est géométriquement possible ; si, dans notre espace physique , deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent pas , on peut concevoir qu'elles se rencontrent , et que , par suite , la somme des trois angles d'un triangle ne soit pas égale à deux angles droits. Mais les récents travaux d'un profond géomètre italien ont répandu la lumière sur cette obscure question j et autorisent à voir dans la géométrie non euclidienne, géométriquement interprétée, une extension de la géométrie euclidienne (2).

(4) Études géométriques sur la théorie des parallèles, trad. par Hoûel. — Bolyai admet, de même, certaines propositions vraies dans son système et dans celui d'Ëuclide ; il dit en propres termes : « Tous » les résultats que nous énoncerons sans désigner expressément si » c'est dans le système s (géométrie qui repose sur la vérité de » Taxiome XI d'Ëuclide) ou dans le système S (système fondé sur » l'hypothèse contraire) qu'ils ont lieu, devront être considérés comme » énoncés d'une manière absolue, c'est-à-dire qu'ils seront donnés » comme vrais, soit qu'on se place dans le système s ou dans le sys- » tème S. » [La sci. absolve de l'e^^paoey indépendante de la vérité et de la fausseté de Vax, XI d'Ëuclide, par Jean Bolyai , p. 30.)

(2) E. Beltrami , Essai d'interprétation de la géométrie non euclidienne, traduit par J. Hoûel; Annales scientifiques de 1^ école normale sup,, tome VI; année 1869.

Euclide ne considère que le plan parmi les surfaces. La géométrie plane a pour point de départ le postulat suivant : une ligne droite est déterminée par 4oux de ses points. Mais cette propriété appartient aussi aux lignes géodésiques tracées sur les surfaces de courbure constante ; et de même que, dans le plan, on ne peut mener qu'une seule ligne droite d*un point à un autre , de même , sur ces surfaces , d'un point à un autre, on ne peut mener qu'une ligne géodésique (1). Si maintenant on remarque que le critérium fondamental des démonstrations de la géométrie consiste dans la superposition des figures égales , et que l'on peut aussi superposer sans déchirure ni duplicature , à l'aide de simples flexions , une portion quelconque d'une surface de courbure constante à une autre portion quelconque de la même surface , on comprendra aisément qu'il existe une géométrie générale , dont la géométrie plane n'est en quelque sorte qu'un cas particulier, et dont les démonstrations s'étendent à toutes les surfaces de courbure constante , c'est-àdire à la sphère, dont le rayon de courbure est positif, à la pseudo-sphère , dont le rayon de courbure est négatif, et au plan, dont le rayon de courbure est nul.

Mais l'analogie de ces trois surfaces n'est pas absolument complète ; chacune d'elles a ses caractères par-

(1) Cette règle^ que nous énonçons d'une manière générale , souffre des exceptions pour les surfaces de courbure constante positive. Ainsi^ sur la sphère^ on peut mener une multitude de lignes géodésiques égales entre deux points diamétralement opposés. C'est là un cas de ces exceptions spécifiques dont nous signalons plus loin l'existence.

42 DES DÉFINITIONS GÉOMÉTHIQUES.

ticuliers et en quelque sorte spécifiques ; de là , certains théorèmes propres , les uns à la surface sphérique , les autres au plan , les autres enfin à la surface pseudo-sphérique. C'est là ce qui permet de comprendre les paradoxes apparents de Lobatchewski. Ainsi , dans le plan , deux droites perpendiculaires à une troisième ne se rencontrent pas ; la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits ; mais, sur la surface sphérique , deux droites perpendiculaires à une troisième se rencontrent , et la somme des trois angles d'un triangle varie entre deux et six angles droits. « C'est ainsi, dit M. Beltrami, )> que certains résultats qui semblent incompatibles j) avec l'hypothèse du plan peuvent devenir conci- » liables avec celle d'une surface de l'espèce en ques- » tion , et recevoir par là une explication non moins » simple que satisfaisante (1). »

(1) Dans un autre mémoire, le même auteur s'exprime ainsi : <c Si » l'on appelle parallèles deux lignes géodésiques convergentes vers un » mAme point à l'infini, on voit que, par un point, on peut mener deux » lignes géodésiques distinctes , parallèles à une ligne géodésique don- » née ; que ces deux parallèles sont également inclinées de part et » d'autre sur la ligne géodésique menée normalement du même point » à la ligne donnée ; ce résultat s'accorde pleinement avec celui qui » forme la base de la géométrie non euclidienne, . . La possibilité de » sa construction, au moyen de la synthèse ordinaire (en la limitant à » l'espace de trois dimensions), dépend, en premier lieu, de ce que, » comme on l'a démontré , dans les espaces de courbure constante » (positive et négative), toute figure peut être changée de position » sans subir aucune altération dans la grandeur et dans la disposition » mutuelle de ses éléments contigus, possibilité d'où dépend Inexistence » des figures égales, et, par suite, la validité du principe de superposi- » tion. En second lieu, dans les espaces de courbure constante néga- » tive, les lignes géodésiques sont caractérisées, comme la droite

Par conséquent, l'existence de la géométrie imagi-naire ne fait que fortifier, loin de l'infirmer , la conclusion à laquelle nous étions parvenus plus haut , à savoir que l'esprit, pour créer la géométrie , a besoin d'une matière, et que cette matière est l'espace.

» euclidieDne^ par la propriété d*étre déterminées sans ambigolté, par » deiix de leurs points seulement, de sorte que l'axiome de la droite a » lieu pour ces lignes. Et pareillement, les surfaces de premier ordre » sont caractérisées , comme le plan euclidien , par la propriété d'être » déterminées par trois de leurs points seulement, de sorte que pour » ces surfaces a lieu Vaxiome du plan.,. La planimétrie non eucli- » dienne n'est autre chose que la géométrie des surfaces de courbure » constante négative. » (E. Beltrami , Théorie fondamentale des espaces de courbure constante, trad. par J. Uoûel. — Ann, scient* de V École normale sup., t. VI, an. 1869.)