CHAPITRE II

Principes des notions géométriques. — Génération des lignes, des surfaces , des volumes. — Passage de la géométrie élémentaire à la géométrie analytique. — L'infini géométrique. — L'imagination en géométrie.

L'espace indéfini, homogène, indifférent par luimême à toutes les déterminations, mais capable de les recevoir toutes, telle est la matière de la géométrie. Les anciens géomètres, si soucieux de la rigueur logique, l'avaient bien compris ; de là ces demandes qu'ils inscrivaient en tête de leurs traités. « Je demande, » dit Euclide, avant de formuler des théorèmes, de » pouvoir : 1® mener une ligne droite d'un point quel- » conque à un autre point quelconque ; 2® prolonger » indéfiniment, suivant sa direction, une ligne droite » finie ; 3° décrire un cercle d'un point quelconque » comme centre, et avec une distance quelconque. » Cela ne revient-il pas à dire : donnez-moi l'espace indéfini, homogène , et pouvant recevoir toutes les déterminations, et je crée la géométrie? Comment, en efl'et, mener une ligne droite d'un point quelconque à un autre point quelconque, si l'espace qui sépare ces deux points opposait quelque obstacle à la construction, c'est-à-dire s'il n'était pas indifférent à toute détermination particulière ? conuuent prendre un point

donnée. Ces éléments, dont la pensée forme des couples, ne sont pas le fruit de Texpérience bnite;ils ont déjà subi, quand elle les met en œuvre, une élaboration préparatoire; ce ne sont plus des représentations purement expérimentales, mais des idées générales et abstraites, desquelles un travail préliminaire a fait disparaître la particularité, propre de Texpérience, impropre à la pensée. On conçoit aisément de quelle manière le passage s'établit entre la pensée et ces notions ainsi purifiées; les idées générales, distinctes les unes des autres, sont fournies successivement à Tesprit ; l'acte intellectuel consiste à faire de cette pluralité, en apparence incohérente, des totalités coordonnées. Mais l'espace, bien que divers et multiple en puissance, est un et continu ; on ne saurait dire que les déterminations en sont données à la pensée comme le sont les idées générales dans la connaissance expérimentale ; ce serait en effet supposer la question résolue, puisqu'il s'agit de savoir comment l'action intellectuelle impose à l'espace indéterminé et passif les déterminations qu'il peut recevoir. La pensée a donc d'abord à créer véritablement une multiplicité. Gomment ces deux termes hétérogènes entreront-ils en rapport ? Il faut entre eux un intermédiaire qui participe à la fois de l'im et de l'autre, qui soit un comme la pensée, et multiple en puissance comme l'espace, de telle sorte qu'en se réalisant, il réalise la multiplicité virtuelle de l'espace. Cet intermédiaire, ce sera le mouvement.

Donnez-moi la matière et le mouvement, disait Descartes, et je créerai le monde. De même, le mathématicien pourrait dire : donnez - moi l'espace et le mouvement, et je créerai la géométrie. Toute notion géométrique implique à la fois unité, pluralité et continuité. Toute figure est une ;.mars elle est composée de parties; mais ces parties sont unies entre elles de

minée. Ce point, vu en pleine lumière, est entouré d'une pénombre dont rédat va décroissant du centre à la circonférence, et cette dégradation insensible des rayons lumineux ne nous permet pas de percevoir des contours nettement dessinés. Aussi , en nous supposant absolument immobiles en face de ce plan , ne le percevrons-nous pas. Que faut-il pour en avoir une représentation distincte ? Amener chaque élément de sa surface et de son périmètre au point le plus distinct de la vision. La chose peut se faire de deux manières : ou bien en déplaçant le plan, ou bien en déplaçant Tœil; mais, dans un cas comme dans Tautre, un mouvement est nécessaire. La perception de l'étendue suppose donc une synthèse successive et continue d'éléments juxtaposés.

Ainsi, l'espace multiple en puissance, Tesprit un et le mouvement un et multiple à la fois, voilà les trois principes indispensables de toute construction géométrique. Il semble que nous puissions maintenant assister à la genèse des déterminations de l'espace; il n'en est rien pourtant ; une ppération préparatoire est nécessaire.

Tous les géomètres commencent par défmir le volume, la surface et la ligne ; puis ils produisent les définitions des lignes, des surfaces, et des volumes particuliers, de la ligne droite, par exemple, de la circonférence, du triangle, de l'hexagone, du cube, du prisme, du cylindre, etc. On insiste peu, d'ordinaire, sur la différence profonde qui sépare ces trois premières notions : volume, surface et ligne, des suivantes : ligne droite, carré, cube, etc. ; ou, quand on les distingue, on considère les premières comme des genres dont les secondes sont les espèces : ainsi un parallélipipède rectangle serait une espèce du genre volume; un triangle isoscèle, une espèce du genre surface ; une circonférence, une espèce du genre ligne. Mais, à parler rigou-

reiisement, il n*y a ni genres ni espèces dans les figures géométriques ; et si le géomètre commence par définir le volume, la surface et la ligne, c'est qu'il obéit à un l)esoin invincible, inhérent à la nature même de la science qu'il construit.

On définit, le plus souvent, la géométrie la science de l'étendue, ou encore la science des déterminations possibles de l'espace. La première de ces définitions paraît impliquer que le géomètre prend toujours pour objet de ses recherches les formes réalisées dans la nature ; elle assignerait donc à la géométrie une origine empirique, et elle en restreindrait singulièrement le domaine. La seconde, qui donne pour objet à la géométrie les déterminations possibles de l'espace, maintient le caractère rationnel et le domaine illimité de cette science ; mais elle est incomplète, car elle indique sur quels objets portent les recherches géométriques, et non pas quel est l'objet propre de ces recherches. On peut en effet demander : qu'est-ce que faire la science des déterminations de l'espace? A cette question, Aug. Comte a répondu : c'est mesurer directement ou indirectement l'étendue (1). Avant lui, Hobbes avait dit : « Est geometria scientia qua ex » aliqua vel aliquibus mensuratis, per raiiocinationem y» determinamus qttantitcUes alias nonmensuratas (2). » Cette définition est excellente.

