CHAPITRE m

CIRICTËRES DES DCFINITIORS GCOMÊTRIQUES,

Les définitions géométriques se font par génération. — Contenu et forme des notions définies. — La définition doit énoncer la forme. — Elle est a priori. — Distinction des définitions caractéristiques et des définitions explicatives. — La définition géométrique ne se fait pas par le genre et la différence spécifique.— Elle n'est pas une définition de mots.

Nous savons comment sont formées les notions géométriques. Comment faut-il les définir? Toute notion géométrique renferme deux éléments : un contenu , l'espace , un contenant, la forme qui limite cet espace. Le contenu , par lui-même , ne constitue pas l'essence de la notion ; il y est indispensable , puisque toute notion géométrique est une détermination de l'espace ; mais il n'en est pas l'essence, puisqu'il est susceptible de variations indéfinies qui n'altèrent pas la nature de la notion : un cercle est toujours un cercle, que le rayon croisse ou diminue à l'infini. La définition qui doit énoncer l'essence de la notion à définir ne portera donc pas sur le contenu de la notion géométrique ; par exemple , je ne définis pas le triangle en disant que c'est une surface de trois mètres carrés, car le triangle ne cesse pas d'être un triange lorsque sa

CARACTÈRES DES DÉFINITIONS GÉOMÉTRIQUES. 7d

surface augmente ou diminue. Ce qui appartient en propre à une notion géométrique donnée, c'est la limite invariable de son contenu variable, c'est-à-dire sa forme. Un triangle peut avoir une surfeice équivalente à celle d'un carré ou d'un hexagone ; pourtant ces trois figures n'en sont pas moins invinciblement irréductibles : la première a trois côtés et trois angles, la seconde quatre, et la troisième six. La forme, voilà donc l'essence de la notion, et, par suite, l'objet de la définition géométrique.

Mais la forme résulte, nous le savons , d'une loi de construction propre à chaque figure ; la définition géométrique énoncera donc cette loi ; elle se fera per generationem.

Nous avons assisté à la genèse des représentations géométriques ; dans l'espace indéfini , homogène et passif, l'esprit fait mouvoir un point suivant des conditions indéfiniment variables, et chacun de ces mouvements engendre une figure particulière,. de forme éternelle et immuable. La notion géométrique est donc la synthèse d'une portion de l'espace. On pourrait croire que, pour la définir, il suffit de l'analyser, d'en faire sortir ce que l'esprit y a compris. Mais une telle définition ne nous apprendrait rien sur la nature propre de la notion définie. L'espace peut être considéré comme un ensemble de parties identiques; à parler rigoureusement, c'est un continu, sans divisions réelles ; mais, pour les besoins du calcul, nous le divisons d'après une unité arbitraire, et, pour créer la géométrie , nous enfermons un certain nombre de ces

unitéSjlongueurSjSurfaces ou volumes,dans decertaines limites. L'analyse, qui détache les uns des autres les éléments d'un tout complexe , n'aboutirait qu'à nous faire savoir combien nous avons mis de ces unités dans la notion définie. Mais ce nombre est variable, puisque les dimensions d'une figure donnée sont toujours susceptibles d'accroissement ou de diminution. Les définitions, en géométrie, se réduiraient donc toutes aune formule de ce genre : telle figure est une portion variable de l'espace ; mais cela , ne le savions - nous pas avant la définition ? La définition géométrique ne ressemble donc pas à la définition arithmétique : un nombre est une association d'unités de même espèce ; ce qui le caractérise , c'est la quantité même de ces éléments ; aussi, pour le définir, énonçons-nous combien d'éléments il contient ; nous disons par exemple : deux est un plus un, trois est deux plus un, etc. En arithmétique, l'analyse accompagne à chaque pas la synthèse, et l'analyse est la définition même de la notion engendrée par la synthèse. Rien de pareil en géométrie. Dans toute construction , nous avons besoin d'un certain nombre d'unités semblables"; mais ce qu'il importe de connaître, c'est la forme déterminée dans laquelle nous enfermons cette somme d'unités étendues, extérieures les unes aux autres. La définition géométrique doit donc exprimer la génération delà figure à définir.

