CHAPITRE IV

ROLE DES OEFINITIORS OINS LA DEMONSTRATION GEOiÊTRIQUE.

Rôle des axiomes dans la démonstration géométrique. — Examen de la théorie du docteur Whewell. — Définition des axiomes. — Stérilité des axiomes. — Rôle de la définition dans la démonstration géométrique. — Examen de la théorie de Stuart Mill. — Examen de la théorie de Dugald-Stewart. — Différence du syllogisme et du raisonnement géométrique. — La définition nous fournit les termes et les intermédiaires entre les termes dont il s'agit de prouver l'égalité on l'équivalence. — Source de la nécessité des jugements géométriques. — Démonstration dans la géométrie analytique. — Démonstration dans la géométrie imaginaire.

C'est une question encore pendante parmi les géomètres et parmi les philosophes , que de savoir quels sont les principes véritables des démonstrations géométriques. Tous les mathématiciens, depuis Euclide, croient que la certitude du rapport énoncé entre l'attribut et le sujet d'un théorème résulte à la fois des axiomes et des définitions, puisqu'on tète de leurs traités ils placent à la fois des axiomes et des définitions. Chez les philosophes, les avis sont partagés. Locke , le premier des modernes , a nié la fécondité prétendue des axiomes. « Ils ne sont les fondements » véritables d'aucune science, a-t-il dit, et ils sont en- » tièrement inutiles à l'homme pour découvrir des

» vérités inconnues. » — « Ce n'est pas l'influence de i> ces maximes, admises pour principes par les mathé- » maticiens, qui a conduit les maîtres de cette science » aux merveilleuses découvertes qu'ils ont faites. )) Qu'un homme de talent connaisse aussi parfaite- )> ment qu'on voudra tous les axiomes dont on fait » usage dans les mathématiques , qu'il en considère » l'étendue et les conséquences autant qu'il lui plaira, » jamais, parleur seul secours, il ne parviendra'à sa- » voir que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rec- » tangle est égal aux carrés des deux autres côtés. La » connaissance de l'axiome le tout est égal à toutes les » parties , et autres semblables, ne servirait de rien » pour arriver à la démonstration de cette proposi- » tion , et un homme pourrait méditer éternellement » sur ces axiomes sans faire un pas de plus dans la » connaissance des vérités mathématiques (1). » Dugald-Stevsrart est de l'avis de Locke , et lui aussi il demande quelles conséquences l'esprit le plus subtil pourrait déduire de ces propositions que deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles ; que deux quantités égales restent égales quand on y y ajoute ou quand on en retranche des quantités égales (2).

Cet argument n'a pas convaincu un savant philosophe anglais , le docteur Whewell , qui a plus d'une fois essayé de prouver, contre Dugald-Stewart et ses parti-

(1) Essai sur Veniend. hum., liv. IV, ch. xii, § 15.

(2) Philos, de Vespril /ii/m.,2*part., ch. I, sect. i.

sans, que les axiomes sont des principes de démonstration à titre aussi légitime que les définitions (1). Il constate d'abord que Ton n'a pu encore arriver à construire un système de vérités géométriques avec les seules définitions. Les mathématiciens qui ont voulu se passer des axiomes d'Euclide sur la ligne droite et sur les parallèles ont échoué ; ou bien , par un artifice facile à découvrir, ils ont substitué aux axiomes des définitions énonçant des propriétés évidentes par ellesmêmes , et n'ont ainsi abouti qu'à changer le nom sans supprimer la chose , « puisque poser une propriété comme une vérité évidente , c'est poser un axiome(2).» Âinsifont ceux qui remplacent le deuxième axiome d'Euclide : « deux lignes droites ne peuvent enfermer un espace , » par cette définition de la ligne droite : « une ligne est appelée droite quand deux lignes de cette sorte ne peuvent coïncider en deux points sans coïncider dans toute leur longueur. » — « Il )) est donc étrange d'affirmer que la géométrie repose » sur les définitions , quand elle ne peut faire quatre » pas sans poser le pied sur un axiome (3). »

En second lieu , on peut retourner contre les définitions l'argument de Stewart contre les axiomes ; si de certains axiomes l'esprit ne peut tirer aucune conséquence , la chose n'est-elle pas vraie aussi de certaines définitions ? Définissez , avec Euclide , la ligne

(1) W^hewell, Philosopky of ihe induciive sciences, et Appendice to ihe mechanical Euclide.

(2) Mechanical Euclide,

(3) Ibid.

1(K2 DES DÉFINITIONS OËOMÉTIUQUES.

droite celle qui est située semblablement par rapport à tous ses points , et de cet énoncé vous ne parviendrez pas à faire sortir une vérité nouvelle. Conclurat-on de là que toutes les définitions sont stériles 7 La vérité , c'est qu'axiomes et définitions sont ensemble les fondements des démonstrations géométriques, car les uns et les autres ne sont que des formules différentes d'une même conception fondamentale. La géométrie débute par l'intuition des figures et de leurs propriétés élémentaires; l'apperception de ces propriétés , voilà la source de l'évidence irrésistible des raisonnements géométriques. Mais nous pouvons exprimer ces propriétés par des axiomes ou par des définitions , sans introduire aucune différence dans la nature de nos démonstrations. Ainsi nous commençons- par définir vaguement la ligne droite en disant qu'elle est la ligne qui s'étend uniformément entre deux points. Cet énoncé est le premier fruit d'une intuition rapide ; mais comme nous ne pouvons en rien tirer, nous«y ajoutons ces axiomes, fruits d'une intuition plus complète, que deux lignes droites ne peuvent enclore un espace , que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. Nous complétons la définition par l'axiome, et les deux, réunis, expriment l'intuition totale. Il semblerait alors possible de ramener tous les axiomes à des définitions, puisque axiomes et définitions énoncent également des propriétés intuitivement connues ; on peut le faire ; mais ce serait compliquer outre mesure , et sans profit réel , le système des définitions. Il vaut mieux, pour conserver aux

principes de la science une simplicité indispensable, maintenir la distinction des définitions et des axiomes, et accepter les seconds comme complément des premières. Si l'intuition totale de chaque figure est seule le principe du raisonnement, comme elle nous apparaît sous divers aspects dont Tun est Tobjet de la définition , et l'autre l'objet d'un ou plusieurs axiomes , et comme elle n'est exprimée intégralement ni par la définition ni par l'axiome, nous sommes forcés de joindre l'axiome à la définition , c'est-à-dire de réunir les divers éléments de l'intuition totale que nous avons décomposée.