Toute question mathématique revient, en dernière analyse, à une question de mesure ; mais comme, le plus souvent, la mesure directe est impossible, nous suppléons à cette impuissance par les artifices du calcul ; en rattachant à des grandeurs susceptibles d'une mesure directe celles qui ne peuvent en recevoir, nous parvenons à découvrir la mesure des secondes, grâce

(1) Cours de phil. posit., 10» leç.

(9) De Principiis et Raliocinatione geomelrarum, — Londini, 1GC6.

aux relations qu'elles ont avec les premières (1). Ce qui est vrai des grandeurs en général Test en particulier des grandeurs géométriques. Mesurer des volumes revient à mesurer des surfaces. Soit, par exemple, à trouver le volume d'un cylindre donné. Le procédé direct consisterait à prendre un certain cylindre pour unité, et à voir combien de fois il est contenu dans le premier. La chose est impossible ; mais je sais que le cylindre peut être considéré comme un prisme à base circulaire ; or le volume du prisme s'obtient en multipliant sa base par sa hauteur ; par conséquent le volume du cylindre s'obtiendra de la même façon. L'artifice consiste donc à substituer à la mesure directe impossible la mesure d'une ligne et d'une surface. De même, le volume du cube, celui du parallélipipède, celui du prisme s'obtiennent en multipliant la surface de leur base par leur hauteur. La mesure des solides suppose donc celle des surfaces ; à son tour, celle des surfaces se réduit à celle des lignes. La comparaison immédiate entre surfaces est assez fréquente ; je puis superposer deux triangles, deux polygones, deux cercles ; mais quand il s'agit non plus de constater l'égalité ou l'inégalité de deux figures, mais de les mesurer, le procédé direct consisterait à rechercher combien de fois une certaine surface prise pour unité est contenue dans telle surface donnée ; or, si parfois on peut le faire, par exemple, pour le rectangle, dont la base et la hauteur ont une commune mesure, le plus souvent la chose est impossible. Aussi transforme-t-on la mesure des surfaces en mesure de lignes : ainsi, la surface d'un triangle s'obtient en multipliant sa base par la moitié de sa hauteur ; celle des polygones réguliers, en multipliant le périmètre par la moitié de l'apothème. La substitution

(1) Voir toute la 3» leçon du Cours de phil. posit.

des mesures indirectes aux mesures directes ne s'arrête pas là : la mesure des courbes est elle-même ramenée à la mesure des lignes droites ; par exemple, le rapport de la circonférence au diamètre une fois déterminé, il suffit, pour trouver la circonférence d'un cercle, d'en connaître le rayon ; de la longueur des deux axes dépend celle de Tellipse ; du diamètre du cercle générateur dépend la longueur de la cycloïde. Sans qu'il soit besoin de multiplier les exemples particuliers, on peut dire, en général, qu'il existe toujours certaines droites dont la longueur suffit à déterminer celle d'une courbe quelconque. Aussi Aug. Comte, si profond dans la philosophie mathématique, a-t-il pu dire avec raison que la science géométrique, conçue dans son ensemble, avait « pour desti- » nation générale de réduire finalement la comparai- » son de toutes les espèces d'étendue, volumes, » surfaces ou lignes, à de simples comparaisons de » lignes droites, les seules regardées comme pouvant » être effectuées immédiatement, et qui, en effet, » ne sauraient être évidemment ramenées à d'autres » plus faciles (1) ».

La géométrie des lignes est donc indispensable à la géométrie des surfaces , et la géométrie des surfaces à celle des volumes (2). Voilà pourquoi l'esprit, au début de la spéculation géométrique, établit trois provinces distinctes dans l'espace. L'espace nous est donné primitivement avec trois dimensions. A cette intuition correspond la notion du volume ; nous éliminons l'épaisseur, et à cet espace réduit à deux dimensions correspond la notion de surface ; de la surface nous

(1) Cours dcphil. posiL, 10» Icç.

(2) « Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels termes qu'il n'est besoin, par après, que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire. » C'est par ces mots que débute la Géométrie de Descartes.

éliminons la largeur, et à cet espace réduit à une dimension correspond la notion de la ligne. Ces deux provinces ultérieures, surface et ligne, sont, elles aussi, susceptibles d'une infinité de déterminations particulières. Quand les géomètres placent en tète de leurs définitions celles du volume, de la surface et de la ligne , ils ne font rien autre chose que démembrer Fespace, travail préliminaire indispensable à la constitution complète de la science.

Le démembrement de l'espace est idéal et abstrait. Il n'existe dans la réalité que des solides ; la surface, la ligne et le point sont des limites vers lesquelles tendent les solides, les surfaces, et les lignes, dont l'épaisseur, la largeur, et la longueur décroissent sans cesse. Hobbes gourmande fort Euclide d'avoir défini le point « ce dont il n'est pas de parties » ; la ligne, « une longueur sans largeur » ; la surface, « ce qui a seulement longueur et largeur (1) ». Un point, dit-il, est toujours divisible : ainsi un cercle peut être divisé en un nombre quelconque de secteurs qui tous sont terminés par un point ; le centre du cercle , sommet commun de tous ces secteurs, sera donc divisé en autant de parties qu'il y aura de secteurs. Soit maintenant un de ces secteurs circulaires ; je le partage en deux autres; je prends l'un, je vous laisse l'autre ; la ligne qui les séparait avait donc une largeur, puisqu'après la séparation des deux secteurs elle est partagée entre eux. De même, toute surface a une épaisseur : je partage une sphère en deux hémisphères que je détache l'un de l'autre ; il faut bien que la surface de section ait une épaisseur , puisqu'elle est divisée entre les deux moitiés de sphère maintenant séparées.