Les définitions que l'on trouve dans les traités de géométrie ne le font pas toutes ; ainsi , on a défini souvent la circonférence : la ligne qui , sous le même

contour, renferme la plus grande aire ; la ligne droite, le plus court chemin d'un point à un autre ; l'angle , l'inclinaison d'une ligne sur une autre ; la tangente à un cercle, la droite qui n'a qu'un point de commun avec le cercle. Logiquement, ces définitions sont bonnes, car elles conviennent au seul défini , et elles suffisent à le distinguer d'avec toute autre notion ; de plus, le caractère qu'elles énoncent n'est pas transitoire , mais immuable ; mais ces caractères , bien qu'immuables, ne sont pas irréductibles et primitifs. Aristote disait que toute définition , pour être bonne , devait renfermer un sujet, un attribut et un moyen terme, cause de l'inclusion de l'attribut dans le sujet. Les définitions citées plus haut, pourrions-nous dire, se bornent à affirmer un attribut d'un sujet , sans montrer comment il se fait qu'il y est contenu. Aussi , logiquement bonnes, puisque l'attribut énoncé appartient exclusivement au sujet dont on l'affirme , sontelles rationnellement mauvaises.

L'essence, dans les notions géométriques, ne ressemble pas à l'essence dans les notions empiriques. Les caractères^ d'un être vivant par exemple, plante ou animal , sont unis par un lien de subordination ; mais , les plus généraux étant posés , on ne peut en déduire les moins généraux : un animal est vertébré ; je ne saurais conclure de là s'il est mammifère, oiseau, reptile, batracien ou poisson. Au contraire, dans les notions géométriques , l'enchaînement des caractères essentiels est tel que , l'un d'eux étant posé , tous les autres en dérivent : ainsi, la circonférence étant I^

courbe engendrée par un point mobile qui reste toujours à la même distance d'un point fixe , il suit de là que tous les rayons du cercle sont égaux. L'égalité des rayons est un caractère essentiel du cercle , mais dérivé , et non primitif. Aussi la définition géométrique, pour être rationnellement bonne, ne doit -elle pas énoncer indifféremment tel ou tel caractère essentiel , mais bien le caractère essentiel primitif et irréductible, celui duquel tous les autres dérivent , c'est-à-dire la loi génératrice de la figure à définir. Voilà pourquoi nombre de géomètres , aussi soucieux de Tordre rationnel que de Tordre logique, ont substitué aux définitions caractéristiques citées plus haut les définitions explicatives suivantes (1) : la circonférence est la courbe engendrée par un point mobile qui demeure toujours à la même distance d'un point fixe ; la ligne droite est celle qu'engendre un point qui se meut vers un autre point, et vers celui-là seulement; Tangle rectiligne est la portion du plan que laissent entre elles deux droites dont Tune , coïncidant d'abord avec l'autre, se relève sur celle-ci, en y restant fixée par une extrémité. « Pour fixer le caractère essentiel de la » tangente, dit M. Cournot, il faut considérer une » ligne droite qui , ayant avec la courbe un point m » commun, et la coupant d'abord en un autre point » m' très-rapproché de m, tourne autour du point m » comme pivot, de manière que le deuxième point

(l) Ces deux expressions sont d'Aug. Comte^ Cours de phiL poxit,, leç. XII.