Une discussion engagée sans qu'on ait fixé d'abord le sens des mots sur lesquels porte le débat ne saurait aboutir. Aussi l'opinion de Dugald-Stewart et celle du docteur Whewell ne semblent - elles pas s'exclure Tune l'autre ; c'est que ces deux auteurs ne désignent pas par le mot axiome des propositions de même nature. Il est évident que si vous prenez pour axiome cette proposition que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre , vous ne pourrez, sans elle, démontrer que, dans un triangle, un côté est plus petit que la somme des deux autres. Mais il est évident aussi que de cet axiome : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles, il vous est impossible de déduire aucune vérité inconnue sans faire intervenir quelque autre vérité. Le docteur Whewell a senti que sa querelle avec Dugald-Stewart était une querelle de mots ; mais il n'a rien fait pour mettre un terme à ce malentendu trop prolongé. « L'opinion de Stewart ,

i> dit-il , vient de ce qu'il a fait un choix arbitraire de :» certains axiomes, comme exemples de tous ; il prend, par exemple , les axiomes : que si Ton ajoute deux j> quantités égales à des quantités égales, les sommes x^ sont égales ; que le tout est plus grand que la partie, )> et ainsi de suite. Si, au lieu de ces exemples, il avait » considéré des axiomes plus particulièrement géo- » métriques, tels que ceux que j'ai mentionnés, que » deux lignes droites ne peuvent enclore un espace, ou » quelques-uns des axiomes qui ont été pris pour base » de la théorie des parallèles , par exemple l'axiome » de Playfair, que deux lignes droites qui se coupent » ne peuvent toutes les deux être parallèles à une troi- )) sième ligne droite, il lui aurait été impossible d'as- » signer aux axiomes un rôle différent de celui des » définitions dans les raisonnements géométrique^. En » effet, les propriétés du triangle dérivent de l'axiome » concernant les lignes droites, aussi distinctement et » aussi directement que les propriétés des angles dé- » rivent de la définition de l'angle droit. Tous les » essais faits pour prouver la théorie des parallèles » supposent presque tous ouvertement un ou plusieurs » axiomes comme base du raisonnement (1). »

Il ressort de ce passage que les axiomes placés par les géomètres en tête de leurs traités ne sont pas tous de même nature. Le docteur Whewell , avant d'engager contre Dugald-Stevvrart cette polémique plusieurs fois reprise, aurait dû déterminer d'abord la nature propre *— ^^^-^^ —^ ■ » . . ■■.■ - .1... . — ■ — . — ^. - — ■ , -- — <^

(1) Mechanical EuclidCf

LEUR r6lE dans Là DÉMONSTRATION. 105

des axiomes. Il semble considérer comme tels toutes les propositions géométriques évidentes par elles-mêmes. Cette extrême clarté et cette évidence immédiate ne sauraient être les caractères essentiels des propositions axiomatiques ; autrement, il faudrait allonger la liste de ces dernières, et le nombre en varierait suivant les individus, car les uns voient par intuition ce que d'autres n'aperçoivent qu'après démonstration. Il importe donc de s'entendre d'abord sur le sens du mot axiome.

Dugald-Stewart a remarqué que les douze propositions appelées par Euclide notions communes , si l'on néglige le caractère d'évidence immédiate qu'elles offrent toutes, sont loin de se ressembler. La huitième, les grandeurs que l'on peut faire coïncider l'une avec l'autre sont égales entre elles, doit être considérée, à bon droit, comme une définition de l'égalité géométrique (1). La dixième : tous les angles droits sont égaux; la onzième : si deux droites sont rencontrées par une troisième qui forme avec elles deux angles intérieurs d'un même côté, dont la somme soit moindre que deux angles droits , ces deux droites , prolongées indéfiniment, finiront par se rencontrer du côté où elles forment les deux angles valant ensemble moins de deux angles droits , sont certainement des théorèmes et non des axiomes , puisqu'elles énoncent une propriété d'une figure particulière. On peut dire la même chose de la douzième : deux droites ne peuvent enclore un espace.

(i) Philos, de V esprit hum,j 2« partiei oote A.

La neuvième proposition , dont Stewart ne parle pas , est susceptible de démonstration. Si le tout est plus grand que la partie, c'est que, par définition, le tout est égal à la somme des parties, c'est-à-dire égal à une des parties plus les autres , et, par suite , plus grand qu'une partie moins les autres. Restent donc les sept premiers énoncés d'Euclide , qui expriment tous des rapports applicables à toute espèce de grandeur (1). La rigueur logique exige que l'on ne conserve pas un même nom à ces douze propositions , qu'il est si aisé , comme nous venons de le voir, de distribuer en trois groupes distincts. Les propositions sept et huit doivent d'abord être éliminées et mises au nombre des définitions. Faut-il maintenant, avec Barrow et Robert Simpson , appeler axiomes géométriques les propositions dix, onze et douze (2) ? Ce sont, assurément, des vérités évidentes dont il n'est pas besoin et dont il serait peut-être impossible de donner une démons-

(1) Ces propositions sont les suivantes : l» les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles ; 2<> si à des grandeurs égales on ajoute des grandeurs égales, les sommes seront égales; 3<> si de grandeurs égales on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux; 4<> si à des grandeurs inégales on ajoute des grandeurs égales , les sommes seront inégales; 50 si de grandeurs inégales on retranche des grandeurs égales, les restes seront inégaux; 6** les grandeurs qui sont doubles d'une même grandeur sont égales entre elles ; T les grandeurs qui sont les moitiés d'une même grandeur sont égales entre elles.