Les critiques de Hobbes porteraient si la géométrie

(1) Op. cit., 6.

avait pour objet les corps matériels, et non pas les déterminations idéales de l'espace. D'ailleurs, les définitions que le physicien anglais prétend substituer à celles d'Euclide n'en diffèrent pas au fond. « Un point est divisible, dit-il, mais on n'en considère aucune partie. » — « La ligne est le tracé que laisse après lui un corps en mouvement, et dont on ne considère pas la largeur. » Il aurait pu ajouter : la surface a une épaisseur, mais on n'en tient pas compte. Mais si Ton néglige la longueur dans le point, la largeur dans la ligne, l'épaisseur dans la surface, ne peut-on pas définir géométriquement le point, ce qui n'a pas de parties ; la ligne, une longueur sans largeur ; la surface, une longueur et une largeur sans épaisseur?

La matière de la géométrie ainsi préparée par l'abstraction, comment sont engendrées les déterminations particulières de l'espace? Nous avons déjà remarqué que la géométrie, depuis qu'elle a reçu une constitution philosophique, porte sur toutes les formes possibles, et non seulement sur celles que révèle l'observation de la nature ; aussi ne peut-on , sans en restreindre arbitrairement le domaine , assigner aux notions qu'elle étudie une origine empirique ; il faut que l'esprit crée les déterminations de l'espace ; nous savons quelle matière il met en œuvre et de quel instrument il se sert; assistons à la genèse.

Soit deux points : si le premier se meut vers le second , et vers celui-là seulement , il décrit une ligne droite (1). « S'il se meut pendant une fraction appré-

(1) On a donné de nombreuses définitions de la ligne droite. Platon la définissait: la ligne dont les points intermédiaires portent ombre sur les points extrêmes ; Euclide : la ligne qui est située semblablcmcnt par rapport à tous ses points ; Archimède : la plus courte de toutes les lignes qui ont mêmes extrémités ; Proclus : la plus courte distance entre deux points. Ces propositions sont de Trais théorèmes , et non des définitions, car elles ne font qu'énoncer une des propriétés particulières de la figure à définir. La définition de la ligne droite par le

» ciable de son mouvement vers le second point, et » pendant une fraction également appréciable vers un » troisième, un quatrième, etc., la ligne qu'il décrit » est brisée ou composée de droites distinctes. Si à » chaque instant de son mouvement il se meut vers » un point différent, la ligne qu'il décrit est courbe (1 ). »

Et comme la loi à laquelle est assujetti le mouvement du point générateur peut varier à l'infini, le nombre des courbes possibles est illimité. Citons quelques exemples : qu'un point se meuve sur le plan de manière à rester toujours à la môme distance d'un point fixe , la courbe qu'il engendre est une circonférence ; que la somme de ses distances à deux points fixes soit constante, la courbe est une ellipse; que cette quantité constante soit la différence des distances du point en mouvement à deux points fixes, la courbe engendrée est une hyperbole; que le point s'écarte toujours également d'un point et d'une droite fixes, la courbe qu'il décrit est une parabole ; qu'il tourne sur un cercle roulant lui-même sur une droite, la courbe engendrée est une cycloïde ; enfin, pour borner là les exemples, qu'il s'avance sur une droite tournant autour d'une de ses extrémités comme pivot, il engendre une spirale ; en un mot, que l'on fasse varier à l'infini les conditions sous lesquelles s'accomplit le mouvement générateur, et l'on obtiendra une variété infinie de courbes. Voilà pour la géométrie des lignes.

Voici maintenant pour les surfaces. Une ligne se mouvant suivant une ou plusieurs lois déterminées engendre une surface. La variété des lois auxquelles on peut assujettir le mouvement d'une ligne étant infinie,

mouvement est fort ancienne. Je trouye dans Christophorus Clavius que de nombreux auteurs ont, dès l'antiquité, défini la ligne droite celle « quae dcscribitur a puncto moto nec vacillante ». (1) H. Taine, De l'Intelligence, liv. IV, ch. i.

la variété des surfaces que Ton peut engendrer par ce moyen est elle-même infinie. De plus , non seulement on peut faire pendant qu'elle se meut, varier le mouvement de la ligne, mais on peut encore en faire varier la nature suivant une loi déterminée, ce qui n'a pas d'analogue dans la génération des courbes. — La géométrie analytique divise les surfaces en plusieurs groupes, d'après leur mode de génération ; ce n'est pas, à proprement parler, une classification rigoureuse des surfaces, car une môme surface peut faire partie à la fois de deux groupes différents. Les deux groupes principaux sont les surfaces de révolution et les surfaces réglées. Les surfaces de révolution sont engendrées par une ligne quelconque tournant autour d'une ligne droite; on peut encore les considérer comme engendrées par un cercle dont le centre se meut sur une droite perpendiculaire à son plan , et dont le rayon varie de telle façon que sa circonférence s'appuie toujours sur une ligne fixe de position. Ainsi la surface sphérique peut être engendrée parla simple rotation d'une demi-circonférence autour de son diamètre; elle peut encore être engendrée par une circonférence dont le centre se meut sur une droite perpendiculaire à son plan et dont le rayon varie de façon qu'elle coupe toujours une circonférence dont cette perpendiculaire est le diamètre. De môme, une droite assujettie à passer par un point fixe et à toucher constamment une circonférence fixe dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint le point S à son centre engendrera une surface conique de révolution. Cette surface conique pourra être encore engendrée par le mouvement d'une circonférence dont le centre se meut sur une droite perpendiculaire à son plan, et dont le rayon varie de telle sorte qu'elle coupe toujours une droite oblique, fiJie de position. — Les surfaces réglées sont des surfaces engendrées par le mouve-