!► d'intersection m' se rapproche de plus en plus de m, » puis, le mouvement de rotation continuant , passe de » l'autre côté de m, en un point tel que m\ Dans ce ]E> mouvement continu de la droite sécante , il y a un ^ moment où le point mobile d'intersection passe -h d'un côté de la sécante à l'autre^ en se confondant » avec le point fixe m. En ce moment, la droite mon bile n'a plus , dans le voisinage immédiat du point » m, que ce même point m qui lui soit commun avec » la courbe ; la direction de cette droite est juste- » ment alors ce qu'il faut entendre par la direction » de la tangente à ce même point m, et voilà ce qui » constitue le caractère essentiel de la tangente à une » courbe (1). » Empruntons encore au même auteur quelques définitions par génération : « Les surfaces » cylindriques sont engendrées par une ligne droite » qui se meut parallèlement à elle-même, en suivant 9 une courbe quelconque nommée directrice. » — « Les surfaces de révolution sont engendrées par une » courbe tournant autour d'un axe , de manière que » chaque surface de révolution soit individuellement » déterminée par le tracé de la courbe que les géo- » mètres appellent ligne méridienne. » — « Les » surfaces coniques sont celles qu'une ligne droite en- » gendre en se mouvant, de manière qu'elle pivote tou- » jours sur le même point. » — « Les surfaces déve- D loppables sont celles qu'une droite engendre dans son » mouvement , et qui peuvent s'étaler sur un plan ,

(1) Cournot; Traliè de l^enchainemenl, liy. I; ch. iv,

» sans déchirure ni duplicature (1). » Ces définitions per generalionem sont les seules rationnelles, car seules elles donnent la raison ou la cause des propiiétés définies.

On pourrait croire que les définitions géométriques, bien qu'elles se fassent per generalionem , n'en sont pas moins faites per genus et differentiam. Je définis le cercle : une courbe engendrée par un point mobile qui demeure toujours à la même distance d'un point fixe ; l'ellipse , une courbe engendrée par un point qui se meut de telle sorte que la somme de ses distances à deux points fixes soit constante. Courbe serait alors le genre ; la génération propre de chaque figure serait la différence spécifique. La courbe, en général, esta son tour susceptible de définition : c'est la ligne engendrée par un point mobile qui , à chaque instant de sa course , tend vers un point nouveau ; le genre est devenu espèce par rapport à un genre plus étendu. Il existe donc, semble- 1- il, une hiérarchie dans les formes géométriques , aussi bien que dans les formes organiques. Les naturalistes distribuent tout le règne animal entre quatre ou cinq grands embranchements ; puis ils divisent chaque embranchement en classes , chaque classe en ordres , chaque ordre en familles , chaque famille en genres , chaque genre en espèces. De même, le géomètre pourrait d'abord établir dans les formes géométriques les trois embranchements des lignes, des surfaces et des volumes ; subdiviser ensuite

(1) Cournoty lYaité de l'enchaînement, etc., liv. I; ch. iv.

LËUKS CAKAGTÊRES ESSENTIELS. Ô5

ces embi^anchements en classes ; les lignes, par exemple, en lignes droites, lignes brisées et lignes courbes ; ces classes , en ordres ; les surfaces , en surfaces polygonales , surfaces cylindriques et surfaces coniques ; ces ordres , en genres ; les polygones , en triangles , quadrilatères, hexagones, etc. ; et enfin ces genres , en espèces ; les triangles , en triangles équilatéraux , triangles isoscèles , triangles scalènes , triangles rectangles ; les quadrilatères , en carrés , rectangles , parallélogrammes , trapèzes.

L'analogie signalée plus haut est réelle ; mais il ne faudrait pas l'exagérer au point d'identifier la hiérarchie des formes géométriques avec celle des formes organiques , car il existe entre elles une différence irréductible. Voici un bouledogue : ses caractères spécifiques sont une mâchoire inférieure proéminente , un museau aplati, de petites oreilles dressées, un poil ras, une queue courte, une configuration générale robuste et trapue; c'est là ce qui le distingue des autres espèces canines; mais, outre ces différences spécifiques , on trouve en lui certains autres caractères communs à tous les chiens : trois fausses molaires à la mâchoire supérieure , quatre à la mâchoire inférieure, la carnassière supérieure plus tuberculeuse que l'inférieure, cinq doigts aux pieds de devant, quatre à ceux de derrière , yne langue douce. Outre ces caractères plus généraux que les premiers, j'en trouve d'autres plus généraux encore : quatre canines longues et solides ; entre elles , six incisives à chaque mâchoire ; des molaires tranchantes et lacérantes : ce