(2) Peyrard, un des derniers éditeurs d'ËucIide, range ces trois énoncés au nombre des demandes. On sait qu'Ëuclide , avant de formuler ses théorèmes, demande de pouvoir: !<> mener une ligne droite d'un point quelconque à un autre point quelconque ; 2^ prolonger indéfiniment, suivant sa direction, une ligne droite finie ; 3® décrire un cercle d'un point quelconque comme centre^ et avec une distance quelconque. Ces posMata^ que nous avons eu déjà l'occasion de mentionner, reviennent à ceci : je demande, pour créer la géométrie, l'espace indéfini et passif, et l'esprit indéfiniment actif s'exerçant sur l'espace et

tration. On ne conteste pas non plus qu'elles aient une place déterminée dans la chaîne des vérités géométriques , et que les supprimer ce serait rompre cette chmne sans pouvoir jamais la renouer. Mais ce caractère ne suffit pas à en &ire une classe de propositions distincte des théorèmes ; comme ceux-ci , elles énoncent des propriétés de figures particulières , et non pas des rapports entre des quantités indéterminées. Sous peine donc de donner matière à de perpétuels malentendus , il faut réserver le nom d'axiomes aux propositions de cette dernière espèce (1).

L'auteur de la Philosophie de V esprit humain Ta bien compris , et , quand il parle de la stérilité des axiomes , il a soin d'avertir le lecteur qu'il n'a en vue « que des axiomes du genre des neuf premiers , placés en tète des Éléments d'Euclide (2). i> Mais , quelque

le déterminant. Les trois propositions mises par Peyrard au nombre des demandes ont un tout autre caractère; elles n'énoncent pas les conditions primitives indispensables à la création de toutes les figures, mais bien un caractère particulier d'une figure déterminée.

(1) Legendre ne place en tête de ses Éléments de géométrie que cinq axiomes : i^ deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles; 2*" le tout est plus grand que la partie; 3* le tout est égal à la somme des parties dans lesquelles il a été divisé ; 4<» d'un point à un autre^ on ne peut mener qu'uue seule ligne droite; 5*> deux grandeurs^ lignes, surfaces ou solides , sont égales lorsque^ étant placées Tune sur l'autre^ elles coïncident dans toute leur étendue. La première de ces propositions doit seule conserver le nom d'axiome ; la seconde est un théorème; la troisième^ la définition du tout; la quatrième , un théorème; la cinquième est la définition de l'égalité géométrique.

(2) Philos, de Vesprit hum,, 2« part., sect. I. — Stewart n'aurait dû admettre comme axiomes que les sept premières notions communes d'Euclide. Du reste, dans le même ouvrage^ il reconnaît plus loin que les propositions 8 et 9 sont des définitions.

soin qu'on mette à séparer les axiomes des propositions différentes avec lesquelles on les a souvent confondus , il ne suffit pas , pour en démontrer la stérUité , de demander quelles conséquences on en a jamais déduites ; il faut encore prouver qu'on ne saurait en tirer aucune vérité nouvelle. Cette preuve a été faite par le maître éminent dont nous avons reçu les leçons à rÉcole normale.

Soit à prouver que deux angles opposés par le sommet sont égaux; j'ai :

ACB -f ACE = 2 droits , ECD + ACE = 2 droits.

Donc ACB + ACE = ECD + ACE ; ou ACB = ECD.

C'est là un raisonnement très-clair par lui-même, et qui n'a pas nécessité l'emploi du premier axiome de Legendre : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. Donc, en fait, aucun axiome n'intervient dans cette démonstration. On dira peut-être que cet axiome est la majeure sous-entendue de mon syllogisme , et le principe de la conclusion que j'ai tirée. A parler rigoureusement, une telle proposition ne saurait être la majeure d'aucun syllogisme. Pour rendre la démonstration plus aisée, empruntons un exemple à la théorie logique du raisonnement.

Tout homme est mortel, Socrate est homme , Donc Socrate est mortel.

Voilà un syllogisme rigoureux et une conclusion

indubitable , dont le principe est cette règle générale ; tout homme est mortel , que nous avons appliquée au cas particulier de Socrate. Si je pose mentalement à mon syllogisme une majeure telle que celle-ci : ce qui est vrai de l'espèce est vrai de l'individu , et que je raisonne de la &çon suivante :

Ce qui est vrai de Tespèce est vrai de l'individu, Or mortel est vrai de l'espèce homme , Donc mortel est vrai de l'individu Socrate ,

la conclusion , quoique vraie en elle-même , n'est pas contenue dans les prémisses , et j'ai péché contre les règles de la logique. C'est une règle absolue du syllogisme que le moyen terme doit être le même dans la majeure et dans la mineure ; autrement les deux termes extrêmes ne seraient pas comparés à la même idée dans les prémisses, et toute conclusion serait impossible. Or, ici, le moyen terme est, dans la majeure : ce qui est vrai de V espèce , et , dans la mineure : vrai de V espèce homme; dans la majeure, il s'agit de l'espèce indéterminée , et, dans la mineure, d'une espèce déterminée : la conclusion est donc illégitime.

Revenons à notre exemple géométrique, et construisons le syllogisme suivant : Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles ;

or ACB + ACE = 2 droits, ECD + ACE = 2 droits ; donc ACB + ACE = ECD + ACE.

La conclusion n'est pas légitime, parce qu'ici encore je suis passé de l'idée d'une quantité indéterminée à celle d'une quantité déterminée; le moyen

terme: <l égales à une troisième quantité, }^ dans la majeure, n'est pas le moyen terme de la mineure : a égal à deux angles droits. » L'axiome : « deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles, d ne peut donc figurer dans ce syllogisme ; il n'en est donc pas le principe (1).

Il semble qu'après avoir prouvé la stérilité des axiomes, on puisse attribuer sans conteste aux définitions le rôle de prémisses originelles du raisonnement géométrique. Pourtant une école aujourd'hui célèbre prétend, à l'aide d'une subtile analyse, établir que la certitude des théorèmes résulte d'un postulat impliqué dans la définition, et non, comme les mathématiciens et les philosophes l'avaient cru depuis Aristote, de la définition elle-même.