50 DBS DÉFINITIONS GÉOMÉTRIQUES

ment d'une ligne droite. Les surfaces coniques, en général, résultent du mouvement d'une droite assujettie à passer par un point fixe et à toucher constamment une ligne donnée. La surface conique de révolution, décrite il n'y a qu'un instant, est donc en même temps une surface réglée. Le plan est aussi une surface réglée, car il peut être considéré comme engendré par une ligne droite assujettie à passer par un point fixe et à toucher une ligne droite fixe. — Une droite assujettie à rouler tangentiellement à une hélice engendre une surface hélicoïdale; — une droite assujettie à tourner autour d'une autre droite fixe, et non située dans un môme plan, en restant à une distance constante de cet axe, engendre une hyperboloïde de révolution, qui est en môme temps une surface réglée.

Le mouvement des surfaces rectilignes et des surfaces courbes produit ensuite tous les solides. Le cylindre est engendré par la révolution du rectangle autour d'un de ses côtés ; le cône, par la révolution du triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit ; la sphère, par la révolution d'un demi-cercle autour du diamètre. Ainsi, qu'il s'agisse de lignes, de surfaces ou de volumes, étant donné un point, une ligne, une surface en mouvement, la loi variable de ce mouvement étant posée par l'esprit, on peut engendrer toutes les déterminations de l'espace.

Les représentations ainsi déterminées présentent, il est aisé de le constater, les vrais caractères des notions géométriques. Toute figure est à la fois unité, pluralité et continuité ; une ligne droite, par exemple, est quelque chose d'un et d'individuel; elle est divisbleen parties extérieures les unes aux autres; enfin ces parties sont unies entre elles de manière à former un tout continu. Nous trouvons une unité dans la conscience ; mais, bornés à cette seule intuition, nous ne saurions imaginer ni concevoir la pluralité de parties

inhérente à toute figure. L'intuition de l'espace nous fournit une pluralité virtuelle , encore indéterminée , que nous opposons à Tunité de la conscience. Mais ces deux termes hétérogènes demeurent étrangers l'un à l'autre tant qu'un intermédiaire participant à la fois des deux ne nous a pas permis de les unir. Le mouvementy un par sa racine, multiple par ses points d'application , est cet intermédiaire ; la figure qu'il trace dans l'espace est à la fois une, multiple et continue : une, car elle résulte d'un seul mouvement; multiple, car ce mouvement s'est appliqué à divers points de l'espace ; continue enfin , car le mouvement un n'a pas laissé de lacune entre ses divers points d'application ; pas conséquent, toutes les notions géométriques sont en puissance dans l'espace et en virtualité dans la pensée. L'espace est une matière indéterminée par elle-même, mais susceptible de recevoir toutes les déterminations ; la pensée est essenti Uement l'unité formelle qui se réalisera de mille façons diverses dans la pluralité de l'espace, selon des lois posées par l'esprit lui-même.

Tout ce qui précède est vrai de la géométrie élémentaire, où l'on se représente directement les formes géométriques. C'est maintenant une question de savoii si, dans cette géométrie générale, créée par Descartes, et dans laquelle des formules abstraites remplacent les formes concrètes, la spéculation porte encore sur des représentations individuelles dont le mouvement a tracé les limites.

On se ferait une idée incomplète de la géométrie analytique, si l'on se contentait de la définir: l'étude des figures par les procédés du calcul et de l'analyse algébrique. Cette définition nous apprend que la spécieuse de Descartes, comme on l'appelait au xvii* siècle, consiste à substituer aux grandeurs concrètes des symboles abstraits, et à traiter les signes, abstraction

faite des choses signifiées, « jusqu'à ce qu'enfin, dans la conclusion, la signification de la conséquence symbolique soit déchiffrée ( 1 ). » Mais elle nous laisse ignorer pourquoi les relations des signes entre eux correspondent point pour point aux relations mutuelles des choses signifiées, c'est-à-dire comment s'opère le passage du concret à l'abstrait, de la figure à la formule.

La géométrie étudie des grandeurs déterminées; toute grandeur est composée de parties homogènes. Dès lors , je puis substituer à la considération de la grandeur elle-même la considération du nombre de ses éléments , et je passe ainsi de la géométrie à l'arithmétique : ainsi 4 X 4 et 4 X 3 deviennent les symboles numériques d'un carré et d'un rectangle donnés. Mais chacun de ces symboles ne convient qu'à la figure donnée ; et comme les propositions géométriques doivent être vraies de toutes les figures possibles de même espèce, l'esprit, contraint à une réduction plus générale encore du concret à l'abstrait, remplace les symboles numériques par les symboles algébriques ,4X4, par X X X, ou X^, cette notation signifiant qu'il faut multiplier par lui-môme le côté d'un carré quelconque pour en obtenir la surface. Voilà déjà l'algèbre appliquée à la géométrie ; les figures ont disparu , et j'opère sur des signes abstraits et conventionnels. Ce n'est pas tout ; les grandeurs géométriques, et c'est ce qui les distingue des autres espèces de grandeur, ont une forme déterminée : ainsi deux grandeurs numériquement égales peuvent n'être pas identiques ; un triangle de quatre mètres de base, et de deux mètres de hauteur, est équivalent en surface à un carré de deux mètres de côté ; le môme notobre expri-

(1) Kant, Recherches sur la clarté des principes de la théologie naturelle et de la morale; mélanges de logiq., trad. Tissôt.

mera donc les surfaces de Tun et de l'autre ; mais chacune de ces deux figures n'en conserve pas moins une forme propre et irréductible; l'identité que, dans le cas donné , on établit entre les aires est purement auiïiérique ; au point de vue géométrique , un triangle ne se confond pas avec le carré à la surface duquel sa surface est équivalente. De même encore , le jour où , par impossible , on trouverait la quadrature du cercle, celui-ci ne deviendrait pas pour cela identique au carré équivalent. Ainsi, en géométrie, la considération du nombre des éléments est secondaire ; celle de la forme est essentielle ; le nombre des éléments peut varier à l'infini dans une figure déterminée ; la forme, au contraire, est immuable. Jusqu'à présent, nous n'avons fait exprimer aux symboles abstraits que le nombre des unités conventionnelles contenues dans les grandeurs; pour que l'analyse algébrique soit complètement substituée à la considération des figures représentées directement dans l'espace , il faut que les mêmes signes deviennent les symboles de formes déterminées. Comment la chose est-elle possible ?