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senties caractères de l'ordre des carnivores. Si je continue l'analyse, je rencontre de nouveaux caractères plus généraux encore que les derniers : des membres disposés pour la marche , et , par suite , des articulations osseuses précises ; la mâchoire supérieure soudée au crâne , les côtes antérieures attachées à un sternum , des omoplates non articulées , une tète articulée par deux condyles sur la première vertèbre , un cerveau à deux hémisphères avec corps calleux , corps striés , couches optiques, tubercules quadrijumeaux et quatre ventricules , etc. : ce sont les caractères des mammifères. Enfin, si j'épuise l'analyse, je trouve de nouveaux caractères bien plus généraux encore : une moelle épinière enfermée dans une boîte osseuse , un crâne composé de plusieurs pièces soudées , des vertèbres à la partie moyenne desquelles s'attachent les c6tes et les os des membres , quatre membres de plusieurs articles chacun , des muscles recouvrant les os qu'ils font agir, un cœur musculaire , du sang rouge , deux mâchoires horizontales, des organes distincts des sens, des sexes séparés : ce sont les caractères des vertébrés. On le voit par cette analyse un peu longue, mais indispensable , un bouledogue est un tissu de caractères généraux qui s'ajoutent les uns aux autres à mesure que l'on passe de l'espèce au genre , du genre à l'ordre , de l'ordre à la classe , de la classe à l'embranchement.

On ne saurait, sans forcer les analogies, trouver un enveloppement semblable dans les genres et les espèces géométriques. Si je dis : le triangle isoscèle est

une espèce du genre triangle, de Tordre des polygones, de la classe des surfaces planes , de l'embranchement des surfaces, je n'acquiers pas une idée nouvelle à chaque énonciation nouvelle. Ce qui est sous ces mots, genre triangle, ordre des polygones, classe des surfaces planes, embranchement des surfaces, est compris tout entier dans la définition ordinaire du triangle isoscèle. Analysons en effet : triangle isoscèle veut dire portion du plan terminée par trois droites dont deux sont égales. Cet énoncé me suffit. Que me servirait en effet, la notion du triangle isoscèle une fois connue, de savoir que le triangle, en général, est une portion de l'espace terminée par trois droites qui se coupent ; le polygone, une portion du plan terminée par un nombre quelconque de droites ; la surface plane, une portion de l'espace , sans épaisseur , sur laquelle on peut mener des lignes droites dans toutes les directions ; et enfin la surface, deux des trois dimensions de l'espace ? Au contraire , quand je dis : le bouledogue est une espèce du genre chien , de l'ordre des carnivores , de la classe des mammifères, de l'embranchement des vertébrés , à chacune de ces énonciations j ^apprends certains caractères , essentiels au bouledogue , et que ne me faisait pas connaître renonciation précédente. A vrai dire, tous ces caractères , de plus en plus généraux, étaient contenus, comme nous le verrons plus tard, dans la notion du bouledogue, en vertu du prin- . cipe de la subordination des caractères ; mais je l'ignorais , et l'énumération précédente pouvait seule nie le révéler. Aussi la considération de la hiérarchie

des formes, si importante dans les sciences naturelles , est-elle accessoire en géométrie.

La raison de cette différence résulte de la différence même des notions objets de ces deux sciences. Les sciences naturelles étudient des qualités ; la géométrie, des quantités susceptibles de recevoir des limites variables. Chaque notion de qualité forme un tout indivisible et irrésoluble ; les quantités peuvent , au contraire , être augmentées ou diminuées ; il existe entre les notions de qualité des rapports d'inclusion ou d'exclusion ; entre les quantités, des rapports d'égalité ou d'inégalité ; les premières donnent lieu à des questions de subordination , les secondes à des questions de composition. C'est de cette subordination des caractères que découle la hiérarchie des formes naturelles, tandis que la composition ou la génération des quantités mathématiques ne peut produire rien de semblable.