« Prenons, par exemple , dit M. Stuart Mill , quel- » qu'une des définitions posées comme prémisses » dans les Éléments d'Euclide , celle , si l'on veut du 7> cercle. Cette définition, analysée, offre deux proposi- » tiens dont l'une est relative, par hypothèse, à un » point de fait, et l'autre une définition légitime. Il ]f> peut exister une figure dont tous les points de la » ligne qui la termine sont à une égale distance d'un » point intérieur. » — « Toute figure ayant cette » propriété est appelée un cercle. » Examinons main- }) tenant une des démonstrations qu'on dit dépendre » de cette définition, et voyons à laquelle des deux Hf propositions qu'elle renferme la démonstration fait

(1) J. Lachelier^ Rédaclions inédites du cours de 1866-67.

» en réalité appel. « Du centre A décrivez le cercle » BGD. ]> Il est supposé ici qu'une figure comme j» celle indiquée par la définition peut être tracée, et 1» cette définition n'est que le postulat caché dans la j> définition. Mais que cette figure soit ou ne soit pas }» appelée cercle, c'est tout à fait indifférent. On aurait » obtenu absolument le même résultat, sauf la briè- » veté, en disant : « du point B tirez une ligne reve- » nant sur elle-même dont chaque point sera à une » égale distance du point Â. i^ De cette manière, la D définition du cercle disparaîtrait et serait rendue » inutile, mais non le postulat y impliqué, sans lequel » il n'y aurait pas de démonstration. Le cercle étant » décrit, suivons la conséquence. « Puisque BCD est » un cercle, le rayon BA est égal au rayon CA. » BA » est égal à GA, non pas parce que BCD est un cercle, » mais parce que BCD est une figure à rayons égaux. » Notre garantie , pour admettre qu'une telle figure » autour du centre A , avec le rayon BA, peut être j> réalisée, est dans le postulat (1). »

Ce passage , si précis en apparence, renferme plusieurs confusions d'idées qu'il importe de démêler. Suivant Fauteur et ses disciples, la science géométrique résulterait, comme la chimie et la physique, d'une longue série d'expériences , qui , par la constance de résultats identiques, justifieraient notre croyance invincible à la vérité des théorèmes ; la certitude des propositions mathématiques serait alors de même ordre que

(1) Sluarl Mill, Système de logique, liv. I, ch. viii.

celle des vérités physiques et physiologiques. C'est oublier cette distinction fondamentale, que les sciences inductives ont pour objet la nature concrète , qui se manifeste à nous par des phénomènes dont les agents demeurent inconnus, tandis que la géométrie porte sur des notions dont l'esprit lui-même est l'auteur, et que, par suite, dans les sciences de la nature nous sommes réduits à la recherche de rapports de succession entre des faits, tandis qu'en géométrie nous saisissons immé« diatement la génération des propriétés essentielles des figures qui dérivent de la loi de construction posée par l'esprit. Cette première confusion en amène une autre: on confond la notion d'une figure déterminée par nous dans l'espace et la possibilité de l'appliquer à la réalité phénoménale. Nous avons essayé de montrer que la géométrie ne saurait être l'œuvre d'un esprit pur, et que l'intuition de l'espace était indispensable à la génération des figures ; mais nous opérons sur cette matière indéfinie et partout homogène , sans aucun souci des corps aux contours irréguliers qu'elle contient. Que, dans ceux-ci, les formes géométriques les plus simples aient été à peu près réalisées jusqu'à ce jour, c'est un fait dont la connaissance suit la démonstration et ne la précède pas, et dont la raison doit être cherchée dans cet autre fait que tous les corps sans exception sont perçus dans l'espace ; mais confondre la notion a priori et sa réalisation empirique, c'est confondre le modèle et la copie. La chose est si vraie, que le nombre des formes réalisées par les corps naturels n'est rien au prix du nombre incommensurable des formes pos-

sibles. Si Ton objecte que toujours nous construisons sur des objets matériels les figures géométriques, nous ferons observer que cette construction est postérieure à l'intuition de la figure , et que, d'ailleurs , nous la supposons toujours purifiée des imperfections de l'expérience sensible , et la rapportons par conséquent à un modèle idéal. On confond enfin la définition même de la figure avec l'imposition d'un nom à la figure définie. Nous accordons que l'analyse découvre en toute définition deux propositions : la première qui énonce la possibilité d'engendrer une figure déterminée , et la seconde qui fait connaître le nom donné à cette figure. La première, qui, pour M. Stuart Mill, est purement relative à « un point de fait, » est à nos yeux la définition véritable ; la seconde, qui, pour le logicien anglais, est la vraie définition , nous apprend simplement que» dans le langage, tel nom est le signe de telle idée. — a II peut exister une figure dont tous les points de la ligne qui la termine sont à égale distance d'un point intérieur. » — « Toute figure ayant cette propriété est appelée un cercle. » — On pourrait retourner ces propositions et dire : un cercle est une portion de plan terminée par une ligne dont tous les points sont également distants d'un point intérieur; et : il peut exister une figure ayant cette propriété, et montrer que la première seule est féconde en vérités nouvelles ; mais, sans faire assaut de subtilité avec le plus subtil des logiciens contemporains, il suffit d'accepter la question telle que la pose M. Stuart Mill , pour en tirer des conclusions opposées aux siennes. Il est in-*

différent , nous le reconnaissons , que telle figure soit ou non appelée de tel nom ; aussi Timposition des termes techniques aux choses suit-elle la découverte .des choses et n'a-t-elle pour but que la brièveté du langage. Par conséquent, toute proposition de ce genre : j'appelle cercle ou triangle une figure possédant telle propriété , est postérieure à la proposition qui énonce la génération de cette figure ; on peut, par suite, refuser toute fécondité à la première , et voir dans la seconde seule l'origine des vérités ultérieurement démontrées. Mais , nous le demandons , n'est-ce pas abuser d'une confusion de mots créée à plaisir que d'appeler définition l'imposition d'un terme technique à une idée ; fait ou postulat, lapossibilité de la conception désignée par ceterme, et de soutenir, après cela, que ces postulats, et non pas les définitions , sont les prémisses des vérités géométriques ? Si donc nous rendons aux mots leur sens véritable et appelons définition géométrique toute proposition énonçant que telle forme peut être construite dans l'espace, sans rechercher ici si une telle possibilité est admise en vertu d'une intuition a priori ou d'une preuve expérimentale , nous dirons avec M. Stuart Mill que « les termes techniques qui correspondent aux définitions d'Euclide pourraient être mis de côté sans que la certitude des vérités géométriques fût en rien altérée ; » mais nous serons autorisés à conclure contre lui que les définitions ont un rôle efficace dans la démonstration des théorèmes.