Nous avons vu plus haut que les volumes étaient engendrés par le mouvement des surfaces, les surfaces par le mouvement des lignes, et les lignes, par le mouvement du point (1). La forme d'une figure résulte donc, en dernière analyse , du trajet suivi par un point en mouvement; aussi, déterminer les positions que celuici occupe successivement est-ce déterminer là forme de la figure. La géométrie analytique repose tout entière sur cette conception , et elle a pour objet de découvrir les positions successives d'un noint dans le plan et dans l'espace.

(1) « Je ne sçache rien de meilleur que de dire que tous les points des courbes qu'on peut nommer géoméiriques, ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui peut être exprimé par quelque équation. » (Descartes, Géoynélrie, lir. H.)

DES DÉFWITIONS GÉOMÉTRIQUES

Supposons deux droites rectangulaires Ox et Oy, se coupant en un point 0. La position d'un point P du plan sera complètement déterminée si Ton connaît ses distances PA et PB aux deux droites Ox et Oy, ou, ce qui revient au même , si l'on connaît les longueurs de OA et OB , respectivement égales à BP et à AP. Ces longueurs ont été appelées par Descartes les coordonnées du point P.

Cet exemple fort simple fait voir que le moyeu employé en géomclric analytique pour déterminer, dans le plan, la position d'un point, consiste à la rapporter à certaines grandeurs connues. Maintenant, il est évident que si le point P se déplace dans le plan , à ces variations successives de position correspondent des variations dans les coordonnées de ce point ; et que , inversement, aux variations des coordonnées correspondent des variations dans la position du point. Par conséquent , les diverses positions de ce point sont ramenées à des variations de grandeurs ; et comme ces grandeurs peuvent être exprimées algébriquement, il est vrai de dire que l'équation établie entre les coordonnées d'un point exprime la loi du mouvement décrit par ce point, et est un symbole abstrait de la figure engendrée par ce mouvement.

Soit, par exemple, l'équation Aa? + By = C. Je suppose B = ; A plus grand ou plus petit que ; C plus grand ou ; plus petit que 0. L'équation peut se mettre sous la forme X = a.

Je prends sur Oa? une longueur OA = a: il est clair que le point A satisfait à

réquation. Pour que dans une deuxième, dans une troisième, dans une n° position, le môme point satisfasse toujours à la môme équation, il faut que sa distance à la ligne Oy soit toujours égale k a; c'est dire qu'en se mouvant , le point A engendrera une droite AB , parallèle à Oy ; cette droite est la seule dont les points sont tels, que leurs coordonnées satisfassent à l'équation a? = a. Par conséquent , cette équation représente la droite AB et ne représente qu'elle.

Qu'on nous donne , avons-nous dit , un point qui se meut et les conditions sous lesquelles s'accomplit ce mouvement, et nous construirons toutes les lignes. La géométrie analytique ne demande pas autre chose; qu'on lui donne la relation entre les coordonnées d'un point, et elle découvrira toutes les positions successivement occupées par ce point, c'est-à-dire la ligne qu'il décrit en se mouvant. Mais qu'est la relation de ces coordonnées, sinon la loi môme du mouvement générateur de la figure? Toute définition de géométrie élémentaire peut donc être remplacée par une équation algébrique; et , réciproquement , toute équation analytique est la définition d'une certaine figure. Ainsi l'équation du premier degré Aar + By = G est la définition de la ligne droite; l'équation du deuxième degré kx^ + Bxy -h Gv^ + Da? + Et/ + F = est, selon les cas, la définition d'une courbe des genres ellipse , parabole ou hyperbole. Ce parallélisme entre la construction d'une figure dans l'espace , et l'équation de cette figure , est constante ; aussi , pour découvrir de nouvelles lignes et de nouvelles surfaces, suffit-il de faire varier les relations des coordonnées (1).

(1) » ... l.a géométrie étant une science qui enseigne généralement à connaître les mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus composées que les plus simples , pourvu qu'on les puisse imaginer ôtre décrites par un mouvement continu ou par plusieurs qui s'entresuivent, et dont les derniers soient entièrement réglés

On voit par là que, si l'espace indéfini, homogène et passif est la matière indispensable de la géométrie, et le mouvement, un et multiple à la fois, Tin te rmédiaire nécessaire entre l'esprit et Tcspacc , c'est à l'esprit qu'appartient le rôle actif et fécond. Son activité demeure à l'état latent tant que certaines conditions ne sont pas données ; mais , celles-ci une fois réalisées, elle s'exerce avec une indépendance absolue. J'en trouve la preuve dans l'impuissance de l'espace à se déterminer lui-môme ; je la trouve encore dans la variété inépuisable des formes qu'il peut recevoir, je la trouve enfin dans les variations indéfinies de grandeur dont chacune de ces formes est susceptible . Barro w, le maître de Newton , définissait l'espace ponibUitas ^ la possibilité de poser; mais, par lui-même, l'espace ne pose rien ; l'expérience nous y donne , il est vrai, certaines formes déterminées, en nombre fini ; mais nous avons vu qu'elles ne sauraient être l'objet entier d'une science qui porte sur toutes les formes imaginables. Les formes, c'est l'esprit luimôme qui les crée et les pose, et il peut en créer un nombre plus grand que toute quantité finie. Où s'arrôter dans cette génération des courbes, des polygones, des polyèdres ? L'espace peut toujours recevoir ; et si l'esprit devait cesser de fournir, c'est qu'il trouverail en lui-môme un obstacle à une production sans limites. Mais dès l'instant qu'il a créé deux figures différentes , il a manifesté une puissance illimitée de production. S'il a pu passer du quadrilatère à l'octogone, pourquoi ne passerait-il pas à toute autre figure ? n ne trouve aucun obstacle dans la matière sur laquelle il opère, et s'il devait en rencontrer en luimême, il s'y serait heurté dès sa première démarche.