Dans le règne animal , la nature a suivi quatre ou cinq plans généraux de structure : de là les embranchements ; mais chacun de ces plans est réalisé de façons différentes ; chez divers représentants d'un même embranchement, la vie est entretenue par des moyens divers : de là les classes ; ces moyens eux - mêmes peuvent présenter plusieurs degrés de complication : de là les ordres ; des formes distinctes résultent de ces structures plus ou moins complexes : de là les familles ; dans la forme commune à chaque famille , certaines parties ont une organisation spéciale : de là les genres ; enfin des détails plus particuliers encore caractérisent

les espèces. Le naturaliste recherche de quelle façon ces caractères, de moins en moins généraux ou de moins en moins particuliers, selon qu'on descend réchelle ou qu'on la remonte , s'impliquent ou s'excluent les uns les autres ; voilà pourquoi les questions de genres et d'espèces ont dans ses études une si grande importance. Le géomètre ne s'arrête pas sur les rapports qui unissent le triangle isoscèle au triangle en général, celui-ci au polygone, celui-là à la surface plane, la surface plane à la surface en général, car ces rapports sont tous de même nature. Les variations de position d'un point déterminent les diverses figures particulières, ou, si l'on veut, les espèces géométriques; mais le genre, qu'est -il, sinon l'expression abrégée des règles de construction de fi* gures diverses ? Pour tracer un triangle , un quadrilatère, un hexagone, un eptagone, etc., je tire trois , quatre , cinq , six , sept lignes droites qui se coupent dans le plan ; pour tracer un polygone quelconque , je tracerai un nombre quelconque de droites qui se couperont deux à deux. Y a-t-il là rien qui ressemble à ces propositions : le genre est caractérisé par certaines particularités dans la structure de certains organes ; l'espèce, par le détail de certains autres organes? Les notions plus générales de ligne et de surface sont obtenues par le même procédé : la surface est la limite des variations que peut subir le volume primitivement donné dans l'espace ; la ligne est la limite des variations de la surface. Faire varier entre des limites indéfiniment éloignées la quantité étendue, voilà le tout de la

géométrie. Il y a donc, si Ton veut, une hiérarchie entre les formes géométriques ; mais le procédé par lequel l'esprit passe du premier degré au second , et de celui-ci aux suivants , est toujours le même; aussi le géomètre s'intéresse-t-il peu à cette subordination logique, et s'applique-t-il tout entier aux questions de composition. Par conséquent, s'il n'est pas faux de dire que la définition géométrique se fait per genus et differentiam , on doit reconnaître qu'en géométrie les mots genre et différence spécifique sont loin d'avoir la même signification qu'en histoire naturelle.

Nous avons prouvé que les notions géométriques n'ont pas une origine empirique : elles sont l'œuvre de l'esprit, déterminant selon des lois qu'il pose lui-même l'image indéfinie et indéterminée de l'espace. Par suite, les définitions géométriques qui énoncent le mode de génération propre à chaque figure sont a priori; je n'attends pas, pour définir une notion de ce genre , les données de l'expérience ; je la crée , et , en la créant Je la définis.

De là un nouveau caractère des définitions géométriques. Toute notion empirique est un composé ; les éléments qui la constituent nous ont été donnés successivement par l'observation ; l'assemblage en est contingent. Quand nous sommes en présence d'un tissu de propriétés naturelles, sommes-nous jamais assurés de les avoir toutes découvertes? peut-être avons-nous omis quelque caractère essentiel , pris pour essentiel un caractère accidentel; peut-être encore n'avonsnous pas saisi le lien qui , dans la réalité , unit toutes