Quel est ce rôle ? Dugald-Stewart l'a comparé à celui des faits généraux desquels on déduit dans les

sciences naturelles des phénomènes particuliers. C'est se contenter d'une analogie lointaine qui deviendrait dangereuse si on l'exagérait. A proprement parler, il n'y a pas de faits généraux dans la nature. Avant la science , l'univers est pour nous un chaos de phénomènes s'accompiissant chacun dans un point déterminé de l'espace et à un instant particulier du temps. La science, découvrant une succession constante entre ces faits , trouve l'ordre là où semblait exister l'anarchie ; elle assigne à chaque phénomène une place fixe dans des séries indéfinies, où chaque terme est effet de celui qui le précède et cause de celui qui le suit. On appelle loi l'expression de ce rapport invariable de succession qui unit ainsi deux phénomènes. Mais , si la loi peut être dite un fait généralisé , si elle peut devenir le principe de déductions ultérieures, n'oublions pas qu'elle est un firuit de l'expérience, et que les conséquences qui en découlent sont des faits de même nature que les faits qui en ont été l'origine. La définition géométrique est, au contraire, antérieure à l'expérience phénoménale , et les conséquences qu'en peut tirer le raisonnement ne sont pas des cas particuliers dans lesquels on décomposerait une formule générale.

Considérons de plus près la démonstration géométrique , si nous voulons y découvrir la vraie fonction des définitions.

La démonstration géométrique ne doit pas être confondue avec le raisonnement déductif ordinaire. On fait un syllogisme pour répondre à une question

de ce genre : mortel est-il vrai de Socrate ? Comme rinclusion de l'attribut dans le sujet n'est pas immédiatement aperçue , pour résoudre la question on place entre les deux termes , mortel et Socrate , un terme d'extension et de compréhension moyennes, homme par exemple , et l'on raisonne ainsi : mortel est un des attributs du sujet homme ; homme est un des attributs du sujet Socrate; donc, comme l'attribut est toujours affa^mé du sujet avec toute sa compréhension, mortel est un des attributs du sujet Socrate. Tout syllogisme revient à la formule suivante : A est en B , B est en C , donc A est en C; A , B, C, étant les symboles d'idées de qualité , d'extension et de compréhension différentes. L'analyse découvre , à la rigueur, dans la démonstration géométrique trois termes et trois propositions, mais qui sont loin de ressembler aux termes et aux propositions du syllogisme ordinaire. Dans le syllogisme ordinaire , les prémisses sont tantôt universelles, tantôt particulières; dans la démonstration géométrique, elles sont toutes singulières et universelles. Bien qu'elles portent en particulier sur la figure individuelle prise comme échantillon, elles sont vraies cependant de toutes les figures semblables que l'on peut construire en chaque lieu de l'espace indéfini. Dans le syllogisme ordinaire , les termes sont des idées de qualité, douées chacune d'une compréhension et d'une extension propres , et qui , par suite, s'incluent ou s'excluent l'une l'autre. Dans la démonstration géométrique, les termes sont des idées de quantité, c'est-à-dire des grandeurs qui, bien

qu'elles aient chacune une forme particulière , n'ont pas de compréhension ; si l'on dit , en effet , qu'un triangle est compris dans un hexagone comme l'attribut mortel est compris 4ans le sujet Socrate , c'est jouer sur les mots. Or tout raisonnement a pour but de découvrir des rapports entre des idées données, et la nature de ces rapports dépend de la nature même des notions considérées ; si donc entre les notions de qualité il n'existe que des rapports d'inclusion et d'exclusion, on cherchera, par le syllogisme ordinaire, si deux notions de qualité données s'incluent ou s'excluent Tune l'autre ; mais comme entre des notions de quantité il n'existe que des rapports d'égalité et d'inégalité, d'équivalence et de non-équivalence, on cherchera, par la démonstration géométrique , si deux grandeurs données, de forme semblable ou différente, sont égales ou inégales , équivalentes ou non équivalentes (1).

La nature des termes de la proposition géométrique une fois déterminée , comment procède la démonstration? L'énoncé de la question nous donne les deux grandeurs entre lesquelles on cherche des rapports géométriques. Ainsi je dis : la somme des trois angles d'un triangle rectiligne est-elle égale à deux droits? Un premier office de la définition consiste à poser en quelque sorte la question dans l'espace , devant l'imagination. Je ne puis entendre ces deux termes, triangle rectiligne et deux angles droits, sans me

i^IMMBIta

(1) Gf.J. Lsmhéïi&T, De Nalura syllogismi,

représenter aussitôt , d'un côté , une portion du plan terminée par trois droites , et , de l'autre, deux droites qui se coupent en formant deux angles adjacents égaux , c'est-à-dire sans définir les deux notions exprimées par les termes, car, nous le savons, définir c'est engendrer dans l'espace des formes déterminées.

La question ainsi posée , il faut la résoudre ; les deux grandeurs ainsi représentées , il faut voir si elles sont égales ou inégales , équivalentes ou non.

Dans certains cas le rapport cherché apparaît immédiatement, et, pour le saisir, il suffît de voir distinctement les deux termes de la question. Ainsi, quand je dis : la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, je ne puis me représenter une ligne droite sans voir aussitôt qu'elle est le chemin le plus bref entre les deux points qui en sont les limites , et je ne puis me représenter le plus court chemin d'un point à un autre sans voir qu'U est la ligne droite tracée entre ces deux points ; les deux représentations se confondent ; la synthèse du sujet et de l'attribut est immédiate. Ici , la vérité du théorème résulte directement de la définition.

D'autres fois , sans que le rapport apparaisse aussitôt que la question est posée , l'esprit le découvre sans avoir encore besoin d'intermédiaire. Pour cela, déplaçant une des grandeurs données , il les fait coïncider toutes les deux , et en constate ainsi l'égalité ou l'inégalité : c'est ainsi qu'on prouve l'égalité de deux triangles , de deux polygones , de deux moitiés de cercle, et de toutes les figures égales. Là encore,

la vérité du théorème résulte immédiatement de la définition.