par ceux qui les précèdent : car, par ce moyen, on peut toigoiirs avoir une connaissance exacte de leur mesure. » (Descartes, Géométrie, liv. I.)

La construction de la plus simple figure, de la ligne droite par exemple, est donc l'indice infaillible d'une fécondité inépuisable.

Cette puissance sans limites de Tesprit éclate encore dans les variations que peut subir la quantité représentée dans Tespace. Toute figure géométrique a une forme immuable ; un triangle rectiligne, quelle qu'en soit la superficie, est toujours une portion du plan terminée par trois droites qui se coupent deux à deux; mais la quantité comprise entre ces limites est susceptible de varier au delà et en deçà de tout nombre fini. Ainsi , étant donnée une ligne droite , je puis la prolonger à l'infini ; étant donné un triangle , je puis en faire croître ou décroître les côtés au delà de tout nombre assignable. La figure est donc, par elle-même, indiflFérente à l'accroissement et à la diminution, n y a à cette variabilité indéfinie une cause matérielle et passive, et une cause formelle et active ; la première est l'indiôerence absolue de l'espace ; la seconde, l'activité illimitée de l'esprit. Soit une droite de grandeur finie ; je la double : c'est là un acte de l'esprit ; mais pour qu'il s'accomplisse , il faut que l'espace où la ligne est représentée n'oppose aucune résistance à l'opération. Soit un triangle; j'en diminue de moitié les côtés : c'est encore là un acte de l'esprit ; mais, pour qu'il s'opère, il faut encore que l'espace où le triangle est représenté ne se refuse pas à cette diminution. Ainsi, pouvoir de l'esprit d'accroître et de diminuer toute grandeur donnée, indiflFérence de Tespace à subir ces accroissements et ces diminutions, voilà la source véritable de l'infini géométrique.

Comme l'a fait remarquer un profond mathématicien philosophe, « à proprement parler, l'infini est

> moins une idée que le caractère ou la propriété

> d'une idée, caractère qui se modifie en passant d'une

» idée à Fautre (i) ». L'infini numérique diffère de rinfini géométrique. Si un nombre m'est donné , quelque grand qu'on le suppose, je puis Taceroître en y ajoutant Tunité, et rien ne s'oppose à cette addition, puisque le nombre ainsi accru était le résultat d'une série d'additions semblables ; de même, je puis toujours diviser l'unité sans l'épuiser jamais. Mais l'infini géométrique est, en quelque sorte, cet infini numérique sorti de l'esprit, et étalé dans l'espace ; dès lors il ne suffit plus qu'aucune résistance logique n'arrête l'accroissement ou la diminution sans limites de la quantité représentée, il faut encore que ces deux opérations inverses ne rencontrent pas d'obstacle dans l'espace lui-môme. L'infini géométrique suppose donc à la fois l'infinité de la cause active et l'infinité de la cause passive. .

On demandera peut-être comment se fait le passage de l'infini numérique à l'infini géométrique. A cette question, nous repondrons : par le mouvement. Pour concevoir l'infini, a dit Leibniz, « il faut con- » cevoir que la même raison subsiste toujours pour » aller plus loin. C'est cette considération des raisons » qui achève la notion de l'infini ou de l'indéfini dans » les progrès possibles (2) ». Au fond de la notion logique d'infini est donc impliquée l'idée de continuité. C'est sur cette dernière idée que repose la méthode infinitésimale. Wallis , dans son Arithmétique des indivisibles ; CdLYalieviy dans sa Géométrie des indivisibles, Fermât, Barrow, Grégoire de Saint- Vincent. Pascal, ces précurseurs de Leibniz, s'appuyaient tous sur ce principe, formulé par celui qui partage avec Newton la gloire d'avoir donné l'algorithme de la méthode nouvelle, « que les raisons ou rapports du

(1) Cournot, Traité de Cenchainement des idées fondamentales dims les sciences et dans l'histoire, liv. I, ch, m.

(2) Nouv. Essais, liv. II, ch. xiv,

fini réussissent à Tinfini ». Tant que l'esprit ne sort pas de lui - môme , Timpossibilité de concevoir une chose sans raison, et, par suite, la possibilité de renouveler toujours une opération déjà faite, addition ou soustraction , expliquent la loi de continuité ; mais hors de nous, dans Tespace, cette loi de continuité est objectivée par le mouvement. Voici une droite décrite par un point qui se meut de A à B. Entre ces limites, il existe un nombre de positions intermédiaires susceptible de croître au delà de toute quantité assignable. Quand la droite AB est décrite , le point mobile a passé successivement par toutes ces positions ; le passage a été continu, puisque le mouvement n'a pas été interrompu , et que la ligne qui en résulte n'est pas une quantité discrète. Privés du mouvement, et réduits au point immobile, nous poserions le premier terme d'une série numérique indéfinie ; mais il nous serait impossible de passer objectivement du premier au second : l'infini deviendrait dans notre esprit, mais non hors de nous. Mais si le point se meut entre les deux limites fixées, il traverse nécessairement la série indéfinie des positions intermédiaires , et il résulte de là que Tinfini abstrait et logique est réalisé objectivement dans l'espace. En ce sens, on peut dire que lu représentation de toute figure géométrique finie est une intuition de l'infini. D'une manière plus générale, si la méthode infinitésimale consiste, comme l'a voulu son auteur, à conclure des rapports de deux quantités variaWes, dont l'une est fonction de l'autre, les rapports de ces mêmes quantités réduites à une valeur plus petite que toute quantité assignable, cette méthode implique , à l'origine de la spéculation , l'intuition 'du mouvement , par lequel s acci^oissent ou diminuent les grandeurs continues dont les variations sont unies l'une à l'autre.