LEUBS CARACTÈRES ESSENTIELS. 01

ces propriétés; aussi la notion empirique n'est-elle jamais définitivement close ; toujours elle peut perdre ou gagner. Les définitions empiriques sont donc provisoires et progressives. En géométrie , rien de semblable. La notion à définir n'est pas une somme de propriétés que l'esprit , au fur et à mesure qu'il les découvrait, a ajoutées les unes aux autres; c'est une forme imposée par l'esprit à l'espace. Cette forme possède , il est vrai , plusieurs propriétés distinctes ; dans un triangle, par exemple, un des côtés est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence ; la somme des trois angles est égale à deux angles droits. Mais personne ne s'avisera de soutenir que ces propriétés constituent la notion du triangle , comme les propriétés de bimane , de mammifère et de vertébré constituent la notion d'homme. Les propriétés des figures géométriques ne sont pas des éléments , mais des conséquences ; loin de constituer la notion , elles en dérivent. Par suite , les définitions géométriques ne sont pas sujettes aux mêmes vicissitudes que les définitions empiriques ; elles sont absolues, immuables et inflexibles.

Il nous reste à chercher si ces définitions sont nominales ou réelles. Rien de moins précis que la distinction vulgaire des définitions de mots et djBS définitions de choses. Les premières, dit-on, déclarent la signification d'un nom, les secondes expliquent et développent la nature d'une chose. Mais qu'est-ce que la signification d'un mot ? là est le point à examiner. Un mot est à la fois un son et un signe ; comme son, il

93i DES DÉFINITIONS GÉOMÉTRIQUES.

n'a aucun sens ; comme signe , il en a un. Voici quatre sons : square^ tree^ carrée arbre. Qu'un Français igno rant la langue anglaise entende les deux premiers , il n'y attachera aucune idée ; mais, en entendant les deux autres, il se représentera plus ou moins distinctement une portion de l'espace terminée par quatre droites , un cylindre ligneux planté dans le sol , des branches , des rameaux, des fleurs , des fruits. Un son devient un signe lorsqu'il provoque dans l'esprit l'apparition de telle idée ou de telle image. Un mot a un sens , parce qu'il possède une aptitude à éveiller une conception déterminée. La signification d'un mot n'est donc que la nature même de la chose signifiée : d'où îl suit que déclarer la signification d'un nom et expliquer la nature de la chose signifiée, c'est une seule opération. Les définitions de mots sont donc des définitions de choses, et, réciproquement, comme il n'est pas d'idée à laquelle ne corresponde un signe du langage , toute définition de chose est aussi une définition de mot.

On pourra, si l'on veut , distinguer la signification vulgaire de la signification scientifique d'un mot. Pour l'ignorant , le mot pin^ par exemple , signifie un arbre au port droit et élancé, à la forme conique, aux branches raides , aux aiguilles rigides et métalliques ; pour le savant , il signifie une plante dicotylédone ,

avec des fibres aux ponctuations aréolées, un tissu ligneux sans vaisseaux , des rayons médullaires à une

seule rangée de cellules. La signification d'un même

mot varie à mesure que la nature de la chose signifiée

nous est mieux connue.

On serait tenté peut-être de considérer au moins comme définitions nominales celles qui expliquent l'étymologie d'un mot. Ce serait méconnaître singuliè* rement les lois qui président à la formation des noms. L'étymologie énonce le plus souvent un ou plusieurs des caractères essentiels des choses désignées par les mots. Triangle , quadrilatère , pentagone , hexagone , eptagone, octogone, etc. , signifient étymologiquement trois angles, quatre côtés, cinq, six, sept, huit angles, etc. La définition étymologique n'est -elle pas ici presque semblable à la définition même de la chose signifiée ? Que si , sortant du langage scientifique , œuvre d'une réflexion avancée, on remonte aux racines primordiales d'une langue , fruit d'une spontanéité inconsciente , on verra que l'étymologie désigne au moins un des caractères des choses signifiées. « Caverne se dit en latin >> antrum^ cavea^ spelunca. Or antrum a, en réalité, la » même signification que internum. Antar signifie, en » sanscrit, entre et en dedans. Antrum a donc signifié, » originairement, ce qui est au dedans ou à l'intérieur » soit de la terre, soit de toute autre chose. Il est donc » évident que ce nom n'a pas pu être donné à une » caverne particulière avant que l'esprit de l'homme » eût conçu l'idée générale de l'existence au dedans » de quelque chose. Une fois cette idée générale » conçue par l'esprit et exprimée par la racine pro- » nominale an ou antar ^ l'origine de l'appellation » devient très -claire et très -intelligible. Le creux » du rocher où l'homme primitif pouvait se mettre à