Le plus souvent, le rapport des grandeurs données n'apparaît pas directement, et la superposition des figures est impossible. Alors, entre l'attribut et le sujet de la question, il faut placer un intermédiaire. Par exemple , soit à démontrer cette proposition si simple déjà citée dans ce chapitre : les angles opposés par le sommet sont égaux.

La question posée, je vois les angles ACB et ECB, mais je ne puis dire encore si ces deux quantités sont égales. Mais je vois que BCA+ ACE est égal à deux angles droits , que ECD + ACE est aussi égal à deux angles droits ; le rapport de mandé est découvert, et je puis mettre la démonstration sous la forme suivante :

ACB + ACE = 2 droits ; ECD + ACE = 2 droits ; donc ACB -f ACE = ECD + ACE,

ACB = ECD.

Entre les deux quantités données par la question , et que je ne puis appeler grand terme et petit terme , car ces expressions éveillent Tidée d'une compréhension et d'une extension variables, mais qu'il m'est permis de nommer sujet et attribut de la question, j'ai placé une représentation intermédiaire, grâce à laquelle j'ai découvert le rapport cherché. Cette fois, les définitions m'ont rendu, un double office : elles m'ont fourni

d'abord les données de la question , puis Tintermédiaire qui les unit ; en effet cet intermédiaire est une figure , et nous ne pouvons nous représenter une figure sans l'avoir définie.

Toutes les démonstrations ne sont pas aussi simples que celle-ci, et souvent , entre la quantité sujet et la quantité attribut , il nous faut intercaler plusieurs intermédiaires ; mais toujours ces intermédiaires sont des représentations géométriques, c'est-à-dire des définitions. On nous fera remarquer sans doute que, dans de nombreux cas , au lieu de fatiguer l'imagination en la promenant ainsi de figure en figure , nous nous contentons d'invoquer une proposition précédemment démontrée , sans évoquer aucune représentation. Mais n'oublions pas qu'en géométrie, comme ailleurs , l'esprit , pour plus de rapidité , s'habitue à opérer sur les mots en négligeant les idées. Les notions géométriques sont des intuitions ; les propositions géométriques sont des séries d'intuitions ; mais, la vérité d'un théorème une fois trouvée, nous nous débarrassons au plus vite de l'appareil gênant des figures, et, fixant par des mots les rapports découverts, nous introduisons entre les deux quantités d'une question nouvelle non plus une série d'images , mais une série de mots exprimant une relation découverte précédemment entre des quantités primitivement représentées. Mais n'oublions pas que, sous chacune de ces propositions, se cache une série plus ou moins longue d'images dont l'égalité ou Téquivalence ont été saisies antérieurement par intuition. Aussi, qu'un obstacle

nous arrête au milieu de ces déductions logiques d'où semblent bannies les représentations dans l'espace , si , fidèles au précepte de Pascal , nous substituons mentalement la définition au défini, les formes un instant effacées reparaissent tout à coup, et l'intuition redresse la logique abstraite.

Par conséquent toute démonstration géométrique peut être mise sous l'une des deux formes suivantes : 1° A est égal à A', quand A et A' sont des grandeurs de même forme; 2o A est équivalent àB,BàC, CàD, etc. , quand A, B , G, D , etc., sont des grandeurs de formes différentes. Mais A , A', B , G, D , etc., sont des représentations de portions déterminées de Tespace, lignes, surfaces, solides. Or la représentation d'une figure est le résultat de sa loi propre de construction , c'està-dire de sa définition. Nous sommes donc autorisés à conclure que les définitions fournissent les données des questions à résoudre et les intermédiaires qui les unissent dans la démonstration.

En résumé , les théorèmes de géométrie ne sont pas des propositions identiques , comme Ta voulu Gondillac; autrement la géométrie tout entière ne serait qu'une immense tautologie ; ils ne sont pas davantage des propositions analytiques, comme on le croit parfois ; autrement un esprit doué d'une pénétration exceptionnelle verrait toutes les propositions d'Euclide dans les trente définitions placées en tête de ses Éléments. L'attribut de ces jugements n'est pas une répétition du sujet ; il n'en est pas non plus un élément; mais l'attribut et le sujet sont les notions de

quantités égales ou équivalentes, distinctes de forme, ou tout au moins distinctes de position , que Ton peut substituer l'une à l'autre. C'est toujours par une synthèse que la substitution est opérée ; tantôt il suffit de définir les termes de la question pour en Mre la synthèse ; tantôt au contraire , bien que nettement définies, ces deux quantités restent isolées ; alors une ou plusieurs définitions évoquent à nos yeux une ou plusieurs quantités intermédiaires grâce auxquelles nous opérons la synthèse demandée.

Nous pouvons maintenant nous rendre compte de la nécessité des propositions géométriques. D'une façon générale , une proposition nécessaire est celle dont il nous est impossible de concevoir le contraire. Ceux d'entre les philosophes et les géomètres qui v<?ient dans la seule expérience sensible l'origine des notions et des vérités géométriques ont prétendu que la nécessité des théorèmes dérivait de la constance des mesures empiriques. Depuis le jour où l'homme, mesurant pour la première fois les trois angles d'un triangle , les a trouvés égaux à deux angles droits , aucun fait n'est venu démentir ce premier résultat de l'expérience. Aussi l'habitude de les rencontrer toujours associées nous a-t-elle fait river l'une à l'autre ces deux notions , de telle sorte que nous les considérons aujourd'hui comme inséparables. Mais ce que nous appelons liaison nécessaire n'est qu'une liaison familière dont nous affirmons la permanence future en vertu d'une induction semblable à celle qui nous fait attendre avec confiance le retour des phénomènes

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naturels dont les antécédents seront donnés. Sans rentrer ici dans une discussion épuisée , il nous suffira de dire qu'une telle façon de concevoir la nécessité des propositions de la géométrie enlève à ces dernières toute certitude apodictique, et les réduit à n'être que des résumés du passé, sans valeur pour l'avenir. Que vaut , en effet, cette induction, dont le seul fondement est l'expérience des âges antérieurs? pourquoi ces liaisons ne seraient -elles pas changées d'un instant à l'autre ?