Ainsi, au fond de toutes les conceptions ççéomé-

flO DKS DL^F[N[TIONS CÉOMJÏTRTQUl^S

triques, Ica plus simples et les plus complexes, les plus hiinibles et les plus subLimes, nous retrouvons toujours Tespace multiple et passif, Tesprit uû et nrtir, et le mouvement, un et multiple k la fois, interiiièfli^ire imlispensable entre Tesprit et Fespace, sans lequel la multitude infinie des formes géométriques tlemeurerait enveloppée dans l'unité de la pensée, sans mi dév(4opper jamiiîs. On a eu i-aison de dire que Yobjet de la {,^'iomêtrie se ramène à des déterminations de la pensée et de Factivité ; nous savons maintenant ijuel sens il faut attacher à cette parole. U est incontesbiblc que Tesprit possède un pouvoir illimité, i ndt^ pendant de l'espace ; mais sans une matière où seront réalisés les possibles qui sortent successivelutvnt de la source toujours féconde, ce pouvoir est virtuel. Alors même que la pure action de penser sufi irait à créer les mathématiques abstraites, cette fécondation tout intérieure de la pensée par elle-même ne saurait donner naissance à la géométrie; un nombre n'cïît pas une ligne: il faut Tespace au géomètre. Mais Tet^prit, immol>ile devant Fespace, serait comme un Ht;ituaire devant un membre informe ; il lui faut agir. Il préparc d'abord cette matière, en faisant abstraction de toutes les qualités sensibles des corps, et en éta^ blissant dans Tespace les trois régions distinctes des volumes, des surfaces et des lignes ; puis, dans chacune de CCS régions, il trace un nombre indéfini de figures, et le monde géométrique existe.

L'origine que nous venons d'assigner aux notions géométriques suppose que toujours nous avons une représentation intuitive des figures tracées par le mouvement dans Tespace. 11 en est ainsi en effet : essayez de concevoir une ligne droite, un triangle, un cercle, sans rimaginer ; la figure vous apparaîtra malgré vous. Dans toute opération de géométrie élémentaire, noua traçons sur le tableau ou sur le papier les formes sur

lesquelles nous opérons ; si vous pouvez vous passer de tableau noir, c'est que votre imagination y supplée ; car, mentalement, vous décrivez sur un plan ou dans un espace imaginaire les figures de géométrie dont vous recherchez les propriétés. « Les enfants que Ton » habitue à calculer de tète écrivent mentalement à la » craie, sur un tableau imaginaire, les chiftVes indi- » qi.és, puis toutes leurs opérations partielles, puis la » somme finale, en sorte qu'au fur et à mesure ils » revoient intérieurement les diverses lignes de figiu'es )) blanches qu'ils viennent do tracer. Les enfanls pro- » diges qui sont des mathématiciens précoces rendent » sur eux-mêmes le môme témoignage (4). » Ainsi font les géomètres : môme quand ils se passent de formes dessinées à la craie, au crayon ou à la plume, ils voient des figures tracées dans l'espace vide par un mouvement presque insensible de l'œil ; s'ils ferment les yeux, la constniction mentale sera la même, et sur le fond obscur se détacheront certains contours lumineux. Ce besoin d'imagination est tellement impérieux, que si je viens à vous définir une figure nouvelle, aussitôt, pour en avoir une notion distincte, vous la tracez sur le papier, ou tout au moins vous la décrivez sur le tableau imaginaire par un mouvement de l'œil que l'habitude rend bientôt imperceptible. Qu'on ne nous oppose pas l'exemple de Saunderson; ce géomètre aveugle imaginait les figures par le toucher. Les idées géométriques ne sauraienl être des idées pures ; toute figure est une portion déterminée de l'étendue, et l'espace, qu'on en fasse, avec Clarke et Newton, une chose réelle, avec Leibniz, l'ordre des coexistences possibles, avec Kant, la forme a priori de la sensibilité, est toujours composé d'éléments juxtaposés, extérieurs les uns aux autres, que,

(1) H. Tamc, De nntelUgefice, liv., II, ch. i.

dans le calcul, nous pouvons remplacer par dés signes abstraits, mais que nous sommes forcés d'imaginer quand on les suppose, comme fait le géomètre, contenus dans des limiter de forme inflexible. Chacune de ces formes peut donner lieu, et donne lieu en effet, à des relations algébriques et abstraites; mais elle n'en est pas moins essentiellement une image concrète.