j> couvert de la pluie ou se défendre contre les attaques » des bêtes sauvages était appelé son dedans^ son » antrum^et^ dès lors, les cavités semblables, qu'elles » fussent creusées dans la terre ou dans un arbre, » devaient être désignées par le même nom. En outre, » la même idée générale devait donner naissance à » d'autres noms ; aussi voyons-nous que les entrailles » étaient appelées en sanscrit antra^ et en grec entera^ » originairement choses en dedans.

» Passons maintenant à un autre nom de la caverne : » cavea ou caverna... Avant qu'une caverne reçût la » dénomination de cavea , chose creuse , beaucoup » d'autres choses creuses avaient passé sous les yeux » de l'homme. D'où est donc venu le choix de la » racine cav pour désigner une chose creuse ou un » trou ? De ce que cette cavité devait servir d'abord de » lieu de sûreté ou de protection , et d'abri où l'on » serait à couvert ; et c'est pourquoi elle fut désignée )) par la racine ku ou sku^ qui exprimait l'idée de cou-

)) vrir Une autre forme de cavus était koîloSy

» signifiant également creux. La conception était ori- » ginairement la même : une cavité était appelée » koîlon^ parce qu'elle servait à mettre à couvert. Mais » ce son de koilon ne tarda pas à s'étendre, et ce mot » désigna successivement une caverne , une caverne » voûtée, une voûte, et enfin la voûte céleste qui » semble recouvrir la terre {cœlum^ ciel).

» Telle est l'histoire de tous les substantifs. Us ont » tous exprimé originairement un seul des nombreux

}$ attributs qui appartiennent à un même objet (1). » Les remarques qui précèdent nous feront comprendre comment les logiciens de Port-Royal ont pu dire avec raison que les définitions de mots sont arbitraires et incontestables. Par définition de mots, ils entendent simplement l'imposition des noms aux choses, a Dans la définition du nom, disent-ils, on ne regarde que le son , et ensuite on détermine ce son à être le signe d'une idée que l'on désigne par d'autres mots. De là il s'ensuit : premièrement, que les définitions des noms sont arbitraires... ; il s'ensuit, en deuxième lieu, que les définitions des noms ne peuvent être contestées (2). )) Remplaçons ces mots : la définition de nom par ces autres , l'imposition des noms aux idées, pour éviter, ce que n'ont pas fait Arnauld et Nicole , tout malentendu, et les conclusions des logiciens de Port- Royal sont vraies. Quand j'ai dépouillé un mot de toute signification, quand de signe je l'ai fait son, je puis le faire servir à désigner telle ou telle chose ; le mot cercle peut devenir ainsi le signe d'un plan terminé par trois droites qui se coupent; le mot triangle, le signe d'un plan limité par une courbe dont tous les points sont également distants d'un point fixe. D'une façon plus générale, il m'est licite , en combinant à ma guise les voyelles et les consonnes de l'alphabet , de créer des sons nouveaux. Qui m'empêchera d'en faire

(i) Max MûUer, La Science du langage (trad. Harris et Perrot, 9" leç.).

(2) Logique de Port-Royal , 2« part., ch. XIL

les signes de mes idées? qui me contestera Tusage de cette langue créée par moi et pour moi? L'imposition des noms aux choses, voilà ce qui est arbitraire et ce qui ne saurait être contesté.