D'autres philosophes , et Dugald-Stewart est de ce nombre , pour sauver la certitude scientifique de la géométrie, ont fait des théorèmes les conséquences logiques des hypothèses, c'est-à-dire des définitions placées au début de la science. Il est vrai que les définitions géométriques ne s'imposent pas à l'esprit, qu'on peut les poser ou ne les pas poser; il est vrai, d'autre part, qu'une majeure une fois posée, la conclusion en sort nécessairement. Mais nous avons vu que les définitions ne remplissent pas dans la démonstration géométrique le même office que les majeures dans les raisonnements syllogistiques ; et , d'ailleurs , est-il légitime de les considérer comme des hypothèses ? Dans les sciences de la nature, faire une hypothèse , c'est imaginer un antécédent à un phénomène dont l'observation ne découvre pas l'antécédent réel. Telles ne sauraient être les prétendues hypothèses géométriques. Dans les raisonnements déductifs, une hypothèse est un rapport supposé entre deux idées , dont nous pourrions nous abstenir, et qu'il serait pos-

sible de remplacer par une supposition contraire. Or, si nous pouvons nous abstenir de poser les définitions géométriques , une fois posées, il nous est absolument impossible d'y substituer des notions contraires ; dès rinstant où nous avons engendré une figure , l'œuvre objective de l'esprit s'impose à l'esprit, et demeure à tout jamais ce que l'esprit l'a faite. La raison de la nécessité géométrique n'est donc pas dans le prétendu caractère hypothétique des définitions.

La nécessité, en général, est une liaison qui ne peut pas ne pas être ; mais il faut distinguer l'une de l'autre la nécessité physique, la nécessité logique et la nécessité géométrique. L'univers physique est un réseau immense de phénomènes unis entre eux par des liens invincibles ; l'anarchie n'est pas plus dans la nature que dans la pensée, et ce qui parait au vulgaire confusion et désordre se résout aux yeux du savant en systèmes harmonieux. Tout fait a une place invariable dans ces séries régulières, mais si intimement entrelacées et enchevêtrées, qu'il a fallu des siècles pour en saisir la trame. Tant que cette place fixe n'a pas été découverte, rien ne semble nécessaire dans la production des phénomènes; mais dès que l'esprit a trouvé les rapports des faits , dès qu'il a démêlé sous la multiplicité sensible l'unité intelligible, aussitôt la production d'un fait quelconque est subordonnée à l'apparition d'un fait antérieur ; les phénomènes, désormais rivés ensemble, forment des couples stables, qui, s'unissant l'un à l'autre, constituent ces séries indéfinies où chaque terme dépend de celui qui le précède , et commande celui qui

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le suit. Alors nous apparaît distinctement la notion de la nécessité physique : nous ne pouvons pas concevoir que^ tel phénomène étant donné, tel autre phénomène ne suive pas. On voit par là que cette nécessité suppose deux choses : une matière sensible et une forme intelligible ; des phénomènes s'accomplissant objectivement dansl'espace, et, entre eux, des rap-^ ports constants et invariables. Si Ton peut soutenir avec quelque apparence de raison que le principe d'une telle nécessité est la pensée elle-même , on ne saurait pourtant contester que, sans les phénomènes particuliers auxquels s'applique cette pensée, une telle nécessité demeurerait éternellement subjective et formelle.

Toute autre est la nécessité logique. Tandis que les recherches du physicien portent sur des objets réels qui occupent une place déterminée dans l'espace et le temps , le logicien considère des notions générales , abstraction faite de l'espace et du temps. On peut dire avec raison que la logique formelle est une sorte de chimie intellectuelle , régie par ce principe : Quelles que soient les décompositions et les combinaisons des idées, toujours à la fin de l'opération on doit retrouver la même quantité de matière. Le logicien a pour instrument l'analyse ; il prend des idées complexes , d'une compréhension plus ou moins riche, et, sans se préoccuper de la façon dont ces composés ont été formés , il dégage les éléments qui y étaient enveloppés. De là le caractère propre des propositions logiques. Les jugements empiriques sont synthétiques ; les juge-

ments logiques sont analytiques ; l'attribut , quel qu'il soit, était contenu dans le sujet, et l'œuvre de la pensée a été de l'en dégager. Aussi , dans ces jugements, le verbe exprime-t-il toujours une identité totale ou partielle entre l'attribut et le sujet. Il suit de là que la nécessité de ces propositions est tout idéale : je pose dans mon esprit une certaine somme d'attributs appelée sujet; j'affirme de cette somme un des attributs qui en font partie ; il ne peut pas se faire que le rapport énoncé ne soit pas , ou qu'il soit autre qu'il est. Il y a encore là , si on veut , une matière et une forme ; mais la matière n'est plus un fait hors de l'esprit ; c'est une idée dans l'esprit.

Dans la proposition géométrique, au contraire, nous trouvons une forme intelligible et une matière qui , sans être phénoménale, est cependant extérieure à l'esprit , et qui , sans être idéale , est cependant intelligible. Nous avons vu que , pour créer la géométrie , l'esprit découpait en quelque sorte dans l'espace des portions déterminées. La matière de la proposition géométrique n'est donc pas un phénomène particulier, corps ou fait, mais la forme vide, dont tous les corps sont revêtus, et c'est entre les portions de l'espace déterminées par l'esprit lui-même qu'il s'agit de trouver des rapports. On conçoit, dès lors, que la nécessité géométrique ne ressemble ni à la nécessité physique, ni à la nécessité logique. En physique , la nécessité est une liaison de phénomènes dans le temps , abstraction faite de l'espace; en logique, elle est une liaison d'idées , abstraction faite de l'espace et du temps ; en