Qu'on ne nous accuse pas , quand nous affirmons cette nécessité des images en géométrie, de restaurer, après l'avoir prescrite, cette théorie qui veut que les notions mathématiques aient une origine exclusive*ment empirique. La géométrie, au moins la géométrie élémentaire, tient dans un éveil perpétuel la faculté d'intuition ; mais les images que nous y considérons sont loin de ressembler aux images empiriques. Je vois celte feuille de papier couverte de caractères; je ferme les yeux, et, bien que ma paupière abaissée intercepte les rayons lumineux, je revois la même feuille: c'est là une image empirique ; elle ressemble, à la netteté près, à la représentation môme de l'objet ; ce sont mômes dimensions, même couleur, mêmes caractères : c'est l'image individuelle d'un objet individuel. Au contraire, quand j'imagine un triangle rectangle ou un cercle, l'image en est individuelle, puisque tel est le caractère de toute image ; mais, en même temps, elle est générale : c'est un schème. En la traçant, je n'ai pas voulu reproduire trait pour trait un modèle individuel donné, mais j'ai réalisé une certaine loi de génération énoncée par la définition. Quand on me dit: la circonférence est la courbe engendrée par un point qui se meut dans le plan en restant toujours à la même distance d'un point fixe, immédiatement je vois ce point mobile et ce point fixe ; je suis le premier dans son mouvement, et je vois la courbe qu'il trace ; j'ai pris arbitrairement tel ou tel rayon, car

les dimensions de la figure ne font rien à Talfaire, et resscnliel était d'assister à la génération de la courbe, de ni'assurer que de la règle de construction posée résulte la figure définie. Celte indifférence à donner aux images géométriques telle ou telle dimension est un acte de foi à l'existence de ce pouvoir spirituel qui, nous l'avons vu, fait varier à l'infini les grandeurs représentées, sans que les propriétés et les relations des formes s'évanouissent et soient modifiées. Voilà aussi pourquoi l'image schématique est générale. L'essence d'une figure est sa loi propre de construction, quelle que soit d'ailleurs la quantité d'espace contenue entre ses limites ; par suite, la représentation de cette génération particulière se fait sans que Ton tienne compte delà quantité des grandeurs représentées. 11 faut qu'une certaine quantité soit comprise dans la figure, puisque tout schème est une image, et que ce qui n'a pas de quantité ne saurait être imaginé; mais l'objet propre du schème est la loi de construction, qui peut être réalisée indifféremment dans tous les points de l'espace.

On nous opposera, sans aucun doute, la différence établie par Descartes entre imaginer et concevoir. L'imagination a des limites au delà desquelles elle devient confuse et embrouillée ; la conception est, au contraire, toujours nette et distincte. Quand je prononce le mot triangle rectiligne, je me représente avec précision une portion du plan terminée par trois droites. Quand j'entends le motchiliogone, je vois encore une figure, mais cette fois sans contours nettement définis ; je ne dislingue plus chaque côté, chaque angle de l'image, et pourtant je ne laisse pas de concevoir le chiliogone avec autant de clarté que j'imagine le triangle, et la preuve, c'est que je raisonne sur l'un et sur l'autre avec la même rigueur, Descaries a raison, je puis imaginer le trian^s^le et toutes les

figures simples, et je ne puis imaginer avec distinction le chiliogone et toutes les figures complexes. Mais ce n'est pas à dire qu'au début de la spéculation géométrique, Tcsprit puisse se passer de la représentation des formes dans l'espace ; il existe seulement un passage du simple au composé, dont il importe de se rendre compte. Prenez un ignorant, et dites-lui : le chiliogone est une portion du plan terminée par mille lignes droites ; il ne vous comprendra pas, car la notion que vous essayez de lui donner ne peut être imaginée nettement. Mais dites-lui : le triangle est une portion du plan terminée par trois droites : il vous comprendra, car il verra le triangle. Dites lui : l'hexagone est une portion du plan terminée par six droites qui se coupent ; il vous comprendra encore, car l'imagination continue à venir au secours de l'intelligence. Dites-lui : le dodécagone est une portion du plan terminée par douze droites qui se coupent ; il vous comprendra toujours, et toujours pour la même raison. Passez alors à la définition d'une figure beaucoup plus complexe, et cette fois vous serez compris ; pourtant la figure définie ne sera plus distinctement imaginée; mais, en passant du triangle à l'hexagone, de l'hexagone au dodécagone, de ce dernier au polygone de vingt-quatre côtés, l'esprit a dégagé de ces images diverses la loi de construction des polygones réguliers, et cela lui suffit pour entendre ce qu'est le chiliogone ou tout autre polygone complexe. L'imagination a donc préparé les voies à l'intelligence.

D'ailleurs, est-il rigoureusement vrai que je conçoive le chiliogone sans aucun mélange d'intuition? Tout polygone régulier, quelque nombreux qu'en soient les c5tés, peut être décomposé en uutuut de triangles égauït qu'il a de côtés ; étant donnée la loi de construction dc& polygones réguliers, il siifTit^ pour en découvrir les propriétés, de considérer un ou deux des

triangles dans lesquels ils se décomposent. Mais il suffit aussi à l'imagination de voir deux ou trois de ces éléments constitutifs pour savoir ce que sont les autres. Dès lors , impuissant à me représenter les mille côtés et les mille angles de la figure en question , j'en imagine quelques-uns, et j'ai vu tous les autres.

On nous objectera encore que, dans la -géométrie analytique, on opère sur des formules et non pas sur des formes. Mais n'avons-nous pas montré plus haut comment les premières se substituent aux secondes, et ne savons-nous pas maintenant qu'une formule est l'expression de la loi génératrice d'une figure ?Par conséquent, sous toute formule analytique est cachée une figure géométrique , et pour la dégager on n'a qu'à laire la construction indiquée par l'équation. L'esprit n'a pas toujours recours aux constructions graphiques, car, grâce à l'habitude des abstractions , les images sont devenues moins nécessaires. Mais souvent, quelque familières que soient les opérations purement algébriques, il faut, pour déchiffrer le sens d'une formule, la traduire en langage géométrique , c'est-àdire construire la figure. D'ailleurs les signes algébriques ne sont-ils pas des images? Une équation est une construction où les matériaux ordinaires, lignes et surfaces , sont remplacés par les a, b, c, les a?, les V, et ce schème algébrique, substitué au schème géométrique, permet de découvrir, par les seules ressources du calcul, une multitude de relations et de propriétés qu'on ne saurait dégager des constructions de la géométrie élémentaire sans un effort beaucoup plus considérable d'invention.