Mais le son , une fois devenu signe , est désormais rivé à ridée qu'il désigne , et, pour le définir, je dois définir cette idée. Aussi les définitions mathématiques sont-elles loin d'être arbitraires. Que j'appelle triangle ce que d'ordinaire on appelle cercle , je viole les lois du langage et de l'étymologie ; mais je m'entends, et je réussirai à me faire entendre d' autrui , à la condition de déclarer quel sens j'attache à ce mot. Mais cette déclaration , qui sera la vraie définition du mot , ne sera-t-elle pas la définition même de l'idée ou de la chose que ce mot exprime dans mon langage conventionnel? Quelque nom que l'on impose au cercle, que ce nom soit tiré des langues anciennes ou modernes , ou qu'il appartienne à un langage de fantaisie , toujours il désignera la portion du plan limitée par la circonférence.

Les définitions géométriques sont incontestables ; mais la raison de ce caractère doit être cherchée ailleurs que dans les propriétés prétendues des définitions nominales. On peut toujours contester une définition empirique , car la valeur des caractères contenus dans la notion définie est toujours sujette à discussion. La valeur des notions géométriques n'est, au contraire, jamais suspectée, car elle résulte de règles de construction posées en toute liberté par l'esprit lui-même. Aussi la définition, qui expose la gé-

nération particulière de telle figure donnée, ne saurait être jamais contestée.

Ainsi, les définitions géométriques ne sont pas des définitions de mots, au sens où Ton entend d'ordinaire cette expression. Mais, pourrait-on dire, elles sont cependant distinctes des définitions de choses. Je vous demande ce qu'est cette plante aux rameaux terminés par un groupe compact de petites fleurs, les unes jaunes, les autres blanches. Vous me la définissez une composée semi-flosculeuse ; ces deux mots , expression abrégée d'une infinité de caractères révélés l'un après l'autre par l'analyse , sont une définition de chose ; en effet, les caractères qu'ils désignent existent dans la réalité , et la plante qui les possède était donnée avant la définition. Au contraire , en géométrie , rien n'est donné avant les définitions , si ce n'est l'espace vide et indifférent à toute détermination particulière; les figures n'existent pas avant que vous les ayez engendrées, c'est-à-dire définies.

La différence signalée est réelle : c'est que l'origine des notions empiriques et celle des notions géométriques ne sont pas semblables. Nous formons les premières en assemblant des caractères que découvre l'expérience ; aussi la chose précède-t-elle la notion. Nous créons les secondes en imposant à notre gré des limites à l'espace ; aussi la chose suit-elle l'acte intellectuel qui la produit. Cependant un triangle, un cercle ne sont pas, pour cela, de purs noms : ce sont des déterminations de l'espace , produites par nous , il est vrai , mais qui sont devenues pour nous des choses

objectives dès l'instant où nous les avons engendrées; l'œuvre de l'esprit , une fois achevée , s'impose à l'esprit. Toutefois, tout en maintenant cette vérité que les définitions géométriques sont des définitions de choses , on peut , pour rappeler l'origine des notions qu'elles expliquent et ne pas les confondre avec les définitions des choses empiriques , les appeler définitions a priori ou par génération (1).

(1) Tout ce que nous avons dit s'applique aux définitions des figures distinctes. Mais il est , en géométrie , certaines notions dont il semble possible de considérer les définitions comme purement nominales. Ainsi la ligne droite prend tour à tour les divers noms de diamètre, de rayon, d'apothème, d'axe, d'abcisse^ d'ordonnée^ etc.^ sans cesser d'être la ligne droite. Mais remarquons que chacun de ces noms signifie que la ligne droite ainsi désignée appartient à certaine figure et non pas à telle autre. Ainsi le diamètre est la ligne droite qui partage le cercle en deux parties égales; le rayon, la ligne droite menée du centre à la circonférence; l'apothème du polygone régulier, la ligne droite menée du centre du cercle inscrit ou circonscrit au milieu du côté, etc. Ce sont là de vraies définitions de choses.