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géométrie , elle est une liaison de formes , abstraction faite du temps. Dans la nature extérieure, les phénomènes apparaissent à un endroit particulier de l'espace ; mais, la loi trouvée, l'espace disparaît en quelque sorte , et il ne reste qu'un ordre invariable de succession. Dans le monde des idées, les notions que la logique analyse n'ont aucun rapport à l'espace et au temps ; si le passage du sujet à l'attribut se fait dans le temps , car les actes de l'esprit sont successifs , il n'en est tenu aucun compte dans le résultat de l'opération. Dans la géométrie , le sujet et l'attribut sont des déterminations de l'espace homogène , passif et indéfini. La nécessité de l'attribution ne dérive pas d'une identité entre les deux termes de la proposition ; même quand ces termes sont des notions de grandeurs égales et de même forme , ils ne sont pas identiques , car chacun d'eux occupe un lieu distinct dans l'espace : autre chose est se représenter le triangle ABC ; autre chose, imaginer le triangle A'B'C ; à plus forte raison une telle identité n'existe-t-elle pas quand les grandeurs mises en présence sont de forme différente; si , numériquement , les trois angles d'un triangle sont égaux à deux angles droits ; autre chose est se représenter une portion de l'espace terminée par trois droites , et autre chose , imaginer deux portions de l'espace adjacentes et égales, comprises entre deux droites qui se coupent. La synthèse du sujet et de l'attribut se fait en un , deux ou plusieurs temps : tantôt par la superposition des figures , tantôt par la substitution de grandeurs équivalentes à des gran-

deurs équivalentes. Toute démonstration est un déplacement de figures individuelles. Il semble, dès lors, que le résultat de l'opération n'ait qu'une valeur empirique , car rien ne force les images futures à entrer dans le même moule. La chose serait vraie si nous opérions sur les formes des corps naturels et non sur des déterminations de l'espace engendrées par nousmêmes. Mais nous avons vu, dans un précédent chapitre , que , la loi de construction une fois posée par l'esprit, rien dans l'espace ne s'opposait à ce qu'elle fllt réalisée. Dès lors, nous sommes assurés que partout et toujours nos définitions pourront être objectivées. Aussi , quand nous superposons deux figures égales , quand nous substituons l'une à l'autre deux grandeurs équivalentes , ne faisons-nous pas une simple constatation de fait, mais une démonstration véritable. Pour que la liaison des grandeurs réunies ne fût pas nécessaire, il faudrait que l'une d'elles pût changer de forme. Mais d'où viendrait la cause du changement, puisqu'elle ne saurait venir ni de l'espace absolument passif et partout homogène , ni de l'esprit qui peut varier à l'infini ses créations, mais non pas les altérer une fois qu'elles sont réalisées ? La nécessité géométrique résulte donc du caractère essentiel et de la fonction des définitions.

Tout ce qui précède est vrai de la géométrie euclidienne traitée par la méthode des anciens ; mais les choses ne se passent-elles pas autrement dans cette même géométrie traitée par la méthode des modernes et dans la géométrie non euclidienne?

Pour ce qui est de la géométrie analytique , la ré* ponse est &cile. Nous savons comment s'opère le passage du concret à l'abstrait ; la formule algébrique une fois substituée à la définition intuitive , l'esprit opère avec confiance sur les signes abstraits , convaincu que leurs rapports correspondent aux rapports des choses signifiées ; les représentations , absentes du calcul , ne reparaissent qu'à la fin pour interpréter la conclusion. Les moyens termes ne sont donc pas ici des images correspondant à des définitions, mais des symboles conventionnels. Pourtant^ les opérations efifec-* tuées sur les signes algébriques , qui ont conduit les modernes à de si nombreuses découvertes , n'auraient pu , à l'origine , être comprises sans le secours des images, ce On ne peut aborder l'étude de la géomé- » trie analytique en partant directement de simples )) axiomes et définitions. Il faut, avant de commencer » à faire usage de l'analyse, apprendre, par une géo- » métrie synthétique, par une vue immédiate, quelles D sont les propriétés des lignes et des angles. Toutes » ces propositions synthétiques une fois connues , on » peut en déduire d'autres algébriquement; mais » c'est seulement grâce à un double acte intuitif im-» » médiat : 'premièrement , lorsqu'on traduit l'énoncé j» géométrique en formules algébriques ; secondement^ » lorsqu'on substitue au résultat algébrique , s'il n'est » pas purement quantitatif, sa signification géomé- 1^ trique. La solution de toute proposition, en géomé- » trie analytique , n'est pas autre chose qu'une règle j» destinée à nous guider lorsque, par un nouvel

j> usage de nos yeux ou de notre imagination^ nous » voulons construire les nouvelles lignes que doit "» nous fournir l'interprétation du résultat. L'analyse i> ne nous permet pas de nous dispenser des construc- }» tiens synthétiques; elle sert simplement à nous "» guider dans ces constructions, et elle nous dispense D ainsi plus ou moins complètement de cette sorte de » tact qu'exige la découverte des solutions géomé- » triques (1). »

Nous ajouterons que les quantités négatives et les quantités imaginaires , qui ont fait si longtemps le désespoir des logiciens , ont reçu une interprétation géométrique féconde en résultats nouveaux (2).

Pour ce qui est de la géométrie imaginaire , il nous semble que les progrès dont elle est susceptible pourront modifier la méthode de démonstration suivie jusqu'à ce jour. Nous avons vu que cette géométrie , convenablement interprétée, considérait un certain nombre de surfaces analogues , dont elle déterminait d'abord les propriétés communes, puis les caractères particuliers. La démonstration géométrique ordinaire va de l'égal à l'égal ou de l'équivalent à l'équivalent ; mais n'est-il pas possible de prévoir qu'un jour elle ira du genre à l'espèce ? En s'en tenant aux résultats

(i) W. R. Smith , Le Raisonnement géomélHque, — fiev. des cours sdeni,, 19 fév. 1870.

(2) Sur rinterprétation des quantités négatives, F. Renouvier^ Essais de critique générale, i^' essai, appendice;

Sur l'interprétation des quantités imaginaires, K Mourey^ La Vraie Théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires.

incontestables, acquis aujourd'hui, ne doit-on pas considérer le groupe des surfaces de courbure constante comme un genre , dont il faut déterminer d'abord les propriétés ? Ces propriétés seront toujours prouvées par la méthode que nous avons analysée plus haut; mais, une fois démontrées du genre, ne les démontrera-t-on pas de l'espèce par un véritable syllogisme ?